新人教版高中数学二轮专题专项复习含解析

这是一份新人教版高中数学二轮专题专项复习含解析，文件包含必修第5章三角函数docx、必修第8章立体几何初步docx、选择性必修第1章空间向量与立体几何docx、必修第6章平面向量及其应用docx、必修第4章指数函数与对数函数docx、选择性必修第2章直线和圆的方程docx、选择性必修第4章数列docx、选择性必修第8章成对数据的统计分析docx、选择性必修第7章随机变量及其分布docx、选择性必修第3章圆锥曲线的方程docx、选择性必修第6章计数原理docx、选择性必修第5章一元函数的导数及其应用docx、必修第9章统计docx、必修第10章概率docx、必修第3章函数的概念与性质docx、必修第1章集合与常用逻辑用语docx、必修第7章复数docx、必修第2章一元二次函数docx等18份试卷配套教学资源，其中试卷共1059页， 欢迎下载使用。
立体图形各式各样、千姿百态,如何认识和把握它们呢?本章我们将从对空间几何体的整体观察入手,研究它们的结构特征,学习它们的表示方法,了解它们的表面积和体积的计算方法;借助长方体,从构成立体图形的基本元素一点、直线、平面入手,研究它们的性质以及相互之间的位置关系,特别是对直线、平面的平行与垂直的关系展开研究,从而进一步认识空间几何体的性质.
立体图形是由现实物体抽象而成的.直观感知、操作确认、推理论证、度量计算,是认识立体图形的基本方法.由整体到局部,由局部再到整体,是认识立体图形的有效途径.学习本章内容要注意观察,并善于想象.
8.1基本立体图形
【节引言】在我们周围存在着各种各样的物体,它们都占据着空间一部分.如果只考虑这些物体的形状和大小,而不考虑其因素,那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体(spacegemetry).本节我们主要从几何体的组成元素及其相互关系的角度,认识几种最基本的空间几何体.
【观察】如图8.1-1,这些图片中的物体具有怎样的形状?在日常生活中,我们把这些物体的形状叫做什么?如何描述它们的形状?
纸杯纸箱腰鼓金字塔茶叶盒
水晶萤石奶粉罐篮球和足球储物箱铅锤
图8.1-1
观察一个物体,将它抽象成空间几何体,并描述它的结构特征,应先从整体入手,想象围成物体的每个面的形状、面与面之间的关系,并注意利用平面图形的知识.
在图8.1-1中,可以发现纸箱、金字塔、茶叶盒、水晶萤石、储物箱等物体有相同的特点:围成它们的每个面都是平面图形,并且都是平面多边形;纸杯、腰鼓、奶粉罐、篮球和足球、铅锤等物体也有相同的特点:围成它们的面不全是平面图形,有些面是曲面.
一般地,由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体(plyhedrn)(图8.1-2).围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,如面ABE,面BAF;两个面的公共边叫做多面体的棱,如棱AE,棱EC;棱与棱的公共点叫做多面体的顶点,如顶点E,顶点C.图8.1-1中的纸箱、金字塔、茶叶盒、储物箱等物体都具有多面体的形状.
【贴示】在空间几何体中说某个面是多边形,一般也包括这个多边形内部的平面部分.
图8.1-2图8.1-3
一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面,封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体(rtatingslid).这条定直线叫做旋转体的轴.图8.1-3中的旋转体就是由平面曲线OAA'O'绕轴OO'旋转形成的.图8.1-1中的纸杯、奶粉罐、篮球和足球、铅锤等物体都具有旋转体的形状.
下面,我们从多面体和旋转体组成元素的形状、位置关系入手,进一步认识一些特殊的多面体和旋转体.
1.棱柱
【观察】
观察图8.1-4中的长方体,它的每个面是什么样的多边形?不同的面之间有什么位置关系?
图8.1-4
可以发现,长方体的每个面都是平行四边形(矩形),并且相对的两个面,如面ABCD和面A'B'C'D',给我们以平行的形象,如同教室的地面和天花板一样.
如图8.1-5,一般地,有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱(prism).图8.1-1中的茶叶盒所表示的多面体就是棱柱.在棱柱中,两个互相平行的面叫做棱柱的底面,它们是全等的多边形;其余各面叫做棱柱的侧面,它们都是平行四边形;相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱;侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.
图8.1-5
棱柱用表示底面各顶点的字母来表示,如图8.1-5中的棱柱记作棱柱ABCDEFA'B'C'D'E'F'.棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形⋯⋯,我们把这样的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱⋯⋯
在图8.1-4中的长方体中,侧棱和底面给我们以垂直的形象,如同教室里相邻墙面的交线和地面的关系一样.一般地,我们把侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱(图8.1-6(1)(3)),侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱(图8.1-6(2)(4)).底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱(图8.1-6(3)).底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体(图8.1-6(4)).
(2)(3)(4)
图8.1-6
2.棱锥
像图8.1-1中金字塔这样的多面体,均由平面图形围成,其中一个面是多边形,其余各面都是三角形,并且这些三角形有一个公共顶点.
如图8.1-7,一般地,有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥(pyramid).这个多边形面叫做棱锥的底面;有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面;相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱;各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点.
图8.1-7
棱锥用表示顶点和底面各顶点的字母来表示,如图8.1-7中的棱锥记作棱锥S−ABCD.棱锥的底面可以是三角形、四边形、五边形⋯⋯,我们把这样的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥⋯⋯,其中三棱锥又叫四面体.底面是正多边形,并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥.
3.棱台
如图8.1-8,用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,我们把底面和截面之间那部分多面体叫做棱台(frustumfapyramid).图8.1-1中的储物箱就给我们以棱台的形象.在棱台中,原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面.类似于棱柱、棱锥,棱台也有侧面、侧棱、顶点.
【思考】请你仿照棱锥中侧面、侧棱、顶点的定义，给出棱台侧面、侧棱、顶点的定义，并在图8.1-8中标出它们.
图8.1-8
棱台用表示底面各顶点的字母来表示,如图8.1-8中的棱台记作棱台ABCD−A'B'C'D'.由三棱锥、四棱锥、五棱锥⋯⋯.截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台⋯⋯
例1将下列各类几何体之间的关系用Venn图表示出来:多面体,长方体,棱柱,棱锥,棱台,直棱柱,四面体,平行六面体.
解:如图8.1-9所示.
图8.1-9
【练习】
1.观察图中的物体,说出它们的主要结构特征.
(2)(3)(4)
(第1题)
2.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)长方体是四棱柱,直四棱柱是长方体.()
(2)四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体.()
3.填空题
(1)一个几何体由7个面围成,其中两个面是互相平行且全等的五边形,其他各面都是全等的矩形,则这个几何体是__________.
(2)一个多面体最少有__________个面,此时这个多面体是__________.
4.设计一个平面图形,使它能折成一个直三棱柱.
4.圆柱
如图8.1-10,以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱(circularcylinder).旋转轴叫做圆柱的轴;垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面;平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面;无论旋转到什么位置,平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线.
图8.1-10
在生活中,许多物体和容器都是圆柱形的,如图8.1-1中的奶粉罐.圆柱用表示它的轴的字母表示,如图8.1-10中的圆柱记作圆柱O'O.
5.圆锥
与圆柱一样,圆锥也可以看作是由平面图形旋转而成的.如图8.1-11,以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥(circularcne).图8.1-1中的铅锤就是圆锥形物体.圆锥也有轴、底面、侧面和母线.
图8.1-11
圆锥也用表示它的轴的字母表示,如图8.1-11中的圆锥记作圆锥SO.
【边空思考】请你仿照圆柱中轴、底面、侧面、母线的定义,给出圆锥的轴、底面、侧面、母线的定义,并在图8.1-11中标出它们.
6.圆台
如图8.1-12,与棱台类似,用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分叫做圆台(frustumfacne).图8.1-1中的纸杯就是具有圆台结构特征的物体.
图8.1-12
与圆柱和圆锥一样,圆台也有轴、底面、侧面、母线(请你在图8.1-12中标出它们).圆台也用表示它的轴的字母表示,如图8.1-12中的圆台记作圆台O'O.
【探究】
圆柱可以由矩形旋转得到,圆锥可以由直角三角形旋转得到.圆台是否也可以由平面图形旋转得到?如果可以,由什么平面图形旋转得到?如何旋转?
7.球
如图8.1-13,半圆以它的直径所在直线为旋转轴,旋转一周形成的曲面叫做球面,球面所围成的旋转体叫做球体(slidsphere),简称球.半圆的圆心叫做球的球心;连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径;连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径.球常用表示球心的字母来表示,如图8.1-13中的球记作球O.
图8.1-13
棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台和球是常见的简单几何体.其中棱柱与圆柱统称为柱体,棱锥与圆锥统称为锥体,棱台与圆台统称为台体.
【探究】
棱柱、棱锥与棱台都是多面体,它们在结构上有哪些相同点和不同点?当底面发生变化时,它们能否互相转化?圆柱、圆锥与圆台呢?
8.简单组合体
现实世界中的物体表示的几何体,除柱体、锥体、台体和球等简单几何体外,还有大量的几何体是由简单几何体组合而成的,这些几何体称作简单组合体.
(2)(3)(4)
图8.1-14
简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成,如图8.1-14(1)(2)中物体表示的几何体;一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成,如图8.1-14(3)(4)中的几何体.现实世界中的物体大多是由具有柱体、锥体、台体、球等结构特征的物体组合而成.
【边空思考】请你说一说图8.1-14中各几何体是由哪些简单几何体组合而成的.
例2如图8.1-15(1),以直角梯形ABCD的下底AB所在直线为轴,其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体.说出这个几何体的结构特征.
解:几何体如图8.1-15(2)所示,其中DE⊥AB,垂足为E.
(2)
图8.1-15
这个几何体是由圆柱BE和圆锥AE组合而成的.其中圆柱BE的底面分别是⊙B和⊙E,侧面是由梯形的上底CD绕轴AB旋转形成的;圆锥AE的底面是⊙E,侧面是由梯形的边AD绕轴AB旋转而成的.
【练习】
1.观察图中的物体,说出它们的主要结构特征.
(2)(3)(4)
(第1题)
2.说出图中物体的主要结构特征.
(2)
(第2题)(第3题)
3.如图,以三角形ABC的一边AB所在直线为轴,其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体.说出这个几何体的结构特征.
4.观察我们周围的物体,说出这些物体所表示的几何体的主要结构特征.
习题8.1
【复习巩固】
如图,在长方体ABCD−A1B1C1D1中,指出经过顶点D的棱和面.
(第1题)
2.如图,下列几何体中为棱柱的是(填写序号).
(2)(3)
(4)(5)(6)(7)
(第2题)
3.如图,汽车内胎可以由下面某个图形绕轴旋转而成,这个图形是().
(B)(C)(D)
(第3题)
4.如图,判断下列几何体是不是台体,并说明为什么.
(2)(3)
(第4题)
5.如图,说出图中两个几何体的结构特征.
(2)
(第5题)
【综合运用】
6.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)一个棱柱至少有5个面.
(2)平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形.
(3)有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥.
(4)正棱锥的侧面是全等的等腰三角形.
7.如图,右边长方体中由左边的平面图形围成的是().
(C)
(B)
(第7题)
8.如图,长方体ABCD−A'B'C'D'被一个平面截成两个几何体,其中EH//B'C'//FG.请说出这两个几何体的名称.
(第8题)(第9题)
9.如图,以◻ABCD的一边AB所在直线为轴,其他三边旋转一周形成的面围成一个几何体.画出这个几何体的图形,并说出其中的简单几何体及有关的结构特征.
【拓展探索】
10.下列命题是否正确?若正确,请说明理由;若错误,请举出反例.
(1)有两个面平行,其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱;
(2)有两个面平行且相似,其他各个面都是梯形的多面体是棱台.
8.2立体图形的直观图
【节引言】前面我们认识了柱体、锥体、台体、球以及简单组合体的结构特征.为了将这些空间几何体画在纸上,用平面图形表示出来,使我们能够根据平面图形想象空间几何体的形状和结构,这就需要学习直观图的有关知识.
直观图是观察者站在某一点观察一个空问几何体获得的图形.画立体图形的直观图,实际上是把不完全在同一平面内的点的集合,用同一平面内的点表示.因此,直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同.在立体几何中,立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形.
要画立体图形的直观图,首先要学会画水平放置的平面图形.
【观察】
如图8.2-1,矩形窗户在阳光照射下留在地面上的影子是什么形状?眺望远处成块的农田,矩形的农田在我们眼里又是什么形状?
图8.2-1
在初中,我们已经学习过投影.一个物体的投影,不仅与这个物体的形状有关,而且还与投影的方式和物体与投影面的位置关系有关.如果一个矩形垂直于投影面,投影线不垂直于投影面,则矩形的平行投影是一个平行四边形(图8.2-2).
图8.2-2
利用平行投影,人们获得了画直观图的斜二测画法.利用这种画法画水平放置的平面图形的直观图,其步骤是:
(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O.画直观图时,把它们画成对应的x'轴与y'轴,两轴相交于点O',且使∠x'O'y'=45∘(或135∘),它们确定的平面表示水平面.
