江苏省苏州市昆山市2017届九年级(上)期中数学试卷(含解析)

这是一份江苏省苏州市昆山市2017届九年级(上)期中数学试卷(含解析)，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．请将下列各题唯一正确的选项代号填涂在答题卡相应的位置上）
1．一元二次方程3x2﹣5x=0的二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．3，5 B．3，﹣5 C．3，0 D．5，0
2．函数y=ax2的图象与a无关的是（ ）
A．开口方向 B．开口大小 C．最高点的坐标 D．对称轴
3．关于x的一元二次方程x2﹣5x+p2﹣2p+5=0的一个根为1，则实数p的值是（ ）
A．4 B．0或2 C．1 D．﹣1
4．由二次函数y=2（x﹣3）2+1，可知（ ）
A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线x=﹣3
C．其最小值为1 D．当x＜3时，y随x的增大而增大
5．把二次函数y=﹣x2﹣x+3配方化为y=a（x﹣h）2+k形式（ ）
A．y=﹣（x﹣2）2+2 B．y=﹣（x﹣2）2+4
C．y=﹣（x+2）2+4 D．y=﹣（x﹣1）2+3
6．根据下面表格中的对应值：
判断关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个解x的范围是（ ）
A．x＜3.24 B．3.24＜x＜3.25 C．3.25＜x＜3.26 D．x＞3.26
7．已知关于x的一元二次方程（1﹣k）x2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的最大整数值是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
8．如图，函数y=﹣ax2和y=ax+b在同一直角坐标系中的图象可能为（ ）

A． B． C． D．
9．关于抛物线y=ax2和y=﹣ax2（a≠0），给出下列说法：
①两条抛物线都关于x轴对称；②两条抛物线都关于原点对称；
③两条抛物线各自关于y轴对称；④两条抛物线有公共的顶点．
其中正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．二次函数y=2x2+mx﹣5的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），且x12+x22=，则m的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．3或﹣3 D．以上都不对
二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共24分）
11．若关于x的一元二次方程（m+2）x|m|+2x﹣1=0是一元二次方程，则m= ．
12．若抛物线y=（m﹣1）x开口向下，则m= ．
13．已知关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ．
14．若关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0的一个解是x=1，则2015﹣a﹣b= ．
16．若x2﹣x﹣1=0，那么代数式x3+2x2﹣7的值是 ．
17．若二次函数y=ax2+bx，当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则x取x1+x2时，函数的值为 ．
18．对于任何的实数t，抛物线 y=x2+（2﹣t） x+t总经过一个固定的点，这个点坐标是 ．
三、解答题（本大题共10小题，共76分，应写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明）
19．解方程：
（1）（x+2）2=24 （2）3x2+1=4x．
20．某市2014年投入教育经费2500万元，2016年投入教育经费3025万元．
（1）求2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率；
（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2017年该地区将投入教育经费多少万元．
21．如图，矩形空地的长为13米，宽为8米，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为28平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？
22．阅读下面的材料，回答问题：
解方程x4﹣5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4=0 ①，解得y1=1，y2=4．
当y=1时，x2=1，∴x=±1；
当y=4时，x2=4，∴x=±2；
∴原方程有四个根：x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2．
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到 的目的，体现了数学的转化思想．
（2）解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12=0．
23．关于x的方程kx2+（k+2）x+=0有两个不相等的实数根；
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
24．把抛物线y=ax2+bx+c向左平移2个单位长度，同时向下平移1个单位长度后，恰好与抛物线y=2x2+4x+1重合．请求出a、b、c的值，并画出函数的示意图．
25．已知抛物线y1=ax2+2x+c与直线y2=kx+b交于点A（﹣1，0），B（2，3）．
（1）求a、b、c的值；
（2）直接写出当y1＜y2时，自变量的范围是 ；
（3）已知点C是抛物线的顶点，求△ABC的面积．
26．如图，直线AB过x轴上的点A（2，0），且与抛物线y=ax2相交于B、C两点，B点坐标为（1，1）．
（1）求直线和抛物线所表示的函数表达式；
（2）在抛物线上是否存在一点D，使得S△OAD=S△OBC？若不存在，说明理由；若存在，请求出点D的坐标，与同伴交流．
27．某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．若只在国内销售，销售价格y（元/件）与月销量x（件）的函数关系式为y=﹣x+150，成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w内（元）（利润=销售额﹣成本﹣广告费）．若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件（a为常数，10≤a≤40），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳x2元的附加费，设月利润为w外（元）（利润=销售额﹣成本﹣附加费）．
（1）当x=1000时，y= 元/件；
（2）分别求出w内，w外与y间的函数关系式（不必写x的取值范围）；
（3）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？
28．边长为2的正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D是边OA的中点，连接CD，点E在第一象限，且DE⊥DC，DE=DC．以直线AB为对称轴的抛物线过C，E两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P从点C出发，沿射线CB每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒．过点P作PF⊥CD于点F，当t为何值时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似？
（3）点M为直线AB上一动点，点N为抛物线上一动点，是否存在点M，N，使得以点M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

