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2023-2024学年黑龙江省牡丹江市第一高级中学高二下学期7月期末考试数学试题（含答案）
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这是一份2023-2024学年黑龙江省牡丹江市第一高级中学高二下学期7月期末考试数学试题（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合P=−2,−1,0,1，Q=xy= x+1，则P∩Q=( )
A. −2,−1B. −2C. 0,1D. −1,0,1
2.已知a>b>c>0，则( )
A. 2ab(a−c)
C. 1a−c>1b−cD. (a−c)3>(b−c)3
3.“2x2−5x−3<0”的一个必要不充分条件是( )
A. −124.设a,b为正实数，且a+b=10ab，则a+9b的最小值为( )
A. 65B. 1310C. 85D. 95
5.下列函数中，不满足f2021x=2021fx的是( )
A. fx=xB. fx=x−xC. fx=x+2D. fx=−2x
6.某市一天内的气温Qt(单位：℃)与时刻t(单位：时)之间的关系如图所示，
令Ct表示时间段0,t内的温差(即时间段0,t内最高温度与最低温度的差)，
Ct与t之间的函数关系用下列图象表示，则下列图象最接近的是( )．
A. B. C. D.
7.已知定义在R上的函数fx满足fx−2=−fx，且函数y=f2x−1为奇函数，则下列说法正确的是( )
A. fx的一个周期是2B. fx是奇函数
C. fx不一定是偶函数D. fx的图象关于点2025,0中心对称
8.函数fx=−a−5x−2,x≥2x2+2a−1x−3a,x<2，若对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，都有fx1−fx2x1−x2<0成立，则实数a的取值范围为( )
A. −4,−1B. −4,−2C. −5,−1D. −5,−4
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.(多选)下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的是( )
A. ∃x∈R，x2−x+14<0B. 所有的正方形都是矩形
C. ∃x∈R，x2+2x+2=0D. 至少有一个实数x，使x3+1=0
10.下列说法正确的序号是( )
A. 偶函数fx的定义域为2a−1,a，则a=13
B. 一次函数fx满足ffx=4x+3，则函数fx的解析式为fx=x+1
C. 若不等式ax2+2x+c<0的解集为{x∣x<−1或x>2}，则a+c=2
D. 若集合A=x∣−ax2+4x+2=0中至多有一个元素，则a≤−2
11.定义域为R的函数fx，对任意x，y∈R，fx+y+fx−y=2fxfy，且fx不恒为0，则下列说法正确的是( )
A. f0=0 B. fx为偶函数
C. 若f1=0，则fx关于1,0中心对称 D. 若f1=0，则i=12024fi=0
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数fx= 1−x4x+7的定义域是 ．
13.若函数fx=−x,x≤0x2,x>0，若fa=4，则a= ．
14.已知函数fx=lgx，若fa=fba≠b，则当2a⋅3b取得最小值时，ab= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知曲线C:y=x3+x−2．
(1)求与直线y=4x−1平行，且与曲线C相切的直线方程；
(2)设曲线C上任意一点处切线的倾斜角为α，求α的取值范围．
16.(本小题15分)
设f(x)=ax2+(1−a)x+a−2 ．
(1)若不等式f(x)≥−2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
(2)解关于x的不等式f(x)17.(本小题15分)