(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴的线段.
(3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段,在直观图中长度为原来的一半.
对于平面多边形,我们常用斜二测画法画它们的直观图.如图8.2-3,◻A'B'C'D'就是利用斜二测画法画出的水平放置的正方形ABCD的直观图.其中横向线段A'B'=AB,C'D'=CD;纵向线段A'D'=12AD,B'C'=12BC;∠D'A'B'=45∘.这与我们的直观观察是一致的.
图8.2-3
例1用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图.
画法:(1)如图8.2-4(1),在正六边形ABCDEF中,取AD所在直线为x轴,AD的垂直平分线MN为y轴,两轴相交于点O.在图8.2-4(2)中,画相应的x'轴与y'轴,两轴相交于点O',使∠x'O'y'=45∘.
(2)(3)
图8.2-4
(2)在图8.2-4(2)中,以O'为中点,在x'轴上取A'D'=AD,在y'轴上取M'N'=12MN.以点N'为中点,画B'C'平行于x'轴,并且等于BC;再以M'为中点,画F'E'平行于x'轴,并且等于FE.
(3)连接A'B',C'D',D'E',F'A',并擦去辅助线x'轴和y'轴,便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A'B'C'D'E'F'(图8.2-4(3)).
【边空思考】在利用斜二测画法画直观图的过程中,x轴和y轴起到了什么作用?
画直观图时,除多边形外,还经常会遇到画圆的直观图的问题.生活的经验告诉我们,水平放置的圆看起来非常像椭圆,因此我们一般用椭圆作为圆的直观图.实际画图时常用如图8.2-5所示的椭圆模板.
图8.2-5
【贴示】在立体几何中,常用正等测画法画水平放置的圆.
【练习】
1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时,下列结论是否正确?正确的在括号内画“√”,错误的画“×".
(1)相等的线段在直观图中仍然相等.()
(2)平行的线段在直观图中仍然平行.()
(3)一个角的直观图仍是一个角.()
(4)相等的角在直观图中仍然相等.()
2.用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图(尺寸自定).
(1)矩形;(2)平行四边形;
(3)正三角形;(4)正五边形.
画几何体的直观图时,与画平面图形的直观图相比,只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴,并且使平行于z轴的线段的平行性和长度都不变.下面介绍几种简单几何体的直观图的画法.
例2已知长方体的长、宽、高分别是3cm,2cm,1.5cm,用斜二测画法画出它的直观图.
分析:画棱柱的直观图,通常将其底面水平放置.利用斜二测画法画出底面,再画出侧棱,就可以得到棱柱的直观图.长方体是一种特殊的棱柱,为画图简便,可取经过长方体的一个顶点的三条棱所在直线作为x轴、y轴、z轴.
画法:(1)画轴.如图8.2-6,画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O(A),使∠xOy=45∘,∠xOz=90∘.
(2)画底面.在x轴正半轴上取线段AB,使AB=3cm;在y轴正半轴上取线段AD,使AD=1cm.过点B作y轴的平行线,过点D作x轴的平行线,设它们的交点为C,则◻ABCD就是长方体的底面ABCD的直观图.
图8.2-6
(3)画侧棱.在z轴正半轴上取线段AA',使AA'=1.5cm,过B,C,D各点分别作z轴的平行线,在这些平行线上分别截取1.5cm长的线段BB',CC',DD'.
(4)成图.顺次连接A',B',C',D',并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),就得到长方体的直观图了.
【贴示】画几何体的直观图时,如果不作严格要求,图形尺寸可以适当选取.用斜二测画法画图的角度也可以自定,但要求图形具有一定的立体感.
例3已知圆柱的底面半径为1cm,侧面母线长3cm,画出它的直观图.
解:(1)画轴.如图8.2-7,画x轴、z轴,使∠xOz=90∘.
图8.2-7
(2)画下底面.以O为中点,在x轴上取线段AB,使OA=OB=1cm.利用椭圆模板画椭圆,使其经过A,B两点.这个椭圆就是圆柱的下底面.
(3)画上底面.在Oz上截取点O',使OO'=3cm,过点O'作平行于轴Ox的轴O'x'.类似下底面的作法作出圆柱的上底面.
(4)成图.连接AA',BB',整理得到圆柱的直观图.
对于圆锥的直观图,一般先画圆锥的底面,再借助于圆锥的轴确定圆锥的顶点,最后画出两侧的两条母线(图8.2-8).
图8.2-8图8.2-9
画球的直观图,一般需要画出球的轮廓线,它是一个圆.同时还经常画出经过球心的截面圆,它们的直观图是椭圆,用以衬托球的立体性(图8.2-9).
例4某简单组合体由上下两部分组成,下部是一个圆柱,上部是一个圆锥,圆锥的底面与圆柱的上底面重合.画出这个组合体的直观图.
分析:画组合体的直观图,先要分析它的结构特征,知道其中有哪些简单几何体以及它们的组合方式,然后再画直观图.本题中没有尺寸要求,画图时只需选择合适的大小,表达出该几何体的结构特征就可以了.
画法:如图8.2-10,先画出圆柱的上下底面,再在圆柱和圆锥共同的轴线上确定圆锥的顶点,最后画出圆柱和圆锥的母线,并标注相关字母,就得到组合体的直观图.
图8.2-10
【练习】
1.用斜二测画法画一个棱长为3cm的正方体的直观图.
2.用斜二测画法画一个正六棱柱的直观图.
3.一个简单组合体由上下两部分组成,下部是一个圆柱,上部是一个半球,并且半球的球心就是圆柱的上底面圆心.画出这个组合体的直观图.
习题8.2
【复习巩固】
1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时,下列结论是否正确?正确的在括号内画“√”,错误的画“×"".
(1)三角形的直观图是三角形.()
(2)平行四边形的直观图是平行四边形.()
(3)正方形的直观图是正方形.()
(4)菱形的直观图是菱形.()
2.用斜二测画法画出下列水平放置的等腰直角三角形的直观图:
(1)直角边横向;
(2)斜边横向.
3.用斜二测画法画出底面边长为2cm,侧棱长为3cm的正三棱柱的直观图.
4.画底面半径为1cm,母线长为3cm的圆柱的直观图.
【综合运用】
5.一个菱形的边长为4cm,一内角为60∘,将菱形水平放置并且使较长的对角线成横向,试用斜二测画法画出这个菱形的直观图.
6.已知一个圆锥由等腰直角三角形旋转形成,画出这个圆锥的直观图.
7.一个几何体的三视图如图所示,画出这个几何体的直观图.
正视图侧视图
俯视图
【拓广探究】
8.画出你所在学校的一些建筑物的直观图(尺寸自定).
(第7题)
【阅读与思考】
画法几何与蒙日
画法几何就是在平面上绘制空间图形,并在平面图上表达出空间原物体各部分的大小、位置以及相互关系的一门学科.它在绘画、建筑等方面有着广泛的应用.
画法几何起源于欧洲文艺复兴时期的绘画和建筑技术.意大利艺术家莱奥纳多·达·芬奇(LenarddaVinci,1452-1519)在他的绘画作品中已经广泛地运用了透视理论,主要是中心投影.法国数学家德萨格(GérardDesargues,1593-1662)在他的“透视法”中给出了空间几何体透视像的画法,以及如何从平面图中正确地计算出几何体的尺寸大小的方法,主要是运用正投影.后来法国数学家蒙日经讨深入研究,在1799年出版了《画法几何学》一书.在该书中,蒙日第一次详细阐述了怎样把空间(三维)物体投影到两个互相垂直的平面上,并根据投影原理(这种原理后来发展成射影几何学)推断出该空间物体的几何性质.蒙日的《画法几何学》不论是在概念上,还是在方法上都有深远的影响.这种方法对于建筑学、军事学、机械制图等方面都有极大的实用价值,从此画法几何就成为一门独立的几何分支学科.蒙日成为画法几何的创始人.
蒙日生长在法国大革命时代,他出生于法国东部博衲的一个小商人家庭.16岁时,因为熟练地以比例尺绘出家乡的地图,他被梅济耶尔军事学院聘为绘图员.1768年,蒙日开始在梅济耶尔军事学院教授物理和数学,那时他只有22岁.1780年,他被选为巴黎科学院通讯院士.1783年,他迁居巴黎后,积极投身巴黎的公共事务,曾任度量衡委员会的委员、海军与殖民部长,并参与创办了巴黎综合工科学校和法兰西国家研究院.为了从数据中求出要塞中炮兵阵地的位置,蒙日用几何方法避开了麻烦的计算.他用二维平面上的适当投影来表达三维物体的聪明方法,在实际中有着广泛的应用,并导致画法几何的产生.法国大革命前后,由于军事建筑上的迫切需要,蒙日的画法几何方法被列为军事秘密,所以很久末能公之于世.直到当时的军事约束解除后,蒙日才公布了他的研究成果,这已是他建立画法几何之后30年的事了.
8.3简单几何体的表面积与体积
【节引言】前面我们分别认识了基本立体图形的结构特征和平面表示,本节进一步认识简单几何体的表面积和体积.表面积是几何体表面的面积,它表示几何体表面的大小,体积是几何体所占空间的大小.
8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
1.棱柱、棱锥、棱台的表面积
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和.
例1如图8.3-1,四面体P−ABC的各棱长均为a,求它的表面积.
分析:因为四面体P−ABC的四个面是全等的等边三角形,所以四面体的表面积等于其中任何一个面的面积的4倍.
解:因为△PBC是正三角形,其边长为a,所以S△PBC=34a2.
图8.3-1
因此,四面体P−ABC的表面积
SPABC=4×34a2=3a2.
2.棱柱、棱锥、棱台的体积
我们以前已经学习了特殊的棱柱一一正方体、长方体的体积公式,它们分别是
V正方体=a3(a是正方体的棱长),
V长方体=abc(a,b,c分别是长方体的长、宽、高).
一般地,如果棱柱的底面积是S,高是ℎ,那么这个棱柱的体积
V棱柱=Sℎ.
【贴示】棱柱的高是指两底面之间的距离,即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线,这点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离.
如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等,高也相等,那么,棱柱的体积是棱锥的体积的3倍.因此,一般地,如果棱锥的底面面积为S,高为ℎ,那么该棱锥的体积
V棱锥=13Sℎ.
【贴示】棱锥的高是指从顶点向底面作垂线,顶点与垂足之间的距离.
由于棱台是由棱锥截成的,因此可以利用两个棱锥的体积差,得到棱台的体积公式
V棱台=13ℎS'+S'S+S，
其中S',S分别为棱台的上、下底面面积,ℎ为棱台的高.
【贴示】棱台的高是指两底面之间的距离,即从上底面上任意一点向下底面作垂线,这点与垂足之间的距离.
【思考】
观察棱柱、棱锥、棱台的体积公式
V椶柱=Sℎ,V棱锥=13Sℎ,V棱台=13ℎS'+S'S+S,
它们之间有什么关系?你能用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗?
例2如图8.3-2,一个漏斗的上面部分是一个长方体,下面部分是一个四棱锥,两部分的高都是0.5m,公共面ABCD是边长为1m的正方形,那么这个漏斗的容积是多少立方米(精确到0.01m3)?(计算漏斗的容积时不考虑漏斗的厚度)
图8.3-2
分析：漏斗由两个多面体组成,其容积就是两个多面体的体积和.
解：由题意知
V长方体ABCD−A'B'C'D'=1×1×0.5=0.5m3,V棱锥P−ABCD=13×1×1×0.5=16m3.
所以这个漏斗的容积
V=12+16=23≈0.67m3.
【练习】
1.正六棱台的上、下底面边长分别是2cm和6cm,侧棱长是5cm,求它的表面积.
2.如图是一个表面被涂上红色的棱长是4cm的立方体,将其适当分割成棱长为1cm的小立方体.
(1)共得到多少个棱长是1cm的小立方体?
(2)三面是红色的小立方体有多少个?它们的表面积之和是多少?
(3)两面是红色的小立方体有多少个?它们的表面积之和是多少?
(4)一面是红色的小立方体有多少个?它们的表面积之和是多少?
(5)六个面均没有颜色的小立方体有多少个?它们的表面积之和是多少?它们占有多少立方厘米的空间?
(第2题)(第3题)
3.某广场设置了一些石凳供大家休息,这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的.如果被截正方体的棱长是50cm,那么石凳的体积是多少?
4.求证:直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积.
8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
1.圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
与多面体的表面积一样,圆柱、圆锥、圆台的表面积也是围成它的各个面的面积和.利用圆柱、圆锥、圆台的展开图(图8.3-3),可以得到它们的表面积公式:
S圆柱=2πr(r+l)(r是底面半径,l是母线长),S圆锥=πr(r+l)(r是底面半径,l是母线长),S圆台=πr'2+r2+r'l+rlr',r分别是上、下底面半径,l是母线长.
图8.3-3
【思考】
圆柱、圆锥、圆台的表面积公式之间有什么关系?你能用圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗?
我们以前学习过圆柱、圆锥的体积公式,即
V圆柱=πr2ℎ(r是底面半径,ℎ是高),V圆锥=13πr2ℎ(r是底面半径,ℎ是高).