2016-2017学年江苏省苏州市昆山市九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．请将下列各题唯一正确的选项代号填涂在答题卡相应的位置上）
1．一元二次方程3x2﹣5x=0的二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．3，5B．3，﹣5C．3，0D．5，0
【考点】一元二次方程的一般形式．
【分析】一元二次方程的般形式为ax2+bx+c=0（a≠0），其中，二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项为c．
【解答】解：一元二次方程3x2﹣5x=0的二次项系数和一次项系数分别是：3，﹣5
故：选B

2．函数y=ax2的图象与a无关的是（ ）
A．开口方向B．开口大小C．最高点的坐标D．对称轴
【考点】二次函数的性质；二次函数的图象．
【分析】二次函数中二次项系数a决定了二次函数的开口方向及大小，同时也决定了是最高点和最低点，可得出答案．
【解答】解：
在二次函数y=ax2中，a决定了二次函数的开口方向和开口大小，
∴A、B选项都与a有关，
当a＞0时，抛物线有最低点，当a＜0时，抛物线有最高点，
∴a也决定最高点的坐标，故C选项也有a有关，
不论a取何值，对称轴都是y轴，
∴函数的对称轴与a无关，
故选D．

3．关于x的一元二次方程x2﹣5x+p2﹣2p+5=0的一个根为1，则实数p的值是（ ）
A．4B．0或2C．1D．﹣1
【考点】一元二次方程的解．
【分析】本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解．
【解答】解：∵x=1是方程的根，由一元二次方程的根的定义，可得p2﹣2p+1=0，解此方程得到p=1．故本题选C．

4．由二次函数y=2（x﹣3）2+1，可知（ ）
A．其图象的开口向下B．其图象的对称轴为直线x=﹣3
C．其最小值为1D．当x＜3时，y随x的增大而增大
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据二次函数的性质，直接根据a的值得出开口方向，再利用顶点坐标的对称轴和增减性，分别分析即可．
【解答】解：由二次函数y=2（x﹣3）2+1，可知：
A：∵a＞0，其图象的开口向上，故此选项错误；
B．∵其图象的对称轴为直线x=3，故此选项错误；
C．其最小值为1，故此选项正确；
D．当x＜3时，y随x的增大而减小，故此选项错误．
故选：C．

5．把二次函数y=﹣x2﹣x+3配方化为y=a（x﹣h）2+k形式（ ）
A．y=﹣（x﹣2）2+2B．y=﹣（x﹣2）2+4C．y=﹣（x+2）2+4D．y=﹣（x﹣1）2+3
【考点】二次函数的三种形式．
【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，即可把一般式转化为顶点式．
【解答】解：y=﹣x2﹣x+3
=﹣（x2+4x+4）+3+1
=﹣（x+2）2+4，
即y=﹣（x+2）2+4．
故选：C．