近年来，合肥市地铁轨道交通高质量发展，成为中国内地轨道交通新星，便捷的交通为市民出行带来极大便利，刷新了市民幸福指数.春节将至，为了提升人们的乘车体验感，合肥某地铁线路准备通过调整发车时间间隔优化交通出行，已知地铁的发车时间间隔t(单位：分钟)满足3≤t≤18,t∈N∗，通过调研，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当10≤t≤18时地铁可达到满载状态，载客量为1250人，当3≤t<10时，载客量会减少，减少的人数与11−t的平方成正比，且发车时间间隔为3分钟时载客量为610人，记地铁载客量为gt．
(1)求gt的解析式；
(2)经过对该线路的数据分析，得出市民乘车体验感指数Q与发车时间间隔t之间的函数关系Qt=6gt−2400t−360，体验感指数越高，乘车体验感就越好，问当发车时间间隔为多少时，市民乘车体验感最好？
18.(本小题17分)
已知定义在R上的函数fx=lg22x+1+k+1x，且fx−x是偶函数．
(1)求fx的解析式；
(2)当x∈−3,0时，记fx的最大值为M．gx=x2−2mx+2，若存在x∈2,4，使gx≤M，求实数m的取值范围．
19.(本小题17分)
已知函数fx=mx2+1e−xm∈R．
(1)求函数fx的单调区间；
(2)若函数gx=fx+nxe−x−1在0,1上有零点，且m+n=e−1，求实数m的取值范围．
参考答案
1.D
2.D
3.B
4.C
5.C
6.D
7.D
8.A
9.AC
10.AC
11.BCD
12.xx≤1且x≠−74
13.−4或2
14.lg23
15.解：(1)∵y=x3+x−2，∴y′=3x2+1，
令3x2+1=4，解得：x=±1；
当x=1时，y=1+1−2=0，∴切线方程为：y=4x−1，即4x−y−4=0；
当x=−1时，y=−1−1−2=−4，∴切线方程为：y+4=4x+1，即4x−y=0；
综上所述：所求直线方程为4x−y−4=0或4x−y=0．
(2)由(1)知：y′=3x2+1≥1，∴tanα≥1，
又α∈0,π,∴α∈π4,π2．
16.解：(1)不等式f(x)⩾−2对于一切实数x恒成立，等价于ax2+(1−a)x+a⩾0对于一切实数x恒成立．
当a=0时，不等式可化为x≥0，不满足题意；
当a≠0时，a>0Δ≤0即a>01−a2−4a2≤0,
整理得a>03a2+2a−1≥0
解得a≥13；
故f(x)⩾−2对于一切实数x恒成立时a≥13．
(2)不等式f(x)当a=0时，不等式可化为x<1，所以不等式的解集为{x|x<1}；
当a>0时，不等式可化为(ax+1)(x−1)<0，此时−1a<1，
所以不等式的解集为{x|−1a当a<0时，不等式可化为(ax+1)(x−1)<0，
①当a=−1时，−1a=1，不等式的解集为{x|x≠1}；
②当−11，不等式的解集为{x|x>−1a或x<1}；
③当a<−1时，−1a<1，不等式的解集为{x|x>1或x<−1a}．
综上当a=0时，不等式的解集为{x|x<1}；
当a>0时，不等式的解集为{x|−1a当a=−1时，不等式的解集为{x|x≠1}；
当−1−1a或x<1}；
当a<−1时，不等式的解集为{x|x>1或x<−1a}．
17.解：(1)由题意可设gt=1250−k11−t2,3≤t<10t∈N∗1250,10≤t≤18t∈N∗(k为常数)，
因为g3=1250−k(11−3)2=1250−64k=610，则k=10，
所以gt=−10t2+220t+40,3≤t<10t∈N∗1250,10≤t≤18t∈N∗；
(2)由Qt=6gt−2400t−360，结合(1)可知，
可得Qt=6−10t2+220t+40−2400t−360,3≤t<10t∈N∗6×1250−2400t−360,10≤t≤18t∈N∗,
整理得Qt=960−60t+36t,3≤t<10t∈N∗5100t−360,10≤t≤18t∈N∗,
①当3≤t<10时，Qt=960−60t+36t≤960−60×12=240，
当且仅当t=6时等号成立；
②当10≤t≤18时，Qt=5100t−360在10,18上单调递减，
即当t=10时Q取最大值150；
由①②可知，当发车时间间隔为t=6分钟时，用户体验感指数最高，用户体验感最好．
18.解：(1)记ℎx=fx−x=lg22x+1+kx，
∵fx−x为偶函数，∴ℎ−x=ℎx恒成立，
即lg22−x+1−kx=lg22x+1+kx恒成立，
