江苏省无锡市锡山区锡东片2017届九年级(上)期中数学试卷(含解析)

这是一份江苏省无锡市锡山区锡东片2017届九年级(上)期中数学试卷(含解析)，共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）
1．一元二次方程x2+ax﹣2=0的一个根为1，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
2．已知a：b=3：5，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．等腰三角形的底和腰是方程x2﹣6x+8=0的两根，则这个三角形的周长为（ ）
A．8 B．10 C．8或10 D．不能确定
4．方程x2﹣2x+3=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．有一个实数根
5．如图，添加下列一个条件，不能使△ADE∽△ACB的是（ ）
A． = B．∠AED=∠B C． = D．∠ADE=∠C
6．若⊙P的半径为5，圆心P的坐标为（﹣3，4），则平面直角坐标系的原点O与⊙P的位置关系是（ ）
A．在⊙P内 B．在⊙P上 C．在⊙P外 D．无法确定
7．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB=40°，则∠A的度数等于（ ）
A．60° B．30° C．40° D．50°
8．现有一张面积是240cm2的长方形纸片，且它的长比宽多8cm，可设长方形纸片的宽为x，则根据题意可列得一元二次方程为（ ）
A．x（x+8）=240B．x（x﹣8）=240C．x（x﹣8）=120D．x（x+8）=120
9．如图是由10个半径相同的圆组合而成的烟花横截面，点A、B、C分别是三个角上的圆的圆心，且三角形ABC为等边三角形．若圆的半径为r，组合烟花的高为h，则组合烟花侧面包装纸的面积至少需要（接缝面积不计）（ ）
A．18πrh B．2πrh+18rh C．πrh+12rh D．2πrh+12rh
10．如图，以M（﹣5，0）为圆心、4为半径的圆与x轴交于点A、B，P是⊙M上异于A、B的一动点，直线PA、PB分别交y轴于点C、D，以CD为直径的⊙N于x轴交于点E、F，则EF的长（ ）
A．等于4 B．等于4 SHAPE \* MERGEFORMAT C．等于6 D．随点P的位置而变化
二、填空题（本大题共8小题，每空2分，共16分.）
11．观察方程（x﹣1）（x+2）=0的解是 ．
12．△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是 ．
13．在比例尺为1：50000的地图上，量得A、B两地的图上距离AB=3cm，则A、B两地的实际距离为 km．
14．若圆锥的底面半径为2，母线长为3，则圆锥的侧面积等于 ．
15．相邻两边长的比值是黄金分割数的矩形，叫做黄金矩形，从外形看，它最具美感．现在想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等于10厘米，那么相邻一条边的边长等于 厘米．（保留根号）
16．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16厘米，则球的半径为 厘米．
17．已知：点A（0，4），B（0，﹣6），C为x轴正半轴上一点，且满足∠ACB=45°，则点C坐标为 ．
18．如图，在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，若点M、N分别是线段AB、AC上的两个动点，则CM+MN的最小值为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共84分，写出必要的解题步骤和过程）
19．解方程
（1）（x﹣2）2=9； （2）x2+3x+1=0．
20．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧．
（1）圆弧所在圆的圆心P的坐标为
（2）圆弧所在圆的半径为
（3）扇形PAC的面积为
（4）把扇形PAC围成一个圆锥，该圆锥底面圆的半径为 ．
21．如图，已知点D是△ABC的边AC上的一点，连接BD．∠ABD=∠C，AB=6，AD=4．
（1）求证：△ABD∽△ACB；
（2）求线段CD的长．
22．阅读材料：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当判别式△=b2﹣4ac≥0时，其求根公式为：x=；若两根为x1，x2，当△≥0时，则两根的关系为：x1+x2=﹣；x1•x2=
应用：
（1）方程x2﹣2x+1=0的两实数根分别为x1，x2，则x1+x2= x1•x2=
（2）若方程方程x2﹣2mx=﹣m2+2x的两个实数根x1•x2满足|x1|=x2，求实数m的值．
23．如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB．
（1）求证：AD⊥DC；
（2）若AD=2，AC=，求AB的长．
24．如图，AB切⊙O于点B，AC交⊙O于点M、N，若四边形OABN恰为平行四边形，且弦BN的长为10cm．
（1）求⊙O的半径长及图中阴影部分的面积S．
（2）求MN的长．
25．2014年，锡东新城碧桂苑楼盘以均价每平方米8000元的均价对外销售．由于受周边地区及炒房的影响，该楼盘在二年内疯涨，至2016年该楼盘的均价为每平方米11520元．如果设每年的增长率相同．
（1）求平均每年增长的百分率；
（2）假设2017年该楼盘的均价仍然增长相同的百分率，有一工作了十年的李老师准备购买一套100平方米的住房，他持有现金80万元，可在银行贷款50万元，李老师的愿望能否实现？（房价按照均价计算，不考虑其它因素．）
26．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值．
27．（1）已知点P为线段AB上一点如图1，射线PM⊥AB，用直尺和圆规在PM上找一点C，使得PC2=AP•PB
（2）如图2，平行四边形ABCD中，DP⊥AB于P，PD2=AP•PB，△BCD的面积和周长均为24，求PD的长．
28．定义：y是一个关于x的函数，若对于每个实数x，函数y的值为三数x+2，2x+1，﹣5x+20中的最小值，则函数y叫做这三数的最小值函数．
（1）画出这个最小值函数的图象，并判断点A（1，3）是否为这个最小值函数图象上的点；
（2）设这个最小值函数图象的最高点为B，点A（1，3），动点M（m，m）．
①直接写出△ABM的面积，其面积是 ；
②若以M为圆心的圆经过A，B两点，写出点M的坐标；
③以②中的点M为圆心，以为半径作圆．在此圆上找一点P，使PA+PB的值最小，直接写出此最小值．
附：下列知识可直接应用：
1、中点公式：已知A（x₁，y₁）与 B（x₂，y₂），则线段AB的中点M的坐标为：M （， ）
2、如果两条直线y=k1x+m，和y=k2x+n垂直，则k1•k2=﹣1．

