2023-2024学年山东省济宁市高一下学期期末质量检测数学试题（含答案）

这是一份2023-2024学年山东省济宁市高一下学期期末质量检测数学试题（含答案），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若2iz=1−i，则z=( )
A. 1+iB. 1−iC. −1−iD. −1+i
2.已知向量a=1,m，b=4,6，c=1,1，若a//b−2c，则m=( )
A. 2B. −2C. 12D. −12
3.交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙三个社区做分层抽样调查.假设三个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙三个社区抽取驾驶员的人数分别为16，20，26，则这三个社区驾驶员的总人数N为( )
A. 744B. 620C. 372D. 162
4.如图是函数fx= 3tanωx+φω>0,φ<π2的部分图象，则fx=( )
A. 3tan2x+π6 B. 3tan2x+π3
C. 3tan4x+π6 D. 3tan4x+π3
5.在▵ABC中，BD=13DC，记AB=m，AD=n，则AC=( )
A. 3m−2nB. 3n−2mC. 4m−3nD. 4n−3m
6.对24小时内降落在平地上的积水厚度(mm)进行如下定义：
小明用一个圆台形容器接了24小时的雨水，如图所示，则这一天的雨水属于哪个等级( )
A. 小雨B. 中雨C. 大雨D. 暴雨
7.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D.设∠BCD=α，∠BDC=β，CD=s，在点C测得塔顶A的仰角为θ，则塔高AB为( )
A. s⋅sinβ⋅tanθsina+βB. s⋅sinβsina+β⋅tanθ
C. s⋅sina+β⋅tanθsinβD. s⋅sina+βsinβ⋅tanθ
8.设函数fx=Asinωx+φ(A、ω、φ都是常数，A>0，ω>0)，若fx在区间0,π3上具有单调性，且fπ3=fπ2=−f0，则fx的最小正周期为( )
A. 3π2B. πC. π2D. π4
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.把函数fx=sin4x−π3图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移π3个单位长度，得到函数y=gx的图象，则gx=( )
A. sin2x+2π3B. sin2x+π3C. cs2x−π6D. cs2x+5π6
10.体育教学是学校开展素质教育不可缺少的重要内容，对学生的发展有着不可忽视的重要作用.某校为了培养学生的竞争意识和进取精神，举行篮球定点投篮比赛.甲、乙两名同学每次各自投10个球，每人8次机会，每次投篮投中个数记录如下：
记甲、乙两名同学每次投篮投中个数的平均数分别为x甲、x乙，方差分别为s甲2、s乙2.则下列结论正确的是( )
A. x甲>x乙B. x甲=x乙C. s甲2s乙2
11.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，O为下底面的中心，P为DD1的中点，则下列结论正确的是( )
A. PO⊥B1C
B. 直线PA与BD所成角的余弦值为 105
C. PO与平面ABB1A1所成角为π4
D. 三棱锥B1−PAC的外接球的表面积为33π12
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知一组数据为5，6，7，7，8，9，则该组数据的第75百分位数是 ．
13.某校举行立体几何模型制作比赛，某同学制作的模型如图所示：底面ABC是边长为12(单位：厘米)的正三角形，▵DAC，▵EBC，▵FAB均为正三角形，且他们所在的平面都与底面ABC垂直，则该几何模型的体积为 立方厘米．
14.已知▵ABC三个顶点A、B、C及平面内一点P，满足AP=2AB+AC，且PA+PB⋅AB=PA+PC⋅AC=PB+PC⋅BC，则sin∠BAC= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
