江苏省盐城市盐都区2017届九年级(上)期中数学试卷(含解析)

这是一份江苏省盐城市盐都区2017届九年级(上)期中数学试卷(含解析)，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号涂在答题卡相应位置上．
1．下列方程为一元二次方程的是（ ）
A．ax2﹣bx+c=0（a、b、c为常数） B．x（x+3）=x2﹣1
C．x（x﹣2）=3 D．
2．圆是轴对称图形，它的对称轴有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条
3．关于x的一元二次方程x2﹣2ax﹣1=0（其中a为常数）的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．可能有实数根，也可能没有
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
4．⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA=3cm，则点A与圆O的位置关系为（ ）
A．点A在圆上B．点A在圆内 C．点A在圆外 D．无法确定
5．已知△ABC的三边长分别为6，8，10，此三角形外接圆的半径为（ ）
A．10 B．6 C．4 D．5
6．如图，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A=50°，则∠OCD的度数是（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
7．股票每天的涨、跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价．若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是（ ）
A．（1+x）2=B．（1+x）2= C．1+2x= D．1+2x=
8．木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上．
9．一元二次方程x2=2x的根是 ．
10．已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为4cm，那么直线l与⊙O的位置关系是 ．
11．在圆内接四边形ABCD中，∠B=2∠D，则∠B= ．
12．半径为2的圆的内接正六边形的边长为 ．
13．直径为12cm的⊙O中，弦AB=6cm，则弦AB所对的圆周角是 ．
14．现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b=a2﹣3a+b，如：3★5=32﹣3×3+5，若x★2=6，则实数x的值是 ．
15．如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点D对应的刻度是58°，则∠ACD的度数为 ．
16．如图，AB是⊙O的弦，AB=4，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°．若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是 ．
17．若非零实数a、b、c满足4a﹣2b+c=0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0一定有一个根为 ．
18．如图，已知直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P在以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB，则△PAB面积的最大值是 ．
三、解答题：本大题共10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤．
19．解下列方程
（1）x2+6x=0； （2）x2﹣5x+3=0（用配方法解）
20．某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．
（1）请你补全这个输水管道的圆形截面；
（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．
21．已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．
22．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线交AB的延长线于点D，∠ACD=120°．
（1）求证：AC=CD；
（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
23．如图，线段AB的端点在边长为1的正方形网格的格点上，现将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到线段AC．
（1）请你用直尺和圆规在所给的网格中画出线段AC及点B经过的路径；
（2）若将此网格放在一平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（﹣2，﹣1），则点C的坐标为 ；
（3）线段AB在旋转到线段AC的过程中，线段AB扫过区域的面积为 ；
（4）若有一张与（3）中所说的区域形状相同的纸片，将它围成一个圆锥的侧面，则该圆锥底面圆的半径长为 ．
24．小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元．请问她购买了多少件这种服装？
25．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°以AB为直径的⊙O交AB于点D，点E为BC的中点，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若∠BAC=30°，DE=3，求AD的长．
26．若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两实数根为x1、x2，则两根与方程系数之间有如下关系：
x1+x2=﹣，x1x2=．这一结论称为一元二次方程根与系数关系，它的应用很多，请完成下列各题：
（1）应用一：用来检验解方程是否正确．
本卷第19题中的第（2）题是：解方程x2﹣5x+3=0
检验：先求x1+x2= ，x1x2= ．
再将你解出的两根相加、相乘，即可判断解得的根是否正确．（本小题完成填空即可）
（2）应用二：用来求一些代数式的值．
①已知：x1、x2是方程x2﹣4x+2=0的两个实数根，求（x1﹣1）（x2﹣1）值；
②若m、n是方程x2+4x﹣2016=0的两个实数根，求代数式m2+5m+n的值．
27．（1）【学习心得】
小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是△ABC外一点，且AD=AC，求∠BDC的度数，若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC= °．
（2）【问题解决】
如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠BDC=25°，求∠BAC的数．
小刚同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的：△ABD的外接圆就是以BD的中点为圆心， BD长为半径的圆；△ACD的外接圆也是以BD的中点为圆心， BD长为半径的圆．这样A、B、C、D四点在同一个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出∠BAC的度数，请运用小刚的思路解决这个问题．
（3）【问题拓展】
如图3，在△ABC中，∠BAC=45°，AD是BC边上的高，且BD=6，CD=2，求AD的长．
28．如图甲，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、B，⊙O的半径为2个单位长度，点P为直线y=﹣x+8上的动点，过点P作⊙O的切线PC、PD，切点分别为C、D，且PC⊥PD．
（1）试说明四边形OCPD的形状（要有证明过程）；
（2）求点P的坐标；
（3）若直线y=﹣x+8沿x轴向左平移得到一条新的直线y1=﹣x+b，此直线将⊙O的圆周分得两段弧长之比为1：3，请直接写出b的值；
（4）若将⊙O沿x轴向右平移（圆心O始终保持在x轴上），试写出当⊙O与直线y=﹣x+8有交点时圆心O的横坐标m的取值范围．（直接写出答案）

