2023-2024学年广东省揭阳市高二下学期教学质量测试数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年广东省揭阳市高二下学期教学质量测试数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若(1−i)z=3+i，则复数z在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.为了得到函数y=sin(5x+π3)的图象，只要将函数y=sin5x的图象( )
A. 向左平移π15个单位长度B. 向右平移π15个单位长度
C. 向左平移π3个单位长度D. 向右平移π3个单位长度
3.设α，β，γ是三个不同的平面，且α∩γ=l，β∩γ=m，则“α//β”是“l//m”的( )
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.曲线f(x)=ex−3x2在点(0,f(0))处的切线方程为( )
A. x+y+1=0B. x+y−1=0C. x−y−1=0D. x−y+1=0
5.若直线l:x−y+m2−6=0平分圆x2+2mx+y2+4=0，则实数m的值为( )
A. −2B. 2C. 3D. −2或3
6.《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，小寒、立春、惊蛰日影长之和为31.5尺，前八个节气日影长之和为80尺，则小满日影长为( )
A. 1.5尺B. 3.5尺C. 5.5尺D. 7.5尺
7.已知函数fn(x)=xn+x+a，其中n∈N且n≥2，a<0且为常数.若对任意n∈N且n≥2，y=fn(x)在(12,1)内均存在唯一零点，则a的取值范围是( )
A. (−1,0)B. (−1,−34)C. (−2,−34)D. (−2,−1)
8.已知A，B，C，D为球面上四点，M，N分别是AB，CD的中点，以MN为直径的球称为AB，CD的“伴随球”.若三棱锥A−BCD的四个顶点均在表面积为100π的球面上，它的两条棱AB，CD的长度分别为8和6，则AB，CD的伴随球的体积的取值范围是( )
A. [π4,343π3]B. [π4,343π6]C. [π6,343π3]D. [π6,343π6]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知平面向量a=(2,−3)，b=(2,1)，则( )
A. (a−2b)⊥b
B. a与b可作为一组基底向量
C. a与b夹角的余弦值为 6565
D. a在b方向上的投影向量的坐标为(23,13)
10.已知函数f(x)=sin(x+π3)+sin(π6−x)，则( )
A. f(x)的值域为[− 2, 2]B. f(x−π12)为偶函数
C. f(x−π12)在[0,π2]上单调递增D. f(x)在[π12,3π2]上有2个零点
11.已知函数fx=lnx2x，下列说法正确的是( )
A. fx=lnx2x与gx=2lnxx的定义域不同
B. fx的单调递减区间为e,+∞
C. 若fx=a有三个不同的解，则−2eD. 对任意两个不相等正实数x1,x2，若fx1=fx2，则x1⋅x2>e2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中a=3，b=2，cs(A+B)=13，则c= ．
13.已知集合A={x∈N|lg2(x−3)≤2}，B={x|x−7x−4≤0}，则A∩B= ．
14.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为E上且不与顶点重合的任意一点，I为△PF1F2的内心，O为坐标原点，记直线OP，OI的斜率分别为k1，k2，若k1=32k2，则E的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(b−c)sinB=(a+c)⋅(sinA−sinC)．
(1)求A;
(2)若D为边AB的中点，且CD=1，求△ABC面积的最大值．
16.(本小题15分)
南方游客勇闯冰雪大世界点燃了民众对冰雪运动的热情，其中雪上运动深受游客的喜爱.某新闻媒体机构随机调查了男、女性游客各100名，统计结果如下表所示：
(1)依据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为游客是否喜欢滑雪与性别有关联?
