2024年四川省成都实验外国语学校中考数学二模试卷

这是一份2024年四川省成都实验外国语学校中考数学二模试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）的倒数是（ ）
A．﹣2024B．2024C．D．
2．（4分）今年成都市中考报名人数大约有14.45万人，比去年共增加了13000人．将数据14.45万用科学记数法表示为（ ）
A．14.45×104B．1.445×105C．1.445×104D．1.3×104
3．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．（a3）2＝a5
C．D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
4．（4分）已知关于x的方程x2﹣kx﹣6＝0的一个根为x＝3，则实数k的值为（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
5．（4分）2023年第53届世界科幻大会在成都举行，为了让学生参与活动，实外也组织了“遇见未来”作文大赛，九年级参赛的25名同学的成绩情况如图所示，这些成绩的众数和中位数分别是（ ）
A．98，97B．98，96C．96，98D．96，97
6．（4分）如图，含45°角的三角板ABC的直角顶点C在直尺的边MN上，斜边AB与直尺的两边分别交于点D，E，直角边BC与直尺的边OP交于点F，若∠BEF＝80°，则∠ACD的度数为（ ）
A．55°B．45°C．35°D．30°
7．（4分）我国古代数学著作《九章算术》有题如下：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平；并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”其大意是：现在有5只雀和6只燕，用秤来称它们，发现雀比较重，燕比较轻．将一只雀和一只燕交换位置，重量相等；5只雀和6只燕的重量为一斤．问每只雀和每只燕各重多少斤？设每只雀为x斤，每只燕为y斤，则可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
8．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，下列结论中，错误的结论是（ ）
A．c＞0
B．b2﹣4ac＞0
C．图象的对称轴为直线x＝1
D．当x＞0时，y的值随x值的增大而增大
二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）
9．（4分）分解因式：2a2﹣8＝ ．
10．（4分）反比例函数的图象经过A（m，4），B（n，5）两点，则m、n的大小关系为 .（用“＞、＝、＜”连接）
11．（4分）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若△ABC和△DEF的周长之比为1：3，则OC：OF＝ ．
12．（4分）某立体图形是由相同的正方体拼成，该立体图形的三视图如图所示，则正方体共有 个．
13．（4分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点D；②再分别以C，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点E；③作射线BE交AC于点F．若AB＝AC＝5，DF＝1，则BC的长为 ．
三、解答题（本大题共5个小题，满分48分）
14．（12分）（1）计算：；
（2）解不等式组：．
15．（8分）人工智能的应用非常广泛，比如自然语言处理、语音和图象识别、搜索排名、专家系统等．为了解学生对人工智能应用的知晓程度，某校随机抽查部分中学生，进行知识测试，得分用x表示，数据分组为A：50≤x＜60、B：60≤x＜70、C：70≤x＜80、D：80≤x＜90、E：90≤x≤100，并将测试成绩绘制成如下不完整的统计图，请根据图表信息回答问题：
（1）随机抽查的学生共有 人；扇形统计图中“E”组所对应的圆心角度数为 °；
（2）该校约有7000名学生，请估算等级为C的学生约有多少人？
（3）在本次调查中，等级为E的学生中，仅有一名男生和三名女生的测试成绩为满分，若从中随机抽取两人进行活动交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
16．（8分）泰姬陵是世界知名的古建筑，被列为“世界文化遗产”．如图所示，为了估测泰姬陵的高度，在泰姬陵的正东方向选取高为10m参照物AB，在它们之间的地面上选取点E（B，E，D三点共线），在点E处测得A处、C处的仰角分别是45°和30°，在A处测得C处的仰角为25°，求泰姬陵CD的高度．
（结果精确到1m，参考数据：，，sin25°≈0.42，cs25°≈0.90，tan25°≈0.47）．
17．（10分）如图，AB是⊙O的直径，CE与⊙O相切于点C，过A作AE⊥CE于点E，交⊙O于点D．
