2023-2024学年广东省清远市高一下学期期末教学质量检测数学试题（含答案）

这是一份2023-2024学年广东省清远市高一下学期期末教学质量检测数学试题（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.为了调查某地三所学校未成年人的视力情况，计划采用分层随机抽样的方法从该地的A，B，C三所中学抽取130名学生进行调查，已知A，B，C三所学校中分别有400，560，340名学生，则从C学校中应抽取的人数为( )
A. 34B. 40C. 56D. 68
2.要得到函数f(x)=sin(2x−23)，x∈R的图象，只需将函数g(x)=sin2x，x∈R的图象( )
A. 横坐标向左平移π3个单位长度，纵坐标不变 B. 横坐标向右平移π3个单位长度，纵坐标不变
C. 横坐标向右平移13个单位长度，纵坐标不变 D. 横坐标向左平移13个单位长度，纵坐标不变
3.下列说法中，正确的是( )
A. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥
B. 一个多面体至少有4个面
C. 有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
D. 用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台
4.将一个棱长为1的正方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的表面积为( )
A. π6B. πC. 4πD. 6π
5.弹簧挂着的小球作上下运动，它在t秒时相对于平衡位置的高度ℎ厘米的关系可用函数ℎ= Asinωt(A>0,ω>0)来确定，其图象如图所示，则ω的值是( )
A. π8B. π6C. π4D. 14
6.已知正方形ABCD的边长为2，AB=a，BC=b，AC=c，则|a+b+c|=( )
A. 0B. 8C. 2 2D. 4 2
7.设z为复数，若|z+2i|=1，则|z|的最小值为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
8.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4，M为棱DC的中点，N为侧面BC1的中心，过点M的平面α垂直于DN，则平面α截正方体AC1所得的截面面积为( )
A. 12 6B. 10 6C. 8 6D. 4 6
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：E=“点数为奇数”，F=“点数为偶数”，G=“点数大于2”，H=“点数不大于2”，R=“点数为1”.则下列结论正确的是( )
A. E，F为对立事件B. G，H为互斥不对立事件
C. E，G不是互斥事件D. G，R是互斥事件
10.甲、乙两名同学近五次数学测试成绩数据分别为：
甲68 71 72 72 82
乙66 70 72 78 79
则( )
A. 甲组数据的极差大于乙组数据的极差 B. 甲组数据的平均数等于乙组数据的平均数
C. 甲组数据的方差小于乙组数据的方差 D. 甲乙两组数据混合后的方差大于乙组数据的方差
11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足m=(1,−3)，n=(a+b+c,a−b +c)且m⊥n，则下列结论正确的是( )
A. a+c=2b B. 角B的最大值为π3
C. A:C=1:2 D. 若asinA=4csinC，则csA=−14
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.复数z=3−4i，则z2+i的虚部为 ．
13.在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B=π3，b= 21，a=4，则c= ．
14.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，且点E满足PE=13PC，已知AB=2，AD=2 2，PA=2，则P到平面ABE的距离为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z=m2−m−6m+3+(m2−2m−15)i，求当实数m为何值时;