(2)冰雪大世界招募初学者进行滑雪培训，对四个滑雪基本动作(起步、滑行、转弯、制动)进行指导.据统计，每位初学者对起步、滑行、转弯、制动这四个动作达到优秀的概率分别为34，12，13，12，且四个滑雪基本动作是否达到优秀相互独立.若这四个滑雪基本动作至少有三个达到优秀，则可荣获“优秀学员”称号.求滑雪初学者荣获“优秀学员”称号的概率．
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d．
17.(本小题15分)
如图，在四棱台ABCD−A1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，AD/​/BC，AD=CD= 2，BC=A1D1=D1D=1，∠BCD=60∘．

(1)记平面A1ADD1与平面B1BCC1的交线为l，证明：l⊥平面B1BDD1;
(2)求平面A1ADD1与平面A1ABB1的夹角的余弦值．
18.(本小题17分)
已知抛物线E:y2=2px(p>0)的准线为x=−12，焦点为F.A，B，C为E上异于原点且不重合的三点．
(1)求E的方程;
(2)若F为△ABC的重心，求|FA|+|FB|+|FC|的值;
(3)过A，B两点分别作E的切线l1，l2，l1与l2相交于点D，若|AB|=4，求△ABD面积的最大值．
19.(本小题17分)
给定数列{an}，若首项a1>0且a1≠1，对任意的n，m∈N∗，都有an+m=an⋅am，则称数列{an}为“指数型数列”．
(1)已知数列{an}为“指数型数列”，若a1=2，求a2，a3;
(2)已知数列{an}满足a1=12，an=2anan+1+3an+1(n∈N∗)，判断数列{1an+1}是不是“指数型数列”?若是，请给出证明;若不是，请说明理由;
(3)若数列{an}是“指数型数列”，且a1=a+2a+3(a∈N∗)，证明：数列{an}中任意三项都不能构成等差数列．
参考答案
1.A
2.A
3.B
4.D
5.C
6.B
7.C
8.D
9.BC
10.ABD
11.AD
12. 17
13.5,6,7
14.12
15.解：(1)因为(b−c)sinB=(a+c)(sinA−sinC)，
所以由正弦定理可得(b−c)b=(a+c)(a−c)，即b2−bc=a2−c2，则b2+c2−a2=bc，
由余弦定理得csA=b2+c2−a22bc=12，又A∈(0,π)，所以A=π3；
(2)因为D是边AB的中点，即AD=12AB，所以S△ABC=2S△ACD，
在△ACD中，CD=1，A=π3，
由余弦定理得CD2=AC2+AD2−2AC⋅ADcsA，即1=AC2+AD2−AC⋅AD，
所以AC2+AD2=1+AC⋅AD≥2AC⋅AD，
所以AC⋅AD≤1，当且仅当AC=AD=1时取等号，
所以S△ABC=2S△ACD=2×12AC⋅ADsinA≤ 32，当且仅当AC=AD=1时取等号，
即△ABC面积的最大值为 32．
16.解：(1)零假设为H0:游客是否喜欢滑雪与性别无关联．
由题可得χ2=200×(60×65−40×35)2100×100×95×105=5399≈12.531>10.828=x0.001．
所以依据小概率值α=0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为游客是否喜欢滑雪与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001．
(2)令事件Ai(i=1,2,3,4)分别表示滑雪初学者起步、滑行、转弯、制动达到优秀，
滑雪初学者荣获“优秀学员”称号为事件B，
则事件Ai(i=1,2,3,4)之间相互独立，事件B包含四个滑雪基本动作均达到优秀和四个滑雪基本动作中有三个达到优秀，
则P(B)=P(A1A2A3A4)+P(A1A2A3A4)+P(A1A2A3A4)+P(A1A2A3A4)+P(A1A2A3A4)=34×12×13×12+(1−34)×12×13×12+34×(1−12)×13×12+34×12×(1−13)×12+34×12×13×(1−12)=13，
所以滑雪初学者荣获“优秀学员”称号的概率是13．
17.证明：(1)因为AD/​/BC，AD⊂平面A1ADD1，BC⊄平面A1ADD1，
所以BC/​/平面A1ADD1，
又BC⊂平面B1BCC1，平面A1ADD1∩平面B1BCC1=l，
所以l//BC，
因为D1D⊥平面ABCD，
所以D1D⊥BC．
在△BCD中，BC=1，CD=2，∠BCD=60∘，由余弦定理得，BD= BC2+CD2−2BC⋅CDcs∠BCD=
12+22−2×1×2cs60∘= 3，
则CD2=BC2+BD2，得BC⊥BD．
又D1D∩BD=D，D1D，BD⊂平面B1BDD1，
所以BC⊥平面B1BDD1．
因为l//BC，