（1）求证：CD＝BC；
（2）若DE＝3，CE＝4，求BD及⊙O的半径长．
18．（10分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象相交于点A（3，4）、B（6，m）两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）若点C为线段AB上一点，且，连接AO、CO，求S△AOC；
（3）如果一个矩形的长宽之比为2：1，我们把该矩形称为“倍边矩形”．请探究，在平面内是否存在P、Q两点（点P在直线AB上方），使得四边形APBQ为倍边矩形，若存在，请求P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．（4分）若m2+3m＝﹣1，则代数式的值为 ．
20．（4分）若关于x的分式方程＝+2的解为负数，则m的取值范围是 ．
21．（4分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝2，以C为圆心，CB长为半径画弧，现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是 ．
22．（4分）如图，在△ABC中，D是BC边上任意一点，FD∥AC，DE∥AB，若点N在BF上，BN＝2NF，点M在DE上，DM＝2ME，若S△CMN＝4，且DC＝2BD，则△ABC的面积为 ．
23．（4分）定义：如果一个正整数平方后得到的数，十位数字比个位数字大1，我们把这样的正整数称为“平方优数”．例如，242＝576，那么24是平方优数，若将平方优数从小到大排列，则第3个平方优数是 ；第48个平方优数是 ．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．（8分）为适应市场需求，成都博物馆设计了一套全新的“花与器”文创商品，经调查，A、B两种图案的冰箱贴倍受消费者喜爱．已知A种冰箱贴的单价比B种冰箱贴的单价贵10元，用300元购进A种冰箱贴的数量与用200元购买B种冰箱贴的数量相同．
（1）求A种冰箱贴、B种冰箱贴的单价分别是多少元？
（2）若某公司购买A、B两种冰箱贴共200个，且A种的数量至少比B种的数量多27个，当购买A、B两种冰箱贴各多少时？总费用最少？并求出最少费用．
25．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C（0，﹣4），且BO＝CO＝4AO．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M（与点A不重合）是抛物线上一点，连接CA、CB、CM，若∠BCA＝∠BCM，求点M的坐标；
（3）抛物线顶点为D，对称轴交x轴于点E，过点的直线（直线KD除外）与抛物线交于G、H两点，直线DG、DH分别与x轴交于点M、N，试探究ME•NE是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．
26．（12分）如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝6，AD＝2，，将Rt△ADE绕着A点旋转一定的角度．
（1）当k＝1时
①如图1，连接BD，EC，求证：BD＝EC．
②将Rt△ADE旋转到图2位置，连接BD，CE，若BD＝7，求点E到直线AC的距离．
（2）当时，将△ADE旋转到B、D、E三点共线，求△AEC的面积．
参考答案
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题的四个选项中只有一项符合题目要求）
1．（4分）的倒数是（ ）
A．﹣2024B．2024C．D．
【解答】解：的倒数是﹣2024，
故选：A．
2．（4分）今年成都市中考报名人数大约有14.45万人，比去年共增加了13000人．将数据14.45万用科学记数法表示为（ ）
A．14.45×104B．1.445×105C．1.445×104D．1.3×104
【解答】解：14.45万＝144500＝1.445×105，
故选：B．
3．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．（a3）2＝a5
C．D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
【解答】解：A．∵a2•a3＝a5，∴此选项计算错误，故此选项不符合题意；
B．∵（a3）2＝a6，∴此选项计算错误，故此选项不符合题意；
C．∵当a≥0时，，当a＜0时，，∴此选项计算错误，故此选项不符合题意；
D．∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，∴此选项计算正确，故此选项符合题意；
故选：D．