2016-2017学年江苏省无锡市锡山区锡东片九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）
1．一元二次方程x2+ax﹣2=0的一个根为1，则a的值为（ ）
A．1B．2C．﹣1D．﹣2
【考点】一元二次方程的解．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=1代入关于x的一元二次方程x2+ax﹣2=0，列出关于a的方程，通过解该方程求得a值即可．
【解答】解：∵一元二次方程x2+ax﹣2=0的一个根为1，
∴x=1满足关于x的一元二次方程x2+ax﹣2=0，
∴1+a﹣2=0，
解得，a=1；
故选：A．

2．已知a：b=3：5，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【考点】比例的性质．
【分析】根据比例设a=3k，b=5k，然后代入比例式进行计算即可得解．
【解答】解：∵a：b=3：5，
∴设a=3k，b=5k，
则==．
故选B．

3．等腰三角形的底和腰是方程x2﹣6x+8=0的两根，则这个三角形的周长为（ ）
A．8B．10C．8或10D．不能确定
【考点】等腰三角形的性质；解一元二次方程﹣因式分解法；三角形三边关系．
【分析】先求出方程的根，再根据三角形三边关系确定是否符合题意，然后求解．
【解答】解：∵方程x2﹣6x+8=0的解是x=2或4，
（1）当2为腰，4为底时，2+2=4不能构成三角形；
（2）当4为腰，2为底时，4，4，2能构成等腰三角形，周长=4+4+2=10．
故选：B．

4．方程x2﹣2x+3=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．有一个实数根
【考点】根的判别式．
【分析】把a=1，b=﹣2，c=3代入△=b2﹣4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．
【解答】解：∵a=1，b=﹣2，c=3，
∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×3=﹣8＜0，
所以方程没有实数根．
故选：C．

5．如图，添加下列一个条件，不能使△ADE∽△ACB的是（ ）
A． =B．∠AED=∠BC． =D．∠ADE=∠C
【考点】相似三角形的判定．
【分析】（1）三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（2）两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（3）有两组角对应相等的两个三角形相似，结合选项进行判断即可．
【解答】解：A、=，∠A=∠A，不能判断△ADE∽△ACB，故A选项符合题意；
B、∠AED=∠B，∠A=∠A，能确定△ADE∽△ACB，故B选项不符合题意；
C、=，∠A=∠A，能判断△ADE∽△ACB，故C选项不符合题意；
D、∠ADE=∠C，∠A=∠A，能判断△ADE∽△ACB，故D选项不符合题意；
故选：A．