6．根据下面表格中的对应值：
判断关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个解x的范围是（ ）
A．x＜3.24B．3.24＜x＜3.25C．3.25＜x＜3.26D．x＞3.26
【考点】估算一元二次方程的近似解．
【分析】根据表中数据得到x=3.24时，ax2+bx+c=﹣0.02；x=3.25时，ax2+bx+c=0.01，则x取2.24到2.25之间的某一个数时，使ax2+bx+c=0，于是可判断关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25．
【解答】解：∵x=3.24时，ax2+bx+c=﹣0.02；x=3.25时，ax2+bx+c=0.01，
∴关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25．
故选B．

7．已知关于x的一元二次方程（1﹣k）x2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的最大整数值是（ ）
A．2B．1C．0D．﹣1
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义；一元一次不等式组的整数解．
【分析】若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac＞0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．还要注意二次项系数不为0．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（1﹣k）x2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，
∴△=4+4（1﹣k）＞0，且1﹣k≠0，
解得k＜2，且k≠1，
则k的最大整数值是0．
故选C．

8．如图，函数y=﹣ax2和y=ax+b在同一直角坐标系中的图象可能为（ ）
A．B．C．D．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．
【分析】可先根据一次函数的图象判断a、b的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．
【解答】解：A、由一次函数y=ax+b的图象可得：a＞0，此时二次函数y=﹣ax2的图象应该开口向下，故A错误；
B、由一次函数y=ax+b的图象可得：a＜0，此时二次函数y=﹣ax2的图象应该开口向上，故B错误；
C、由一次函数y=ax+b的图象可得：a＜0，此时二次函数y=﹣ax2的图象应该开口向上，故C错误；
D、由一次函数y=ax+b的图象可得：a＜0，此时二次函数y=﹣ax2的图象应该开口向上，故D正确；
故选：D．

9．关于抛物线y=ax2和y=﹣ax2（a≠0），给出下列说法：
①两条抛物线都关于x轴对称；
②两条抛物线都关于原点对称；
③两条抛物线各自关于y轴对称；
④两条抛物线有公共的顶点．
其中正确的说法有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据两抛物线解析式中只有a的符号不同，可知其只有开口方向不同，可得出答案．
【解答】解：
∵y=ax2和y=﹣ax2中只有二次项系数互为相反数，
∴两条抛物线各自关于y轴对称，有公共的顶点为原点，
故③④正确；
两条抛物线组成的图形是关于x轴对称也关于原点对称的，
但是说两条抛物线都关于x轴对称和原点对称不正确；
故正确的有两个，
故选B．

10．二次函数y=2x2+mx﹣5的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），且x12+x22=，则m的值为（ ）
A．3B．﹣3C．3或﹣3D．以上都不对
【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】利用已知将原式变形得出x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2，进而利用根与系数关系求出即可．
【解答】解：∵二次函数y=2x2+mx﹣5的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），且x12+x22=，
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=﹣2×（﹣）=，
解得：m=±3，
故选：C．

二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共24分）
11．若关于x的一元二次方程（m+2）x|m|+2x﹣1=0是一元二次方程，则m= 2 ．
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．
【解答】解：因为是关于x的一元二次方程，这个方程一定有一个二次项，则（m+2）x|m|一定是此二次项．
所以得到，解得m=2．

12．若抛物线y=（m﹣1）x开口向下，则m= ﹣2 ．
【考点】二次函数的性质．
【分析】由抛物线的定义可得到关于m的方程，可求得m的值，再结合开口向下进行取舍，可求得答案．
【解答】解：
∵y=（m﹣1）x为抛物线，
∴m2﹣m﹣4=2，解得m=﹣2或m=3，
∵抛物线开口向下，
∴m﹣1＜0，
∴m=﹣2，
故答案为：﹣2．

13．已知关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 m＞ ．
【考点】根的判别式．
【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．
【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，a=1，b=﹣1，c=﹣m
∴△=b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×1×（﹣m）＞0，
解得m＞﹣，