4．（4分）已知关于x的方程x2﹣kx﹣6＝0的一个根为x＝3，则实数k的值为（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
【解答】解：因为x＝3是原方程的根，所以将x＝3代入原方程，即32﹣3k﹣6＝0成立，解得k＝1．
故选：A．
5．（4分）2023年第53届世界科幻大会在成都举行，为了让学生参与活动，实外也组织了“遇见未来”作文大赛，九年级参赛的25名同学的成绩情况如图所示，这些成绩的众数和中位数分别是（ ）
A．98，97B．98，96C．96，98D．96，97
【解答】解：∵98出现了9次，出现的次数最多，
∴众数是98分；
∵共有25名同学，中位数是第13个数，
∴中位数是96分；
故选：B．
6．（4分）如图，含45°角的三角板ABC的直角顶点C在直尺的边MN上，斜边AB与直尺的两边分别交于点D，E，直角边BC与直尺的边OP交于点F，若∠BEF＝80°，则∠ACD的度数为（ ）
A．55°B．45°C．35°D．30°
【解答】解：∵MN∥PO，
∴∠EDN＝∠BEF＝80°，
∵∠A＝45°，
∴∠ACD＝∠EDN﹣∠A＝35°．
故选：C．
7．（4分）我国古代数学著作《九章算术》有题如下：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平；并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”其大意是：现在有5只雀和6只燕，用秤来称它们，发现雀比较重，燕比较轻．将一只雀和一只燕交换位置，重量相等；5只雀和6只燕的重量为一斤．问每只雀和每只燕各重多少斤？设每只雀为x斤，每只燕为y斤，则可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：设每只雀重x斤，每只燕重y斤，
根据题意，得，
故选：A．
8．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，下列结论中，错误的结论是（ ）
A．c＞0
B．b2﹣4ac＞0
C．图象的对称轴为直线x＝1
D．当x＞0时，y的值随x值的增大而增大
【解答】解：由图象得：c＞0，函数与x轴有两个交点，
∴A、B选项正确；
∵对称轴为直线x＝，
∴C选项正确；
根据图象和对称轴，当0＜x＜1时，y的值随x值的增大而增大，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，
∴D选项错误；
故选：D．
二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）
9．（4分）分解因式：2a2﹣8＝ 2（a+2）（a﹣2） ．
【解答】解：2a2﹣8
＝2（a2﹣4）
＝2（a+2）（a﹣2），
故答案为：2（a+2）（a﹣2）．
10．（4分）反比例函数的图象经过A（m，4），B（n，5）两点，则m、n的大小关系为 m＜n .（用“＞、＝、＜”连接）
【解答】解：反比例函数的k＝﹣2＜0，图象分布在第二四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵A（m，4），B（n，5）两点都在第二象限，且4＜5，
∴m＜n，
故答案为：m＜n．
11．（4分）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若△ABC和△DEF的周长之比为1：3，则OC：OF＝ 1：3 ．
【解答】解：∵△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，
∴△ABC∽△DEF，
∵△ABC和△DEF的周长之比为1：3，
∴OC：OF＝1：3，
故答案为：1：3．
12．（4分）某立体图形是由相同的正方体拼成，该立体图形的三视图如图所示，则正方体共有 6 个．
【解答】解：综合主视图，俯视图，左视图，底层有4个正方体，第二层有2个正方体，所以搭成这个几何体所用的小立方块的个数是4+2＝6个．
故答案为：6．
13．（4分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点D；②再分别以C，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点E；③作射线BE交AC于点F．若AB＝AC＝5，DF＝1，则BC的长为 ．
【解答】解：由作图得：BE⊥AC，CF＝DF＝1，
∴AF＝AC﹣CF＝4，
在Rt△ABF中，BF2＝AB2﹣AF2＝9，
在Rt△CBF中，BC2＝FB2+CF2＝，
故答案为：．
三、解答题（本大题共5个小题，满分48分）
14．（12分）（1）计算：；
（2）解不等式组：．
【解答】解：（1）原式＝4×+2﹣+1﹣3
＝4+2﹣+1﹣3
＝3；
（2），
解不等式①，得x≥﹣3，
解不等式②，得x＜2，
故原不等式组的解集为﹣3≤x＜2．
