2022-2023学年山东省滨州市博兴县八年级（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年山东省滨州市博兴县八年级（上）期末数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中图案是轴对称图形的是（ ）
A．打喷嚏 捂口鼻B．喷嚏后，慎揉眼
C．勤洗手 勤通风D．戴口罩 讲卫生
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（x2）3＝x5B．（x3）5＝x15
C．x4•x5＝x20D．﹣（﹣x3）2＝x6
3．（3分）下列各式：中，是分式的共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．（3分）一个三角形的两边长分别是3和7，且第三边长为整数，这样的三角形周长最大的值为（ ）
A．15B．16C．18D．19
5．（3分）如图所示的图形中，三角形的个数是（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
6．（3分）若分式的值等于0，则x的值为（ ）
A．±1B．0C．﹣1D．1
7．（3分）如图，在△ABC和△ABD中，已知∠CAB＝∠DAB，在不添加任何辅助线的前提下，要使△ABC≌△ABD，只需再添加的一个条件不可以是（ ）
A．AC＝ADB．BC＝BDC．∠C＝∠DD．∠CBE＝∠DBE
8．（3分）在运用乘法公式计算（x+2y﹣1）（x﹣2y+1）时，下列变形正确的是（ ）
A．[x﹣（2y+1）]2B．[x2﹣（2y﹣1）2]
C．[（x﹣2y）2﹣1]D．[x+（2y+1）]2
9．（3分）若关于x的二次三项式x2+ax+4是完全平方式，则a的值是（ ）
A．4B．2C．±4D．±2
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝3，AB＝12，则△ABD的面积是（ ）
A．15B．18C．36D．72
11．（3分）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E的坐标为（2m，﹣n），其关于y轴对称的点F的坐标为（3﹣n，﹣m+1），则（m﹣n）2021的值为（ ）
A．1B．﹣1C．32021D．0
12．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，边AC的垂直平分线分别交AC，BC于点D、E．若∠BAE＝45°，DE＝3，则AE的长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，满分24分．
13．（4分）一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是 ．
14．（4分）已知：如图，AB∥EF，∠ABC＝75°，∠CDF＝135°，则∠BCD＝ 度．
15．（4分）不改变分式的值，若把其分子与分母中的各项系数都化成整数，其结果为 ．
16．（4分）若（x﹣1）2＝2，则代数式x2﹣2x+5的值为 ．
17．（4分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，且AD，BE交于点F，若BF＝AC，CD＝3，BD＝8，则线段AF的长度为 ．
18．（4分）如图，等边△ABC的边长为6，面积是，AD是BC边上的高，E是AC边的中点，点F为AD上一动点，则FC+FE的最小值是 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分60分．解答时请写出必要的过程与步骤．
19．（10分）分解因式：
（1）9x2y﹣6xy2+y3；
（2）（3x﹣2）2﹣（2x+7）2．
20．（10分）根据要求解答下列问题．
（1）化简：；
（2）解方程：．
21．（10分）如图，AF，AD分别是△ABC的高和角平分线，且∠B＝36°，∠C＝76°，求∠DAF的度数．
22．（10分）如图，图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀剪成四块全等的小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）图2中阴影部分的正方形边长为多少？
（2）求图2中阴影部分的面积；
（3）观察图2，代数式（m+n）2、（m﹣n）2和mn之间有怎样的等量关系？
（4）若x、y都是有理数，x﹣y＝4，xy＝5，求x+y的值．
23．（10分）如图，BD是△ABC的中线，AB＝10，BC＝6，求中线BD的取值范围．
24．（10分）如图，△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，且∠DAB＝∠EAC＝90°，CD与BE交于点O，
（1）求证：BE＝CD；
（2）求证：BE⊥CD．
2022-2023学年山东省滨州市博兴县八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，满分36分．请选出唯一正确答案的代号填在下面的答题栏内
1．（3分）自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中图案是轴对称图形的是（ ）
A．打喷嚏 捂口鼻B．喷嚏后，慎揉眼
C．勤洗手 勤通风D．戴口罩 讲卫生
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，不合题意；
C、不是轴对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（x2）3＝x5B．（x3）5＝x15
C．x4•x5＝x20D．﹣（﹣x3）2＝x6
【分析】选项A与选项B根据幂的乘方运算法则判断；选项C根据同底数幂的乘法法则判断；选项D根据积的乘方运算法则判断．