由于圆台是由圆锥截成的,因此可以利用圆锥的体积公式推导出圆台的体积公式
V圓台=13πℎr'2+r'r+r2r',r分别是上、下底面半径,ℎ是高).
【思考】
圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间有什么关系?结合棱柱、棱锥、棱台的体积公式,你能将它们统一成柱体、锥体、台体的体积公式吗?柱体、锥体、台体的体积公式之间又有怎样的关系?
【归纳】
V柱体=Sℎ(S为底面积,ℎ为柱体高);
V锥体=13Sℎ(S为底面积,ℎ为锥体高)；
V台体=13S'+S'S+Sℎ(S',S分别为上、下底面面积,ℎ为台体高).
当S'=S时,台体变为柱体,台体的体积公式也就是柱体的体积公式;当S'=0时,台体变为锥体,台体的体积公式也就是锥体的体积公式.
2.球的表面积和体积
设球的半径为R,它的表面积只与半径R有关,是以R为自变量的函数.
事实上,如果球的半径为R,那么它的表面积是
S球=4πR2.
例3如图8.3-4,某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成,半球的直径是0.3m,圆柱高0.6m.如果在浮标表面涂一层防水漆,每平方米需要0.5kg涂料,那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料?(π取3.14)
解:一个浮标的表面积为
2π×0.15×0.6+4π×0.152=0.8478m2,
所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料
0.8478×0.5×1000=423.9(kg).
图8.3-4
【思考】
在小学,我们学习了圆的面积公式,你还记得是如何求得的吗?类比这种方法,你能由球的表面积公式推导出球的体积公式吗?
类比利用圆周长求圆面积的方法,我们可以利用球的表面积求球的体积.如图8.3-5,把球O的表面分成n个小网格,连接球心O和每个小网格的顶点,整个球体就被分割成n个“小锥体".
图8.3-5
当n越大,每个小网格越小时,每个“小锥体”的底面就越平,“小锥体”就越近似于棱锥,其高越近似于球半径R.设O−ABCD是其中一个“小锥体”,它的体积是
VO−ABCD≈13SABCDR.
由于球的体积就是这n个“小锥体”的体积之和,而这n个“小锥体”的底面积之和就是球的表面积.因此,球的体积
V球=13S球R=13×4πR2⋅R=43πR3.
由此,我们得到球的体积公式
V球=43πR3.
例4如图8.3-6,圆柱的底面直径和高都等于球的直径,求球与圆柱的体积之比.
解：设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,高为2R.
∵V球=43πR3,V圆柱=πR2⋅2R=2πR3,
∴V球:V圆柱=43πR3:2πR3=23.
图8.3-6
【节小结】
本节我们学习了柱体、锥体、台体、球的表面积与体积的计算方法.在生产、生活中遇到的物体,往往形状比较复杂,但很多物体都可以看作是由这些简单几何体组合而成的,它们的表面积与体积可以利用这些简单几何体的表面积与体积来计算.
【练习】
1.已知圆锥的表面积为am2,且它的侧面展开图是一个半圆,求这个圆锥的底面直径.
2.当一个球的半径满足什么条件时,其体积和表面积的数值相等?
3.将一个棱长为6cm的正方体铁块磨制成一个球体零件,求可能制作的最大零件的体积.
4.一个长、宽、高分别是80cm,60cm,55cm的水槽中装有200000cm3的水,现放入一个直径为50cm的木球.如果木球的三分之二在水中,三分之一在水上,那么水是否会从水槽中溢出?
习题8.3
【复习巩固】
1.如图,八面体的每一个面都是正三角形,并且4个顶点A,B,C,D在同一个平面内.如果四边形ABCD是边长为30cm的正方形,那么这个八面体的表面积是多少?
(第1题)(第2题)
2.如图,将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥,求棱锥的体积与剩下的几何体体积的比.
3.如图,一个三棱柱形容器中盛有水,侧棱AA1=8.若侧面AA1B1B水平放置时,水面恰好过AC,BC,A1C1,B1C1的中点.那么当底面ABC水平放置时,水面高为多少?
(第3题)(第4题)
4.如图,圆锥PO的底面直径和高均是a,过PO的中点O'作平行于底面的截面,以该截面为底面挖去一个圆柱,求剩下几何体的表面积和体积.
5.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是acm,求球的体积.
【综合运用】
6.如图是一个烟筒的直观图(图中数据的单位为厘米),它的下部是一个正四棱台形物体,上部是一个正四棱柱形物体(底面与四棱台形物体的上底面重合).为防止雨水的侵蚀,同时使烟筒更美观,现要在烟筒外部粘贴瓷砖,请你计算需要多少平方厘米的瓷砖?(结果精确到1cm2,可用计算工具)
(第6题)(第7题)
7.有一堆规格相同的铁制(铁的密度是7.9×103kg/m3)六角螺母共重5.8kg.如图,每一个螺母的底面是正六边形,边长为12mm,内孔直径为10mm,高为10mm,这堆螺母大约有多少个?(可用计算工具,π取3.14)
8.分别以一个直角三角形的斜边、两条直角边所在直线为轴,其余各边旋转一周形成的曲面围成3个几何体.这3个几何体的体积之间有什么关系?
【拓广探索】
9.如下页图是一个奖杯的三视图,试根据奖杯的三视图计算它的表面积和体积.(可用计算工具,尺寸如图,单位:cm,π取3.14,结果取整数.)
(第9题)
【探究与发现】
祖暅原理与柱体、锥体的体积
一、祖暅原理
祖暅(gèng)(5世纪一6世纪)，字景烁,祖冲之之子，范阳郡遒县(今河北省涞水县)人,南北朝时期的伟大科学家.祖暅在数学上做出了突出贡献,他在实践的基础上,于5世纪末提出了下面的体积计算原理：“幂势既同,则积不容异”.这就是“祖暅原理”.“势”即是高,“幂”是面积,祖暅原理用现代语言可以描述为:
夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.
如图1,夹在平行平面间的两个几何体(它们的形状可以不同),被平行于这两个平面的任何一个平面所截,如果截面(阴影部分)的面积都相等,那么这两个几何体的体积一定相等.
图1图2
这个原理是非常浅显易懂的.例如，取一摞纸堆放在桌面上组成一个几何体(图2),使它倾斜一个角度,这时几何体的形状发生了改变,得到了另一个几何体,但两个几何体的高度没有改变,每页纸的面积也没有改变,因而两个几何体的体积相等.利用这个原理和长方体体积公式,我们能够求出柱体、锥体、台体和球体的体积.
祖暅给出上面的原理,要比其他国家的数学家早一千多年.在欧洲直到17世纪,意大利数学家卡瓦列里(BnaventuraCavalieri,1598-1647)才给出上述结论.
二、柱体、锥体的体积
下面我们用祖暅原理推导柱体和锥体的体积公式.
设有底面积都等于S,高都等于ℎ的任意一个棱柱、一个圆柱和一个长方体,使它们的下底面在同一平面内(图3).根据祖暅原理,可知它们的体积相等.由于长方体的体积等于它的底面积乘高,于是我们得到柱体的体积公式
V柱体=Sℎ.其中S是柱体的底面积,ℎ是柱体的高.
图3
设有底面积都等于S,高都等于ℎ的两个锥体(例如一个棱锥和一个圆锥),使它们的底面在同一平面内(图4).根据祖暅原理,可推导出它们的体积相等.这就是说,等底面积等高的两个锥体的体积相等.
图4图5
如图5,设三棱柱ABC−A'B'C'的底面积(即△ABC的面积)为S,高(即点A'到平面ABC的距离)为ℎ,则它的体积为Sℎ.沿平面A'BC和平面A'B'C,将这个三棱柱分割为3个三棱锥.其中三棱锥1,2的底面积相等(S△A'AB=S△A'B'B),高也相等(点C到平面ABB'A'的距离),三棱锥2,3也有相等的底面积S△B'BC=S△B'C'C和相等的高(点A'到平面BCC'B'的距离).因此,这3个三棱锥的体积相等,每个三棱锥的体积是13Sℎ.
如果三棱锥A'−ABC(即三棱锥1)以△ABC为底,那么它的底面积是S,高是ℎ,而它的体积是13Sℎ.这说明三棱锥的体积等于它的底面积乘高的积的三分之一.
事实上,对于一个任意的锥体,设它的底面积为S,高为ℎ,那么它的体积应等于一个底面积为S,高为ℎ的三棱锥的体积,即这个锥体的体积为
V锥体=13Sℎ.
这就是锥体的体积公式.
柱体和锥体是两种基本几何体,它们的体积公式有着广泛的应用.
8.4空间点、直线、平面之间的位置关系
【节引言】前面我们初步认识了简单几何体的组成元素,知道了顶点、棱(直线段)、平面多边形是构成棱柱、棱锥等多面体的基本元素.我们以直观感知的方式认识了这些基本元素之间的相互关系,从而得到了多面体的一些结构特征.为了进一步认识立体图形的结构特征,需要对点、直线、平面之间的位置关系进行研究.本节我们先研究平面及其基本性质,在此基础上,研究空间点、直线、平面之间的位置关系.
平面
在初中,我们已经对点和直线有了一定的认识,知道它们都是由现实事物抽象得到的.生活中也有一些物体给我们以平面的直观感觉,如课桌面、黑板面、平静的水面等.几何里所说的“平面(plane)”就是从这样的一些物体中抽象出来的.类似于直线向两端无限延伸,平面是向四周无限延展的.
与画出直线的一部分来表示直线一样,我们也可以画出平面的一部分来表示平面.我们常用矩形的直观图,即平行四边形表示平面.如图8.4-1,当平面水平放置时,常把平行四边形的一边画成横向;当平面竖直放置时,常把平行四边形的一边画成竖向.
图8.4-1
我们常用希腊字母α,β,γ等表示平面,如平面α、平面β、平面γ等,并将它写在代表平面的平行四边形的一个角内;也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点,或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称.如图8.4-1中的平面α,也可以表示为平面ABCD、平面AC或者平面BD.
下面,我们来研究平面的基本性质.
【思考】
我们知道,两点可以确定一条直线,那么几点可以确定一个平面?
图8.4-2
在日常生活中,我们常常可以看到这样的现象:自行车用一个脚架和两个车轮着地就可以“站稳”,三脚架的三脚着地就可以支撑照相机(图8.4-2).由这些事实和类似经验,可以得到下面的基本事实:
基本事实1过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面(图8.4-3).
图8.4-3
基本事实1给出了确定一个平面的依据.它也可以简单说成“不共线的三点确定一个平面”.不在一条直线上的三个点A,B,C所确定的平面,可以记成平面ABC.
直线上有无数个点,平面内有无数个点,直线、平面都可以看成是点的集合.点A在直线l上,记作A∈l;点B在直线l外,记作B∉l;点A在平面α内,记作A∈α;点P在平面α外,记作P∉α.
【思考】
如果直线l与平面α有一个公共点P,直线l是否在平面α内?如果直线l与平面α有两个公共点呢?
在实际生活中,我们有这样的经验:如果一根直尺边缘上的任意两点在桌面上,那么直尺的整个边缘就落在了桌面上.上述经验和类似的事实可以归纳为以下基本事实:
基本事实2如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内(图8.4-4).
图8.4-4
利用基本事实2,可以判断直线是否在平面内.
平面内有无数条直线,平面可以看成是直线的集合.如果直线l上所有点都在平面α内,就说直线l在平面α内,记作l⊂α;否则,就说直线l不在平面α内,记作l⊄α.
基本事实2也可以用符号表示为
A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α⇒l⊂α.
基本事实2表明,可以用直线的“直”刻画平面的“平”,用直线的“无限延伸”刻画平面的“无限延展”.如图8.4-5,由基本事实1,给定不共线三点A,B,C,它们可以确定一个平面ABC;连接AB,BC,CA,由基本事实2,这三条直线都在平面ABC内,进而连接这三条直线上任意两点所得直线也都在平面ABC内,所有这些直线可以编织成一个“直线网”,这个“直线网”可以铺满平面ABC.组成这个“直线网”的直线的“直”和向各个方向无限延伸,说明了平面的“平”和“无限延展”.
图8.4-5
【贴示】利用信息技术工具,可以方便地作出这个图形,观察“直线网”的形成和编织成平面的过程,想象直线和平面的关系.
【思考】
如图8.4-6,把三角尺的一个角立在课桌面上,三角尺所在平面与课桌面所在平面是否只相交于一点B?为什么?
图8.4-6
想象三角尺所在的无限延展的平面,用它去“穿透”课桌面.可以想象,两个平面相交于一条直线.教室里相邻的墙面在地面的墙角处有一个公共点,这两个墙面相交于过这个点的一条直线.由此我们又得到一个基本事实:
基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线(图8.4-7).
图8.4-7
【贴示】如无特殊说明,本章中的两个平面均指两个不重合的平面.
基本事实3告诉我们,如果两个平面有一个公共点,那么这两个平面一定相交于过这个公共点的一条直线.两个平面相交成一条直线的事实,使我们进一步认识了平面的“平”和“无限延展”.平面α与β相交于直线l,记作α∩β=l.基本事实3可以用符号表示为
P∈α,且P∈β⇒α∩β=l,且P∈l.
