2023-2024学年吉林省普通高中G6教考联盟高一下学期7月期末考试数学试题（含答案）

这是一份2023-2024学年吉林省普通高中G6教考联盟高一下学期7月期末考试数学试题（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知i为虚数单位，若(1+i)z=2−i，则复数z在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.若样本数据x1, x2, ⋯, x10的方差为3，则3x1−2, 3x2−2, ⋯, 3x10−2的方差为( )
A. 7B. 9C. 27D. 25
3.下列说法正确的是( )
A. A, B同时发生的概率一定比A, B中恰有一个发生的概率小
B. 若P(A)+P(B)=1，则事件A与B是对立事件
C. 当A, B不互斥时，可由公式P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)计算A∪B的概率
D. 某事件发生的概率是随着实验次数的变化而变化的
4.已知α,β是两个不重合的平面，m,n是两条不同的直线，则下列命题正确的是( )
A. 若m⊥α，m⊥n，则n//α B. 若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
C. 若m//α，n⊂β，α//β，则m//n D. 若m//α，n//β，α⊥β，则m⊥n
5.已知圆锥的底面半径为1，体积为2 23π，则该圆锥内切球的体积为( )
A. 16 29πB. 4 29πC. 4 23πD. 23π
6.已知向量a与向量b夹角为π6，|a|= 3|b|，则b−2a在a上的投影向量为( )
A. −32aB. −12aC. 12aD. 32a
7.四名同学各投骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是( )
A. 平均数为4.4，极差为4B. 中位数为4，众数为3
C. 平均数为3，方差为3.2D. 平均数为3，中位数为4
8.费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于2π3时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为2π3.如图，已知▵ABC和 ▵ADE都是正三角形，AB=6，AE=3，且B, A, D三点共线，设点P是△ACE内的任意一点，则PA+PC+PE的最小值为( )
A. 3 7
B. 3 6
C. 3 5
D. 12
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z=i1−i(i为虚数单位)，则下列结论正确的是( )
A. z的虚部为12B. z的共轭复数为i1+i
C. |z|=12D. z⋅z=12
10.某学校为了解同学们某天上学的交通方式，在高一年级开展了随机调查，将学生某天上学的交通方式归为四类：A为家人接送，B为乘坐地铁，C为乘坐公交，D为其他方式，学校把收集到的数据整理绘制成条形图和扇形图，如图只给出了其中部分信息，根据图中信息，下列说法正确的是( )
A. 若该校高一年级有学生2000人，则高一年级约有1200人乘坐公共交通工具上学
B. 估计该校高一年级有14的学生某天家人接送上学
C. 扇形图中B的占比为38%
D. 估计该校学生上学交通方式为乘坐地铁或者其他方式的人数占全校学生的一半
11.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ABC=90∘，且AB=BC=CC1=2，M为线段BC上的动点，则下列结论中正确的是( )
A. AB1⊥A1M
B. 异面直线A1B与B1M所成角的取值范围为[π4,π3]
C. |A1M|+|C1M|的最小值为3+ 5
D. 当M是BC的中点时，过A1, M, C1三点的平面截三棱柱ABC−A1B1C1外接球所得的截面面积为269π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图为矩形A′B′C′D′，已知A′B′=2，B′C′=1，则四边形ABCD的周长为 ．
13.已知向量a=(1, 2)，b=(2−λ, 2λ)，若a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为 ．
14.某工厂的三个车间生产同一种产品，三个车间的产量分布如图所示，现在用分层随机抽样方法从三个车间生产的该产品中，共抽取60件做使用寿命的测试，则C车间应抽取的件数为 ；若A，B，C三个车间产品的平均寿命分别为220，240，230小时，方差分别为20，20，30，则总样本的方差为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z=2+i是一元二次方程x2+ax+b=0(a, b∈R)的根．
(1)求a,b的值；
(2)若复数(a+bi)⋅(m−2i)(其中m∈R)为纯虚数，求复数ω=(2m+1)+(4m−2)i的模．
16.(本小题15分)
已知e1,e2是夹角为60∘的两个单位向量，a=2e1+e2，b=λe1−2e2(λ∈R).
(1)若a,b可以作为一组基底，求实数λ的取值范围；
(2)若a,b垂直，求实数λ的值；
(3)求|b|的最小值．
17.(本小题15分)
2024年全国城市节约用水宣传主题为“推进城市节水，建设美丽城市”.某市为了鼓励居民节约用水，减少水资源的浪费，计划在全市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准x(单位：吨)，月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费，且该市政府希望有97%的居民月用水量不超过标准x吨.为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了200户居民某年的月均用水量(单位：吨)，并将数据制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求直方图中m的值，并估计月用水量标准x的值；
(2)若从月平均用水量在第一组和第二组的样本居民中按比例分配的分层抽样随机抽取6户，再从这6户中任意选取两户，求这两户来自不同组的概率．
18.(本小题17分)
已知在▵ABC中，满足asinB− 3bcsBcsC= 3ccs2B(其中a, b, c分别是角A,B,C的对边)．
(1)求角B的大小；
(2)若角B的平分线BD长为1，且ac=2，求▵ABC外接圆的面积；
(3)若▵ABC为锐角三角形，c=1，求a+b的取值范围．
19.(本小题17分)
在Rt▵ABC中，∠C=90∘，BC=3，AC=6，D,E分别是AC,AB上的点，满足DE//BC且DE经过▵ABC的重心，将▵ADE沿DE折起到▵A1DE的位置，使A1C⊥CD，M是A1D的中点，如图所示．
(1)求证：A1C⊥平面BCDE；
(2)求CM与平面A1BE所成角的大小；
(3)在线段A1C上是否存在点N，使平面CBM与平面BMN成角余弦值为 34？若存在，求出CN的长度；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.D
2.C
3.C
4.B
5.D
6.A
7.D
8.A
9.AD
10.ABD
11.AD
12.10
13.−23,1∪1,+∞
14.18；84
15.解：(1)
因为z=2+i是一元二次方程x2+ax+b=0的根，
所以2−i也是一元二次方程x2+ax+b=0的根，
故(2+i)+(2−i)=−a(2+i)⋅(2−i)=b，解得a=−4b=5；
(2)
因为复数(a+bi)⋅(m−2i)=(10−4m)+(5m+8)i为纯虚数，
所以10−4m=0，且5m+8≠0，
即m=52，所以复数ω=(2m+1)+(4m−2)i=6+8i，
故|ω|= 62+82=10．

