2022-2023学年湖南师大附中梅溪湖中学等五校九年级（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年湖南师大附中梅溪湖中学等五校九年级（上）期末数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）的相反数的倒数是（ ）
A．B．﹣3C．3D．
2．（3分）若一个正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．10B．9C．8D．6
3．（3分）总投资54亿元的万家丽高架快速路建成，不仅疏解了中心城区的交通，还形成了我市的快速路网，拉动了区域间的交流，54亿用科学记数法表示为（ ）
A．0.54×109B．5.4×109C．54×108D．5.4×108
4．（3分）在平面直角坐标系中，以点（﹣3，4）为圆心，3为半径的圆（ ）
A．与x轴相交，与y轴相切
B．与x轴相离，与y轴相切
C．与x轴相离，与y轴相交
D．与x轴相切，与y轴相离
5．（3分）关于x的方程x2﹣mx﹣1＝0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．不能确定
6．（3分）甲、乙两学生在军训打靶训练中，打靶的总次数相同，且所中环数的平均数也相同，但甲的成绩比乙的成绩稳定，那么两者的方差的大小关系是（ ）
A．＜B．＞
C．＝D．不能确定
7．（3分）如图，是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，其俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
8．（3分）已知菱形的周长为40，一条对角线长为12，则这个菱形的面积为（ ）
A．40B．47C．96D．190
9．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，∠ACB的角平分线交⊙O于D．若AC＝6，BD＝5，则BC的长为（ ）
A．12B．8C．10D．
10．（3分）周末晚会上，师生共有20人参加跳舞，其中方老师和7个学生跳舞，张老师和8个学生跳舞…依次下去，一直到何老师，他和参加跳舞的所有学生跳过舞，这个晚会上参加跳舞的学生人数是（ ）
A．15B．14C．13D．12
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）分解因式：3x3﹣3x＝ ．
12．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ．
13．（3分）如图，△ABC与△A1B1C1为位似图形，点O是它们的位似中心，位似比是1：3，已知△ABC的面积为2，那么△A1B1C1的面积是 ．
14．（3分）圆锥底面圆的半径为3cm，其侧面展开图是半圆，则圆锥母线长为 ．
15．（3分）如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB＝3：5，那么CF：CB等于 ．
16．（3分）如图，点A在反比例（x＞0）图象上，⊙A与y轴切于点B，交x轴于点C、D．若点B的坐标为（0，2）则图中阴影部分面积为 ．
三、解答题（共9小题，第17、18、19题6分，第20、21题8分，第22、23题9分，第24、25题10分，共72分）
17．（6分）计算：．
18．（6分）先化简，再求值：，其中a满足a2+2a﹣3＝0．
19．（6分）“一号龙卷风”给小岛O造成了较大的破坏，救灾部门迅速组织力量，从仓储D处调集救援物资，计划先用汽车运到与D在同一直线上的C、B、A三个码头中的一处，再用货船运到小岛O．已知：OA⊥AD，∠ODA＝15°，∠OCA＝30°，∠OBA＝45°，CD＝20km．若汽车行驶的速度为50km/时，货船航行的速度为25km/时，问这批物资在哪个码头装船，最早运抵小岛O？（在物资搬运能力上每个码头工作效率相同，参考数据：≈1.4，≈1.7）．
20．（8分）历下区某中学举行了“中国梦，中国好少年”演讲比赛，菲菲同学将选手成绩划分为A、B、C、D四个等级，绘制了两种不完整统计图．
根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）参加演讲比赛的学生共有 人，扇形统计图中m＝ ，n＝ ，并把条形统计图补充完整．
（2）学校欲从A等级2名男生2名女生中随机选取两人，参加达州市举办的演讲比赛，请利用列表法或树状图，求A等级中一男一女参加比赛的概率．（男生分别用代码 A1、A2表示，女生分别用代码B1、B2表示）
21．（8分）如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE与AD相交于点O．
（1）求证：△AOE≌△COD；
（2）若∠OCD＝30°，AB＝，求△AOC的面积．
22．（9分）某校为美化校园，计划安排甲乙两个施工队共同进行绿化．已知甲队每天完成绿化面积是乙队每天完成绿化面积的2倍；且甲乙两队分别完成400m2的绿化面积时，甲队比乙队少用4天．
（1）求甲、乙两队每天能完成的绿化面积分别是多少m2？
（2）学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元．已知学校计划绿化面积1800m2，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？