15．（8分）人工智能的应用非常广泛，比如自然语言处理、语音和图象识别、搜索排名、专家系统等．为了解学生对人工智能应用的知晓程度，某校随机抽查部分中学生，进行知识测试，得分用x表示，数据分组为A：50≤x＜60、B：60≤x＜70、C：70≤x＜80、D：80≤x＜90、E：90≤x≤100，并将测试成绩绘制成如下不完整的统计图，请根据图表信息回答问题：
（1）随机抽查的学生共有 300 人；扇形统计图中“E”组所对应的圆心角度数为 54 °；
（2）该校约有7000名学生，请估算等级为C的学生约有多少人？
（3）在本次调查中，等级为E的学生中，仅有一名男生和三名女生的测试成绩为满分，若从中随机抽取两人进行活动交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
【解答】解：（1）随机抽查的学生共有60÷＝300（人），
扇形统计图中“E”组所对应的圆心角度数为360°×＝54°，
故答案为：300，54；
（2）C等级人数为300﹣（30+60+90+45）＝75（人），
所以7000×＝1750（人），
答：估计等级为C的学生约有1750人；
（3）根据题意，列表如下：
从表格中可以看出，共有12种等可能结果，其中恰好抽到一名男生和一名女生的有6种结果，
所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率为＝．
16．（8分）泰姬陵是世界知名的古建筑，被列为“世界文化遗产”．如图所示，为了估测泰姬陵的高度，在泰姬陵的正东方向选取高为10m参照物AB，在它们之间的地面上选取点E（B，E，D三点共线），在点E处测得A处、C处的仰角分别是45°和30°，在A处测得C处的仰角为25°，求泰姬陵CD的高度．
（结果精确到1m，参考数据：，，sin25°≈0.42，cs25°≈0.90，tan25°≈0.47）．
【解答】解：过点A作AF⊥CD，垂足为F．
设CD的长为x m，则CF＝（x﹣10）m．
在Rt△ABE中，
∵∠AEB＝45°，AB＝10m，
∴∠EAB＝45°．
∴BE＝AB＝10m．
由题意知：AB⊥DB，CD⊥DB，AF⊥CD，
∴四边形ABDF是矩形．
∴DF＝AB＝10m，AF＝DB．
在Rt△CDE中，
∵tan∠DEC＝即tan30°＝，
∴DE＝＝x（m）．
在Rt△ACF中，
∵tan∠CAF＝即tan25°＝，
∴AF≈．
∵AF＝DE+BE＝DE+10，
∴＝x+10．
整理，得x﹣10≈0.799x+4.7
∴x≈74（m）
答：泰姬陵CD的高度约为74m．
17．（10分）如图，AB是⊙O的直径，CE与⊙O相切于点C，过A作AE⊥CE于点E，交⊙O于点D．
（1）求证：CD＝BC；
（2）若DE＝3，CE＝4，求BD及⊙O的半径长．
【解答】（1）证明：如图，连接OC交BD于点M，
∵CE是⊙O的切线，切点为点C，
∴OC⊥CE，
∴∠OCE＝90°＝∠OCA+∠ACE，
∵AE⊥CE，
∴∠AEC＝90°，
∴∠ACE+∠CAE＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠CAE＝∠OAC，
∴CD＝BC；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠BDE＝90°，
∵CE是⊙O的切线，切点为点C，
∴OC⊥CE，
∴∠OCE＝90°，
∵AE⊥CE，
∴∠AEC＝90°，
∴四边形DECM是矩形，
∴DM＝CE＝4，
∴BD＝2DM＝8，
设半径为r，即OB＝r，则OM＝r﹣3，
在Rt△BOM中，由勾股定理得，
OM2+BM2＝OB2，
即（r﹣3）2+42＝r2，
解得r＝．
18．（10分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象相交于点A（3，4）、B（6，m）两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）若点C为线段AB上一点，且，连接AO、CO，求S△AOC；
（3）如果一个矩形的长宽之比为2：1，我们把该矩形称为“倍边矩形”．请探究，在平面内是否存在P、Q两点（点P在直线AB上方），使得四边形APBQ为倍边矩形，若存在，请求P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意得：n＝3×4＝12，
则反比例函数的表达式为：y＝，
将点B的坐标代入上式得：m＝＝2，
即点B（6，2），
由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y＝﹣x+6；
（2）连接OA、OB，
由一次函数的表达式知，点E（9，0），
则S△AOB＝S△OEA﹣S△OEB＝OE×（yA﹣yB）＝9×（4﹣2）＝9，
∵，
则S△AOC＝S△AOB＝3；
（3）存在，理由：
由题意得，∠APB＝90°，AP：BP＝2，
过点P作x轴的平行线分别交过点A、B和y轴的平行线于点M、N，
则△AMP和△PNB的相似比为1：2，
设PN＝m，BN＝n，