16.解：(1)
因为a, b可以作为一组基底，所以a, b不平行，
又e1, e2不共线，所以21≠λ−2，即λ≠−4，
所以，实数λ的取值范围为(−∞, −4)∪(4, +∞)．
(2)
因为a, b垂直，所以a⋅b=(2e1+e2)⋅(λe1−2e2)=0，
即2λe12+(λ−4)e1⋅e2−2e22=0，
又e12=e22=1，e1⋅e2=1×1×cs60∘=12，
所以2λ+12(λ−4)−2=0，解得λ=85．
(3)
由(2)知，e1⋅e2=12，
因为|b|2=(λe1−2e2)2=λ2e12−4λe1⋅e2+4e22=λ2−2λ+4=(λ−1)2+3，
所以，当λ=1时，|b|2取得最小值3，
所以|b|的最小值为 3．

17.解：(1)
由40.0125+0.0250+m+0.1000+0.0375+0.0125=1
解得m=0.0625．
(0.0125+0.0250+0.0625+0.10000+0.0375)×4=0.950，
即tanB= 3，且B∈0,π，即B=π3．
(2)
由等面积法：12×a×BD×sin30∘+12×c×BD×sin30∘=12×a×c×sin60∘，
即14(a+c)= 34ac，即a+c= 3ac=2 3，
由余弦定理得，b2=a2+c2−2accsB=a2+c2−ac=(a+c)2−3ac
=(2 3)2−3×2=6，则b= 6，
设▵ABC外接圆半径为R，则2R=bsinB= 6 32=2 2，R= 2，
则▵ABC外接圆的面积为πR2=2π．
(3)
由▵ABC为锐角三角形可得0