【解答】解：A．x2）3＝x6，故本选项不合题意；
B．（x3）5＝x15，正确，故本选项符合题意；
C．x4•x5＝x9，故本选项不合题意；
D．﹣（﹣x3）2＝﹣x6，故本选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
3．（3分）下列各式：中，是分式的共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果分母中含有字母则是分式，如果分母中不含有字母则不是分式．
【解答】解：，，这三个式子分母中含有字母，因此是分式．
其它式子分母中均不含有字母，是整式，而不是分式．
故选：C．
【点评】本题主要考查分式的定义，π不是字母，是常数，所以不是分式，是整式．
4．（3分）一个三角形的两边长分别是3和7，且第三边长为整数，这样的三角形周长最大的值为（ ）
A．15B．16C．18D．19
【分析】先根据三角形的三边关系定理求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得周长最大时，对应的第三边的长．
【解答】解：设第三边为a，
根据三角形的三边关系，得：7﹣3＜a＜3+7，
即4＜a＜10，
∵a为整数，
∴a的最大值为9，
则三角形的最大周长为9+3+7＝19．
故选：D．
【点评】此题考查了三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
5．（3分）如图所示的图形中，三角形的个数是（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【分析】不在同一直线上三点可以确定一个三角形，据此即可判断．
【解答】解：根据图示知，图中的三角形有：△ABE，△ABC，△AEC，△ADC，△DEC，
共有5个，
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形的认识，按正确的顺序计算三角形的个数是解决本题的关键．
6．（3分）若分式的值等于0，则x的值为（ ）
A．±1B．0C．﹣1D．1
【分析】化简分式＝＝x﹣1＝0即可求解；
【解答】解：＝＝x﹣1＝0，
∴x＝1；
经检验：x＝1是原分式方程的解，
故选：D．
【点评】本题考查解分式的值为零的条件；熟练掌握因式分解的方法，分式方程的解法是解题的关键．
7．（3分）如图，在△ABC和△ABD中，已知∠CAB＝∠DAB，在不添加任何辅助线的前提下，要使△ABC≌△ABD，只需再添加的一个条件不可以是（ ）
A．AC＝ADB．BC＝BDC．∠C＝∠DD．∠CBE＝∠DBE
【分析】添加AC＝AD，利用SAS即可得到两三角形全等；添加∠D＝∠C，利用AAS即可得到两三角形全等，添加∠CBE＝∠DBE，利用ASA即可得到两三角形全等．
【解答】解：A、添加AC＝AD，利用SAS即可得到两三角形全等，不符合题意；
B、添加BC＝BD，不能判定两三角形全等，符合题意；
C、添加∠D＝∠C，利用AAS即可得到两三角形全等，不符合题意；
D、添加∠CBE＝∠DBE，利用ASA即可得到两三角形全等，不符合题意；
故选：B．
【点评】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．
8．（3分）在运用乘法公式计算（x+2y﹣1）（x﹣2y+1）时，下列变形正确的是（ ）
A．[x﹣（2y+1）]2B．[x2﹣（2y﹣1）2]
C．[（x﹣2y）2﹣1]D．[x+（2y+1）]2
【分析】利用平方差公式直接变形即可．
【解答】解：（x+2y﹣1）（x﹣2y+1）
＝[x+（2y﹣1）][x﹣（2y﹣1）]
＝[x2﹣（2y﹣1）2]．
故选：B．
【点评】此题考查平方差公式，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，解题关键是分清几个数的符号．
9．（3分）若关于x的二次三项式x2+ax+4是完全平方式，则a的值是（ ）
A．4B．2C．±4D．±2
【分析】根据完全平方式得出ax＝±2•x•2，再求出答案即可．
【解答】解：∵关于x的二次三项式x2+ax+4是完全平方式，
∴ax＝±2•x•2，
解得：a＝±4，
故选：C．
【点评】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式的特点是解此题的关键，注意：完全平方式有两个：a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝3，AB＝12，则△ABD的面积是（ ）
A．15B．18C．36D．72
【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE＝DC＝3，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：如图，作DE⊥AB于E，
由尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，
∵∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝DC＝3，
∴△ABD的面积＝×AB×DE＝×12×3＝18，
故选：B．
【点评】本题考查的是角平分线的性质、基本作图，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
11．（3分）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E的坐标为（2m，﹣n），其关于y轴对称的点F的坐标为（3﹣n，﹣m+1），则（m﹣n）2021的值为（ ）
A．1B．﹣1C．32021D．0
【分析】根据轴对称的性质构建方程组，求出m、n，可得结论．
【解答】解：∵E的坐标为（2m，﹣n），关于y轴对称的点F的坐标为（3﹣n，﹣m+1），
∴，
解得，
∴（m﹣n）2021＝1，
故选：A．