2016-2017学年江苏省盐城市盐都区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号涂在答题卡相应位置上．
1．下列方程为一元二次方程的是（ ）
A．ax2﹣bx+c=0（a、b、c为常数）B．x（x+3）=x2﹣1
C．x（x﹣2）=3D．
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【解答】解：A、缺少a≠0，不是一元二次方程；
B、整理后为3x+1=0，不是一元二次方程；
C、整理后为x2﹣2x﹣3=0，是一元二次方程；
D、含有分式，不是一元二次方程．
故选：C．

2．圆是轴对称图形，它的对称轴有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．无数条
【考点】生活中的轴对称现象．
【分析】根据圆的性质：沿经过圆心的任何一条直线对折，圆的两部分都能重合，即可得到经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴，据此即可判断．
【解答】解：圆的对称轴是经过圆心的直线，有无数条．
故选D．

3．关于x的一元二次方程x2﹣2ax﹣1=0（其中a为常数）的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．可能有实数根，也可能没有
C．有两个相等的实数根D．没有实数根
【考点】根的判别式．
【分析】先计算△=（﹣2a）2﹣4×（﹣1）=4a2+4，由于4a2≥0，则4a2+4＞0，即△＞0，然后根据根的判别式的意义进行判断即可．
【解答】解：△=（﹣2a）2﹣4×（﹣1）=4a2+4，
∵4a2≥0，
∴4a2+4＞0，即△＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选A．

4．⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA=3cm，则点A与圆O的位置关系为（ ）
A．点A在圆上B．点A在圆内C．点A在圆外D．无法确定
【考点】点与圆的位置关系．
【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【解答】解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为3cm，
即点A到圆心O的距离小于圆的半径，
∴点A在⊙O内．
故选B．

5．已知△ABC的三边长分别为6，8，10，此三角形外接圆的半径为（ ）
A．10B．6C．4D．5
【考点】三角形的外接圆与外心；勾股定理的逆定理．
【分析】先利用勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形，斜边长为10，然后利用直角三角形的斜边为直角三角形的外接圆的直径求解．
【解答】解：∵62+82=102，
∴△ABC为直角三角形，斜边长为10，
∴△ABC的外接圆的直径为10，
∴此三角形外接圆的半径为5．
故选D．

6．如图，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A=50°，则∠OCD的度数是（ ）
A．40°B．45°C．50°D．60°
【考点】圆周角定理；垂径定理．
【分析】首先连接OB，由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠BOC的度数，又由OB=OC，根据等边对等角的性质，即可求得∠OCD的度数．
【解答】解：连接OB，
∵∠A=50°，
∴∠BOC=2∠A=100°，
∵OB=OC，
∴∠OCD=∠OBC==40°．
故选：A．

7．股票每天的涨、跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价．若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是（ ）
A．（1+x）2=B．（1+x）2=C．1+2x=D．1+2x=
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】股票一次跌停就跌到原来价格的90%，再从90%的基础上涨到原来的价格，且涨幅只能≤10%，所以至少要经过两天的上涨才可以．设平均每天涨x，每天相对于前一天就上涨到1+x．
【解答】解：设平均每天涨x．
则90%（1+x）2=1，
即（1+x）2=，
故选B．