∴lg21+2x2x−lg22x+1=2kx恒成立，
∴lg212x=2kx恒成立，即−x=2kx恒成立，∴k=−12，
∴fx=lg22x+1+12x．
(2)∵y=lg22x+1和y=12x都是单调递增函数，
∴fx=lg22x+1+12x在−3,0是单调递增的，
∴M=f0=1，
∴x2−2mx+2≤1在x∈2,4上有解，
∴x2+1≤2mx在x∈2,4上有解，
∴2m≥x+1x在x∈2,4上有解，
∵y=x+1x在2,4上单调递增，
∴x+1x≥52，
∴2m≥52,∴m≥54．
19.解：(1)已知fx=mx2+1e−xm∈R，函数定义域为R，
可得f′x=2mxe−x−mx2+1e−x=−mx2−2mx+1e−x，
①当m=0时，fx=−e−x<0，所以fx在R上单调递减；
②当m>0时，因为y=mx2−2mx+1是开口向上的二次函数，且Δ=4mm−1，
若Δ≤0，即0若Δ>0，即m>1时，此时方程；mx2−2mx+1=0有两个根x1=1− mm−1m，x2=1+ mm−1m，
所以当xx2时y=mx2−2mx+1>0，即f′x<0，
当x10，
所以fx在−∞,1− mm−1m和1+ mm−1m,+∞上为减函数，
在1− mm−1m,1+ mm−1m上为 增函数；
③当m<0时，因为y=mx2−2mx+1是开口向下的二次函数，且Δ=4mm−1>0，
此时方程mx2−2mx+1=0有两个根x1=1− mm−1m，x2=1+ mm−1m，且x1>x2，
所以当xx1时y=mx2−2mx+1<0，即f′x>0，
当x20，即f′x<0，
所以fx在−∞,1+ mm−1m和1− mm−1m,+∞上为增函数，
在1+ mm−1m,1− mm−1m上为减函数；
综上所述，当0≤m≤1时，函数fx在R上单调递减；
当m>1时，函数fx在−∞,1− mm−1m和1+ mm−1m,+∞上为减函数，
在1− mm−1m,1+ mm−1m上为增函数；
当m<0时，函数fx在−∞,1+ mm−1m和1− mm−1m,+∞上为增函数，
在1+ mm−1m,1− mm−1m上为减函数：
(2)令gx=mx2+1e−x+nxe−x−1=0，解得ex=mx2+nx+1，
不妨设ℎx=ex−mx2−nx−1，函数定义域为0,1，
g(x)=0在0,1内有零点，即ℎx在0,1内有零点；
不妨设x0为ℎx在0,1内的一个零点，即ℎ(x0)=0，0又因为ℎ0=0，ℎ1=0，
所以ℎx在区间0,x0和x0,1上都不单调；
不妨设φx=ℎ′x，x∈0,1，
则φx在区间0,x0和x0,1上均存在零点，即φx在0,1上至少有两个零点，
由ℎ′x=ex−2mx−n，则φ′x=ex−2m，
其中φ′(0)=1−2m,φ′(1)=e−2m，
①当m≤12时，φ′x>0，φx在0,1上单调递增，不可能有两个及以上零点：
②当m≥e2时，φ′x<0，φx在0,1上单调递减，不可能有两个及以上零点；
③当12当0当ln2m0，φx单调递增，
所以φx在x=ln2m处取得最小值φln2m=3m−2mln2m+1−e，
若φx有两个零点，需满足φln2m<0，φ0>0，φ1>0，
令2m=x，则1设Fx=32x−xlnx+1−e，x∈1,e，
可得F′x=12−lnx，
当10，Fx单调递增；当 e所以Fxmax=F e= e+1−e<0，此时φln2m<0恒成立，
又φ0=1−n=m−e+2>0，φ1=e−2m−(e−1−m)=1−m>0，
解得e−2当e−2可得ℎx在0,x1上单调递增；在x1,x2上单调递减，在x2,1上单调递增，
所以ℎx1>ℎ0=0，ℎx2<ℎ1=0，
则ℎx在区间x1,x2内有零点，满足题意．
综上所述，实数m的取值范围为e−2,1．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合P=−2,−1,0,1，Q=xy= x+1，则P∩Q=( )
A. −2,−1B. −2C. 0,1D. −1,0,1
2.已知a>b>c>0，则( )
A. 2a
C. 1a−c>1b−cD. (a−c)3>(b−c)3
3.“2x2−5x−3<0”的一个必要不充分条件是( )
A. −12
A. 65B. 1310C. 85D. 95
5.下列函数中，不满足f2021x=2021fx的是( )
