2023-2024学年陕西省商洛市高一下学期期末考试数学试题（含答案）

这是一份2023-2024学年陕西省商洛市高一下学期期末考试数学试题（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知向量a=−2,m+1,b=1,3，且a//b，则m=( )
A. −5B. 5C. −7D. 7
2.已知复数z满足z−i=21−i，则z=( )
A. 1+2iB. 1−2iC. −1+2iD. −1−2i
3.已知单位向量a，b满足a+2b=2，则a与b夹角的余弦值为( )
A. 18B. −18C. −14D. 14
4.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b= 2c，sinA= 3sinC，则csB=( )
A. 33B. 66C. 23D. 13
5.已知向量a=−1,2，b=1,1，则b在a上的投影向量的坐标为( )
A. 15,15B. −12,1C. 12,−1D. −15,25
6.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则异面直线AE与BD1所成角的余弦值为( )
A. 55B. 155C. 33D. 105
7.记▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bsinA+ 3acsB=0，b2=3ac，则ba+c=( )
A. 33B. 32C. 24D. 13
8.在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=AB，M是AB的中点，N是棱B1C1上的动点，则直线MN与平面BCC1B1所成角的正切值的最大值为( )
A. 12B. 22C. 32D. 34
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z=1+i,z为z的共轭复数，若z0=zz，下列结论正确的是( )
A. z0在复平面内对应的点位于x轴上B. z0的实部为0
C. z0的虚部为−1D. z0=1
10.Z国进口的天然气主要分为液化天然气和气态天然气两类.2023年Z国天然气进口11997吨，其中液化天然气进口7132吨，气态天然气进口4865吨.2023年Z国天然气及气态天然气进口来源分布及数据如图所示：
下列结论正确的是( )
A. 2023年Z国从B国进口的液化天然气比从A国进口的多
B. 2023年Z国没有从A国进口液化天然气
C. 2023年Z国从C国进口的液化天然气一定比从D国进口的多
D. 2023年Z国从B国进口的液化天然气一定比从D国进口的多
11.在▵ABC中，D是BC的中点，BC=4，AD= 11，下列结论正确的是( )
A. 若AC= 7，则AB= 11B. ▵ABC面积的最大值为2 11
C. BA⋅CA=7D. 若B=2C，则AB=3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.有一组样本数据为1，3，5，7，则它的方差为 ．
13.已知a，b均为实数，2+i1+ai=ib+i，则ab= ．
14.已知某圆台的母线长为3，下底面的半径为1，若球O与该圆台的上、下底面及侧面都相切，则球O的表面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
在平面直角坐标系xOy中，已知点A1,1，B2,3，C5,2，点P满足AP=λAB+μAC．
(1)当λ=1，μ=−1时，求点P的坐标；
(2)若AP⊥BC，求λμ的值．
16.(本小题12分)
已知m∈R，复数z=m2−m−2+m2+3m+2i．
(1)若z为纯虚数，求13zi+3−2i；
(2)若z在复平面内对应的点位于第二象限，求整数m的值．
17.(本小题12分)
在▵ABC中，已知D为AB的中点，AC=2 3，CD=2，∠ADC=60∘．
(1)求▵ABC的面积；
(2)求BC的长．
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，AB=PA=4，E为BC的中点，F为PD的中点．
(1)证明：EF//平面PAB．
(2)求点C到平面DEF的距离．
19.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD，E是PC的中点，点F在棱BP上，且EF⊥BP，四边形ABCD为正方形，PD=CD=2．

(1)证明：BP⊥DF；
(2)求三棱锥F−BDE的体积；
(3)求二面角F−DE−B的余弦值．
参考答案
1.C
2.A
3.C
4.B
5.D
6.B
7.B
8.D
9.BCD
10.ABC
11.BCD
12.5
13.21
14.8π
15.(1)
因为点A1,1，B2,3，C5,2，所以AB=1,2,AC=4,1．
又因为点P满足AP=λAB+μAC，所以AP=λ+4μ,2λ+μ，
当λ=1,μ=−1时，AP=−3,1，又OP=OA+AP，
所以点P的坐标为−2,2；
(2)
由点B2,3，C5,2，可得BC=3,−1，
因为AP=λ+4μ,2λ+μ，且AP⊥BC，
所以AP⋅BC=3λ+4μ−2λ+μ=λ+11μ=0，
所以λμ=−11．