则AM＝m，MP＝n，
则MN＝n+m＝xB﹣xA＝3且BN﹣AM＝m＝yA﹣yB＝2，
解得：m＝，n＝，
则点P（，），
由中点坐标公式得：点Q（，）；
即P（，）、点Q（，）．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．（4分）若m2+3m＝﹣1，则代数式的值为 2 ．
【解答】解：∵m2+3m＝﹣1，
∴m2＝﹣3m﹣1，
∴
＝
＝
＝
＝
＝2，
故答案为：2．
20．（4分）若关于x的分式方程＝+2的解为负数，则m的取值范围是 m＞﹣2 ．
【解答】解：去分母，得：3x＝﹣m+2（x﹣1），
去括号，移项合并同类项，得：x＝﹣m﹣2，
∵关于x的分式方程的解为负数，
∴﹣m﹣2＜0，
又∵x﹣1≠0，
∴x≠1，
∴﹣m﹣2≠1，
∴，
解得：m＞﹣2，
故答案为：m＞﹣2．
21．（4分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝2，以C为圆心，CB长为半径画弧，现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是 1﹣π ．
【解答】解：如图，作DH⊥AB于H．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝2，∠C＝∠A＝60°，
在Rt△ADH中，DH＝AD•sin60°＝，
∴S菱形ABCD＝2×＝2，
S阴＝S菱形ABCD﹣S扇形CDB＝2×﹣＝2﹣π，
∴这个点取在阴影部分的概率是＝1﹣π．
故答案为：1﹣π．
22．（4分）如图，在△ABC中，D是BC边上任意一点，FD∥AC，DE∥AB，若点N在BF上，BN＝2NF，点M在DE上，DM＝2ME，若S△CMN＝4，且DC＝2BD，则△ABC的面积为 ．
【解答】解：连接ND，如图，
∵FD∥AC，
∴∠BFD＝∠A，∠FDB＝∠ECD．
∵DE∥AB，
∴∠A＝∠DEC，
∴∠BFD＝∠DEC，
∴△BFD∽△DEC，
∴．
∵BN＝2NF，DM＝2ME，
∴NF＝BF，ME＝DE，
∴，
∴．
∵∠BFD＝∠MEC，
∴△DNF∽△CME，
∴∠NDF＝∠MCE，
∴∠FDB﹣∠NDF＝∠ECD﹣∠MCE，
即∠NDB＝∠MCD，
∴DN∥CM，
∴S△CMN＝S△DMC＝4，
∵DM＝2ME，
∴＝2，
∴S△CDE＝6．
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CBA，
∴，
∵DC＝2BD，
∴＝，
∴＝．
故答案为：．
23．（4分）定义：如果一个正整数平方后得到的数，十位数字比个位数字大1，我们把这样的正整数称为“平方优数”．例如，242＝576，那么24是平方优数，若将平方优数从小到大排列，则第3个平方优数是 26 ；第48个平方优数是 589 ．
【解答】解：令a1，a2，•••，ai，•••，是平方优数，且a1＜a2＜•••＜ai•••，
由题可知，最小的平分优数为11，即a1＝11，
由定义可知，一个正整数平方后得到的数，十位数字比个位数字大1，
设n＝m+a1，
即n2＝（m+a1）2＝m2+2ma1+，
∵＝121，
∵n是平方优数，则n的十位数字比个位大1，
∴m2+2ma1为100的倍数，则m＝50k，
2500k2+100ka1+＝（25k2+ka1）×100+的十位和个位必定和的相同，
∴n2＝（50k+a1）2，
即50k+a1是平方优数，同理，50k+a2，50k+a3，•••，是平方优数，
根据定义可得：
112＝121，242＝576，262＝676，39＝1521，
∴a1＝11．a2＝24，a3＝26，a4＝39，
∴a4k+1＝50k+11，•••，a4k+4＝50k+39，
a48＝a4×11+4＝50×11+39＝589．
故答案为：26，589．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．（8分）为适应市场需求，成都博物馆设计了一套全新的“花与器”文创商品，经调查，A、B两种图案的冰箱贴倍受消费者喜爱．已知A种冰箱贴的单价比B种冰箱贴的单价贵10元，用300元购进A种冰箱贴的数量与用200元购买B种冰箱贴的数量相同．
（1）求A种冰箱贴、B种冰箱贴的单价分别是多少元？
（2）若某公司购买A、B两种冰箱贴共200个，且A种的数量至少比B种的数量多27个，当购买A、B两种冰箱贴各多少时？总费用最少？并求出最少费用．
【解答】解：（1）设A种冰箱贴的单价是a元，B种冰箱贴的单价是（a﹣10）元．
根据题意，得＝，
解得a＝30，
经检验，a＝30是所列分式方程的解，
30﹣10＝20（元），
∴A种冰箱贴的单价是30元，B种冰箱贴的单价是20元．
（2）设购买A种冰箱贴x个，则购买B种冰箱贴（200﹣x）个．
根据题意，得x﹣（200﹣x）≥27，
解得x≥；
设购买两种冰箱贴的总费用为W元，则W＝30x+20（200﹣x）＝10x+4000，
∵10＞0，
∴W随x的减小而减小，