8．木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线，其中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【考点】轨迹；直角三角形斜边上的中线．
【分析】先连接OP，易知OP是Rt△AOB斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得OP=AB，由于木杆不管如何滑动，长度都不变，那么OP就是一个定值，那么P点就在以O为圆心的圆弧上．
【解答】解：如右图，
连接OP，由于OP是Rt△AOB斜边上的中线，
所以OP=AB，不管木杆如何滑动，它的长度不变，也就是OP是一个定值，点P就在以O为圆心的圆弧上，那么中点P下落的路线是一段弧线．
故选D．

二、填空题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上．
9．一元二次方程x2=2x的根是 x1=0，x2=2 ．
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】先移项，再提公因式，使每一个因式为0，从而得出答案．
【解答】解：移项，得x2﹣2x=0，
提公因式得，x（x﹣2）=0，
x=0或x﹣2=0，
∴x1=0，x2=2．
故答案为：x1=0，x2=2．

10．已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为4cm，那么直线l与⊙O的位置关系是 相交 ．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】由题意得出d＜r，根据直线和圆的位置关系的判定方法判断即可．
【解答】解：∴⊙O的半径为5cm，如果圆心O到直线l的距离为4cm，
∴4＜5，
即d＜r，
∴直线l与⊙O的位置关系是相交．
故答案为：相交．

11．在圆内接四边形ABCD中，∠B=2∠D，则∠B= 120° ．
【考点】圆内接四边形的性质．
【分析】根据圆内接四边形对角互补，直接求出即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠B+∠D=180°，
又∵∠B=2∠D，
∴∠D=×180°=120°；
故答案为：120°．

12．半径为2的圆的内接正六边形的边长为 2 ．
【考点】正多边形和圆．
【分析】不妨设⊙O的内接正六边形为ABCDEF，连接OA、OB，则可证明△OAB为等边三角形，可求得边长．
【解答】解：
如图，⊙O的内接正六边形为ABCDEF，连接OA、OB，
∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴∠AOB==60°，
∴△AOB为等边三角形，
∴AB=OA=2，
故答案为：2．

13．直径为12cm的⊙O中，弦AB=6cm，则弦AB所对的圆周角是 30°或150° ．
【考点】圆周角定理．
【分析】连接OA、OB，如图，先证明△OAB为等边三角形得到∠AOB=60°，则利用圆周角定理得到∠ACB=∠AOB=30°，再利用圆内接四边形的性质得到∠AC′B=150°，从而得到弦AB所对的圆周角．
【解答】解：连接OA、OB，如图，
∵OA=OB=AB，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴∠ACB=∠AOB=30°，
∴∠AC′B=180°﹣∠ACB=150°，
即弦AB所对的圆周角为30°或150°．
故答案为30°或150°．

14．现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b=a2﹣3a+b，如：3★5=32﹣3×3+5，若x★2=6，则实数x的值是 ﹣1或4 ．
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】根据题中的新定义将所求式子转化为一元二次方程，求出一元二次方程的解即可得到x的值．
【解答】解：根据题中的新定义将x★2=6变形得：
x2﹣3x+2=6，即x2﹣3x﹣4=0，
因式分解得：（x﹣4）（x+1）=0，
解得：x1=4，x2=﹣1，
则实数x的值是﹣1或4．
故答案为：﹣1或4

15．如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点D对应的刻度是58°，则∠ACD的度数为 61° ．
【考点】圆周角定理．
【分析】首先连接OD，由直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，可得点A，B，C，D共圆，又由点D对应的刻度是58°，利用圆周角定理求解即可求得∠BCD的度数，继而求得答案．
【解答】解：连接OD，
∵直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，
∴点A，B，C，D共圆，
∵点D对应的刻度是58°，
∴∠BOD=58°，
∴∠BCD=∠BOD=29°，
∴∠ACD=90°﹣∠BCD=61°．
故答案为：61°．