14．若关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0的一个解是x=1，则2015﹣a﹣b= 2020 ．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】把x=1代入方程即可求得a+b的值，然后将其整体代入所求的代数式并求值即可．
【解答】解：∵x=1是关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0（a≠0）的一个根，
∴a+b+5=0，
∴a+b=﹣5，
∴2015﹣a﹣b=2015﹣（a+b）=2015+5=2020．
故答案是：2020．

16．若x2﹣x﹣1=0，那么代数式x3+2x2﹣7的值是 ﹣2±2 ．
【考点】因式分解的应用．
【分析】先解x2﹣x﹣1=0求得x，再对代数式变形得x3+2x2﹣7=4x﹣4，再代入计算即可求解．
【解答】解：∵x2﹣x﹣1=0，
解得x=，
x3+2x2﹣7
=x3﹣x2﹣x+x2+x+2x2﹣7
=x（x2﹣x﹣1）+3x2+x﹣7
=3x2﹣3x﹣3+3x+3﹣7+x
=3（x2﹣x﹣1）+4x﹣4
=4x﹣4，
∴原式=4×﹣4
=2×（1±）﹣4
=﹣2±2．
故答案为：﹣2±2．

17．若二次函数y=ax2+bx，当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则x取x1+x2时，函数的值为 0 ．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】由于ax12+bx1=ax22+bx2，移项后分解得到（x1﹣x2）（ax1+ax2+b）=0，而x1≠x2，所以ax1+ax2+b=0，即x1+x2=﹣，然后把x=﹣代入二次函数解析式中计算即可．
【解答】0解：根据题意得ax12+bx1=ax22+bx2，
ax12﹣ax22+bx1﹣bx2=0，
a（x1﹣x2）（x1+x2）+b（x1﹣x2）=0，
（x1﹣x2）（ax1+ax2+b）=0，
∵x1≠x2，
∴ax1+ax2+b=0，即x1+x2=﹣，
∴当x=x1+x2=﹣时，y=a×（﹣）2+b×（﹣）=0．
故答案为0．

18．对于任何的实数t，抛物线 y=x2+（2﹣t） x+t总经过一个固定的点，这个点坐标是 （1，3） ．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】把抛物线解析式整理成关于t的形式，然后令t的系数为0求解即可．
【解答】解：y=x2+（2﹣t）x+t=x2+（1﹣x）t+2x，
当1﹣x=0，即x=1时，y的值与t无关，y=1+2=3，
所以，抛物线y=x2+（2﹣t）x+t总经过一个固定的点（1，3）．
故答案为：（1，3）．

三、解答题（本大题共10小题，共76分，应写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明）
19．解方程：
（1）（x+2）2=24
（2）3x2+1=4x．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣直接开平方法．
【分析】（1）利用直接开平方法解方程；
（2）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）x+2=±2，
所以x1=﹣2+2，x2=﹣2﹣2；
（2）3x2﹣4x+1=0，
（3x﹣1）（x﹣1）=0，
所以x1=，x2=1．

20．某市2014年投入教育经费2500万元，2016年投入教育经费3025万元．
（1）求2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率；
（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2017年该地区将投入教育经费多少万元．
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】（1）一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），2015年要投入教育经费是2500（1+x）万元，在2015年的基础上再增长x，就是2016年的教育经费数额，即可列出方程求解．
（2）利用2016年的经费×（1+增长率）即可．
【解答】解：（1）设增长率为x，根据题意2015年为2500（1+x）万元，2016年为2500（1+x）2万元．
则2500（1+x）2=3025，
解得x=0.1=10%，或x=﹣2.1（不合题意舍去）．
答：这两年投入教育经费的平均增长率为10%．
（2）3025×（1+10%）=3327.5（万元），
答：2017年该地区将投入教育经费3327.5万元．

21．如图，矩形空地的长为13米，宽为8米，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为28平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】设人行道的宽度为x米，根据矩形的面积和为28平方米列出一元二次方程求解即可．
【解答】解：设人行道的宽度为x米，根据题意得，
（13﹣3x）（8﹣2x）=28，
解得：x1=2，x2=（不合题意，舍去）．
答：人行道的宽为2米．