人工智能发展迅猛，在各个行业都有应用.某地图软件接入了大语言模型后，可以为用户提供更个性化的服务，某用户提出：“请统计我早上开车从家到公司的红灯等待时间，并形成统计表”，地图软件就将他最近100次从家到公司的导航过程中的红灯等待时间详细统计出来，将数据分成了45,55,55,65，65,75,75,85，85,95(单位：秒)这5组，并整理得到频率分布直方图，如图所示．
(1)估计该用户接下来的200次早上开车从家到公司的红灯等待时间不超过60秒的次数；
(2)估计该用户从家到公司的导航过程中的红灯等待时间的平均数．
16.(本小题15分)
设向量a=2sinx,csx，b=2csx,−sinx，c=csy,−2siny．
(1)若a−3b⊥c，求tanx−y的值；
(2)若fx=a−b，x∈0,5π12，求fx+π6的取值范围．
17.(本小题15分)
如图所示，AB为圆锥PO底面的直径，C为圆O上异于A、B的一点，D、F分别为AC、PA的中点，连接DO并延长交圆O于点E．
(1)证明：AC⊥平面PDE；
(2)证明：EF//平面PBC．
18.(本小题17分)
记锐角▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a−2ccsC+ccsA=0，且a>c．
(1)证明：B=2C；
(2)若BD=12DC，AD= 763，且csB=13，求b，c；
(3)若csA−C+λsinB存在最小值，求实数λ的取值范围．
19.(本小题17分)
已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA=a，OB=b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作a,b.定义a与b的“向量积”为：a×b是一个向量，它与向量a，b都垂直，它的模a×b=a⋅bsina,b.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，DP=DA=4，E为AD上一点，AD×BP=8 5．
(1)求AB的长；
(2)若E为AD的中点，求二面角P−EB−A的余弦值；
(3)若M为PB上一点，且满足AD×BP=λEM，求λ．
参考答案
1.D
2.A
3.C
4.B
5.D
6.C
7.A
8.B
9.BC
10.BD
11.ABD
12.8
13.486
14. 104
15.解：(1)
因为各组频率之和为1，组距为10，
所以10×0.01+m+0.035+0.02+0.01=1，解得m=0.025，
该用户早上开车从家到公司的 红灯等待时间不超过60秒的概率为：
10×0.01+0.0252=0.225，
所以该用户早上开车从家到公司的红灯等待时间不超过60秒的次数约为：
200×0.225=45．
(2)
该用户从家到公司的 导航过程中的红灯等待时间的平均数约为：
0.1×50+0.25×60+0.35×70+0.2×80+0.1×90=69.5.
16.解：(1)
根据题意，a−3b⊥c，所以a−3b⋅c=0，
即a⋅c−3b⋅c=2sinxcsy−2csxsiny−32csxcsy+2sinxsiny=0，
化简为2sin(x−y)−6cs(x−y)=0
所以tanx−y=3；
(2)
a−b=2sinx−2csx,csx+sinx，
|a−b|2=2sinx−2csx2+csx+sinx2
=4sin2x−8sinxcsx+4cs2x+cs2x+2sinxcsx+sin2x
=5−6sinxcsx=5−3sin2x，
所以f(x)=a−b= 5−3sin2x,x∈0,5π12,
所以fx+π6= 5−3sin2x+π3，
由x∈0,5π12，得2x+π3∈π3,7π6,
所以sin2x+π3∈−12,1，所以5−3sin2x+π3∈2,132，
所以fx+π6的取值范围为 2, 262．
17.解：(1)
由题意，PO⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，
所以PO⊥AC，
由AB为圆锥PO底面的直径，C为圆O上异于A、B的一点，可知BC⊥AC，
因为D、分别为AC的中点，所以BC//DE，则DE⊥AC，
又因为PO,DE⊂平面PDE，PO∩DE=D，
所以AC⊥平面PDE；
(2)
连接DF，因为D、F分别为AC、PA的中点，所以DF//PC，
又DF⊄平面PBC，PC⊂平面PBC，所以DF//平面PBC，
同理可得DE//平面PBC，
而DE∩DF=D,DE,DF⊂平面DEF，
所以平面DEF//平面PBC，又EF⊂平面DEF，