16．如图，AB是⊙O的弦，AB=4，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°．若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是 2 ．
【考点】三角形中位线定理；等腰直角三角形；圆周角定理．
【分析】根据中位线定理得到MN的最大时，AC最大，当AC最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．
【解答】解：∵点M，N分别是AB，BC的中点，
∴MN=AC，
∴当AC取得最大值时，MN就取得最大值，
当AC时直径时，最大，
如图，
∵∠ACB=∠D=45°，AB=4，
∴AD=4，
∴MN=AD=2，
故答案为：2．

17．若非零实数a、b、c满足4a﹣2b+c=0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0一定有一个根为 x=﹣2 ．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】把x=﹣2代入方程ax2+bx+c=0能得出4a﹣2b+c=0，即可得出答案．
【解答】解：当把x=﹣2代入方程ax2+bx+c=0能得出4a﹣2b+c=0，
即方程一定有一个根为x=﹣2，
故答案为：x=﹣2．

18．如图，已知直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P在以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB，则△PAB面积的最大值是 ．
【考点】一次函数综合题．
【分析】过点C作CD⊥AB于D，延长DP交⊙C于另一点P′，此时△P′AB的面积最大，将x=0、y=0代入y=x﹣3中求出与之相对应的y、x的值，进而可得出点A、B的坐标，由∠ABO=∠CBD、∠AOB=∠CDB=90°即可证出△AOB∽△CDB，再根据相似三角形的性质求出CD的长度，将其+1即可得出DP′的长度，利用三角形的面积公式即可求出△PAB面积的最大值．
【解答】解：过点C作CD⊥AB于D，延长DP交⊙C于另一点P′，此时△P′AB的面积最大，如图所示．
当x=0时，y=﹣3，
∴点B（0，﹣3）；
当y=x﹣3=0时，x=4，
∴点A（4，0）．
∵点C（0，1），
∴BC=1﹣（﹣3）=4，AO=4，BO=3，AB==5．
∵∠ABO=∠CBD，∠AOB=∠CDB=90°，
∴△AOB∽△CDB，
∴，
∴CD==，
∴DP′=CD+CP′=+1=．
∴S△P′AB=AB•P′D=×5×=．
故答案为：．

三、解答题：本大题共10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤．
19．解下列方程
（1）x2+6x=0；
（2）x2﹣5x+3=0（用配方法解）
【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．
【分析】（1）因式分解法求解可得；
（2）配方法求解可得．
【解答】解：（1）∵x（x+6）=0，
∴x=0或x+6=0，
解得：x=0或x=﹣6；
（2）x2﹣5x=﹣3，
x2﹣5x+=﹣3+，即（x﹣）2=，
∴x﹣=±，
即x1=，x2=．

20．某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．
（1）请你补全这个输水管道的圆形截面；
（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．
【考点】垂径定理的应用；勾股定理．
【分析】如图所示，根据垂径定理得到BD=AB=×16=8cm，然后根据勾股定理列出关于圆形截面半径的方程求解．
【解答】解：（1）先作弦AB的垂直平分线；在弧AB上任取一点C连接AC，作弦AC的垂直平分线，两线交点作为圆心O，OA作为半径，画圆即为所求图形．
（2）过O作OE⊥AB于D，交弧AB于E，连接OB．
∵OE⊥AB
∴BD=AB=×16=8cm
由题意可知，ED=4cm
设半径为xcm，则OD=（x﹣4）cm
在Rt△BOD中，由勾股定理得：
OD2+BD2=OB2
∴（x﹣4）2+82=x2
解得x=10．
即这个圆形截面的半径为10cm．

21．已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．
【考点】根的判别式；一元二次方程的解；根与系数的关系．
【分析】（1）关于x的方程x2﹣2x+a﹣2=0有两个不相等的实数根，即判别式△=b2﹣4ac＞0．即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围．
（2）设方程的另一根为x1，根据根与系数的关系列出方程组，求出a的值和方程的另一根．
【解答】解：（1）∵b2﹣4ac=（2）2﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0，
解得：a＜3．
∴a的取值范围是a＜3；
（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：
，
解得：，
则a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．