在画两个相交平面时,如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住,通常把被挡住的部分画成虚线或不画,这样可使画出的图形立体感更强一些(图8.4-8).
图8.4-8
上述三个关于平面的基本事实是人们经过长期观察与实践总结出来的,是几何推理的基本依据,也是我们进一步研究立体图形的基础.
利用基本事实1和基本事实2,再结合“两点确定一条直线”,可以得到下面三个推论(图8.4-9):
推论1经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.
推论2经过两条相交直线,有且只有一个平面.
推论3经过两条平行直线,有且只有一个平面.
(2)(3)
图8.4-9
事实上,如图8.4-9(1),设点A是直线a外一点,在直线a上任取两点B和C,则由基本事实1,经过A,B,C三点确定一个平面α.再由基本事实2,直线a也在平面α内,因此平面α经过直线a和点A,即一条直线和这条直线外一点确定一个平面.
【边空思考】用类似的方法,你能说明推论2和推论3成立吗?
推论1~3给我们提供了确定一个平面的另外几种方法.如图8.4-10,用两根细绳沿桌子四条腿的对角拉直,如果这两根细绳相交,说明桌子四条腿的底端在同一个平面内,否则就不在同一个平面内,其依据就是推论2.
图8.4-10
【贴示】不共线的三点,一条直线和这条直线外一点,两条相交直线,两条平行直线,都能唯一确定一个平面.这些结论在后续研究直线和平面之间平行、垂直关系时,也会经常用到.
【练习】
1.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)书桌面是平面.()
(2)平面α与平面β相交,它们只有有限个公共点.()
(3)如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个平面重合.()
2.下列命题正确的是().
(A)三点确定一个平面
(B)一条直线和一个点确定一个平面
(C)圆心和圆上两点可确定一个平面
(D)梯形可确定一个平面
3.不共面的四点可以确定几个平面?请画出图形说明你的结论.
4.用符号表示下列语句,并画出相应的图形:
(1)点A在平面α内,点B在平面α外;
(2)直线a既在平面α内,又在平面β内.
8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系
【节引言】前面我们认识了空间中点、直线、平面之间的一些位置关系,如点在平面内,直线在平面内，两个平面相交，等等.空间中点、直线、平面之间还有其他位置关系吗?
长方体是我们熟悉的空间几何图形,下面我们借助长方体进一步研究空间中点、直线、平面之间的位置关系.
【观察】
我们知道,长方体有8个顶点,12条棱,6个面.12条棱对应12条棱所在的直线,6个面对应6个面所在的平面.观察如图8.4-11所示的长方体ABCD−A'B'C'D',你能发现这些顶点、直线、平面之间的位置关系吗?
观察你所在的教室,你能找到上述位置关系的一些实例吗?你能再举出一些表示这些位置关系的其他实例吗?
图8.4-11
空间中点与直线的位置关系有两种:点在直线上和点在直线外.如图8.4-11中,点A在直线AB上,在直线A'B'外.空间中点与平面的位置关系也有两种：点在平面内和点在平面外.如图8.4-11中,点A在平面ABCD内,在平面A'B'C'D'外.
下面我们研究空间中直线、平面之间的位置关系.
1.空间中直线与直线的位置关系
在图8.4-11中,直线AB与DC在同一个平面ABCD内,它们没有公共点,它们是平行直线;直线AB与BC也在同一个平面ABCD内,它们只有一个公共点B,它们是相交直线;直线AB与CC'不同在任何一个平面内.
我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线(skewlines).于是,空间两条直线的位置关系有三种:
这样,空间中两条直线平行和我们学过的平面上两条直线平行的意义是一致的,即首先这两条直线在同一平面内,其次是它们不相交.如果直线a,b为异面直线,为了表示它们不共面的特点,作图时,通常用一个或两个平面衬托,如图8.4-12所示.
图8.4-12
2.空间中直线与平面的位置关系
在图8.4-11中,直线AB与平面ABCD有无数个公共点;直线AA'与平面ABCD只有一个公共点A;直线A'B'与平面ABCD没有公共点.再结合生活实例,我们可以看出,直线与平面的位置关系有且只有三种:
(1)直线在平面内一一有无数个公共点;
(2)直线与平面相交一一有且只有一个公共点;
(3)直线与平面平行一一没有公共点.
当直线与平面相交或平行时,直线不在平面内,也称为直线在平面外.
图8.4-13表示了直线与平面的三种位置关系.
图8.4-13
【贴示】一般地,直线a在平面α内,应把直线a画在表示平面α的平行四边形内;直线a在平面α外,应把直线a或它的一部分画在表示平面α的平行四边形外.
直线a与平面α相交于点A,记作a⋂α=A;直线a与平面α平行,记作a//α.
3.空间中平面与平面的位置关系
在图8.4-11中,平面ABCD与平面A'B'C'D'没有公共点;平面ABCD与平面BCC'B'有一条公共直线BC.再结合生活实例,我们可以看出,两个平面之间的位置关系有且只有以下两种:
(1)两个平面平行一一没有公共点;
(2)两个平面相交一一有一条公共直线.
画两个互相平行的平面时,要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行(图8.4-14).
图8.4-14
平面α与平面β平行,记作α//β.
【探究】
如图8.4-15,在长方体ABCD−A'B'C'D'中,连接A'B,D'C,请你再举出一些图中表示空间直线、平面之间位置关系的例子,并用符号表示这些位置关系.
与其他同学交流一下你的结果.
图8.4-15
例1如图8.4-16,用符号表示下列图形中直线、平面之间的位置关系.
(1)(2)
图8.4-16
分析:根据图形,先判断直线、平面之间的位置关系,然后用符号表示出来.
解:在(1)中,α∩β=l,a⋂α=A,a∩β=B.
在(2)中,α∩β=l,a⊂α,b⊂β,a∩l=P,b∩l=P,a∩b=P.
例2如图8.4-17,AB∩α=B,A∉α,a⊂α,B∉a.直线AB与a具有怎样的位置关系?为什么?
图8.4-17
解:直线AB与a是异面直线.理由如下.
若直线AB与直线a不是异面直线,则它们相交或平行.设它们确定的平面为β,则B∈β,a⊂β.由于经过点B与直线a有且仅有一个平面α,因此平面α与β重合,从而AB⊂α,进而A∈α,这与A∉α矛盾.所以直线AB与a是异面直线.
【贴示】例2告诉我们一种判断异面直线的方法:与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线.
【练习】
1.选择题
(1)如果两条直线a与b没有公共点,那么a与b().
(A)共面(B)平行
(C)是异面直线(D)可能平行,也可能是异面直线
(2)设直线a,b分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线,则a与b().
(A)平行(B)相交
(C)是异面直线(D)可能相交,也可能是异面直线
2.如图,在长方体ABCD−A'B'C'D'中,判定直线AB与AC,直线AC与A'C',直线A'B与AC,直线A'B与C'D的位置关系.
(第2题)
3.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)若直线l上有无数个点不在平面α内,则l//α.()
(2)若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都平行.()
(3)如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行.()
(4)若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点.()
4.已知直线a,b,平面α,β,且a⊂α,b⊂β,α//β.判断直线a,b的位置关系,并说明理由.
习题8.4
【复习巩固】
1.画出满足下列条件的图形:
(1)a⊂α,b⊂α,a⋂b=A,c⋂α=A;
(2)α∩β=l,AB⊂α,CD⊂β,AB//l,CD//l.
2.选择题
(1)经过同一直线上的3个点的平面().
(A)有且仅有1个(B)有且仅有3个
(C)有无数个(D)不存在
(2)若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则下列结论成立的是().
(A)α内的所有直线与a是异面直线(B)α内不存在与a平行的直线
(C)α内存在唯一一条直线与a平行(D)α内的所有直线与a都相交
3.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)两两相交且不共点的三条直线确定一个平面.()
(2)四边形可以确定一个平面.()
(3)若a,b是两条直线,α,β是两个平面,且a⊂α,b⊂β,则a,b是异面直线.()
4.填空题
(1)如果a,b是异面直线,直线c与a,b都相交,那么这三条直线中的两条所确定的平面共有__________个；
(2)若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行,则这条直线与另一个平面的位置关系是__________；
(3)已知两条相交直线a,b,且a//平面α,则b与α的位置关系是__________.
5.正方体各面所在平面将空间分成几部分?
【综合运用】
6.如果一条直线与两条平行直线都相交,那么这三条直线共面吗?请说说你的理由.
7.如图,三条直线两两平行且不共面,每两条直线确定一个平面,一共可以确定几个平面?如果三条直线相交于一点,它们最多可以确定几个平面?
(第7题)(第8题)
8.如图,△ABC在平面α外,AB∩α=P,BC∩α=Q,AC∩α=R,求证:P,Q,R三点共线.
【拓广探索】
9.如图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体,那么在AB,CD,EF,GH这四条线段中,哪些线段所在直线是异面直线?
(第9题)
10.在本节,我们学习了平面,了解了它的基本特征以及一些利用点、直线、平面等组成立体图形的基本元素刻画这些特征的方法.类似地,直线有什么基本特征?如何刻画直线的这些基本特征?
8.5空间直线、平面的平行
【节引言】在平面几何的学习中,我们研究过两条直线的位置关系,重点研究了两条直线平行,得到了这种特殊位置关系的性质,以及判定两条直线平行的定理.类似地,空间中直线、平面间的平行关系在生产和生活中有着广泛的应用,也是我们要重点研究的内容.本节我们研究空间中直线、平面的平行关系,重点研究这些平行关系的判定和性质.
8.5.1直线与直线平行
我们知道,在同一平面内,不相交的两条直线是平行直线,并且当两条直线都与第三条直线平行时,这两条直线互相平行.在空间中,是否也有类似的结论?
【观察】
如图8.5-1,在长方体ABCD−A'B'C'D'中,DC//AB,A'B'//AB.DC与A'B'平行吗?
观察你所在的教室,你能找到类似的实例吗?
图8.5-1
可以发现,DC//A'B'.再观察我们所在的教室(图8.5-2),黑板边所在直线AA'和门框所在直线CC'都平行于墙与墙的交线BB',那么CC'//AA'.这说明空间中的平行直线具有与平面内的平行直线类似的性质.我们把它作为基本事实.
图8.5-2
基本事实4平行于同一条直线的两条直线平行.
基本事实4表明,空间中平行于同一条直线的所有直线都互相平行.它给出了判断空间两条直线平行的依据.基本事实4表述的性质通常叫做平行线的传递性.
例1如图8.5-3,空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形.
图8.5-3
分析:要证明四边形EFGH是平行四边形,只需证明它的一组对边平行且相等.而EH,FG分别是△ABD和△CBD的中位线,从而它们都与BD平行且等于BD的一半.应用基本事实4,即可证明EH⫫FG.
证明：连接BD.
∵EH是△ABD的中位线,
∴EH//BD,且EH=12BD.
同理FG//BD,且FG=12BD.
∴EH⫫FG.
∴四边形EFGH为平行四边形.
【边空思考】在本例中,如果再加上条件AC=BD,那么四边形EFGH是什么图形?
【思考】
在平面内,如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.在空间中,这一结论是否仍然成立呢?
与平面中的情况类似,当空间中两个角的两条边分别对应平行时,这两个角有如图8.5-4所示的两种位置.
(2)
图8.5-4
对于图8.5-4(1),我们可以构造两个全等三角形,使∠BAC和∠B'A'C'是它们的对应角,从而证明∠BAC=∠B'A'C'.
如图8.5-5,分别在∠BAC和∠B'A'C'的两边上截取AD,AE和A'D',A'E',使得AD=A'D',AE=A'E'.连接AA',DD',EE',DE,D'E'.
∵AD⫫A'D',∴四边形ADD'A'是平行四边形.
∴AA'⫫DD'.
同理可证AA'⫫EE'.
∴DD'⫫EE'.
∴四边形DD'E'E是平行四边形.
∴DE=D'E'.
∴△ADE≅△A'D'E'
∴∠BAC=∠B'A'C'.
对于图8.5-4(2)的情形,请同学们自己给出证明.
这样,我们就得到了下面的定理:
定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
图8.5-5
【练习】
1.如图,把一张矩形纸片对折几次,然后打开,得到的折痕互相平行吗?为什么?
(第1题)(第2题)
2.如图,在长方体ABCD−A'B'C'D'中,与棱AA'平行的棱共有几条?分别是什么?
3.如图,AA',BB',CC'不共面,且AA'⫫BB',BB'⫫CC'.求证：△ABC≅△A'B'C'.
(第3题)(第4题)
4.如图,在四面体A−BCD中,E,F,G分别为AB,AC,AD上的点.若EF//BC,FG//CD,则△EFG和△BCD有什么关系?为什么?
8.5.2直线与平面平行
【节引言】在直线与平面的位置关系中,平行是一种非常重要的关系.它不仅应用广泛,而且是学习平面与平面平行的基础.
怎样判定直线与平面平行呢?根据定义,判定直线与平面是否平行,只需判定直线与平面有没有公共点.但是,直线是无限延伸的,平面是无限延展的,如何保证直线与平面没有公共点呢?