所以EF//平面PBC．

18.解：(1)
因为a−2ccsC+ccsA=0，
由正弦定理得(sinA−2sinC)csC+sinCcsA=0，
所以sinAcsC+sinCcsA=2sinCcsC=sin2C，
所以sin(A+C)=sinB=sin2C，
所以B=2C或B+2C=π，
因为a>c，所以A>C，又A+B+C=π，所以B+2C=π不可能成立，
所以B=2C．
(2)
由csB=13>0，B∈0,π2，则sinB= 1−cs2B=2 23，
因为B=2C，所以csB=cs2C=2cs2C−1=13，
因为C∈0,π2，所以csC= 63，sinC= 1−cs2C= 33，
所以csA=−cs(B+C)=−(csBcsC−sinBsinC)=−13× 63+2 23× 33= 69，
因为BD=12DC，则BD=13BC，
所以AD=AB+BD=AB+13BC=AB+13AC−AB=23AB+13AC，
将其两边平方得AD2=49AB2+19AC2+49AB⋅AC，
所以769=49c2+19b2+4 681cb①，
由正弦定理知，bsinB=csinC，
因为B=2C，所以sinB=sin2C=2sinCcsC，
所以bc=2csC=2 63②，
联立①②解得b=2 6，c=3．
(3)
因为▵ABC为锐角三角形，且A>C，
所以0C，即0<π−3C<π20<2C<π20所以π3<2C<π2， 32又cs(A−C)+λsinB=cs(π−4C)+λsin2C=−cs4C+λsin2C=2sin22C+λsin2C−1，
令t=sin2C，则t∈ 32,1，
所以cs(A−C)+λsinB=2t2+λt−1，其中对称轴为t=−λ4，
因为cs(A−C)+λsinB存在最小值，
所以t=−λ4∈( 32,1)，解得−4<λ<−2 3，
故实数λ的取值范围为−4,−2 3．
19.解：(1)
因为底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，
所以AD//BC，BC⊥DC，又BC⊂底面ABCD，所以PD⊥BC，
又PD∩DC=D，PD,DC⊂平面PDC，所以BC⊥平面PDC，
又PC⊂平面PDC，所以BC⊥PC，
所以∠PBC为直线AD与PB所成的角，即AD,BP=∠PBC，
设AB=xx>0，则PC= x2+42= x2+16，PB= x2+42+42= x2+32，
在Rt▵PBC中sin∠PBC=PCPB= x2+16 x2+32，
又AD×BP=8 5，所以4 x2+32⋅ x2+16 x2+32=8 5，解得x=2(负值已舍去)，
所以AB=2；
(2)
在平面ABCD内过点D作DF⊥BE交BE的延长线于点F，连接PF，
因为PD⊥底面ABCD，BF⊂底面ABCD，所以PD⊥BF，又DF∩PD=D，
DF,PD⊂平面PDF，所以BF⊥平面PDF，又PF⊂平面PDF，所以BF⊥PF，
所以∠PFD为二面角P−EB−D的平面角，
因为E为AD的中点，
所以DF=2sinπ4= 2，PF= 42+ 22=3 2，
所以cs∠PFD=DFPF= 23 2=13，
设二面角P−EB−A的平面角为θ，则θ=π−∠PFD，
所以csθ=csπ−∠PFD=−cs∠PFD=−13，
即二面角P−EB−A的余弦值为−13；
(3)
依题意AD×BP⊥AD，AD×BP⊥BP，又AD×BP=λEM，
所以EM⊥AD，EM⊥BP，又AD//BC，所以EM⊥BC，
又PB∩BC=B，PB,BC⊂平面PBC，所以EM⊥平面PBC，
在平面PDC内过点D作DN⊥PC，垂足为N，
由BC⊥平面PDC，DN⊂平面PDC，所以BC⊥DN，
又PC∩BC=C，PC,BC⊂平面PBC，所以DN⊥平面PBC，
在平面PBC内过点N作MN//BC交PB于点M，在DA上取点E，使得DE=MN，连接EM，
所以DE//MN且DE=MN，所以四边形DEMN为平行四边形，
所以EM=DN，又DN=2×4 22+42=4 55，即EM=4 55，
所以λ=AD×BPEM=8 54 55=10．
积水厚度(mm)
0∼10
10∼25
25∼50
50∼100
等级
小雨
中雨
大雨
暴雨
同学
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
第6次
第7次
第8次
甲(投中个数)
6
7
5
6
4
3
8
9
乙(投中个数)
8
4
6
7
6
5
7
5