6．若⊙P的半径为5，圆心P的坐标为（﹣3，4），则平面直角坐标系的原点O与⊙P的位置关系是（ ）
A．在⊙P内B．在⊙P上C．在⊙P外D．无法确定
【考点】点与圆的位置关系；坐标与图形性质．
【分析】由勾股定理等性质算出点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
【解答】解：由勾股定理，得
OP==5，
d=r=5，
原点O在⊙P上．
故选：B．

7．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB=40°，则∠A的度数等于（ ）
A．60°B．30°C．40°D．50°
【考点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心．
【分析】因为∠A是所对的圆周角，∠BOC是所对的圆心角，则∠A=∠BOC，因此只要求出∠BOC的度数即可．
【解答】解：∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC，
∵∠OCB=40°，
∴∠OBC=∠OCB=40°，
∴∠BOC=180°﹣40°﹣40°=100°，
∴∠A=∠BOC=×100°=50°，
故选D．

8．现有一张面积是240cm2的长方形纸片，且它的长比宽多8cm，可设长方形纸片的宽为x，则根据题意可列得一元二次方程为（ ）
A．x（x+8）=240B．x（x﹣8）=240C．x（x﹣8）=120D．x（x+8）=120
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】根据矩形的宽表示出矩形的长，利用矩形的面积计算方法列出方程即可．
【解答】解：设长方形纸片的宽为x，则长为（x+8），
根据题意得：x（x+8）=240，
故选A．

9．如图是由10个半径相同的圆组合而成的烟花横截面，点A、B、C分别是三个角上的圆的圆心，且三角形ABC为等边三角形．若圆的半径为r，组合烟花的高为h，则组合烟花侧面包装纸的面积至少需要（接缝面积不计）（ ）
A．18πrhB．2πrh+18rhC．πrh+12rhD．2πrh+12rh
【考点】相切两圆的性质；等边三角形的性质．
【分析】根据图形可以看出截面的周长等于9个圆的直径和1个半径为r的圆的周长的和，用周长乘以组合烟花的高即可．
【解答】解：由图形知，三角形ABC为等边三角形边长为6r，
∴其周长为3×6r=18r，
∵一个圆的周长为：2πr，
∴截面的周长为：18r+2πr，
∴组合烟花的侧面包装纸的面积为：（18r+2πr）h=18rh+2πrh．
故选：B．

10．如图，以M（﹣5，0）为圆心、4为半径的圆与x轴交于点A、B，P是⊙M上异于A、B的一动点，直线PA、PB分别交y轴于点C、D，以CD为直径的⊙N于x轴交于点E、F，则EF的长（ ）
A．等于4B．等于4
C．等于6D．随点P的位置而变化
【考点】相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质；圆周角定理．
【分析】连接NE，设圆N半径为r，ON=x，则OD=r﹣x，OC=r+x，证△OBD∽△OCA，推出OC：OB=OA：OD，即（r+x）：1=9：（r﹣x），求出r2﹣x2=9，根据垂径定理和勾股定理即可求出答案．
【解答】解：连接NE，
设圆N半径为r，ON=x，则OD=r﹣x，OC=r+x，
∵以M（﹣5，0）为圆心、4为半径的圆与x轴交于A、B两点，
∴OA=4+5=9，0B=5﹣4=1，
∵AB是⊙M的直径，
∴∠APB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∵∠BOD=90°，
∴∠PAB+∠PBA=90°，∠ODB+∠OBD=90°，
∵∠PBA=∠OBD，
∴∠PAB=∠ODB，
∵∠APB=∠BOD=90°，
∴△OBD∽△OCA，
∴OC：OB=OA：OD，
即，
（r+x）（r﹣x）=9，
∴r2﹣x2=9，
由垂径定理得：OE=OF，OE2=EN2﹣ON2=r2﹣x2=9，
即OE=OF=3，
∴EF=2OE=6，
故选：C．

二、填空题（本大题共8小题，每空2分，共16分.）
11．观察方程（x﹣1）（x+2）=0的解是 1或﹣2 ．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【分析】本方程的左边为两个一次因式相乘，右边为0，所以得方程x﹣1=0或x+2=0，直接解答即可．
【解答】解：∵（x﹣1）（x+2）=0
∴x﹣1=0或x+2=0
∴x1=1，x2=﹣2