【观察】
如图8.5-6(1),门扇的两边是平行的.当门扇绕着一边转动时,另一边与墙面有公共点时?此时门扇转动的一边与墙面平行吗?
(2)
图8.5-6
如图8.5-6(2),将一块矩形硬纸板ABCD平放在桌面上,把这块纸板绕边DC转动.在转动的过程中(AB离开桌面),DC的对边AB与桌面有公共点吗?边AB与桌面平行吗?
可以发现,无论门扇转动到什么位置,因为转动的一边与固定的一边总是平行的,所以它与墙面是平行的,硬纸板的边AB与DC平行,只要边DC紧贴着桌面,边AB转动时就不可能与桌面有公共点,所以它与桌面平行.
一般地,我们有直线与平面平行的判定定理:
定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行.
它可以用符号表示:
a⊄α,b⊂α,且a//b⇒a//α.
这一定理在现实生活中有许多应用.例如,安装矩形镜子时,为了使镜子的上边框与天花板平行,只需镜子的上边框与天花板和墙面的交线平行,就是应用了这个判定定理.你还能举出其他一些应用实例吗?
【贴示】定理告诉我们,可以通过直线间的平行,得到直线与平面平行.这是处理空间位置关系的一种常用方法,即将直线与平面的平行关系(空间问题)转化为直线间的平行关系(平面问题).
例2求证:空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边的平面.
已知:如图8.5-7,空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点.
求证:EF//平面BCD.
图8.5-7
证明：连接BD.
∵AE=EB,AF=FD,
∴EF//BD.
又EF⊄平面BCD,BD⊂平面BCD,
∴EF//平面BCD.
【贴示】今后要证明一条直线与一个平面平行，只要在这个平面内找出一条与此直线平行的直线就可以了.
前面,我们利用平面内的直线与平面外的直线平行,得到了判定平面外的直线与此平面平行的方法,即得到了一条直线与平面平行的充分条件.反过来,如果一条直线与一个平面平行,能推出哪些结论呢?这就是要研究直线与平面平行的性质,也就是研究直线与平面平行的必要条件.
下面我们研究在直线a平行于平面α的条件下,直线a与平面α内的直线的位置关系.
如图8.5-8,由定义,如果直线a//平面α,那么a与α无公共点,即a与α内的任何直线都无公共点.这样,平面α内的直线与平面α外的直线a只能是异面或者平行的关系.那么,在什么条件下,平面α内的直线与直线a平行呢?下面我们来分析一下:
图8.5-8
假设a与α内的直线b平行,那么由基本事实的推论3,过直线a,b有唯一的平面β.这样,我们可以把直线b看成是过直线a的平面β与平面α的交线.于是可得如下结论:过直线a的平面β与平面α相交于b,则a//b.
下面,我们来证明这一结论.
如图8.5-9,已知a//α,a⊂β,α∩β=b.
求证:a//b.
图8.5-9
证明:∵α∩β=b,
∴b⊂α.
又a//α,
∴a与b无公共点.
又a⊂β,b⊂β,
∴a//b.
这样,我们就得到了直线与平面平行的性质定理:
定理一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与交线平行.
直线与平面平行的性质定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行,这也给出了一种作平行线的方法.
例3如图8.5-10(1)所示的一块木料中,棱BC平行于面A'C'.
(1)要经过面A'C'内的一点P和棱BC将木料锯开,在木料表面应该怎样画线?
(2)所画的线与平面AC是什么位置关系?
分析:要经过面A'C'内的一点P和棱BC将木料锯开,实际上是经过BC及BC外一点P作截面,也就需要找出所作的截面与相关平面的交线.我们可以依据直线与平面平行的性质定理、基本事实4和推论1画出所需要的线段.
(2)
图8.5-10
解:(1)如图8.5-10(2),在平面A'C'内,过点P作直线EF,使EF//B'C',并分别交棱A'B',D'C'于点E,F.连接BE,CF,则EF,BE,CF就是应画的线.
(2)因为棱BC平行于平面A'C',平面BC'与平面A'C'相交于B'C',所以BC//B'C'.由(1)知,EF//B'C',所以EF//BC.而BC在平面AC内,EF在平面AC外,所以EF//平面AC.
显然,BE,CF都与平面AC相交.
【练习】
1.如图,在长方体ABCD−A'B'C'D'中,
(1)与AB平行的平面是_________；
(2)与AA'平行的平面是__________；
(3)与AD平行的平面是__________.
(第1题)(第2题)
2.如图,在正方体ABCD−A1B1C1D1中,E为DD1的中点,判断BD1与平面AEC的位置关系,并说明理由.
3.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)如果直线a//b,那么a平行于经过b的任何平面.()
(2)如果直线a和平面α满足a//α,那么a与α内的任何直线平行()
(3)如果直线a,b和平面α满足a//α,b//α,那么a//b.()
(4)如果直线a,b和平面α满足a//b,a//α,b⊄α,那么b//α.()
4.如图,α∩β=a,b⊂α,c⊂β,b//c,求证a//b//c.
(第4题)
8.5.3平面与平面平行
【节引言】我们首先讨论平面与平面平行的判定问题.
类似于研究直线与平面平行的判定,我们自然想到要把平面与平面平行的问题转化为直线与平面平行的问题.根据平面与平面平行的定义,可以发现,因为两个平行平面没有公共点,所以一个平面内的任意一条直线都与另一个平面没有公共点.也就是说,如果两个平面平行,那么一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行.因为这个定义给出了两个平面平行的充要条件,所以可以想到,如果一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行,那么这两个平面一定平行.
【思考】
如何判定一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面呢?有没有更简便的方法?
【探究】
根据基本事实的推论2,3,过两条平行直线或两条相交直线,有且只有一个平面.由此可以想到,如果一个平面内有两条平行或相交的直线都与另一个平面平行,是否就能使这两个平面平行?
我们可以借助以下两个实例进行观察.如图8.5-11(1),a和b分别是矩形硬纸片的两条对边所在直线,它们都和桌面平行,那么硬纸片和桌面平行吗?如图8.5-11(2),c和d分别是三角尺相邻两边所在直线,它们都和桌面平行,那么三角尺和杲面平行吗?
(1)
c
(2)
图8.5-11
如果一个平面内有两条平行直线与另一个平面平行,这两个平面不一定平行.我们借助长方体模型来说明.如图8.5-12,在平面A'ADD'内画一条与A'A平行的直线EF,显然A'A与EF都平行于平面D'DCC',但这两条平行直线所在的平面A'ADD'与平面D'DCC'相交.
图8.5-12图8.5-13
如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行,这两个平面是平行的.如图8.5-13的长方体模型中,平面ABCD内两条相交直线AC,BD分别与平面A'B'C'D'内两条相交直线A'C',B'D'平行.由直线与平面平行的判定定理可知,这两条相交直线AC,BD都与平面A'B'C'D'平行.此时,平面ABCD平行于平面A'B'C'D'.
两条相交直线和两条平行直线都可以确定一个平面.为什么可以利用两条相交直线判定两个平面平行,而不能利用两条平行直线呢?你能从向量的角度解释吗?
一般地,我们有如下平面与平面平行的判定定理(图8.5-14):
定理如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行.它可以用符号表示为
a⊂β,b⊂β,ab=P,a//α,b//α⇒β//α.
图8.5-14图8.5-15
这个定理告诉我们,可以由直线与平面平行判定平面与平面平行.如图8.5-15,工人师傅将水平仪在桌面上交叉放置两次,如果水平仪的气泡两次都在中央,就能判断桌面是水平的,就是应用了这个判定定理.
例4已知正方体ABCD−A1B1C1D1(图8.5-16),求证：平面AB1D1//平面BC1D.
图8.5-16
证明:∵ABCD−A1B1C1D1为正方体,
∴D1C1⫫A1B1,AB⫫A1B1.
∴D1C1⫫AB.
∴四边形D1C1BA为平行四边形.
∴D1A//C1B
又D1A⊄平面BC1D,C1B⊂平面BC1D,
∴D1A//平面BC1D.
同理D1B1//平面BC1D.
又D1A∩D1B1=D1,
∴平面AB1D1//平面BC1D.
下面我们研究平面与平面平行的性质,也就是以平面与平面平行为条件,探究可以推出哪些结论.
根据已有的研究经验,我们先探究两个平行平面内的直线具有什么位置关系.
图8.5-17
如图8.5-17,借助长方体模型,我们看到,B'D'所在的平面A'C'与平面AC平行,所以B'D'与平面AC没有公共点.也就是说,B'D'与平面AC内的所有直线没有公共点.因此,直线B'D'与平面AC内的所有直线要么是异面直线,要么是平行直线.
分别位于两个平行平面内的两条直线什么时候平行呢?我们仍然依据基本事实的推论进行分析:如果α//β,a⊂α,b⊂β,且a//b,那么过a,b有且只有一个平面γ.这样,我们可以把直线a,b看成是平面γ与平面α,β的交线.于是可以猜想:两个平行平面同时与第三个平面相交,所得的两条交线平行.
下面,我们来证明这个结论.
图8.5-18
如图8.5-18,平面α//β,平面γ分别与平面α,β相交于直线a,b.
∵α∩γ=a,β∩γ=b,
∴a⊂α,b⊂β.
又α//β,
∴a,b没有公共点.
又a,b同在平面γ内,
∴a//b.
我们把这个结论作为两个平面平行的性质定理.
定理两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线平行.
这个定理告诉我们,可以由平面与平面平行得出直线与直线平行.
如果直线不在两个平行平面内,或者第三个平面不与这两个平面相交,以两个平面平行为条件,你还能得出哪些结论?
例5求证:夹在两个平行平面间的平行线段相等.
图8.5-19
如图8.5-19,α//β,AB//CD,且A∈α,C∈α,B∈β,D∈β,求证AB=CD.证明：过平行线AB,CD作平面γ,与平面α和β分别相交于AC和BD.
∵α//β,
∴BD//AC.
又AB//CD,
∴四边形ABDC是平行四边形.
∴AB=CD.
从本节的讨论可以看到,由直线与直线平行可以判定直线与平面平行;由直线与平面平行的性质可以得到直线与直线平行;由直线与平面平行可以判定平面与平面平行;由平面与平面平行的定义及性质可以得到直线与平面平行、直线与直线平行.这种直线、平面之间位置关系的相互转化是立体几何中的重要思想方法.
【练习】
1.判断下列命题是否正确.若正确,则说明理由;若错误,则举出反例.
(1)已知平面α,β和直线m,n,若m⊂α,n⊂α,m//β,n//β,则α//β.
(2)若一个平面α内两条不平行的直线都平行于另一平面β,则α//β.
(3)平行于同一条直线的两个平面平行.
(4)平行于同一个平面的两个平面平行.
(5)一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个相交.
2.平面α与平面β平行的充分条件可以是().
(A)α内有无穷多条直线都与β平行
(B)直线a//α,a//β,且直线a不在α内,也不在β内
(C)直线a⊂α,直线b⊂β,且a//β,b//α
(D)α内的任何一条直线都与β平行
3.如图,在正方体ABCD−A1B1C1D1中,M,N,E,F分别是棱A1B1,A1D1,B1C1,C1D1的中点.求证:平面AMN//平面DBEF.
(第3题)(第4题)
4.如上页图,平面α//β,γ∩α=a,γ∩β=b,c⊂β,c//b.判断c与a,c与α的位置关系,并说明理由.
习题8.5
【复习巩固】
1.选择题
(1)若直线a不平行于平面α,则下列结论成立的是().
(A)α内的所有直线都与a异面(B)α内不存在与a平行的直线
(C)α内的直线都与a相交(D)直线a与平面α有公共点
(2)如果直线a//平面α,P∈α,那么过点P且平行于直线a的直线().
(A)只有一条,不在平面α内(B)有无数条,不一定在α内
(C)只有一条,且在平面α内(D)有无数条,一定在α内
2.已知平面α,β和直线a,b,c,且a//b//c,a⊂α,b⊂β,c⊂β,则α与β的位置关系是__________.
3.如图,在长方体木块ABCD−A1B1C1D1中,面A1C1上有一点P,怎样过点P画一条直线与棱CD平行?
(第3题)(第4题)
4.如图,在长方体ABCD−A'B'C'D'中,E,F分别是AB,BC的中点,求证EF//A'C'.
5.如图,在四面体D−ABC中,E,F,G分别是AB,BC,CD的中点,求证:
(1)BD//平面EFG;
(2)AC//平面EFG.
(第5题)(第6题)
6.如图,a,b是异面直线,画出平面α,使a⊂α,且b//α,并说明理由.
7.如下页图,α∩β=CD,α∩γ=EF,β∩γ=AB,AB//α,求证CD//EF.
(第7题)(第8题)
8.如图,直线AA',BB',CC'相交于点O,AO=A'O,BO=B'O,CO=C'O,求证:平面ABC//平面A'B'C'.
【综合运用】
9.如图,E,E'分别为长方体ABCD−A'B'C'D'的棱AD,A'D'的中点,求证∠BEC=∠B'E'C'.
(第9题)(第10题)
10.如图,AB//α,AC//BD,C∈α,D∈α,求证AC=BD.