所以l⊥平面B1BDD1；
解：(2)在△BCD中，BC=1，CD=2，∠BCD=π3．
由余弦定理得，BD= 3，则CD2=BC2+BD2，得BC⊥BD．
又AD/​/BC，则AD⊥BD．
因为D1D⊥平面ABCD，AD，BD⊂平面ABCD，
所以D1D⊥AD，D1D⊥BD．
又AD∩DD1=D，AD，DD1⊂平面A1ADD1．
所以BD⊥平面A1ADD1．
以{DA,DB,DD1}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0, 3,0)，A1(1,0,1)，AB=(−2, 3,0)，AA1=(−1,0,1)．
设平面A1ABB1的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅AB=−2x+ 3y=0,n⋅AA1=−x+z=0,
令x=1，得z=1，y=2 3，
所以n=(1,2 3,1)．
又DB=(0, 3,0)是平面A1ADD1的一个法向量．
记平面A1ADD1与平面A1ABB1的夹角为θ，
则csθ=|DB⋅n||DB||n|=2 3× 103= 105，
所以平面A1ADD1与平面A1ABB1的夹角的余弦值为 105．

18.解：(1)因为抛物线E的准线为x=−12，
所以−p2=−12，所以p=1，
所以E的方程为y2=2x．
(2)依题意F(12,0)，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，
由F为△ABC的重心，即x1+x2+x3=32，
由抛物线定义得，|FA|+|FB|+|FC|=(x1+12)+(x2+12)+(x3+12)=3．
(3)显然，直线AB的斜率不为0，
可设直线AB的方程为x=my+n，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由y2=2x,x=my+n,得y2−2my−2n=0，
Δ=4m2+8n>0，所以y1+y2=2m，y1y2=−2n．
因为y2=2x，则y=± 2x，所以y′=±1 2x=1y，所以切线l1的方程为y=1y1(x−x1)+y1=1y1x+y12，同理，切线l2的方程为y=1y2x+y22，
联立两直线方程y=1y1x+y12y=1y2x+y22
解得y=y1y22=−ny=y1+y22=m
即D(−n,m)，
则点D到直线AB的距离为d=|m2+2n| 1+m2，
由|AB|= 1+m2× (y1+y2)2−4y1y2= 1+m2× 4m2+8n=4，
化简得m2+2n=41+m2，
所以S△ABD=12|AB|d=12×4×|m2+2n| 1+m2=8(1+m2) 1+m2≤8，当且仅当m=0时取等号，所以△ABD面积的最大值为8．
19.解：(1)解：因为数列{an}是“指数型数列”，
所以对于任意的n，m∈N∗，都有an+m=an⋅am．
因为a1=2，所以a2=a1⋅a1=2×2=4，
a3=a1⋅a2=2×4=8．
(2)数列1an+1 是指数型数列；
证明：由an=2anan+1+3an+1⇒1an+1=3an+2⇒1an+1+1=31an+1 ，
且1a1+1=3 ，所以数列1an+1 是等比数列，
1an+1=(1a1+1)×3n−1=3⋅3n−1=3n ，
(1an+1)(1am+1)=3n⋅3m=3m+n
1an+m+1=3n+m,
所以数列1an+1 是指数型数列；
(3)因为数列an 是指数型数列，故对于任意的n,m∈N∗ ，
有an+m=an⋅am⇒an+1=an⋅a1⇒an=an−1⋅a1=⋯=a1n=a+2a+3n ，n≥2 ，
a1=a+2a+3 适合该式；
假设数列an 中存在三项au,av,aw 构成等差数列，不妨设u则由2av=au+aw ，得2a+2a+3v=a+2a+3u+a+2a+3w ，
所以2(a+3)w−v(a+2)v−u=(a+3)w−u+(a+2)w−u ，
当a 为偶数时，2(a+3)w−v(a+2)v−u 是偶数，而(a+3)w−u 是奇数，(a+2)w−u 是偶数，
故2(a+3)w−v(a+2)v−u=(a+3)w−u+(a+2)w−u 不能成立；
当a 为奇数时，2(a+3)w−v(a+2)v−u 是偶数，而(a+3)w−u 是偶数，(a+2)w−u 是奇数，
故2(a+3)w−v(a+2)v−u=(a+3)w−u+(a+2)w−u 也不能成立．
所以，对任意a∈N∗,2(a+3)w−v(a+2)v−u=(a+3)w−u+(a+2)w−u 不能成立，
即数列an 的任意三项都不能构成等差数列．
对滑雪的喜爱情况
性别
合计
男性游客
女性游客
喜欢滑雪
60
35
95
不喜欢滑雪
40
65
105
合计
100
100
200
α
0.05
0.01
0.001
xα
3.841
6.635
10.828