A. fx=xB. fx=x−xC. fx=x+2D. fx=−2x
6.某市一天内的气温Qt(单位：℃)与时刻t(单位：时)之间的关系如图所示，
令Ct表示时间段0,t内的温差(即时间段0,t内最高温度与最低温度的差)，
Ct与t之间的函数关系用下列图象表示，则下列图象最接近的是( )．
A. B. C. D.
7.已知定义在R上的函数fx满足fx−2=−fx，且函数y=f2x−1为奇函数，则下列说法正确的是( )
A. fx的一个周期是2B. fx是奇函数
C. fx不一定是偶函数D. fx的图象关于点2025,0中心对称
8.函数fx=−a−5x−2,x≥2x2+2a−1x−3a,x<2，若对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，都有fx1−fx2x1−x2<0成立，则实数a的取值范围为( )
A. −4,−1B. −4,−2C. −5,−1D. −5,−4
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.(多选)下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的是( )
A. ∃x∈R，x2−x+14<0B. 所有的正方形都是矩形
C. ∃x∈R，x2+2x+2=0D. 至少有一个实数x，使x3+1=0
10.下列说法正确的序号是( )
A. 偶函数fx的定义域为2a−1,a，则a=13
B. 一次函数fx满足ffx=4x+3，则函数fx的解析式为fx=x+1
C. 若不等式ax2+2x+c<0的解集为{x∣x<−1或x>2}，则a+c=2
D. 若集合A=x∣−ax2+4x+2=0中至多有一个元素，则a≤−2
11.定义域为R的函数fx，对任意x，y∈R，fx+y+fx−y=2fxfy，且fx不恒为0，则下列说法正确的是( )
A. f0=0 B. fx为偶函数
C. 若f1=0，则fx关于1,0中心对称 D. 若f1=0，则i=12024fi=0
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数fx= 1−x4x+7的定义域是 ．
13.若函数fx=−x,x≤0x2,x>0，若fa=4，则a= ．
14.已知函数fx=lgx，若fa=fba≠b，则当2a⋅3b取得最小值时，ab= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知曲线C:y=x3+x−2．
(1)求与直线y=4x−1平行，且与曲线C相切的直线方程；
(2)设曲线C上任意一点处切线的倾斜角为α，求α的取值范围．
16.(本小题15分)
设f(x)=ax2+(1−a)x+a−2 ．
(1)若不等式f(x)≥−2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
(2)解关于x的不等式f(x)
近年来，合肥市地铁轨道交通高质量发展，成为中国内地轨道交通新星，便捷的交通为市民出行带来极大便利，刷新了市民幸福指数.春节将至，为了提升人们的乘车体验感，合肥某地铁线路准备通过调整发车时间间隔优化交通出行，已知地铁的发车时间间隔t(单位：分钟)满足3≤t≤18,t∈N∗，通过调研，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当10≤t≤18时地铁可达到满载状态，载客量为1250人，当3≤t<10时，载客量会减少，减少的人数与11−t的平方成正比，且发车时间间隔为3分钟时载客量为610人，记地铁载客量为gt．
(1)求gt的解析式；
(2)经过对该线路的数据分析，得出市民乘车体验感指数Q与发车时间间隔t之间的函数关系Qt=6gt−2400t−360，体验感指数越高，乘车体验感就越好，问当发车时间间隔为多少时，市民乘车体验感最好？
18.(本小题17分)
已知定义在R上的函数fx=lg22x+1+k+1x，且fx−x是偶函数．
(1)求fx的解析式；
(2)当x∈−3,0时，记fx的最大值为M．gx=x2−2mx+2，若存在x∈2,4，使gx≤M，求实数m的取值范围．
19.(本小题17分)
已知函数fx=mx2+1e−xm∈R．
(1)求函数fx的单调区间；
(2)若函数gx=fx+nxe−x−1在0,1上有零点，且m+n=e−1，求实数m的取值范围．
参考答案
1.D
2.D
3.B
4.C
5.C
6.D
7.D
8.A
9.AC
10.AC
11.BCD
12.xx≤1且x≠−74
13.−4或2
14.lg23
15.解：(1)∵y=x3+x−2，∴y′=3x2+1，
令3x2+1=4，解得：x=±1；
当x=1时，y=1+1−2=0，∴切线方程为：y=4x−1，即4x−y−4=0；
当x=−1时，y=−1−1−2=−4，∴切线方程为：y+4=4x+1，即4x−y=0；
综上所述：所求直线方程为4x−y−4=0或4x−y=0．
(2)由(1)知：y′=3x2+1≥1，∴tanα≥1，
又α∈0,π,∴α∈π4,π2．
16.解：(1)不等式f(x)⩾−2对于一切实数x恒成立，等价于ax2+(1−a)x+a⩾0对于一切实数x恒成立．