11.已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面,求证：另一条也平行于这个平面.
12.一木块如图所示,点P在平面VAC内,过点P将木块锯开,使截面平行于直线VB和AC,在木块表面应该怎样画线?
(第12题)(第13题)
13.如图,α//β//γ,直线a与b分别交α,β,γ于点A,B,C和点D,E,F,求证ABBC=DEEF.
【拓广探索】
14.如图,a,b是异面直线,a⊂α,a//β,b⊂β,b//α,求证α//β.
(第14题)
15.如图,透明塑料制成的长方体容器ABCD−A1B1C1D1内灌进一些水,固定容器底面一边BC于地面上,再将容器倾斜.随着倾斜度的不同,有下面五个命题:
(1)有水的部分始终呈棱柱形;
(2)没有水的部分始终呈棱柱形;
(3)水面EFGH所在四边形的面积为定值;
(4)棱A1D1始终与水面所在平面平行;
(5)当容器倾斜如图(3)所示时,BE⋅BF是定值.
其中所有正确命题的序号是__________，为什么?
(2)(3)
(第15题)
8.6空间直线、平面的垂直
【节引言】与平行关系类似,垂直也是空间直线、平面之间的一种特殊位置关系,它在研究空间图形问题中具有重要的作用.类比平行关系的研究过程,本节将研究空间直线、平面之间的垂直关系,重点研究这些垂直关系的判定和性质.
8.6.1直线与直线垂直
空间两条直线的位置关系有三种:平行直线、相交直线和异面直线.在初中我们已经研究了平行直线和相交直线.本节我们主要研究异面直线,首先研究如何刻画两条异面直线的位置关系.
【观察】
如图8.6-1,在正方体ABCD−A'B'C'D'中,直线A'C'与直线AB,直线A'D'与直线AB都是异面直线,直线A'C'与A'D'相对于直线AB的位置相同吗?如果不同,如何表示这种差异呢?
图8.6-1
我们知道,平面内两条直线相交形成4个角,其中不大于90∘的角称为这两条直线所成的角(或夹角),它刻画了一条直线相对于另一条直线倾斜的程度.类似地,我们也可以用“异面直线所成的角”来刻画两条异面直线的位置关系.
如图8.6-2,已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a'//a,b'//b,我们把直线a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
图8.6-2
【贴示】研究异面直线所成的角,就是通过平移把异面直线转化为相交直线.这是研究空间图形的一种基本,思路,即把空间图形问题转化为平面图形问题.
如果两条异面直线所成的角是直角,那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直,记作a⊥b.
当两条直线a,b相互平行时,我们规定它们所成的角为0∘.所以空间两条直线所成角α的取值范围是0∘⩽α⩽90∘.
【边空思考】直线a,b所成角的大小与点O的位置有关吗?
例1如图8.6-3,已知正方体ABCD−A'B'C'D'.
(1)哪些棱所在的直线与直线AA'垂直?
(2)求直线BA'与CC'所成的角的大小.
(3)求直线BA'与AC所成的角的大小.
图8.6-3图8.6-4
解:(1)棱AB,BC,CD,DA,A'B',B'C',C'D',D'A'所在直线分别与直线AA'垂直.
(2)因为ABCD−A'B'C'D'是正方体,所以BB'//CC',因此
从而异面直线BA'与AC所成的角等于60∘.
例2如图8.6-5(1),在正方体ABCD−A1B1C1D1中,O1为底面A1B1C1D1的中心.求证AO1⊥BD.
分析:要证明AO1⊥BD,应先构造直线AO1与BD所成的角,若能证明这个角是直角,即得AO1⊥BD.
(2)
图8.6-5
证明：如图8.6-5(2),连接B1D1.
∵ABCD−A1B1C1D1是正方体,
∴BB1⫫DD1.∴四边形BB1D1D是平行四边形.
∴B1D1//BD.
∴直线AO1与B1D1所成的角即为直线AO1与BD所成的角.
连接AB1,AD1,易证AB1=AD1.
又O1为底面A1B1C1D1的中心，
∴O1为B1D1的中点,
∴AO1⊥B1D1.
∴AO1⊥BD.
从例1与例2的解答可以看到,为了简便,求异面直线a,b所成的角时,点O常取在两条异面直线中的一条上.例如取在直线b上,然后经过点O作直线a'//a,那么a'与b所成的角就是异面直线a与b所成的角(图8.6-6).
图8.6-6
【练习】
1.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)如果两条平行直线中的一条与已知直线垂直,那么另一条也与已知直线垂直.()
(2)垂直于同一条直线的两条直线平行.()
2.如图,在长方体ABCD−A'B'C'D'的各条棱所在直线中,
(1)与直线AB垂直的直线有__________条;
(2)与直线AB异面且垂直的直线有__________条;
(3)与直线AB和A'D'都垂直的直线有__________条;
(4)与直线AB和A'D'都垂直且相交的直线是直线__________.
(第2题)(第3题)
3.如图,在长方体ABCD−A'B'C'D'中,AB=AD=23,AA'=2,求:
(1)直线BC和A'C'所成的角的大小;
(2)直线AA'和BC'所成的角的大小.
4.如图,在正三棱柱ABC−A'B'C'中,D为棱AC的中点,AB=BB'=2,求证BD⊥AC'.
(第4题)
8.6.2直线与平面垂直
【节引言】在日常生活中,我们对直线与平面垂直有很多感性认识.比如,旗杆与地面的位置关系(图8.6-7),教室里相邻墙面的交线与地面的位置关系等,都给我们以直线与平面垂直的形象.
图8.6-7
【观察】
如图8.6-8,在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC.随着时间的变化,影子BC的位置在不断地变化,旗杆所在直线AB与其影子BC所在直线是否保持垂直?
图8.6-8
事实上,随着时间的变化,尽管影子BC的位置在不断地变化,但是旗杆AB所在直线始终与影子BC所在直线垂直.也就是说,旗杆AB所在直线与地面上任意一条过点B的直线垂直.对于地面上不过点B的任意一条直线B'C',总能在地面上找到过点B的一条直线与之平行,根据异面直线垂直的定义,可知旗杆AB所在直线与直线B'C'也垂直.因此,旗杆AB所在直线与地面上任意一条直线都垂直.
一般地,如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.直线l叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时,它们唯一的公共点P叫做垂足.
画直线与平面垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直,如图8.6-9所示.
图8.6-9
【思考】
在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.将这一结论推广到空间,过一点垂直于已知平面的直线有几条?为什么?
可以发现,过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.
过一点作垂直于已知平面的直线,则该点与垂足间的线段,叫做这个点到该平面的垂线段,垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.
【贴示】在棱锥的体积公式中,棱锥的高就是棱锥的顶点到底面的距离.
下面我们来研究直线与平面垂直的判定,即探究直线与平面垂直的充分条件.
根据定义可以进行判断,但无法验证一条直线与一个平面内的所有直线都垂直.那么,有没有可行的方法?
【探究】
如图8.6-10,准备一块三角形的纸片ABC,过△ABC的顶点A翻折纸片,得到折痕AD,将翻折后的纸片坚起放置在杲面上(BD,DC与桌面接触).
(1)折痕AD与桌面垂直吗?
(2)如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直?为什么?
图8.6-10
容易发现,AD所在直线与桌面所在平面α垂直(图8.6-11)的充要条件是折痕AD是BC边上的高.这时,由于翻折之后垂直关系不变,所以直线AD与平面α内的两条相交直线BD,DC都垂直.
图8.6-11
事实上,由基本事实的推论2,平面α可以看成是由两条相交直线BD,DC所唯一确定的,所以当直线AD垂直于这两条相交直线时,就能保证直线AD与α内所有直线都垂直.
一般地,我们有如下判定直线与平面垂直的定理.
定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直.
【贴示】定理体现了“直线与平面垂直”和“直线与直线垂直”的互相转化.
【思考】
两条相交直线可以确定一个平面,两条平行直线也可以确定一个平面,那么定理中的“两条相交直线”可以改为“两条平行直线"吗?你能从向量的角度解释原因吗?如果改为“无数条直线"呢?
例3求证:如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面.
已知:如图8.6-12,a//b,a⊥α,求证b⊥α.
分析：要证明直线b⊥α,根据直线与平面垂直的判定定理可知,只需证明直线b垂直于平面α内的两条相交直线即可.
图8.6-12图8.6-13
证明:如图8.6-13,在平面α内取两条相交直线m,n.
∵直线a⊥α,
∴a⊥m,a⊥n.
∵b//a
∴b⊥m,b⊥n.
又m⊂α,n⊂α,m,n是两条相交直线,
∴b⊥α.
【边空思考】你能用直线与平面垂直的定义证明这个结论吗?
如图8.6-14,一条直线l与一个平面α相交,但不与这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点A叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO,过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角,叫做这条直线和这个平面所成的角.
图8.6-14
【边空思考】如果AB是平面α内的任意一条不与直线AO重合的直线,那么直线PA与直线AB所成的角和直线PA与这个平面所成的角的大小关系是什么?
一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是90∘;一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角是0∘.直线与平面所成的角θ的取值范围是0∘⩽θ⩽90∘.
例4如图8.6-15,在正方体ABCD−A1B1C1D1中,求直线A1B和平面A1DCB1所成的角.
图8.6-15
分析:关键是找出直线A1B在平面A1DCB1上的射影.
解:连接BC1,BC1与B1C相交于点O,连接A1O.设正方体的棱长为a.
∵A1B1⊥B1C1,A1B1⊥B1B,B1C1∩B1B=B1,
∴A1B1⊥平面BCC1B1.
∴A1B1⊥BC1.
又BC1⊥B1C，
∴BC1⊥平面A1DCB1.
∴A1O为斜线A1B在平面A1DCB1上的射影,∠BA1O为A1B和平面A1DCB1所成的角.
在Rt△A1BO中,A1B=2a,BO=22a,
∴BO=12A1B.
∴∠BA1O=30∘.
∴直线A1B和平面A1DCB1所成的角为30∘.
【练习】
1.如果两条直线和一个平面所成的角相等,那么这两条直线一定平行吗?
2.如图,四棱锥S−ABCD的底面是正方形,SD⊥平面ABCD,求证:AC⊥平面SDB.
(第2题)(第3题)
3.如图,在直四棱柱A'B'C'D'−ABCD中,当底面四边形ABCD满足什么条件时,A'C⊥B'D'?
4.过△ABC所在平面α外一点P,作PO⊥α,垂足为O,连接PA,PB,PC.
(1)若PA=PB=PC,则点O是△ABC的__________心.
(2)若PA=PB=PC,∠C=90∘,则点O是AB边的__________点.
(3)若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,垂足都为P,则点O是△ABC的__________心.
下面我们研究直线与平面垂直的性质,即探究在直线a与平面α垂直的条件下能推出哪些结论.
根据已有经验,我们可以探究直线a与平面α内的直线的关系.但由定义,a与α内的所有直线都垂直.所以,可以探究a,α与其他直线或平面的关系.
我们知道,在平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行.在空间中是否有类似的性质呢?
【观察】
(1)如图8.6-16,在长方体ABCD−A'B'C'D'中,棱AA',BB',CC',DD'所在直线都垂直于平面ABCD,它们之间具有什么位置关系?
图8.6-16图8.6-17
(2)如图8.6-17,已知直线a,b和平面α.如果a⊥α,b⊥α,那么直线a,b一定平行吗?
可以发现,这些直线相互平行.不失一般性,我们以(2)为例加以证明.如图8.6-18,假设b与a不平行,且b⋂α=O.显然点O不在直线a上,所以点O与直线a可确定一个平面,在该平面内过点O作直线b'//a,则直线b与b'是相交于点O的两条不同直线,所以直线b与b'可确定平面β,设α∩β=c,则O∈c.因为a⊥α,b⊥α,所以a⊥c,b⊥c.又因为b'//a,所以b'⊥c.这样在平面β内,经过直线c上同一点O就有两条直线b,b'与c垂直,显然不可能.因此b//a.
图8.6-18
【贴示】由于无法把两条直线a,b归入到一个平面内,所以在定理的证明中,无法应用平行直线的判定知识,也无法应用基本事实4.在这种情况下我们采用了“反证法”.
这样,我们得到了直线与平面垂直的一条性质定理:
定理垂直于同一个平面的两条直线平行.
直线与平面垂直的性质定理告诉我们,可以由两条直线与一个平面垂直判定这两条直线互相平行.直线与平面垂直的性质定理揭示了“平行”与“垂直”之间的内在联系.
在a⊥α的条件下,如果平面α外的直线b与直线a垂直,你能得到什么结论?如果平面β与平面α平行,你又能得到什么结论?
你还能自己提出更多的问题,发现更多的结论吗?
例5如图8.6-19,直线l平行于平面α,求证:直线l上各点到平面α的距离相等.
图8.6-19
证明:过直线l上任意两点A,B分别作平面α的垂线AA1,BB1,垂足分别为A1,B1.
∵AA1⊥α,BB1⊥α,
∴AA1//BB1.
设直线AA1,BB1确定的平面为β,β∩α=A1B1.
∵l//α,
∴l//A1B1.
∴四边形AA1B1B是矩形.