(1)z为实数;
(2)z为纯虚数;
(3)z为虚数．
16.(本小题15分)
某高校承办了某大型运动会志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45,55)，第二组[55,65)，第三组[65,75)，第四组[75,85)，第五组[85,95]，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．
(1)估计这100名候选者面试成绩的众数;
(2)求a，b的值;
(3)估计这100名候选者面试成绩的第80百分位数．
17.(本小题15分)
△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bcsC+ 3bsinC−a−c=0．
(1)求B;
(2)若C=π4且△ABC的面积为3+ 3，求边长c．
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，M为AP边上的中点，N为CP边上的中点，平面PBC⊥平面ABCD，∠PBC=90∘，AD//BC，∠ABC=90∘，2AB=2AD= 2CD=BC=2．
(1)求证：MN//平面ABCD;
(2)求证：CD⊥PD;
(3)若直线PD与底面ABCD所成角的余弦值为13，求二面角B−PC−D的正切值．
19.(本小题17分)
将连续正整数1，2，3，⋯，n(n∈N∗)从小到大排列构成一个数123⋯n，F(n)为这个数的位数.例如：当n=12时，此数为123456789101112，共有15个数字，则F(12)=15.现从这个数中随机取一个数字，P(n)为恰好取到0的概率．
(1)求P(101);
(2)当n≤2024时，求F(n)的表达式;
(3)令f(n)为这个数中数字9的个数，g(n)为这个数中数字0的个数，ℎ(n)=f(n)−g(n)，S={n|ℎ(n)=1,n≤100,n∈N∗}，求当n∈S时P(n)的最大值．
参考答案
1.A
2.C
3.B
4.B
5.C
6.D
7.A
8.D
9.ACD
10.ABC
11.ABD
12.−115
13.5
14.2 33
15.解：解：(1)当m2−2m−15=0且m+3≠0时，复数z为实数，
解得m=5，所以当m=5时，复数z为实数．
(2)当m2−m−6m+3=0且m+3≠0，且m2−2m−15≠0时，复数z为纯虚数，
由m2−m−6m+3=0，得m=3或m=−2，
由m+3≠0，且m2−2m−15≠0得m≠−3且m≠5，
所以当m=3或m=−2，复数z为纯虚数．
(3)当m2−2m−15≠0且m+3≠0时，复数z为虚数，
解得m≠−3且m≠5，所以当m≠−3且m≠5时，复数z为虚数，
综上，当m=5时，复数z为实数;
当m=3或m=−2时，复数z为纯虚数;
当m≠−3且m≠5时，复数z为虚数．
16.解：(1)由频率分布直方图可知面试成绩在区间[65,75]内的候选者最多，可以将这个区间的中点作为众数的估计值，
所以估计这100名候选者面试成绩的众数为65+752=70．
(2)因为第三、四、五组的频率之和为0.7，所以(0.045+0.020+b)×10=0.7，解得b=0.005，
所以前两组的频率之和为1−0.7=0.3，
即(a+b)×10=0.3，所以a=0.025．
(3)前三个分组频率之和为0.75，
前四个分组频率之和为0.95，
所以第80百分位数在75和85之间，
即为75+0.8−．
17.解：(1)由bcsC+ 3bsinC−a−c=0及正弦定理得sinBcsC+ 3sinBsinC−sinA−sinC= 0，
∵sinA=sin(π−B− C)=sin(B+ C)=sinBcsC+csBsinC，
所以 3sinBsinC−csBsinC−sinC= 0．
由于sinC≠0， 3sinB−csB−1= 0．
所以sin(B−π6)=12．
又B∈(0,π)，∴B=π3．
(2)由(1) A=π−π3−π4=5π12，
而sinA=sin(5π12)=sin(π4+π6)= 22× 32+ 22×12= 6+ 24，
由正弦定理有asin5π12=bsinπ3=csinπ4，