【点评】本题考查坐标与图形变化、轴对称的性质，二元一次方程组等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质．
12．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，边AC的垂直平分线分别交AC，BC于点D、E．若∠BAE＝45°，DE＝3，则AE的长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AE＝CE，DE⊥AC，从而得到∠C＝∠CAE，设∠C＝∠CAE＝x，根据等腰三角形的性质可得，再由∠BAE＝45°，列出方程，求出x，再根据直角三角形的性质，即可求解．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，DE⊥AC，
∴∠C＝∠CAE，
设∠C＝∠CAE＝x，
∵AC＝BC，
∴，
∵∠BAE＝45°，
∴，
解得：x＝30°，
即∠CAE＝30°，
∵DE⊥AC，DE＝3，
∴AE＝2DE＝6．
故选：C．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，满分24分．
13．（4分）一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是 八 ．
【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2）•180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可．
【解答】解：设多边形的边数是n，根据题意得，
（n﹣2）•180°＝3×360°，
解得n＝8，
∴这个多边形为八边形．
故答案为：八．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键，要注意“八”不能用阿拉伯数字写．
14．（4分）已知：如图，AB∥EF，∠ABC＝75°，∠CDF＝135°，则∠BCD＝ 30 度．
【分析】根据邻补角的定义得到∠EDC＝180°﹣135°＝45°，根据平行线的性质得到∠1＝∠ABC＝75°，根据三角形外角的性质即可得到结论．
【解答】解：∵∠CDF＝135°，
∴∠EDC＝180°﹣135°＝45°，
∵AB∥EF，∠ABC＝75°，
∴∠1＝∠ABC＝75°，
∴∠BCD＝∠1﹣∠EDC＝75°﹣45°＝30°，
故答案为：30．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，邻补角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
15．（4分）不改变分式的值，若把其分子与分母中的各项系数都化成整数，其结果为 ．
【分析】根据分式的性质“分子分母同时扩大或缩小相同的倍数，分式的值不变”，分子和分母同时乘以10，即可获得答案．
【解答】解：分式，
分子、分母同时乘以10，
则有原式＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了分式的性质，理解并掌握分式的性质是解题关键．
16．（4分）若（x﹣1）2＝2，则代数式x2﹣2x+5的值为 6 ．
【分析】根据完全平方公式展开，先求出x2﹣2x的值，然后再加上5计算即可．
【解答】解：∵（x﹣1）2＝2，
∴x2﹣2x+1＝2，
∴x2﹣2x＝1，
两边都加上5，得
x2﹣2x+5＝1+5＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了完全平方公式，熟记公式是解题的关键，利用“整体代入”的思想使计算更加简便．
17．（4分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，且AD，BE交于点F，若BF＝AC，CD＝3，BD＝8，则线段AF的长度为 5 ．
【分析】先证明△ADC≌△BDF，再根据全等三角形的性质可得FD＝CD＝3，AD＝BD＝8，即可算出AF的长．
【解答】解：∵AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，
∴∠ADC＝∠BDF＝∠AEB＝90°，
∴∠DAC+∠C＝90°，∠C+∠DBF＝90°，
∴∠DAC＝∠DBF，
在△ADC和△BDF中，
，
∴△ADC≌△BDF（AAS），
∴CD＝FD＝3，AD＝BD＝8，
∵CD＝3，BD＝8，
∴AD＝8，DF＝3，
∴AF＝AD﹣FD＝8﹣3＝5，
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识，关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
18．（4分）如图，等边△ABC的边长为6，面积是，AD是BC边上的高，E是AC边的中点，点F为AD上一动点，则FC+FE的最小值是 ．
【分析】要求FC+FE的最小值，需考虑通过作辅助线转化EF、CF的值，从而找出其最小值求解．
【解答】解：连接BE，与AD交于点F．
∵ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝6，
∵AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴B、C关于AD对称，
∴BF＝CF
∴BE就是EF+CF的最小值．
∵E是AC边的中点，
∴BE⊥AC
∵
∴
∴．
故答案为：．
【点评】本题主要考查等边三角形的性质和轴对称等知识的综合应用，熟练掌握和运用等边三角形的性质以及轴对称的性质是本题的关键．
三、解答题：本大题共6小题，满分60分．解答时请写出必要的过程与步骤．
19．（10分）分解因式：
（1）9x2y﹣6xy2+y3；
（2）（3x﹣2）2﹣（2x+7）2．
【分析】（1）原式先提取公因式y，再运用完全平方公式进行因式分解即可；
（2）先运用平方差公式分解，再提取公因式即可