∴AA1=BB1.
由A,B是直线l上任取的两点,可知直线l上各点到平面α的距离相等.
一条直线与一个平面平行时,这条直线上任意一点到这个平面的距离,叫做这条直线到这个平面的距离.由例5我们还可以进一步得出,如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等,我们把它叫做这两个平行平面间的距离.
【贴示】在棱柱、棱台的体积公式中,它们的高就是它们的上、下底面间的距离.
例6推导棱台的体积公式
V棱台=13ℎS'+S'S+S,
其中S',S分别是棱台的上、下底面面积,ℎ是高.
解：如图8.6-20,延长棱台各侧棱交于点P,得到截得棱台的棱锥.过点P作棱台的下底面的垂线,分别与棱台的上、下底面交于点O',O,则PO垂直于棱台的上底面(想一想,为什么?),从而O'O=ℎ.
设截得棱台的棱锥的体积为V,去掉的棱锥的体积为V'、高为ℎ',则PO'=ℎ'.于是
V'=13S'ℎ',V=13Sℎ'+ℎ.
图8.6-20所以棱台的体积
V棱台=V−V'=13Sℎ'+ℎ−13S'ℎ'=13Sℎ+S−S'ℎ'.
由棱台的上、下底面平行,可以证明棱台的上、下底面相似,并且
S'S=ℎ'2ℎ'+ℎ2,
所以
ℎ'=S'ℎS−S'.
代人(1),得
V棱台=13ℎS+S−S'S'S−S'=13ℎS'+S'S+S.
【边空思考】请你自己证明“棱台的上、下底面相似”这个结论.
【练习】
1.已知直线a,b和平面α,且a⊥b,a⊥α,则b与α的位置关系是__________.
2.已知A,B两点在平面α的同侧,且它们与α的距离相等,求证:直线AB//α.
3.如图,EA和DC都垂直于平面ABC,且EA=2DC,F是EB的中点,求证:DF//平面ABC.
(第3题)
4.求证:垂直于同一条直线的两个平面互相平行.(提示:过这条直线作平面与这两个平面相交,则它们的交线平行.)
8.6.3平面与平面垂直
【节引言】像研究直线与平面垂直一样,我们首先应给出平面与平面垂直的定义.那么,该如何定义呢?不妨回顾一下直线与平面垂直、直线与直线垂直的定义过程.
在定义直线与平面垂直时,我们利用了直线与直线的垂直.所以,直线与直线垂直是研究直线、平面垂直问题的基础.
在平面几何中,我们先定义了角的概念,利用角刻画两条相交直线的位置关系,进而研究直线与直线互相垂直这种特殊情况.类似地,我们需要先引进二面角的概念,用以刻画两个相交平面的位置关系,进而研究两个平面互相垂直.
如图8.6-21,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角(dihedralangle).这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.棱为AB,面分别为α,β的二面角记作二面角α−AB−β.有时为了方便,也可在α,β内(棱以外的半平面部分)分别取点P,Q,将这个二面角记作二面角P−AB−Q.如果棱记作l,那么这个二面角记作二面角α−l−β或二面角P−l−Q.
图8.6-21
【贴示】平面内的一条直线把平面分成两部分,这两部分通常称为半平面.
【思考】
如图8.6-22,在日常生活中,我们常说“把门开大一些”,是指哪个角大一些?受此启发,你认为应该怎样刻画二面角的大小呢?
图8.6-22
如图8.6-23,在二面角α−l−β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.
图8.6-23
【边空思考】∠AOB的大小与点O在l上的位置有关吗？为什么？
二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.二面角的平面角α的取值范围是0∘⩽α⩽180∘.
【观察】
教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面羊??分别指出构成这些二面角的面、棱、平面角及其度数.
教室里的墙面所在平面与地面所在平面相交,它们所成的二面角是直二面角,我们常说墙面直立于地面上.
一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.平面α与β垂直,记作α⊥β.
如图8.6-24,画两个互相垂直的平面时,通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直.
图8.6-24
在明确了两个平面互相垂直的定义的基础上,我们研究两个平面垂直的判定和性质.先研究平面与平面垂直的判定.
【观察】
如图8.6-25,建筑工人在砌墙时,常用铅锤来检测所砌的墙面与地面是否垂直.如果系有铅锤的细线紧贴墙面,工人师傅就认为墙面垂直于地面,否则他就认为墙面不垂直于地面.这种方法说明了什么道理?
图8.6-25
这种方法告诉我们,如果墙面经过地面的垂线,那么墙面与地面垂直.类似的结论也可以在长方体中发现.如图8.6-26,在长方体ABCD−A'B'C'D'中,平面ABB'A'经过平面ABCD的一条垂线AA',此时,平面ABB'A'垂直于平面ABCD.
图8.6-26
一般地,我们有下面判定两个平面互相垂直的定理:
定理如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直.
这个定理说明,可以由直线与平面垂直证明平面与平面垂直.
例7如图8.6-27所示,在正方体ABCD−A'B'C'D'中,求证:平面A'BD⊥平面ACC'A'.
图8.6-27
分析:要证平面A'BD⊥平面ACC'A',根据两个平面垂直的判定定理,只需证明平面A'BD经过平面ACC'A'的一条垂线即可.这需要利用AC,BD是正方形ABCD的对角线.
证明:∵ABCD−A'B'C'D'是正方体,
∴AA'⊥平面ABCD,
∴AA'⊥BD.
又BD⊥AC,
∴BD⊥平面ACC'A',
∴平面A'BD⊥平面ACC'A'.
例8如图8.6-28，AB是⊙O的直径,PA⊥⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A,B的任意一点,求证:平面PAC⊥平面PBC.
图8.6-28
分析:要证明两个平面垂直，根据两个平面垂直的判定定理，只需证明其中一个平面内的一条直线垂直于另一个平面.而由直线和平面垂直的判定定理,还需证明这条直线和另一个平面内的两条相交直线垂直.在本题中,由题意可知BC⊥AC,BC⊥PA,AC∩PA=A,从而BC⊥平面PAC,进而平面PAC⊥平面PBC.
证明:∵PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,
∴PA⊥BC.
∵点C是圆周上不同于A,B的任意一点,AB是⊙O的直径,
∴∠BCA=90∘,即BC⊥AC.
又PA∩AC=A,PA⊂平面PAC,AC⊂平面PAC,
∴BC⊥平面PAC.
又BC⊂平面PBC,
∴平面PAC⊥平面PBC.
【练习】
1.如图,检查工件的相邻两个(平)面是否垂直时,只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上,另一边在工件的另一个面上转动,观察尺边和这个面是否密合就可以了.这是为什么?
(第1题)
2.已知直线a,b与平面α,β,γ,能使α⊥β的充分条件是().
(A)α⊥γ,β⊥γ(B)α∩β=a,b⊥a,b⊂β
(C)a//β,a//α(D)a//α,a⊥β
3.如下页图,AB⊥平面BCD,BC⊥CD,你能发现哪些平面互相垂直,为什么?
(第3题)(第4题)
4.如图,在正三棱柱ABC−A'B'C'中,D为棱AC的中点.求证:平面BDC'⊥平面ACC'A'.
下面我们研究平面与平面垂直的性质,也就是在两个平面互相垂直的条件下,能推出哪些结论.
如果两个平面互相垂直,根据已有的研究经验,我们可以先研究其中一个平面内的直线与另一个平面具有什么位置关系.
【探究】
如图8.6-29,设α⊥β,α⋂β=a.则β内任意一条直线b与a有什么位置关系?相应地,b与α有什么位置关系?为什么?
图8.6-29
显然,b与a平行或相交.当b//a时,b//α;当b与a相交时,b与α也相交.
特别地,当b⊥a时,如图8.6-30,设b与a的交点为A,过点A在α内作直线c⊥a,则直线b,c所成的角就是二面角α−a−β的平面角.由α⊥β知,b⊥c.又因为b⊥a,a和c是α内的两条相交直线,所以b⊥α.
图8.6-30
由此我们得到平面与平面垂直的性质定理:
定理两个平面垂直,如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直.
这个定理说明,由平面与平面垂直可以得到直线与平面垂直.
这个性质定理可以用于解决现实生活中的问题.例如,装修房子时,要在墙壁上画出与地面垂直的直线,只需在墙面上画出地面与墙面的交线的垂线即可.
【探究】
设平面α⊥平面β,点P在平面α内,过点P作平面β的垂线a,直线a与平面α具有什么位置关系?
我们知道,过一点只能作一条直线与已知平面垂直.因此,如果过一点有两条直线与平面垂直,那么这两条直线重合.
如图8.6-31,设α∩β=c,过点P在平面α内作直线b⊥c,根据平面与平面垂直的性质定理,b⊥β.因为过一点有且只有一条直线与平面β垂直,所以直线a与直线b重合,因此a⊂α.
图8.6-31
对于两个平面互相垂直的性质,我们探究了一个平面内的直线与另一个平面的特殊位置关系.如果直线不在两个平面内,或者把直线换成平面,你又能得到哪些结论?
下面的例子就是其中的一些结果.
例9如图8.6-32,已知平面α⊥平面β,直线a⊥β,a⊄α,判断a与α的位置关系.
图8.6-32
解:在α内作垂直于α与β交线的直线b.
∵α⊥β,
∴b⊥β.
又a⊥β,
∴a//b.
又a⊄α,
∴a//α.
即直线a与平面α平行.
例10如图8.6-33,已知PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC,求证:BC⊥平面PAB.
图8.6-33图8.6-34
分析：要证明BC⊥平面PAB,需证明BC垂直于平面PAB内的两条相交直线.由已知条件易得BC⊥PA.再利用平面PAB⊥平面PBC,过点A作PB的垂线AE,由两个平面垂直的性质可得BC⊥AE.
证明：如图8.6-34,过点A作AE⊥PB,垂足为E.
∵平面PAB⊥平面PBC,平面PAB∩平面PBC=PB,
∴AE⊥平面PBC.
∵BC⊂平面PBC,
∴AE⊥BC.
∵PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,
∴PA⊥BC.
又PA∩AE=A,
∴BC⊥平面PAB.
从本节的讨论可以看到,由直线与直线垂直可以判定直线与平面垂直;由直线与平面垂直的定义可以得到直线与直线垂直;由直线与平面垂直可以判定平面与平面垂直;而由平面与平面垂直的性质可以得到直线与平面垂直.这进一步揭示了直线、平面之间的位置关系可以相互转化.
【练习】
1.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β.()
(2)如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面β.()
(3)如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β.()
2.若平面α⊥平面β,且α∩β=l,则下列命题中正确的个数是().
(1)平面α内的直线必垂直于平面β内的任意一条直线.
(2)平面α内的已知直线必垂直于平面β内的无数条直线.
(3)平面α内的任一条直线必垂直于平面β.
(4)过平面α内任意一点作交线l的垂线,则此垂线必垂直于平面β.
(A)3(B)2(C)1(D)0
3.已知α,β是两个不同的平面,m为平面α内的一条直线,则“α⊥β”是“m⊥β”的().
(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件
(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件
4.已知平面α,β,直线a,且α⊥β,α∩β=AB,a//α,a⊥AB,判断直线a与平面β的位置关系,并说明理由.
习题8.6
【复习巩固】
1.选择题
(1)若空间中四条不同的直线l1,l2,l3,l4满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下面结论正确的是().
(A)l1⊥l4(B)l1//l4
(C)l1,l4既不垂直也不平行(D)l1,l4的位置关系不确定
(2)设l,m,n均为直线,其中m,n在平面α内,则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的
(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件
(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件
(3)直线l1,l2互相平行的一个充分条件是().
(A)l1,l2都平行于同一个平面(B)l1,l2与同一个平面所成的角相等
(C)l1,l2都垂直于同一个平面(D)l1平行于l2所在的平面
2.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)过平面外一点,有且只有一条直线与这个平面垂直.
(2)过平面外一点,有且只有一条直线与这个平面平行.
(3)过直线外一点,有且只有一个平面与这条直线垂直.
(4)过直线外一点,有且只有一个平面与这条直线平行.
(5)过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.
3.判断下列命题是否正确,正确的说明理由,错误的举例说明.
(1)一条直线平行于一个平面,另一条直线与这个平面垂直,则这两条直线互相垂直;
(2)如果平面α//平面α1,平面β//平面β1,那么平面α与平面β所成的二面角和平面α1与平面β1所成的二面角相等或互补;
(3)如果平面α⊥平面β,平面β⊥平面γ,那么平面α⊥平面γ.
4.如图,在直三棱柱ABC−A1B1C1中,CA=CB,P为A1B的中点,Q为棱C1C的中点.求证:
(1)PQ⊥AB;(2)PQ⊥C1C;(3)PQ⊥A1B.
(第4题)
5.如图,在三棱锥P−ABC中,CD⊥AB,垂足为D,PO⊥底面ABC,垂足为O,且O在CD上,求证AB⊥PC.
(第5题)(第6题)
6.如图,在正方体ABCD−A'B'C'D'中,平面ABC'D'与正方体的各个面所在的平面所成的二面角的大小分别是多少?