22．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线交AB的延长线于点D，∠ACD=120°．
（1）求证：AC=CD；
（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
【考点】切线的性质；扇形面积的计算．
【分析】（1）连接OC，由切线的性质可求得∠A=∠D，可证得结论；
（2）在Rt△OCD中可求得OD，CD，可求得△OCD的面积和扇形BOC的面积，再利用面积差可求得阴影部分面积．
【解答】（1）证明：
如图，连接OC，
∵CD切⊙O于点C，
∴∠OCD=90°，
∴∠OCA=∠OAC=30°，∠ADC=30°，
∴∠A=∠D，
∴AC=CD；
（2）解：
由（1）知∠OCD=90°，∠ADC=30°，∠COD=60°，
∴OD=2OC=4，CD=2，
∴S△OCD=CD•OC=×2×2=2，S扇形BOC==，
∴S阴影=S△OCD﹣S扇形BOC=2﹣．

23．如图，线段AB的端点在边长为1的正方形网格的格点上，现将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到线段AC．
（1）请你用直尺和圆规在所给的网格中画出线段AC及点B经过的路径；
（2）若将此网格放在一平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（﹣2，﹣1），则点C的坐标为 （5，0） ；
（3）线段AB在旋转到线段AC的过程中，线段AB扫过区域的面积为 ；
（4）若有一张与（3）中所说的区域形状相同的纸片，将它围成一个圆锥的侧面，则该圆锥底面圆的半径长为 ．
【考点】作图-旋转变换；扇形面积的计算；圆锥的计算．
【分析】（1）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接建立坐标系得出答案；
（3）直接利用扇形面积公式求法进而得出答案；
（4）直接利用弧长等于圆锥的底面周长进而得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：点B经过的路径为弧BC；
（2）如图所示：点C的坐标为：（5，0）；
故答案为：（5，0）；
（3）线段AB在旋转到线段AC的过程中，线段AB扫过区域的面积为： =；
故答案为：；
（4）设该圆锥底面圆的半径长为r，
由题意可得： ==π，
则2πr=π，
解得：r=．
故答案为：．

24．小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元．请问她购买了多少件这种服装？
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】根据一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，表示出每件服装的单价，进而得出等式方程求出即可．
【解答】解：设购买了x件这种服装且多于10件，根据题意得出：
[80﹣2（x﹣10）]x=1200，
解得：x1=20，x2=30，
当x=20时，80﹣2（20﹣10）=60元＞50元，符合题意；
当x=30时，80﹣2（30﹣10）=40元＜50元，不合题意，舍去；
答：她购买了20件这种服装．

25．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°以AB为直径的⊙O交AB于点D，点E为BC的中点，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若∠BAC=30°，DE=3，求AD的长．
【考点】切线的判定．
【分析】（1）如图，作辅助线；根据题意结合图形，证明∠ODE=90°，即可解决问题．
（2）首先求出BC=6，进而求出BD的值；运用直角三角形的性质求出AD的值，即可解决问题．
【解答】（1）证明：连接OD、BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=∠CDB=90°；
又∵点E为BC的中点，
∴BE=DE，
∴∠BDE=∠EBD；
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA；
又∵∠OAD+∠OBD=90°，∠EBD+∠OBD=90°，
∴∠OAD=∠EBD，即∠ODA=∠BDE；
∴∠ODE=∠BDE+∠ODB=∠ODA+∠ODB=90°，
又∵点D在⊙O上，
∴DE是圆⊙O的切线．
（2）解：由（1）知BC=2DE=6，
又∵∠CBD=∠BAC=30°，
∴CD=3，BD=3
∴AB=6；
由勾股定理得：AD=9．

