湘教版初中八年级数学上册专项素养综合练(五)寻找(构造)等腰巧解题课件

这是一份湘教版初中八年级数学上册专项素养综合练(五)寻找(构造)等腰巧解题课件，共22页。
专项素养综合全练(五)　寻找(构造)等腰巧解题类型一　“角平分线+平行线”型1.(2024安徽芜湖期中)如图,CD是△ABC的角平分线,DE∥BC,求证:△CDE是等腰三角形.  证明　∵CD是△ABC的角平分线,∴∠BCD=∠ECD,∵BC∥DE,∴∠EDC=∠BCD,∴∠EDC=∠ECD,∴△CDE是等腰三角形.模型解读　“角平分线+平行线”型当一个三角形中出现角平分线和平行线时,我们可以寻找等腰三角形.如图①,若AD平分∠BAC,AD∥EC,则△ACE是等腰三角形;如图②,AD平分∠BAC,DE∥AC,则△ADE是等腰三角形;如图③,AD平分∠BAC,CE∥AB,则△ACE是等腰三角形;如图④,AD平分∠BAC,EF∥AD,则△AGE是等腰三角形.  2.如图,在△ABC中,ED∥BC,∠ABC和∠ACB的平分线分别交DE于点F、G,若FG=2,DE=6,求DB+EC的值.   解析　∵ED∥BC,∴∠DFB=∠FBC,∠EGC=∠GCB,∵∠ABC和∠ACB的平分线分别交DE于点F、G,∴∠DBF=∠FBC,∠ECG=∠GCB,∴∠DFB=∠DBF,∠ECG=∠EGC,∴BD=DF,CE=GE,∵FG=2,DE=6,∴DB+EC=DF+GE=DE-FG=6-2=4.3.如图,在△ABC中,BD平分∠ABC交AC于点D,过点A作AE∥BD交CB的延长线于点E,F为AE的中点,判断BF与BD的位置关系,并证明.解析    BF⊥BD.证明:∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD= ∠ABC,∵AE∥BD,∴∠E=∠DBC,∠EAB=∠ABD,∴∠E=∠EAB,∴AB=BE,又∵F为AE的中点,∴∠ABF=∠EBF= ∠ABE,∴∠DBF=∠ABF+∠ABD= ∠ABE+ ∠ABC= ×180°=90°,∴BF⊥BD.4.(2024湖南岳阳期末)如图,D为△ABC内一点,AD⊥CD,AD平分∠CAB,且∠DCB=∠B.如果AB=10,AC=6,那么CD=　      . 类型二　“角平分线+垂线”型2解析　如图,延长CD交AB于点E,∵CD⊥AD,∴∠ADE=∠ADC=90°,∵AD平分∠CAB,∴∠EAD=∠CAD,∴∠AED=∠ACD,∴AE=AC=6,∴DE=CD,∵AB=10,∴BE=10-6=4,∵∠B=∠BCD,∴CE=BE=4,∴CD= CE=2.模型解读    “角平分线+垂线”型遇上与角平分线垂直时,也能构造出等腰三角形.如图所示,∠1=∠2,DE⊥OE于点E,若延长DE交OB于点F,则有ED=EF= DF,OD=OF,∠ODF=∠OFD等.  5.如图,在△ABC中,BE平分∠ABC,交AC于点E,AD⊥BE,垂足为点D.求证:∠2=∠1+∠C.证明　如图,延长AD交BC于点F,∵AD⊥BE,∴∠ADB=∠BDF=90°,∵BE平分∠ABC,∴∠ABD=∠FBD,∴∠2=∠BFD,又∵∠BFD=∠1+∠C,∴∠2=∠1+∠C.6.如图,在△ABC中,∠ABC=2∠C,AD平分∠BAC,交BC于点D.求证:AC=AB+BD.类型三　“倍角关系”型证明　如图,延长CB至点E,使BE=BA,连接AE.∵BE=BA,∴∠E=∠BAE.∵∠ABC=2∠C,∠ABC=∠E+∠BAE=2∠E,∴∠E=∠C,∴AC=AE.∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠DAC.∵∠EAD=∠BAE+∠BAD=∠E+∠BAD=∠C+∠DAC=∠E-DA,∴AE=ED,又∵ED=EB+BD,EB=AB,AE=AC,∴AC=AB+BD.模型解读    “倍角关系”型当题中条件出现一个角是另一个角的2倍的关系时,可以构造等腰三角形.如图①,若∠ABC=2∠C,作BD平分∠ABC,则△DBC是等腰三角形;如图②,若∠ABC=2∠C,延长CB到点D,使BD=BA,连接AD,则△ADC是等腰三角形;如图③,若∠B=2∠ACB,以C为角的顶点,CA为角的一边,在三角形外作∠ACD=∠ACB,交BA的延长线于点D,则△DBC是等腰三角形.  7.如图,在△ABC中,∠ABC=2∠C,AD⊥BC于点D,AE为BC边上的中线.(1)求证:BE+DE=AB+BD.(2)若BD=2,DE=3,求AB的长.解析　(1)证明:如图,延长DB到点F,使BF=BA,连接AF,∵BF=BA,∴∠F=∠BAF,又∵∠ABC=∠F+∠BAF,∴∠ABC=2∠F,∵∠ABC=2∠C,∴∠F=∠C,∴AF=AC,又∵AD⊥BC于点D,∴FD=CD,即CE+DE=FB+BD,∵AE为BC边上的中线,∴BE=CE.∵BF=BA,BE=CE,CE+DE=FB+BD,∴BE+DE=AB+BD. (2)∵BE+DE=AB+BD,BD=2,DE=3,∴2+3+3=AB+2,∴AB=6.