12．△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是 12 ．
【考点】位似变换．
【分析】根据位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方进行解答即可．
【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似比是1：2，
∴△ABC∽△A′B′C′，相似比是1：2，
∴△ABC与△A′B′C′的面积比是1：4，又△ABC的面积是3，
∴△A′B′C′的面积是12，
故答案为：12．

13．在比例尺为1：50000的地图上，量得A、B两地的图上距离AB=3cm，则A、B两地的实际距离为 1.5 km．
【考点】比例线段．
【分析】由在比例尺为1：50000的地图上，量得A、B两地的图上距离AB=3cm，根据比例尺的定义，可求得两地的实际距离．
【解答】解：∵比例尺为1：5000，量得两地的距离是20厘米，
∴，
∴A、B两地的实际距离=150000cm=1.5km．
故答案为：1.5．

14．若圆锥的底面半径为2，母线长为3，则圆锥的侧面积等于 6π ．
【考点】圆锥的计算．
【分析】根据圆锥的侧面积等于母线长乘底面周长的一半．依此公式计算即可解决问题．
【解答】解：圆锥的侧面积=πrl=2×3π=6π．
故答案为：6π．

15．相邻两边长的比值是黄金分割数的矩形，叫做黄金矩形，从外形看，它最具美感．现在想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等于10厘米，那么相邻一条边的边长等于 5﹣5 厘米．（保留根号）
【考点】黄金分割；矩形的性质．
【分析】根据黄金比值为，计算即可．
【解答】解：设相邻一条边的边长为x厘米，
由题意得， =，
解得，x=5﹣5，
故答案为：5﹣5．

16．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16厘米，则球的半径为 10 厘米．
【考点】垂径定理的应用；勾股定理．
【分析】首先找到EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF=x，则OM是16﹣x，MF=8，然后在直角三角形MOF中利用勾股定理求得OF的长即可．
【解答】解：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，
设OF=x，则OM=16﹣x，MF=8，
在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2
即：（16﹣x）2+82=x2
解得：x=10
故答案为：10．

17．已知：点A（0，4），B（0，﹣6），C为x轴正半轴上一点，且满足∠ACB=45°，则点C坐标为 （12，0） ．
【考点】圆周角定理；坐标与图形性质；勾股定理；等腰直角三角形．
【分析】构造含有90°圆心角的⊙P，则⊙P与x轴的交点即为所求的点C．根据△PBA为等腰直角三角形，可得OF=PE=5，根据勾股定理得：CF==7，进而得出OC=OF+CF=5+7=12，即可得到点C坐标为（12，0）．
【解答】解：设线段BA的中点为E，
∵点A（0，4），B（0，﹣6），
∴AB=10，E（0，﹣1）．
如图所示，过点E在第四象限作EP⊥BA，且EP=AB=5，则
易知△PBA为等腰直角三角形，∠BPA=90°，PA=PB=5；
以点P为圆心，PA（或PB）长为半径作⊙P，与y轴的正半轴交于点C，
∵∠BCA为⊙P的圆周角，
∴∠BCA=∠BPA=45°，即则点C即为所求．
过点P作PF⊥x轴于点F，则OF=PE=5，PF=OE=1，
在Rt△PFC中，PF=1，PC=5，
由勾股定理得：CF==7，
∴OC=OF+CF=5+7=12，
∴点C坐标为（12，0），
故答案为（12，0）．

18．如图，在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，若点M、N分别是线段AB、AC上的两个动点，则CM+MN的最小值为 ．
【考点】轴对称﹣最短路线问题．
【分析】首先作C关于AB的对称点D，作DN⊥A于点N，交AB于点M，则此时CM+MN有最小值，且CM+MN=DM，然后利用直角三角形的性质，求得CD的长，继而证得△DCN∽△ABC，利用相似三角形的对应边成比例，求得答案．
【解答】解：作C关于AB的对称点D，作DN⊥A于点N，交于AB于点M，则此时CM+MN的最小值，且CM+MN=DM，
∵在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，
∴AB==5，
∴CE==，
∴CDD=2CE=，
∵∠D+∠ACE=∠A+∠ACE=90°，
∴∠A=∠D，
∵∠CND=∠ACB=90°，
∴△DCN∽△ABC，
∴，
即，
∴DN=．
∴CM+MN的最小值为：．
故答案为：．