26．若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两实数根为x1、x2，则两根与方程系数之间有如下关系：
x1+x2=﹣，x1x2=．这一结论称为一元二次方程根与系数关系，它的应用很多，请完成下列各题：
（1）应用一：用来检验解方程是否正确．
本卷第19题中的第（2）题是：解方程x2﹣5x+3=0
检验：先求x1+x2= 5 ，x1x2= 3 ．
再将你解出的两根相加、相乘，即可判断解得的根是否正确．（本小题完成填空即可）
（2）应用二：用来求一些代数式的值．
①已知：x1、x2是方程x2﹣4x+2=0的两个实数根，求（x1﹣1）（x2﹣1）值；
②若m、n是方程x2+4x﹣2016=0的两个实数根，求代数式m2+5m+n的值．
【考点】根与系数的关系．
【分析】（1）根据根与系数的关系即可得出x1+x2=5、x1x2=3，此题得解；
（2）①根据根与系数的关系可得出x1+x2=4、x1x2=2，将（x1﹣1）（x2﹣1）展开代入数值即可得出结论；
②根据根与系数的关系以及一元二次方程的解可得出m+n=﹣4、mn=﹣2016、m2+4m=2016，将其代入m2+5m+n中即可得出结论．
【解答】解：（1）根据题意，得：x1+x2=﹣=5，x1x2==3．
故答案为：5；3．
（2）①∵x1、x2是方程x2﹣4x+2=0的两个实数根，
∴x1+x2=﹣=4，x1x2==2，
∴（x1﹣1）（x2﹣1）=x1x2﹣（x1+x2）+1=2﹣4+1=﹣1；
②∵m、n是方程x2+4x﹣2016=0的两个实数根，
∴m+n=﹣4，mn=﹣2016，m2+4m=2016，
∴m2+5m+n=m2+4m+（m+n）=2016+（﹣4）=2012．

27．（1）【学习心得】
小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是△ABC外一点，且AD=AC，求∠BDC的度数，若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC= 45 °．
（2）【问题解决】
如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠BDC=25°，求∠BAC的数．
小刚同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的：△ABD的外接圆就是以BD的中点为圆心， BD长为半径的圆；△ACD的外接圆也是以BD的中点为圆心， BD长为半径的圆．这样A、B、C、D四点在同一个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出∠BAC的度数，请运用小刚的思路解决这个问题．
（3）【问题拓展】
如图3，在△ABC中，∠BAC=45°，AD是BC边上的高，且BD=6，CD=2，求AD的长．
【考点】圆的综合题．
【分析】（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解．
（2）由A、B、C、D共圆，得出∠BDC=∠BAC，
（3）如图3，作△ABC的外接圆，过圆心O作OE⊥BC于点E，作OF⊥AD于点F，连接OA、OB、OC．利用圆周角定理推知△BOC是等腰直角三角形，结合该三角形的性质求得DE=OF=2；在等腰Rt△BOE中，利用勾股定理得到OE=DF=4；则在Rt△AOF中，易得AF=2，故AD=2+4．
【解答】解：（1）如图1，∵AB=AC，AD=AC，
∴以点A为圆心，点B、C、D必在⊙A上，
∵∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，
∴∠BDC=∠BAC=45°，
故答案是：45；
（2）如图2，取BD的中点O，连接AO、CO．
∵∠BAD=∠BCD=90°，
∴点A、B、C、D共圆，
∴∠BDC=∠BAC，
∵∠BDC=25°，
∴∠BAC=25°，
（3）如图3，作△ABC的外接圆，过圆心O作OE⊥BC于点E，作OF⊥AD于点F，连接OA、OB、OC．
∵∠BAC=45°，
∴∠BOC=90°．
在Rt△BOC中，BC=6+2=8，
∴BO=CO=4．
∵OE⊥BC，O为圆心，
∴BE=BC=4，
∴DE=OF=2．
在Rt△BOE中，BO=4，BE=4，
∴OE=DF=4．
在Rt△AOF中，AO=4，OF=2，
∴AF=2，
∴AD=2+4．