【解答】解：（1）9x2y﹣6xy2+y3
＝y（9x2﹣6xy+y2）
＝y（3x﹣y）2；
（2）（3x﹣2）2﹣（2x+7）2
＝[（3x﹣2）+（2x+7）][（3x﹣2）﹣（2x+7）]
＝（5x+5）（x﹣9）
＝5（x+1）（x﹣9）．
【点评】此题考查了提公因式法，公式法分解因式．解题的关键是注意因式分解的步骤：先提公因式，再利用公式法分解，注意分解要彻底．
20．（10分）根据要求解答下列问题．
（1）化简：；
（2）解方程：．
【分析】（1）根据通分、因式分解、约分等手段化简即可．
（2）按照解分式方程的基本步骤求解即可．
【解答】解：（1）＝．
（2）
方程的两边同乘（x﹣1），得1＝﹣2+（x+1），
解得：x＝4．
检验：把x＝4代入x﹣1≠0．
∴原方程的解为x＝4．
【点评】本题考查了分式的化简求值，解分式方程，熟练掌握化简的技能，规范解方程的基本步骤是解题的关键．
21．（10分）如图，AF，AD分别是△ABC的高和角平分线，且∠B＝36°，∠C＝76°，求∠DAF的度数．
【分析】由∠B、∠C的度数利用三角形内角和定理可求出∠BAC的度数，根据AF平分∠BAC可得出∠CAF的度数，在Rt△ADC中可求出∠CAD的度数，再根据∠DAF＝∠CAF﹣∠CAD即可求出结论．
【解答】解：∵∠B＝36°，∠C＝76°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝68°．
∵AF平分∠BAC，
∴∠CAF＝∠BAC＝34°．
∵AD⊥BC，∠C＝76°，
∴∠CAD＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝14°，
∴∠DAF＝∠CAF﹣∠CAD＝34°﹣14°＝20°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的性质，根据三角形内角和定理求出∠CAF及∠CAD的度数是解题的关键．
22．（10分）如图，图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀剪成四块全等的小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）图2中阴影部分的正方形边长为多少？
（2）求图2中阴影部分的面积；
（3）观察图2，代数式（m+n）2、（m﹣n）2和mn之间有怎样的等量关系？
（4）若x、y都是有理数，x﹣y＝4，xy＝5，求x+y的值．
【分析】（1）观察得到长为m，宽为n的长方形的长宽之差即为阴影部分的正方形的边长；
（2）可以用大正方形的面积减去4个长方形的面积得到图2中的阴影部分的正方形面积；也可以直接利用正方形的面积公式得到；
（3）利用（2）中图2中的阴影部分的正方形面积得到（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；
（4）把x﹣y＝4，xy＝5代入（3）中的公式计算即可．
【解答】解：（1）由图形可知阴影部分的正方形的边长为m﹣n．
（2）根据正方形的面积公式求图中阴影部分的面积为．或者用大正方形的面积减去四个小长方形的面积；
（3）∵（m﹣n）2和（m+n）2﹣4mn表示同一个图形的面积；
∴（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；
（4）∵x﹣y＝4，xy＝5，∴（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy＝42+4×5＝36，
∴x+y＝±6．
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景：利用几何图形之间的面积关系得到完全平方公式．
23．（10分）如图，BD是△ABC的中线，AB＝10，BC＝6，求中线BD的取值范围．
【分析】延长BD到E，使DE＝BD，证明两边之和大于BE＝2BD，两边之差小于BE＝2BD，证明三角形全等，得到线段相等，等量代换得2＜BD＜8．
【解答】解：如图，延长BD至E，使DE＝BD，连接CE，
∵D为AC中点，
∴AD＝DC，
在△ABD和△CED中，
∴△ABD≌△CED（SAS），
∴EC＝AB＝10，
在△BCE中，CE﹣BC＜BE＜CE+BC，即10﹣6＜BE＜10+6，
∴4＜BE＜16，
∴4＜2BD＜16，
∴2＜BD＜8．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边之间的关系，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
24．（10分）如图，△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，且∠DAB＝∠EAC＝90°，CD与BE交于点O，
（1）求证：BE＝CD；
（2）求证：BE⊥CD．
【分析】（1）先证明∠CAD＝∠BAE，进而证明△ABE≌∠ADC（SAS），根据全等三角形的性质即可得证；
（2）设CA、BE交于N，根据△ABE≌△ADC得出∠ACD＝∠AEB，进而根据三角形内角和定理即可得证．
【解答】证明：（1）在△ABD和△ACE中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°，
∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，
即∠CAD＝∠BAE，
在△ABE和△ADC中，
，
∴△ABE≌∠ADC（SAS），
∴BE＝CD；
（2）设CA、BE交于N，
∵△ABE≌△ADC，
∴∠ACD＝∠AEB，
∵∠ANE＝∠CNO，∠ANE+∠NAE+∠AEN＝180°，∠ONC+∠NOC+∠OCN＝180°，
∴∠NOC＝∠NAE＝90°，
∴BE⊥CD．
【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．