从而a= 6+ 24⋅ 2c= 3+12c，b= 32⋅ 2c= 62c，
由三角形面积公式可知，△ABC的面积可表示为S△ABC=12absinC=12⋅ 3+12c⋅ 62c⋅ 22=3+ 38c2，
由已知△ABC的面积为3+ 3，可得3+ 38c2=3+ 3，所以c=2 2．
18.解：(1)证明：连接AC，
在△ACP中，因为M、N为对应边上的中点，
所以MN为中位线，MN//AC，
又MN⊄平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴MN/​/平面ABCD．
(2)证明：在四边形ABCD中，AD/​/BC，∠ABC=90∘，2AB=2AD= 2CD=BC，
∴△ABD是等腰直角三角形，又BC=2，则AB=1，CD=BD= 2，∴BC2=CD2+BD2，
∴△BCD是等腰直角三角形，CD⊥DB，
∵平面PBC⊥平面ABCD，∠PBC=90∘，PB⊂平面PBC，平面PBC∩平面ABCD=BC，
平面PBC∩平面ABCD=BC，∴PB⊥平面ABCD，
又CD⊂平面ABCD，所以PB⊥CD，
又PB∩BD=B，DB⊂平面PBD，PB⊂平面PBD，
所以CD⊥平面PBD．
又PD⊂平面PBD，∴CD⊥PD．
(3)∵直线PD与底面ABCD所成角的余弦值为13，
由(1)可得直线PB⊥平面ABCD，
∴∠PDB为直线PD与底面ABCD所成的角，
又BC=2，则AB=1，CD=BD= 2，
∴在Rt△PBD中，cs∠PDB=BDPD=13，∴PD=3 2，PB=4，
设BC的中点为E，连接DE，过点E作PC的垂线交PC于F，
连接DF由(1)知，DE⊥CB，DE⊥PB，且PB、BC⊂平面PBC，PB∩BC=B，则DE⊥平面PBC，
∵PC⊂平面PBC，∴DE⊥PC．∵DE、EF⊂平面DEF，∴PC⊥平面DEF，
∵DF⊂平面DEF，∴PC⊥DF．
又PC⊥EF，则∠DFE是二面角B−PC−D的平面角．
∵DE=AB=1，EF⊥CF，∠PBC=90∘，BC=2，PB=4可得PC=2 5，CE=1，
∵Rt△ECF与Rt△PCB相似，∴EFPB=CEPC，∴EF=2 55，
设二面角B−PC−D的平面角为θ，
则二面角B−PC−D的正切值为tanθ=DEEF= 52．

19.解：(1)当n=101时，F(101)=9+90×2+2×3=195，
即这个数中共有195个数字，其中数字0的个数为12，
则恰好取到0的概率为P(101)=12195=465；
(2)当1≤n≤9时，这个数由n个1位数组成，F(n)=n;
当10≤n≤99时，这个数由9个1位数组成，n−9个两位数组成，则F(n)=2n−9;
当100≤n≤999时，这个数由9个1位数组成，90个两位数组成，n−99个三位数组成，
Fn=3n−108;
当1000≤n≤2024时，这个数有9个1位数组成，90个两位数组成，900个三位数组成，
n−999个四位数组成，F(n)=4n−1107;
综上所述：F(n)=n,1⩽n⩽92n−9,10⩽n⩽993n−108,100⩽n⩽9994n−1107,1000⩽n⩽2024(n∈N∗)；
(3)n=b(1≤b≤9,b∈N∗)时，g(n)=0，
当n=10k+b(1≤k≤9,0≤b≤9,k∈N∗,b∈N∗)时，g(n)=k;
当n=100时，g(n)=11，
即g(n)=0,1⩽n⩽9k,n=10k+b11,n=100,1⩽k⩽9,0⩽b⩽9,k∈N∗,b∈N∗,
同理有f(n)=0,1⩽n⩽8k,n=10k+b−1,1⩽k⩽8,0⩽b⩽9,k∈N∗,b∈N∗n−80,89⩽n⩽9820,n=99,100,
由ℎ(n)=f(n)−g(n)=1，可知n=9，19，29，39，49，59，69，79，89，90，
所以当n≤100时，S={9,19,29,39,49,59,69,79,89,90}，
当n=9时，P(9)=0，当n=90时，P(90)=9171=119，
n=10k+9(1≤k≤8,k∈N∗)时，P(n)=g(n)F(n)=k2n−9=k20k+9，
由y=k20k+9=120−920×120k+9关于k单调递增，
故当n=10k+9(1≤k≤8,k∈N∗)时，有P(n)的最大值为P(89)=8169，
又8169<119，
所以当n∈S时P(n)的最大值为119．