初中数学17.1 勾股定理综合训练题

这是一份初中数学17.1 勾股定理综合训练题，文件包含第十七章测试卷2023-2024学年度人教版数学八年级下册江西南昌版doc、答案版教师版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共19页， 欢迎下载使用。
姓名：________ 班级：________ 分数：________
一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项)
1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ C ）
A．1，3，4 B．2，2，7 C．4，5，7 D．3，3，6
2．如图，△OAB为直角三角形，OA＝5，AB＝4，则点A的坐标为( C )
A．(4，5) B．(4，3) C．(3，4) D．(3，5)
3．如图，分别以直角三角形的三边为边画三个正方形，较大两个正方形的面积分别为144和169，则最小正方形A的边长是（ A ）
A．5 B．12 C．13 D．25
4．如图，点A在数轴上表示的数是3，过点A作直线l垂直于OA，在直线l上取点B，使AB＝2，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C表示的数为（ A ）
A.eq \r(13) B.eq \r(10) C.eq \r(6) D.eq \r(5)
5．如图是小明设计的一面彩旗，其中∠ACB＝90°，∠D＝15°，点A在CD上，AD＝AB＝4 m，则AC的长为（ B ）
A．2 m B．2eq \r(3) m C．4 m D．8 m
6．在如图所示的网格纸中，有A，B两个格点，试取格点C，使得△ABC是直角三角形，则这样的格点C有( C )
A．4个 B．6个 C．8个 D．10个
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
7．命题“如果两个数相等，那么它们的倒数相等”的逆命题是__如果两个数的倒数相等，那么它们也相等__．
8．在平面直角坐标系中，点A(－6，8)到原点的距离是__10__.
9．若a，12，13是一组勾股数，则a＝__5__.
10．如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为 __10__cm.(杯壁厚度不计)
11．《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何．这段话的意思：今有门不知其高宽，有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少．则该问题中的门高是 __8尺．
12．已知在平面直角坐标系中A(－2eq \r(3)，0)，B(2，0)，C(0，2)．点P在x轴上运动，当点P与点A，B，C三点中任意两点构成直角三角形时，点P的坐标为__(0，0)，(eq \f(2\r(3),3)，0)或(－2，0)__．
三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)
13．在△ABC中，∠C＝90°，设AB＝c，BC＝a，AC＝b.
(1)已知a＝8，b＝15，求c；
(2)已知c＝13，b＝5，求a.
解：(1)在△ABC中，∠C＝90°，
由勾股定理得c2＝a2＋b2＝82＋152＝289，
∵c＞0，∴c＝17.
(2)在△ABC中，∠C＝90°，
由勾股定理得a2＝c2－b2＝132－52＝144，
∵a＞0，∴a＝12.
14．如图，四边形ABCD中，∠ACB＝90°，AB＝15，BC＝9，AD＝5，DC＝13.求证：△ACD是直角三角形．
证明：∵AB＝15，BC＝9，∠ACB＝90°，
∴AC＝eq \r(152－92)＝12，
∵52＋122＝132，∴AD2＋AC2＝CD2，
∴∠DAC＝90°，∴△ACD是直角三角形．
15．如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝4，∠A＝120°，求BC的长．
解：作CD⊥AB交BA的延长线于点D.
∵∠BAC＝120°，∴∠DCA＝30°.
∴AD＝eq \f(1,2)AC＝2.
∴CD＝eq \r(AC2－AD2)＝eq \r(42－22)＝2eq \r(3)，
BD＝AD＋AB＝4.
在Rt△CDB中，BC＝eq \r(CD2＋BD2)＝2eq \r(7).
16．如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1.小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画出下列图形．
(1)在图①网格中画出长为 eq \r(5) 的线段AB；
(2)在图②网格中画出一个腰长为eq \r(10)、面积为3的等腰三角形DEF.
解：(1)如图①所示．
(2)如图②所示．
17．如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A出发，沿北偏东53°方向走了400 m到达点B，然后再沿北偏西37°方向走了300 m到达目的地C.求A，C两点间的距离．
解：过点B作BE∥AD.
∴∠DAB＝∠ABE＝53°.
∵37°＋∠CBA＋∠ABE＝180°，∴∠CBA＝90°.
∴AC2＝BC2＋AB2＝3002＋4002＝5002.
∴AC＝500 m，即A，C两点间的距离为500 m.