7.如图,在三棱锥V−ABC中,已知∠VAB=∠VAC=∠ABC=90∘,判断平面VAB与平面VBC的位置关系,并说明理由.
(第7题)
8.求证:如果共点的三条直线两两垂直,那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直.
9.已知平面α,β,γ,且α⊥γ,β//α,求证β⊥γ.
10.已知平面α,β,γ,且α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l,求证l⊥γ.
【综合运用】
11.如图,在正方体ABCD−A1B1C1D1中,点P,Q分别为棱AD,CC1的中点.求证A1P⊥BQ.
(第11题)(第12题)
12.如图,m,n是两条相交直线,l1,l2是与m,n都垂直的两条直线,且直线l与l1,l2都相交,求证∠1=∠2.
13.求证:两条平行直线与同一个平面所成的角相等.
14.如下页图,在棱锥V−ABC中,VO⊥平面ABC,O∈CD,VA=VB,AD=BD,你能判定CD⊥AB,以及AC=BC吗?
(第14题)(第15题)
15.如图,在正方形SG1G2G3中,E,F分别是G1G2,G2G3的中点,D是EF的中点.若沿SE,SF及EF把这个正方形折成一个四面体,使G1,G2,G3三点重合,重合后的点记为G,则在四面体S−EFG中,哪些棱与面互相垂直?
16.求证：垂直于两个平行平面中的一个平面的直线也垂直于另一个平面.
17.求证:三个两两垂直的平面的交线也两两垂直.
18.如图,在三棱锥V−ABC中,VA=VB=AB=AC=BC=2,VC=1,作出二面角V−AB−C的平面角,并求出它的余弦值.
(第18题)
【拓广探索】
19.如图,在直三棱柱ABC−A1B1C1中,∠ABC=90∘,AA1=AB,求证A1C⊥AB1.
(第19题)(第20题)
20.如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上的动点,过动点C的直线VC垂直于⊙O所在平面,D,E分别是VA,VC的中点.判断直线DE与平面VBC的位置关系,并说明理由.
21.如图,在四棱锥P−ABCD中,底面ABCD为正方形,PA⊥底面ABCD,PA=AB,E为线段PB的中点,F为线段BC上的动点.平面AEF与平面PBC是否互相垂直?如果垂直,请证明;如果不垂直,请说明理由.
(第21题)
【阅读与思考】
欧几里得《原本》与公理化方法
古希腊最为重要的数学著作《原本》是由古希腊数学家欧几里得编著,大约在公元前300年左右完成的.欧几里得将公元前7世纪以来希腊几何学家积累起来的丰富成果收集、整理起来,并且加以系统化.他从少数已被经验反复验证的公理出发,运用逻辑推理以及数学运算方法演绎出一系列定理与推论,写成了十三卷数学巨著《原本》,使几何学成为一门独立的、演绎的科学.
欧几里得(Euclid,约公元前330一约前275)
欧几里得《原本》在人类数学史中第一次给出了公理化的数学体系.过去所积累下来的数学知识是零碎的、片断的,欧几里得借助逻辑方法,把这些知识组织起来,加以分类、比较,揭示彼此间的内在联系,把它们组织在一个严密的系统之中.《原本》体现的理性精神对数学的发展产生了深远影响,它跨越地域、民族、语言、时间的障碍传播到了整个世界,其中公理化方法作为一种理论形式为人们普遍接受.按照数学的定义、公理与三段论的逻辑论证来组织数学理论已成为人们的共识.《原本》为数学发展树起一面旗帜,并成为理性思维的象征.
什么是公理化方法呢?
公理化方法就是从尽可能少的原始概念(基本概念)和尽可能少的一组不加证明的原始命题(公理、公设)出发,通过严格的逻辑推理,推导出其余的命题,使某一数学分支成为演绎系统的一种方法.
基本概念是不加定义的,它们必须是真正基本的,无法用更原始、更基本的概念定义.如中学数学中的点、直线、平面、集合等概念都是基本概念.
公理是对基本概念间的相互关系和基本性质所作的一种阐述和规定.如“两点确定一条直线"“过不在同一条直线上的三个点,有且只有一个平面”等都是作为公理的命题.
公理化方法主要有以下三个作用:
1.概括整理数学知识.《原本》就是欧几里得用公理化的方法把零散的几何知识归为一体,树立了以公理化方法研究数学的典范.
2.促进新理论的创立.由于公理化方法把数学分支的基础分析得十分清楚,结构严谨有序,这就有利于比较数学各分支实质上的异同,从而推动和促进数学新理论的产生,促进数学基础的研究与探索.例如,非欧几何就是在研究和应用公理化的过程中产生的.
3.对其他学科有示范作用.由于数学公理化方法表述数学理论的简捷性、条理性,以及结构的和谐性,为其他科学理论的表述起了示范作用.其他科学纷纷效法,建立了自己的公理化系统.例如,牛顿仿效欧氏几何,把哥白尼到开普勒时期所积累的力学知识用公理化方法组成一个逻辑体系,使得人们能够从万有引力定律(公理)和牛顿三定律(公理)出发,依逻辑方法把力学定律逐条推出.杰弗逊的《独立宣言》、马克思的《资本论》、马尔萨斯的《人口论》也都借鉴了公理化的思想方法.
《原本》是一部影响人类文明进程的不朽之作.两千多年来,它一直是几何学的标准教材,哥白尼、伽利略、笛卡儿、牛顿等伟大的科学家都对它做过深入钻研,深刻体会了其中的公理化方法,并借鉴到自已的科学工作中,从而对人类文明作出了伟大贡献.
【文献阅读与数学写作*】
几何学的发展
目的:了解欧氏几何的发展以及对数学和人类文明的贡献.
要求:题目自拟,主题突出,论述清楚.
过程：阅读书籍、请教老师、专家或者上网收集欧氏几何发展的历史资料,如发展过程、重要结果、主要人物、关键事件以及对数学和人类文明的贡献等.
交流：将论文发至班级QQ群或者微信群,或者制作板报等,供大家学习、交流,进一步了解欧氏几何对数学以及人类文明的贡献.
【小结】
一、本章知识结构
二、回顾与思考
立体几何是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学分支.在本章,我们从对空间几何体的整体观察入手,通过认识柱、锥、台、球等基本立体图形的组成元素及其相互关系,认识了这些图形的几何结构特征,学习了它们在平面上的直观图表示以及它们的表面积和体积的计算.然后以组成立体图形的基本元素——点、直线、平面为对象,在研究平面基本性质的基础上,认识了空间点、直线、平面的位置关系,重点研究了直线、平面的平行和垂直这两种特殊的位置关系.
直观感知、操作确认、推理论证、度量计算是我们认识和探索空间图形、研究它们性质的重要手段.通过对实物模型的直观感知和操作,我们认识了空间几何体的结构特征,进一步掌握了在平面上表示空间图形的方法,了解了它们的表面积和体积的计算.通过对图形的直观想象,我们认识了刻画平面性质的三个基本事实.在给出直线、平面平行(垂直)的定义(即给出了这种位置关系的一个充要条件)后,通过探究直线、平面平行(垂直)的充分条件,我们得到了相应位置关系的判定定理;通过探究直线、平面平行(垂直)的必要条件,我们得到了相应位置关系的性质定理,并进行了证明.在这一过程中,我们可以充分感受到,通过直观想象、类比、归纳等发现数学命题,再通过逻辑推理证明命题,进而获得数学定理,这是研究数学对象的“基本之道”.其中,我们应特别注意学习,在明确研究对象或问题的基础上,如何通过归纳、类比等发现数学规律、提出数学猜想的方法,这对提升我们的创新思维水平是非常重要的.
空间图形问题经常转化为平面图形问题,这是解决空间图形问题的重要思想方法.简单地说,就是要把相关的点、直线(段)转化到同一个平面上,而转化的基本依据就是四个基本事实.例如,探究直线与平面平行的性质,就是在直线a平行于平面α的条件下,探究直线a、平面α与空间中其他直线、平面的位置关系,利用基本事实可以发现,过a的平面β与α的交线与a平行,而且这些交线相互平行.
在研究直线、平面的位置关系时,由简单到复杂、由易到难是研究的一般思路.我们利用直线与直线的位置关系,研究直线与平面的位置关系,利用直线与平面的位置关系研究平面与平面的位置关系.反过来,由平面与平面的位置关系可进一步掌握直线与平面的位置关系,由直线与平面、平面与平面的位置关系又可进一步确定直线与直线的位置关系.这种方法,是我们研究与解决空间直线、平面位置关系的重要方法.
请你带着下面的问题,复习一下全章的内容吧!
1.我们是从哪些角度入手研究基本几何体的结构特征的?你能用基本几何体的结构特征解释身边物体的结构吗?请举例说明.
2.对于空间几何体,可以有不同的分类.你能选择不同的分类标准对柱、锥、台、球等空间几何体进行分类吗?请举例说明.
3.利用斜二测画法可以画出空间几何体的直观图.你能结合实例说出用斜二测画法画空间几何体的直观图的基本步骤吗?
4.如何计算柱、锥、台、球的表面积和体积?你能说出柱、锥、台的体积公式之间的联系吗?
5.刻画平面的三个基本事实是立体几何公理体系的基石,是研究空间图形、进行逻辑推理的基础.实际上,三个基本事实刻画了平面的“平”、平面的“无限延展”.你能归纳一下刻画的方法时?
6.在直线、平面的位置关系中,“平行”和“垂直”是最重要的.
(1)在研究这些位置关系的判定时,我们采用了哪些思想方法?以直线与平面垂直为例,总结一下研究判定的内容、过程和方法.
(2)研究这些位置关系的性质,实际上就是要研究什么问题?以两个平面相互垂直为例,总结一下研究性质的内容、过程和方法.
复习参考题8
【复习巩固】
1.从多面体角度去考察棱柱、棱锥、棱台,填写下列表格:
2.在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中,AB//CD,∠DAB=90∘,AB=2,CD=1,AD=3,AA1=4.
(1)画出四棱柱ABCD−A1B1C1D1的直观图;
(2)将四棱柱ABCD−A1B1C1D1补成一个长方体,并说出补上的几何体的名称.
3.填空题
(1)正方体的棱长扩大到原来的n倍,则其表面积扩大到原来的__________倍，体积扩大到原来的__________倍;
(2)球的半径扩大到原来的n倍,则其表面积扩大到原来的___________倍,体积扩大到原来的__________倍.
4.如图,一块边长为10cm的正方形铁片上有四块阴影部分.将这些阴影部分裁下来,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,把容器的容积V(单位:cm3)表示为x(单位:cm)的函数.
(第4题)
5.三个平面可将空间分成几部分?请分情况说明.
6.已知α,β,γ是三个平面,且α∩β=a,α∩γ=b,β∩γ=c.
(1)若a∩b=O,求证:a,b,c三线共点.
(2)若a//b,则a与c,b与c有什么关系?为什么?
7.如下页图,四边形A'B'C'D'是◻ABCD在平面α上的投影AA'//BB'//CC'//DD',求证:四边形A'B'C'D'是平行四边形.
(第7题)(第8题)
8.如图,一块正方体形木料的上底面有一点E.若经过点E在上底面上画一条直线与CE垂直,则应该怎样画?
9.如图,在三棱锥P−ABC中,PC⊥底面ABC,AB⊥BC,D,E分别是AB,PB的中点.求证:
(1)DE//平面PAC;
(2)AB⊥PB.
(第9题)
【综合运用】
10.如图,在边长为2的正方形ABCD中,点E是AB的中点,点F是BC的中点,将△AED,△BEF,△DCF分别沿DE,EF,DF折起,使A,B,C三点重合于点A'.
(1)求证A'D⊥EF;
(2)求三棱锥A'−EFD的体积.
(第10题)
11.如图,在四面体A−BCD中,AD⊥平面BCD,M是AD的中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上,且AQ=3QC.求证:PQ//平面BCD.
(第11题)(第12题)
12.如上页图,在正方体ABCD−A1B1C1D1中,求证:
(1)B1D⊥平面A1BC1;
(2)B1D与平面A1BC1的交点H是△A1C1B的重心.
13.如图,在三棱锥P−ABC中,∠ACB=90∘,PA⊥底面ABC.
(1)求证:平面PAC⊥平面PBC;
(2)若AC=BC=PA,M是PB的中点,求AM与平面PBC所成角的正切值.
(第13题)(第14题)
14.如图,在四棱锥P−ABCD中,底面ABCD为正方形,侧面PAD是正三角形,侧面PAD⊥底面ABCD,M是PD的中点.
(1)求证:AM⊥平面PCD;
(2)求侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值.
【拓广探索】
15.从直线a,b和平面ω这三个空间元素中任取两个,若已知它们与第三个元素有平行或垂直关系,则所取的两个元素是否也有平行或垂直关系?你能得到哪些结论?写出一些你认为重要的.如果三个元素分别是直线m、平面α和β,你能得到哪些结论?
16.已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.若直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则().
(A)α//β,l//α(B)α与β相交,且交线平行于l
(C)α⊥β,l⊥β(D)α与β相交,且交线垂直于l
多面体
顶点数V
棱数E
面数F
V+F−E
n棱柱
n棱锥
n棱台