∵x≥，
∴当x＝114时，W的值最小，W最小＝10×114+4000＝5140，此时200﹣114＝86（个），
∴当购买A种冰箱贴114个、B种冰箱贴86个时总费用最少，最少费用是5140元．
25．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C（0，﹣4），且BO＝CO＝4AO．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M（与点A不重合）是抛物线上一点，连接CA、CB、CM，若∠BCA＝∠BCM，求点M的坐标；
（3）抛物线顶点为D，对称轴交x轴于点E，过点的直线（直线KD除外）与抛物线交于G、H两点，直线DG、DH分别与x轴交于点M、N，试探究ME•NE是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．
【解答】解：（1）∵点C（0，﹣4），
∴OC＝4，
∵BO＝CO＝4AO，
∴BO＝4，OA＝1，
∴B（4，0），A（﹣1，0），
设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），
∴﹣4a＝﹣4，
解得a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣3x﹣4；
（2）∵OB＝CO，
∴∠OCB＝45°，
∵AO＝1，
∴tan∠ACO＝，
过C点作CE⊥y轴，过点M作ME⊥CE交于E点，
∴∠MCE＝∠ACO，
设M（4m，﹣4﹣m），则﹣4﹣m＝16m2﹣12m﹣4，
解得m＝0或m＝，
∴M（，﹣）；
（3）ME•NE是定值，理由如下：
∵y＝x2﹣3x﹣4＝（x﹣）2﹣，
∴D（，﹣），E（，0），
设直线y＝k（x﹣）﹣4，G（x1，y1），H（x2，y2），
当x2﹣3x﹣4＝k（x﹣）﹣4时，x1+x2＝3+k，x1•x2＝k，
设直线DG的解析式为y＝k1（x﹣）x﹣，直线DH的解析式为y＝k2（x﹣）x﹣，
当k1（x﹣）x﹣＝x2﹣3x﹣4时，k1＝x1﹣，
当k2（x﹣）x﹣＝x2﹣3x﹣4时，k2＝x2﹣，
∵M（+，0），N（+，0），
∴ME•NE＝﹣•＝﹣•＝﹣•＝．
26．（12分）如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝6，AD＝2，，将Rt△ADE绕着A点旋转一定的角度．
（1）当k＝1时
①如图1，连接BD，EC，求证：BD＝EC．
②将Rt△ADE旋转到图2位置，连接BD，CE，若BD＝7，求点E到直线AC的距离．
（2）当时，将△ADE旋转到B、D、E三点共线，求△AEC的面积．
【解答】（1）①证明：∵k＝1，
∴AB＝AC，AD＝AE，
∵∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
由AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE得：
△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝EC．
②过A作AM⊥CE，过E作EN⊥CA，交CA延长线于N．
设EM＝x，则MC＝7﹣x，
∵AE2﹣EM2＝AM2＝AC2﹣CM2，
∴22﹣x2＝62﹣（7﹣x）2，
∴x＝，
∴EM＝，
∴AM＝＝，
∵△AEC面积＝AC×EN＝EC×AM，
∴6EN＝7×，
∴EN＝．
（2）∵，
∴＝，
∴又AB＝6，AD＝2，
∴AC＝，AE＝，
∴DE＝＝，
第一种情况如图：过A作AM⊥BE．
∵△ADE面积＝×DE×AM＝×AD×AE，
∴AM＝，
∴DM＝＝，
∴BM＝＝，
∴BD＝，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
又＝，
∴△BAD～△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∴＝，∠BEC＝∠BAC＝90°，
∴2÷＝÷EC，
∴EC＝，
∴△AEC面积＝△BAE面积+△BEC面积﹣△ABC面积，
＝×（÷）×+×（÷）×﹣×6×
＝．
第二种情况如图：
同第一种情况：
∵△ADE面积＝×DE×AM＝×AD×AE，
∴AM＝，
∴DM＝＝，
∴EM＝ED﹣MD＝，
∴BM＝＝，
∴BD＝，BE＝﹣，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
又＝，
∴△BAD～△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∴＝，∠BEC＝∠BAC＝90°，
∴2÷＝÷EC，
∴EC＝，
∴△AEC面积＝△BAE面积+△ABC面积﹣△BEC面积
＝×（﹣）×+×6×﹣×（﹣）×
＝．女
女
女
男
女
女，女
女，女
男，女
女
女，女
女，女
男，女
女
女，女
女，女
男，女
男
女，男
女，男
女，男