16.(1)
由于复数z=m2−m−2+m2+3m+2i为纯虚数，
所以m2−m−2=0m2+3m+2≠0，解得m=2，此时z=12i，
13zi+3−2i=−1−2i= 1+4= 5
(2)
若z在复平面内对应点位于第二象限，
则m2−m−2<0m2+3m+2>0，解得−1故整数m的值有0,1．

17.(1)
根据题意可知S▵ABC=S▵ADC+S▵DBC，
又因为D为AB的中点，可得S▵ADC=S▵DBC，
AC=2 3，CD=2，∠ADC=60∘，
根据余弦定理AC2=AD2+DC2−2AD⋅DC⋅cs∠ADC，
代入已知条件得2 32=AD2+22−2×2×12AD，
得到AD=4，故AB=8所以可得S△ADC是直角三角形，
所以S▵ADC=2 3可得S▵ABC=4 3
故答案为：4 3
(2)
由第一问可知∠A=30∘，AB=8
根据余弦定理可知BC2=AC2+AB2−2AC⋅AB⋅cs∠A，
代入得BC2=2 32+82−2×8×2 3× 32，
所以可得BC=2 7，
故答案为：2 7

18.(1)
取AP中点M，连接MF,BM，
由F为PD的中点，则FM=12AD,FM//AD，
而E为BC的中点，所以FM=BE,FM//BE，
所以四边形BEFM为平行四边形，则BM//EF，
又BM⊂平面PAB，EF⊄平面PAB，所以EF//平面PAB；
(2)
因为FM//AD，AD⊂平面ABCD，FM⊄平面ABCD，
所以MF//平面ABCD，则F到平面ABCD的距离等于M到平面ABCD的距离，
为12AP=2，所以VF−CDE=13S▵CDE×2=13×12×4×2×2=83，
又DE= 42+22=2 5,EF=BM=2 5,DF=12PD=12 42+42=2 2，
所以S▵DEF=12FD⋅ DE2−FD22=12×2 2×3 2=6，
且VF−CDE=VC−DEF=83，
则点C到平面DEF的距离为83S▵DEF3=86=43．

19.(1)
证明：因为PD⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，所以PD⊥BC．
因为四边形ABCD为正方形，所以DC⊥BC．
因为PD∩DC=D，所以BC⊥平面PCD．
因为DE⊂平面PCD，所以BC⊥DE．
在▵PCD中，PD=CD，E是PC的中点，则DE⊥PC．
因为BC∩PC=C，所以DE⊥平面PBC．
因为PB⊂平面PBC，所以DE⊥PB．
因为EF⊥BP，DE∩EF=E，所以BP⊥平面DEF．
因为DF⊂平面DEF，所以BP⊥DF．
(2)
连接AC交BD于点M，如图所示：

则AC⊥BD，又PD⊥底面ABCD，AC⊂平面ABCD，得AC⊥PD，
而PD∩BD=D，则AC⊥平面PDB，则点C到平面PDB的距离为CM= 2，
因为E是PC的中点，所以VF−BDE=VE−BDF=12VC−BDF
BD=2 2，BP=2 3，DF=BD⋅DPBP=2 63，BF= BD2−DF2=4 33，
所以S▵BDF=12BF⋅DF=4 23，VC−BDF=13×4 23× 2=89，
所以VF−BDE=49．
(3)
解：由(1)可得DE⊥平面PBC，因为EF⊂平面PBC，EB⊂平面PBC，所以DE⊥EF，DE⊥EB．
∠BEF为二面角F−DE−B的平面角．
PE=12PC= 2，BE= CE2+BC2= 6．
因为▵PFE∽▵PCB，所以PEPB=EFBC，解得EF= 63．
因为EF⊥BP，即∠EFB=90∘，所以cs∠BEF=EFBE=13．
故二面角F−DE−B的余弦值为13．