22．阅读下面的材料，回答问题：
解方程x4﹣5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4=0 ①，解得y1=1，y2=4．
当y=1时，x2=1，∴x=±1；
当y=4时，x2=4，∴x=±2；
∴原方程有四个根：x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2．
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用 换元 法达到 降次 的目的，体现了数学的转化思想．
（2）解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12=0．
【考点】换元法解一元二次方程．
【分析】（1）本题主要是利用换元法降次来达到把一元四次方程转化为一元二次方程，来求解，然后再解这个一元二次方程．
（2）利用题中给出的方法先把x2+x当成一个整体y来计算，求出y的值，再解一元二次方程．
【解答】解：（1）换元，降次
（2）设x2+x=y，原方程可化为y2﹣4y﹣12=0，
解得y1=6，y2=﹣2．
由x2+x=6，得x1=﹣3，x2=2．
由x2+x=﹣2，得方程x2+x+2=0，
b2﹣4ac=1﹣4×2=﹣7＜0，此时方程无实根．
所以原方程的解为x1=﹣3，x2=2．

23．关于x的方程kx2+（k+2）x+=0有两个不相等的实数根；
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
【考点】根的判别式；根与系数的关系．
【分析】（1）由于x的方程kx2+（k+2）x+=0有两个不相等的实数根，由此可以得到判别式是正数，这样就可以得到关于k的不等式，解不等式即可求解；
（2）不存在符合条件的实数k．设方程kx2+（k+2）x+=0的两根分别为x1、x2，由根与系数关系有：x1+x2=﹣，x1•x2=，又+=，然后把前面的等式代入其中即可求k，然后利用（1）即可判定结果
【解答】解：（1）由△=[（k+2）]2﹣4×k•＞0，
∴k＞﹣1
又∵k≠0，
∴k的取值范围是k＞﹣1，且k≠0；
（2）不存在符合条件的实数k
理由：设方程kx2+（k+2）x+=0的两根分别为x1、x2，
由根与系数关系有：x1+x2=﹣，x1•x2=，
又∵+==0，
∴=0，
解得k=﹣2，
由（1）知，k=﹣2时，△＜0，原方程无实解，
∴不存在符合条件的k的值．

24．把抛物线y=ax2+bx+c向左平移2个单位长度，同时向下平移1个单位长度后，恰好与抛物线y=2x2+4x+1重合．请求出a、b、c的值，并画出函数的示意图．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】根据目标函数图象向相反的方向平移，可得原函数图象，根据图象右移减，上移加，可得答案．
【解答】解：将y=2x2+4x+1整理，得y=2（x+1）2﹣1．
∵抛物线y=ax2+bx+c向左平移2个单位长度，
再向下平移1个单位长度，得y=2x2+4x+1=2（x+1）2﹣1，
∴将y=2x2+4x+1=2（x+1）2﹣1向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，即得y=ax2+bx+c，故y=ax2+bx+c=2（x+1﹣2）2﹣1+1=2（x﹣1）2=2x2﹣4x+2，
∴a=2．b=﹣4，c=2．
示意图如图所示．

25．已知抛物线y1=ax2+2x+c与直线y2=kx+b交于点A（﹣1，0），B（2，3）．
（1）求a、b、c的值；
（2）直接写出当y1＜y2时，自变量的范围是 x＜﹣1或x＞2 ；
（3）已知点C是抛物线的顶点，求△ABC的面积．
【考点】二次函数与不等式（组）；二次函数的性质．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得；
（2）判断抛物线的开口，根据交点坐标即可求得；
（3）先利用配方法求出抛物线的顶点C的坐标，设对称轴与直线y2=x+1交于点M，求出M（1，2），那么CM=4﹣2=2，再根据S△ABC=S△AMC+S△MBC，即可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y1=ax2+2x+c与直线y2=kx+b交于点A（﹣1，0）、B（2，3）．
∴，，
解得，，
∴a=﹣1，b=1，c=3；
（2）∵y1=﹣x2+2x+3，a=﹣1＜0，y2=x+1，
∴抛物线的开口向下，
∴x＜﹣1或x＞2时，抛物线上的部分在直线的下方，
∴当y1＜y2时，自变量的范围是x＜﹣1或x＞2．
故答案为 x＜﹣1或x＞2；
（3）∵y1=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的顶点C的坐标为（1，4）．
设对称轴与直线y2=x+1交于点M，
∵当x=1时，y=1+1=2，
∴M（1，2），
∴CM=4﹣2=2，
∵A（﹣1，0），B（2，3），
∴S△ABC=×2×（2+1）=3．