四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)
18．如图，在Rt△AOB和Rt△COD中，AB＝CD＝25，OB＝7，AC＝4.求BD的长．
解：在Rt△AOB中，OA2＝AB2－OB2＝576，
∴OA＝24，
∵AC＝4，∴OC＝OA－AC＝24－4＝20，
在Rt△COD中，OD2＝CD2－OC2＝225，
∴OD＝15，∴BD＝OD－OB＝15－7＝8.
19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是中线，MN⊥AB，垂足为点N.求证：AN2－BN2＝AC2.
证明：∵MN⊥AB于点N，
∴AN2＝AM2－MN2，
BN2＝BM2－MN2.
∴AN2－BN2＝AM2－BM2.
又∵∠C＝90°，∴AM2＝AC2＋CM2.
∴AN2－BN2＝AC2＋CM2－BM2.
又∵AM是△ABC的中线，
∴CM＝BM.∴AN2－BN2＝AC2.
20．某校八年级(1)班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE(如图)，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为8 m；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为17 m；③牵线放风筝的小明的身高为1.5 m.
(1)求风筝的垂直高度CE；
(2)如果小明想风筝沿CD方向下降9 m，则他应该往回收线多少米？
解：(1)在Rt△CDB中，由勾股定理得
CD2＝BC2－BD2＝172－82＝225，
∴CD＝15(负值舍去)，
∴CE＝CD＋DE＝15＋1.5＝16.5(m)，
答：风筝的高度CE为16.5 m.
(2)设风筝从C点下降到M点，连接BM，由题意得CM＝9，∴DM＝6，
∴BM＝eq \r(DM2＋BD2)＝10(m)，
∴BC－BM＝17－10＝7(m)，
∴他应该往回收线7 m.
五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)
21．如图，三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，D为BC的中点，折叠三角形纸片使点A与点D重合，EF为折痕，求AF的长．
解：∵BC＝2，D为BC的中点，∴CD＝1，
由折叠的性质得AF＝DF，
∴DF＋CF＝AF＋CF＝AC＝2，
∴CF＝2－DF＝2－AF，
在Rt△CDF中，由勾股定理得DF2＝CF2＋CD2，
即AF2＝(2－AF)2＋12，解得AF＝eq \f(5,4).
22．已知△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰三角形PCQ，其中∠PCQ＝90°，探究并解决下列问题：
(1)如图①，若点P在线段AB上，且AC＝1＋eq \r(3)，PA＝eq \r(2)，则：
①线段PB＝__eq \r(6)__，PC＝__2__；
②猜想：PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系为__PA2＋PB2＝PQ2__；
(2)如图②，若点P在AB的延长线上，在(1)中所猜想的结论仍然成立，请利用图②给出证明过程．
证明：(2)如图②，过点C作CD⊥AB于点D.
∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，∴CD＝AD＝DB.
∵PA2＝(AD＋PD)2＝(DC＋PD)2＝DC2＋2DC·PD＋PD2，
PB2＝(PD－BD)2＝(PD－DC)2＝DC2－2DC·PD＋PD2，
∴PA2＋PB2＝2DC2＋2PD2.
∵在Rt△PCD中，由勾股定理，得
PC2＝DC2＋PD2，∴PA2＋PB2＝2PC2.
∵△CPQ为等腰直角三角形，∴2PC2＝PQ2，∴PA2＋PB2＝PQ2.
六、(本大题共12分)
23．美丽的弦图，蕴含着全等的直角三角形．
(1)【定理验证】如图①，弦图中包含了一大一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理；
(2)【类比探究】如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓(粗线)的周长为24，OC＝3，求该飞镖状图案的面积；
(3)【变形运用】如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1＋S2＋S3＝40，则S2＝__eq \f(40,3)__．
① ② ③
解：(1)S小正方形＝(a－b)2＝a2－2ab＋b2，
另一方面S小正方形＝c2－4×eq \f(1,2)ab＝c2－2ab，
所以a2－2ab＋b2＝c2－2ab，
即a2＋b2＝c2.
(2)24÷4＝6，
设AC＝x，则AB＝6－x，依题意有
(x＋3)2＋32＝(6－x)2，解得x＝1，
eq \f(1,2)×(3＋1)×3×4＝eq \f(1,2)×4×3×4＝24.
故该飞镖状图案的面积是24.
(3)设正方形MNKT的面积为x，设每个三角形的面积为y，
则s1＝8y＋x，s2＝4y＋x，x3＝x，
s1＋s2＋s3＝3x＋12y＝40，x＋4y＝eq \f(40,3)，即s2＝eq \f(40,3).