当a=0时，不等式可化为x≥0，不满足题意；
当a≠0时，a>0Δ≤0即a>01−a2−4a2≤0,
整理得a>03a2+2a−1≥0
解得a≥13；
故f(x)⩾−2对于一切实数x恒成立时a≥13．
(2)不等式f(x)
当a>0时，不等式可化为(ax+1)(x−1)<0，此时−1a<1，
所以不等式的解集为{x|−1a
①当a=−1时，−1a=1，不等式的解集为{x|x≠1}；
②当−1
③当a<−1时，−1a<1，不等式的解集为{x|x>1或x<−1a}．
综上当a=0时，不等式的解集为{x|x<1}；
当a>0时，不等式的解集为{x|−1a
当−1
当a<−1时，不等式的解集为{x|x>1或x<−1a}．
17.解：(1)由题意可设gt=1250−k11−t2,3≤t<10t∈N∗1250,10≤t≤18t∈N∗(k为常数)，
因为g3=1250−k(11−3)2=1250−64k=610，则k=10，
所以gt=−10t2+220t+40,3≤t<10t∈N∗1250,10≤t≤18t∈N∗；
(2)由Qt=6gt−2400t−360，结合(1)可知，
可得Qt=6−10t2+220t+40−2400t−360,3≤t<10t∈N∗6×1250−2400t−360,10≤t≤18t∈N∗,
整理得Qt=960−60t+36t,3≤t<10t∈N∗5100t−360,10≤t≤18t∈N∗,
①当3≤t<10时，Qt=960−60t+36t≤960−60×12=240，
当且仅当t=6时等号成立；
②当10≤t≤18时，Qt=5100t−360在10,18上单调递减，
即当t=10时Q取最大值150；
由①②可知，当发车时间间隔为t=6分钟时，用户体验感指数最高，用户体验感最好．
18.解：(1)记ℎx=fx−x=lg22x+1+kx，
∵fx−x为偶函数，∴ℎ−x=ℎx恒成立，
即lg22−x+1−kx=lg22x+1+kx恒成立，
∴lg21+2x2x−lg22x+1=2kx恒成立，
∴lg212x=2kx恒成立，即−x=2kx恒成立，∴k=−12，
∴fx=lg22x+1+12x．
(2)∵y=lg22x+1和y=12x都是单调递增函数，
∴fx=lg22x+1+12x在−3,0是单调递增的，
∴M=f0=1，
∴x2−2mx+2≤1在x∈2,4上有解，
∴x2+1≤2mx在x∈2,4上有解，
∴2m≥x+1x在x∈2,4上有解，
∵y=x+1x在2,4上单调递增，
∴x+1x≥52，
∴2m≥52,∴m≥54．
19.解：(1)已知fx=mx2+1e−xm∈R，函数定义域为R，
可得f′x=2mxe−x−mx2+1e−x=−mx2−2mx+1e−x，
①当m=0时，fx=−e−x<0，所以fx在R上单调递减；
②当m>0时，因为y=mx2−2mx+1是开口向上的二次函数，且Δ=4mm−1，
若Δ≤0，即0
所以当x
当x1
所以fx在−∞,1− mm−1m和1+ mm−1m,+∞上为减函数，
在1− mm−1m,1+ mm−1m上为 增函数；
③当m<0时，因为y=mx2−2mx+1是开口向下的二次函数，且Δ=4mm−1>0，
此时方程mx2−2mx+1=0有两个根x1=1− mm−1m，x2=1+ mm−1m，且x1>x2，
所以当x
当x2
所以fx在−∞,1+ mm−1m和1− mm−1m,+∞上为增函数，
在1+ mm−1m,1− mm−1m上为减函数；
综上所述，当0≤m≤1时，函数fx在R上单调递减；
当m>1时，函数fx在−∞,1− mm−1m和1+ mm−1m,+∞上为减函数，
在1− mm−1m,1+ mm−1m上为增函数；
当m<0时，函数fx在−∞,1+ mm−1m和1− mm−1m,+∞上为增函数，
在1+ mm−1m,1− mm−1m上为减函数：
(2)令gx=mx2+1e−x+nxe−x−1=0，解得ex=mx2+nx+1，
不妨设ℎx=ex−mx2−nx−1，函数定义域为0,1，
g(x)=0在0,1内有零点，即ℎx在0,1内有零点；
不妨设x0为ℎx在0,1内的一个零点，即ℎ(x0)=0，0
所以ℎx在区间0,x0和x0,1上都不单调；
不妨设φx=ℎ′x，x∈0,1，
则φx在区间0,x0和x0,1上均存在零点，即φx在0,1上至少有两个零点，
由ℎ′x=ex−2mx−n，则φ′x=ex−2m，
其中φ′(0)=1−2m,φ′(1)=e−2m，
①当m≤12时，φ′x>0，φx在0,1上单调递增，不可能有两个及以上零点：
②当m≥e2时，φ′x<0，φx在0,1上单调递减，不可能有两个及以上零点；
③当12
所以φx在x=ln2m处取得最小值φln2m=3m−2mln2m+1−e，
若φx有两个零点，需满足φln2m<0，φ0>0，φ1>0，
令2m=x，则1
可得F′x=12−lnx，
当1
又φ0=1−n=m−e+2>0，φ1=e−2m−(e−1−m)=1−m>0，
解得e−2
所以ℎx1>ℎ0=0，ℎx2<ℎ1=0，
则ℎx在区间x1,x2内有零点，满足题意．
综上所述，实数m的取值范围为e−2,1．
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