28．如图甲，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、B，⊙O的半径为2个单位长度，点P为直线y=﹣x+8上的动点，过点P作⊙O的切线PC、PD，切点分别为C、D，且PC⊥PD．
（1）试说明四边形OCPD的形状（要有证明过程）；
（2）求点P的坐标；
（3）若直线y=﹣x+8沿x轴向左平移得到一条新的直线y1=﹣x+b，此直线将⊙O的圆周分得两段弧长之比为1：3，请直接写出b的值；
（4）若将⊙O沿x轴向右平移（圆心O始终保持在x轴上），试写出当⊙O与直线y=﹣x+8有交点时圆心O的横坐标m的取值范围．（直接写出答案）
【考点】圆的综合题．
【分析】（1）连接OC、OD，如图甲，根据切线的性质得OC⊥PC，PD⊥PD，加上\PC⊥PD，则可判断四边形OCPD为矩形，然后利用OC=OD可判断四边形OCPD为正方形；
（2）作PF⊥x轴于F，如图甲，利用正方形的性质得OP=OD=2，设P（t，﹣t+8），利用勾股定理得到t2+（﹣t+8）2=（2）2，然后解方程求出t即可得到P点坐标；
（3）如图乙，利用直线y1=﹣x+b将⊙O的圆周分得两段弧长之比为1：3可得到直线y1=kx+b与坐标的交点A和点B为⊙O与坐标的交点，然后讨论：当点A和点B都在坐标轴的正半轴上或当点A和点B都在坐标轴的负半轴上时，易得b的值为±2；
（4）先确定A点和B点坐标，再判断△OAB为等腰直角三角形，则∠ABO=45°，然后讨论：当圆移动到点O′时与直线AB相切，作O′M⊥AB，如图丙，根据切线的性质得O′M=2，利用等腰直角三角形的性质得BO′=O′B=2，则OO′=8﹣2，所以点O′的坐标为（8﹣2，0）；当圆移动到点O″时与直线AB相切，作O″N⊥AB，如图丙，同理可得BO″=2，则OO′=8+2，所以点O″的坐标为（8+2，0），于是根据直线与圆的位置关系可得到⊙O与直线y=﹣x+8有交点时圆心O的横坐标m的取值范围．
【解答】解：（1）四边形OCPD为正方形．理由如下：
连接OC、OD，如图甲，
∵PC和PD为切线，
∴OC⊥PC，PD⊥PD，
而\PC⊥PD，
∴∠OCP=∠ODP=∠CPD=90°，
∴四边形OCPD为矩形，
而OC=OD，
∴四边形OCPD为正方形；
（2）作PF⊥x轴于F，如图甲，
∵四边形OCPD为正方形，
∴OP=OD=•2=2，
设P（t，﹣t+8），
∴t2+（﹣t+8）2=（2）2，解得t1=2，t2=6，
∴P点坐标为（2，6）或（6，2）；
（3）如图乙，
∵直线y1=﹣x+b将⊙O的圆周分得两段弧长之比为1：3，
即直线y1=﹣x+b将⊙O的圆周分得的劣弧为圆周的，
∵直线y1=﹣x+b与坐标轴的夹角为45°，
∴直线y1=kx+b与坐标的交点A和点B为⊙O与坐标的交点，
当点A和点B都在坐标轴的正半轴上时，b=2；当点A和点B都在坐标轴的负半轴上时，b=﹣2，
即b的值为±2；
（4）当x=0时，y=﹣x+8=8，则A（0，8），
当y=0时，﹣x+8=0，解得x=8，则B（8，0），
∴OA=OB，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠ABO=45°，
当圆移动到点O′时与直线AB相切，作O′M⊥AB，如图丙，则O′M=2，
∵∠MBO′=45°，
∴△O′BM为等腰直角三角形，
∴BO′=O′B=2，
∴OO′=8﹣2，
∴点O′的坐标为（8﹣2，0），
当圆移动到点O″时与直线AB相切，作O″N⊥AB，如图丙，同理可得BO″=2，
∴OO′=8+2，
∴点O″的坐标为（8+2，0），
∴当⊙O与直线y=﹣x+8有交点时圆心O的横坐标m的取值范围为8﹣2≤m≤8+2．

2017年2月24日