26．如图，直线AB过x轴上的点A（2，0），且与抛物线y=ax2相交于B、C两点，B点坐标为（1，1）．
（1）求直线和抛物线所表示的函数表达式；
（2）在抛物线上是否存在一点D，使得S△OAD=S△OBC？若不存在，说明理由；若存在，请求出点D的坐标，与同伴交流．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）已知直线AB经过A（2，0），B（1，1），设直线表达式为y=ax+b，可求直线解析式；将B（1，1）代入抛物线y=ax2可求抛物线解析式；
（2）已知A，B，C三点坐标，根据作差法可求△OBC的面积，在△DOA中，已知面积和底OA，可求OA上的高，即D点纵坐标，代入抛物线解析式求横坐标，得出D点坐标．
【解答】解：（1）设直线表达式为y=ax+b．
∵A（2，0），B（1，1）都在y=ax+b的图象上，
∴．
∴直线AB的表达式y=﹣x+2．
∵点B（1，1）在y=ax2的图象上，
∴a=1，其表达式为y=x2．
（2）∵，
解得或，
∴点C坐标为（﹣2，4），设D（a，a2）．
∴S△OAD=|OA|•|yD|=×2•a2=a2．
∴S△BOC=S△AOC﹣S△OAB=×2×4﹣×2×1=3．
∵S△BOC=S△OAD，
∴a2=3，
即a=±．
∴D点坐标为（，3），（﹣，3）．

27．某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．若只在国内销售，销售价格y（元/件）与月销量x（件）的函数关系式为y=﹣x+150，成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w内（元）（利润=销售额﹣成本﹣广告费）．若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件（a为常数，10≤a≤40），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳x2元的附加费，设月利润为w外（元）（利润=销售额﹣成本﹣附加费）．
（1）当x=1000时，y= 140 元/件；
（2）分别求出w内，w外与y间的函数关系式（不必写x的取值范围）；
（3）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）将x的值代入y关于x的解析式即可解题；
（2）根据利润等于销售利润去掉附加费即可求得w内、w外的值，再根据月利润为360000元即可求得x的值，即可解题；
（3）根据x=5000，即可求得w内的值和w外关于a的一次函数式，即可解题．
【解答】解：（1）将x=1000代入y=﹣x+150得：y=140，
故答案为 140；
（2）w内=x（y﹣20）﹣62500=﹣x2+130x﹣62500，
w外=﹣x2+x；
（3）当x=5000时，w内=337500，
w外=﹣5000a+500000，
若w内＜w外，则a＜32.5；
若w内=w外，则a=32.5；
若w内＞w外，则a＞32.5，
所以，当10≤a＜32.5时，选择在国外销售；
当a=32.5时，在国外和国内销售都一样；
当32.5＜a≤40时，选择在国内销售．