三、解答题（本大题共10小题，共84分，写出必要的解题步骤和过程）
19．解方程
（1）（x﹣2）2=9；
（2）x2+3x+1=0．
【考点】解一元二次方程﹣公式法；解一元二次方程﹣直接开平方法．
【分析】（1）直接开平方法求解可得；
（2）公式法求解可得．
【解答】解：（1）∵（x﹣2）2=9，
∴x﹣2=3或x﹣2=﹣3，
解得：x=5或x=﹣1；
（2）∵a=1，b=3，c=﹣1，
∴△=9﹣4×1×（﹣1）=13，
则x=．

20．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧．
（1）圆弧所在圆的圆心P的坐标为 （2，1）
（2）圆弧所在圆的半径为
（3）扇形PAC的面积为
（4）把扇形PAC围成一个圆锥，该圆锥底面圆的半径为 ．
【考点】垂径定理；坐标与图形性质；圆锥的计算．
【分析】（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
（2）连接PA、DC、AC，由勾股定理求出PA=PC即可；
（3）与勾股定理求出AC，由勾股定理的逆定理证出∠APC=90°，由扇形面积公式计算即可；
（4）由弧长公式和圆的周长即可得出结果．
【解答】解：（1）作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心
如图1所示，圆心P的坐标为（2，1）；
故答案为：（2，1）；
（2）连接PA、PC，如图2所示：
由勾股定理得：PA=PC==，
故答案为：；
（3）∵AC==，
∴PA2+PC2=AC2，
∴△APC是等腰直角三角形，∠APC=90°，
∴扇形PAC的面积==；
故答案为：；
（4）设圆锥底面圆的半径为r，
∵的长==π，
∴2πr=π，
解得：r=；
故答案为：．

21．如图，已知点D是△ABC的边AC上的一点，连接BD．∠ABD=∠C，AB=6，AD=4．
（1）求证：△ABD∽△ACB；
（2）求线段CD的长．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）根据∠ABD=∠C，∠A=∠A，即可证得△ABD∽△ACB；
（2）由（1）知：△ABD∽△ACB，根据相似三角形的性质得到=，代入数据即可得到结果．
【解答】解：（1）∵∠ABD=∠C，∠A=∠A（公共角），
∴△ABD∽△ACB；
（2）由（1）知：△ABD∽△ACB，
∴=，
即=，
∴CD=5．

22．阅读材料：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当判别式△=b2﹣4ac≥0时，其求根公式为：x=；若两根为x1，x2，当△≥0时，则两根的关系为：x1+x2=﹣；x1•x2=
应用：
（1）方程x2﹣2x+1=0的两实数根分别为x1，x2，则x1+x2= 2 x1•x2= 1
（2）若方程方程x2﹣2mx=﹣m2+2x的两个实数根x1•x2满足|x1|=x2，求实数m的值．
【考点】根与系数的关系；解一元二次方程﹣公式法；根的判别式．
【分析】（1）根据方程的系数结合根与系数的关系即可得出结论；
（2）将方程整理成一般式，根据根的判别式即可得出关于m的一元二次不等式，解不等即可得出结论，再分x1=x2或x1=﹣x2两种情况确定m的值，当x1=x2时，利用根的判别式△=0即可求出m值；当x1=﹣x2时，利用根与系数的关系可得出2（m+1）=0，解之即可得出m的值，结合方程有解m的取值范围即可确定该情况不合适．综上即可得出结论．
【解答】解：（1）∵方程x2﹣2x+1=0的两实数根分别为x1，x2，
∴x1+x2=2，x1•x2=1．
故答案为：2；1．
（2）方程整理为x2﹣2（m+1）x+m2=0，
∵关于x的方程x2﹣2mx=﹣m2+2x有两个实数根x1、x2，
∴△=4（m+1）2﹣4m2≥0，解得m≥﹣．
∵|x1|=x2，
∴x1=x2或x1=﹣x2，
当x1=x2，则△=0，所以m=﹣；
当x1=﹣x2，即x1+x2=2（m+1）=0，
解得m=﹣1，
而m≥﹣，
∴m=﹣1舍去．
∴m的值为﹣．

23．如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB．
（1）求证：AD⊥DC；
（2）若AD=2，AC=，求AB的长．
【考点】切线的性质；相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到OC与CD垂直，进而得到∠OCA+∠DCA=90°，由AC为角平分线，根据角平分线定义得到两个角相等，又OA=OC，根据等边对等角得到又得到另两个角相等，等量代换后得到∠DAC=∠OCA，根据等角的余角相等得到∠DCA+∠DAC=90°，从而得到∠ADC为直角，得证；
（2）连接CB，由AB为圆O的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到∠ACB与∠ADC相等都为直角，又根据AC为角平分线得到一对角相等，由两对对应角相等的两三角形相似，得到三角形ADC与三角形ABC相似，由相似得比例列出关系式，把AC和AD的长即可求出AB的长．
【解答】解：（1）连接OC，
∵直线CD与⊙O相切于点C，
∴OC⊥CD．
∴∠OCA+∠DCA=90°，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠OAC，
又∵在⊙O中，OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴∠DCA+∠DAC=90°，
则∠ADC=90°，
即AD⊥DC；
（2）连接BC．
∵AB为圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
又∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠OAC，
∴△ADC∽△ACB，
∴，即，
则．

24．如图，AB切⊙O于点B，AC交⊙O于点M、N，若四边形OABN恰为平行四边形，且弦BN的长为10cm．
（1）求⊙O的半径长及图中阴影部分的面积S．
（2）求MN的长．
【考点】切线的性质；平行四边形的性质；扇形面积的计算．
【分析】（1）连接OB，由AB是⊙O的切线，得出OB⊥AB，由四边形OABN是平行四边形，得出AB∥ON，证出△OBN为等腰直角三角形，即可解得OB及S阴影=S扇形﹣S△OBN；
（2）过点O作OH⊥AC，垂足为H，AC与OB的交点为G，∠OHN=∠NOG=90°，证得△ONH∽△GNO，得出=，求得OG=BG=OB、GN、HN，即可得出结果．
【解答】解：（1）连接OB，则OB=ON，如图1所示：
∵AB是⊙O的切线，
∴OB⊥AB，即∠OBA=90°，
∵四边形OABN是平行四边形，
∴AB∥ON，
∴∠OBA=∠BON=90°，
∴△OBN为等腰直角三角形，
∵BN=10，
∴OB=5，
∴S阴影=S扇形﹣S△OBN=×（5）2π﹣×5×5=π﹣25；
（2）过点O作OH⊥AC，垂足为H，AC与OB的交点为G，如图2所示
∴∠OHN=∠NOG=90°，
∵∠ONH=∠ONG，
∴△ONH∽△GNO，
∴=，
∵四边形OABN是平行四边形，
∴OG=BG=OB=，
∴GN===，
∴HN===2，
∴MN=4．

25．2014年，锡东新城碧桂苑楼盘以均价每平方米8000元的均价对外销售．由于受周边地区及炒房的影响，该楼盘在二年内疯涨，至2016年该楼盘的均价为每平方米11520元．如果设每年的增长率相同．
（1）求平均每年增长的百分率；
（2）假设2017年该楼盘的均价仍然增长相同的百分率，有一工作了十年的李老师准备购买一套100平方米的住房，他持有现金80万元，可在银行贷款50万元，李老师的愿望能否实现？（房价按照均价计算，不考虑其它因素．）
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】（1）设平均每年增长的百分率为x，根据“2016年的房价=2014年的房价×1加增加百分率的平方”，即可列出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论；
（2）根据“房屋的总价=2017年房屋单价×房屋面积”，即可求出100平方米的住房的总价，再于李老师持有的现金及银行贷款的总和进行比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设平均每年增长的百分率为x，
根据题意得：8000×（1+x）2=11520，
解得：x=20%，x=﹣144%（舍去），
答：平均每年增长的百分率为20%．
（2）100×11520×（1+20%）=1382400（元 ），
∵1382400＞800000+500000=1300000，
∴李老师的愿望不能实现．