28．边长为2的正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D是边OA的中点，连接CD，点E在第一象限，且DE⊥DC，DE=DC．以直线AB为对称轴的抛物线过C，E两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P从点C出发，沿射线CB每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒．过点P作PF⊥CD于点F，当t为何值时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似？
（3）点M为直线AB上一动点，点N为抛物线上一动点，是否存在点M，N，使得以点M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）根据正方形的性质，可得OA=OC，∠AOC=∠DGE，根据余角的性质，可得∠OCD=∠GDE，根据全等三角形的判定与性质，可得EG=OD=1，DG=OC=2，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）分类讨论：若△DFP∽△COD，根据相似三角形的性质，可得∠PDF=∠DCO，根据平行线的判定与性质，可得∠PDO=∠OCP=∠AOC=90，根据矩形的判定与性质，可得PC的长；若△PFD∽△COD，根据相似三角形的性质，可得∠DPF=∠DCO， =，根据等腰三角形的判定与性质，可得DF于CD的关系，根据相似三角形的相似比，可得PC的长；
（3）分类讨论：▱MDNE，▱MNDE，▱NDME，根据一组对边平行且相等的四边形式平行四边，可得答案．．
【解答】解：（1）方法一：
过点E作EG⊥x轴于G点．
∵四边形OABC是边长为2的正方形，D是OA的中点，
∴OA=OC=2，OD=1，∠AOC=∠DGE=90°．
∵∠CDE=90°，
∴∠ODC+∠GDE=90°．
∵∠ODC+∠OCD=90°，
∴∠OCD=∠GDE．
在△OCD和△GED中，
∴△ODC≌△GED （AAS），
∴EG=OD=1，DG=OC=2．
∴点E的坐标为（3，1）．
∵抛物线的对称轴为直线AB即直线x=2，
∴可设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+k，
将C、E点的坐标代入解析式，得
．
解得，
抛物线的解析式为y=（x﹣2）2+；
方法二：
过点E作EG⊥x轴于G点．
DE⊥DC⇒∠CDO+∠EDH=90°，
EG⊥x轴⇒∠DEH+∠EDH=90°，
∴∠CDO=∠DEH，DC=DE，
∴△ODC≌△GED⇒DG=OC=2，EG=OD=1，
∴E（3，1），
∴9a+3b+2=0，
∵﹣=2，
抛物线的解析式为y=（x﹣2）2+；
（2）方法一：
①若△DFP∽△COD，则∠PDF=∠DCO，
∴PD∥OC，
∴∠PDO=∠OCP=∠AOC=90°，
∴四边形PDOC是矩形，
∴PC=OD=1，
∴t=1；
②若△PFD∽△COD，则∠DPF=∠DCO， =．
∴∠PCF=90°﹣∠DCO=90﹣∠DPF=∠PDF．
∴PC=PD，
∴DF=CD．
∵CD2=OD2+OC2=22+12=5，
∴CD=，
∴DF=．
∵=，
∴PC=PD=×=，
t=，
综上所述：t=1或t=时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似；
方法二：
过点F作x轴的垂线，分别交BC，OA于G，H，
PF⊥CD⇒∠PFG+∠DFH=90°，
GH⊥OA⇒∠FDH+∠DFH=90°，
∴∠PFG=∠FDH⇒△PFG∽△FDH⇒，
∵PF⊥CD⇒KPF×KCD=﹣1，
∴lCD：y=﹣2x+2，
∴F（m，﹣2m+2），P（t，2），
∴，
∴m=，
∴F（，﹣），
∴=，
∴以P，F，D为顶点的三角形与△COD相似，
①，∴，∴t=，
②，∴，∴t=1，
综上所述：t=1或t=时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似；
方法三：
若以P，F，D为顶点的三角形与△COD相似，
则∠OCD=∠PDF或∠ODC=∠PDF，
①∠OCD=∠PDF⇒PD∥OC，∴CP=OD=1，∴t=1，
②∠ODC=∠PDF，作OO′⊥CD交CD于H，
∴KOO′×KCD=﹣1，
∴lCD：y=﹣2x+2，
∴H（m，﹣2m+2），
∴﹣2×=﹣1，
∴m=，
∴H（，），
∵H为OO′中点，∴O′（，），
∴lO′D：y=，
令y=2，∴x=，
即P（，2），
∴t=．
（3）存在，
四边形MDEN是平行四边形时，M1（2，1），N1（4，2）；
四边形MNDE是平行四边形时，M2（2，3），N2（0，2）；
四边形NDME是平行四边形时，M3（2，），N3（2，）．

2017年3月19日
x
3.24
3.25
3.26
ax2+bx+c
﹣0.02
0.01
0.03
x
3.24
3.25
3.26
ax2+bx+c
﹣0.02
0.01
0.03