26．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）分两种情况：①当△BPQ∽△BAC时，BP：BA=BQ：BC；当△BPQ∽△BCA时，BP：BC=BQ：BA，再根据BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，代入计算即可；
（2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB=5t，PM=3t，MC=8﹣4t，根据△ACQ∽△CMP，得出AC：CM=CQ：MP，代入计算即可．
【解答】解：根据勾股定理得：BA=；
（1）分两种情况讨论：
①当△BPQ∽△BAC时，，
∵BP=5t，QC=4t，AB=10，BC=8，
∴，解得，t=1，
②当△BPQ∽△BCA时，，
∴，解得，t=；
∴t=1或时，△BPQ∽△BCA；
（2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，如图所示：
则PB=5t，PM=3t，MC=8﹣4t，
∵∠NAC+∠NCA=90°，∠PCM+∠NCA=90°，
∴∠NAC=∠PCM，
∵∠ACQ=∠PMC，
∴△ACQ∽△CMP，
∴，
∴，解得t=．

27．（1）已知点P为线段AB上一点如图1，射线PM⊥AB，用直尺和圆规在PM上找一点C，使得PC2=AP•PB
（2）如图2，平行四边形ABCD中，DP⊥AB于P，PD2=AP•PB，△BCD的面积和周长均为24，求PD的长．
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【分析】（1）利用垂径定理结合相似三角形的判定与性质得出C点即可；
（2）将等积式PD2=AP•PB化为等比式，可得到△DAP∽△BDP，设AD=a，BD=b，AB=c，列出方程组即可解答．
【解答】解：（1）如图所示：作AB的垂直平分线，以O为圆心， AB为半径作圆，射线PM交⊙O于点C，C点即为所求．
（2）∵PD2=AP•PB，
∴PD：AP=PB：PD，
又∵DP⊥AB于P，
∴∠DPA=∠DPB，
∴△DAP∽△BDP，
∴∠ADB=90°，
设AD=a，BD=b，AB=c，
由题意得，
，
解得，AB=c=10，
∵DP•AB=AD•DB=×48=24，
∴PD=4.8．

28．定义：y是一个关于x的函数，若对于每个实数x，函数y的值为三数x+2，2x+1，﹣5x+20中的最小值，则函数y叫做这三数的最小值函数．
（1）画出这个最小值函数的图象，并判断点A（1，3）是否为这个最小值函数图象上的点；
（2）设这个最小值函数图象的最高点为B，点A（1，3），动点M（m，m）．
①直接写出△ABM的面积，其面积是 2 ；
②若以M为圆心的圆经过A，B两点，写出点M的坐标；
③以②中的点M为圆心，以为半径作圆．在此圆上找一点P，使PA+PB的值最小，直接写出此最小值．
附：下列知识可直接应用：
1、中点公式：已知A（x₁，y₁）与 B（x₂，y₂），则线段AB的中点M的坐标为：M （， ）
2、如果两条直线y=k1x+m，和y=k2x+n垂直，则k1•k2=﹣1．
【考点】圆的综合题．
【分析】（1）根据三数的最小值函数的定义画出图象即可，根据图象可以判断点A的位置．
（2）①如图2中，作ON⊥AB于N，由AB∥OM，得S△ABM=S△ABO由此即可判断．
②求出线段AB的中垂线，再列出方程组即可解决问题．
③取MB的中点D，P为圆上任意一点，PM=，MB=2，MD=1，可证△MPD∽△MBP，则PA+PB 最小也就是PA+PD最小，求出AD的值即可．
【解答】解：（1）最小值函数的图象见图中实线，
∵x=1时，y=3，
∴点A（1，3）在这个最小值函数的图象上．
（2）①如图2中，作ON⊥AB于N．
∵AB∥OM，
∴S△ABM=S△ABO，
∵A91，3），B（3，5），ON=，AB=2
∴S△ABM=×2×=2．
故答案为：2．
②∵直线AB的解析式为y=x+2，
∴线段AB的中垂线的解析式为y=y=﹣x+6，
由，
解得，
∴点M坐标为（3，3）；
③PA+PB的最小值为，理由如下：
如图，A（1，3）B（3，5），M（3，3），
取MB的中点D，P为圆上任意一点，PM=，MB=2，MD=1，可证△MPD∽△MBP，
可得PD=PB，则PA+PB 最小也就是PA+PD最小，所以连接AD，线段AD的长是所求的最小值，最小值为．

2017年3月19日