23．（9分）如图，等腰三角形ABC中，AC＝BC＝6，AB＝8．以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E．
（1）连接CD，求证：△ADF∽△ACD；
（2）求AF的长度；
（3）求sin∠E的值．
24．（10分）党的二十大报告指出：“高质量发展”是全面建设社会主义现代化国家的首要任务，在数学中，我们不妨约定：在平面直角坐标系内，如果点P满足到两坐标轴的距离之和等于4，则称点P为“高质量发展点”．
（1）判断下列各点是否是“高质量发展点”，并说明理由：
A（3，1），，C（﹣5，1）；
（2）一次函数y＝﹣2x+3上是否存在“高质量发展点”，若存在，求出所有“高质量发展点”的坐标，若不存在，说明理由；
（3）⊙T的圆心T的坐标为（1，0），半径为r．若⊙T上存在“高质量发展点”，求r的取值范围．
25．（10分）如图1，点A（a，0），B（0，b），a，b满足，抛物线经过A，B两点，点C（﹣1，0）关于点B的对称点M刚好落在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P为第一象限抛物线上一动点，过点P作PF∥x轴交直线AB于点F，过点P作PE∥BC交x轴于点E，求PE+PF的最大值及此时点P的坐标；
（3）过点M作MD平行于y轴交AB于点D，若点G为抛物线上的一点，点H在x轴上，连接AG，AH，GH．是否存在点H使得△ADM与△AGH相似？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
2022-2023学年湖南师大附中梅溪湖中学等五校九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．【解答】解：的相反数是﹣，
∵﹣×（﹣3）＝1，
∴的相反数的倒数是﹣3．
故选：B．
2．【解答】解：360°÷60°＝6，即正多边形的边数是6．
故选：D．
3．【解答】解：54亿用科学记数法表示为：5.4×109．
故选：B．
4．【解答】解：∵点（﹣3，4）到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，
∴以点（﹣3，4）为圆心，3为半径的圆与x轴相离，与y轴相切．
故选：B．
5．【解答】解：Δ＝（﹣m）2﹣4×1×（﹣1）＝m2+4，
∵m2≥0，
∴m2+4＞0，即Δ＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
6．【解答】解：根据方差的意义知，射击成绩比较稳定，则方差较小，
∵甲的成绩比乙的成绩稳定，
∴有：S甲2＜S乙2．
故选：A．
7．【解答】解：从上边看是一个长方形，长方形的中间是一个圆，
故选：C．
8．【解答】解：如图：四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，
∵菱形的周长为40，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝10，
∵一条对角线的长为12，当AC＝12，
∴AO＝CO＝6，
在Rt△AOB中，BO＝＝8，
∴BD＝2BO＝16，
∴菱形的面积＝AC•BD＝96，
故选：C．
9．【解答】解：如图，连接AD，
，
∵∠ACB＝90°，
∴AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵CD是∠ACB的角平分线，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，
∵，
∴，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴，
∵AC＝6，
∴，
故选：B．
10．【解答】解：设参加跳舞的老师有x人，则第一个是方老师和（6+1）个学生跳过舞；第二是张老师和（6+2）个学生跳过舞；第三个是王老师和（6+3）个学生跳过舞，第x个是何老师和（6+x）个学生跳过舞，所以有x+（6+x）＝20，
解得x＝7，则参加跳舞的学生人数为20﹣7＝13．
故选：C．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．【解答】解：3x3﹣3x
＝3x（x2﹣1）
＝3x（x﹣1）（x+1）．
故答案为：3x（x﹣1）（x+1）．
12．【解答】解：根据题意得：x+2≥0且x﹣1≠0，
解得：x≥﹣2且x≠1，
故答案为：x≥﹣2且x≠1．
13．【解答】解：∵△ABC与△A1B1C1为位似图形，
∴△ABC∽△A1B1C1，
∵位似比是1：3，
∴相似比是1：3，
∴△ABC与△A1B1C1的面积比为：1：9，
∵△ABC的面积为2，
∴△A1B1C1的面积是：2×9＝18．
故答案为：18．
14．【解答】解：圆锥的母线长＝6π×＝6cm，
故答案为：6cm．
15．【解答】解：∵DE∥BC，
∴AE：EC＝AD：DB＝3：5，
∴CE：CA＝5：8，
∵EF∥AB，
∴CF：CB＝CE：CA＝5：8．
故答案为5：8．
16．【解答】解：连接AB，AC，AD，作AE⊥CD于E，
∵⊙A与y轴切于点B，
∴AB⊥y轴，
∴四边形ABOE是矩形，
∵点B的坐标为（0，2），
∴AE＝OB＝2，
∵点A在反比例（x＞0）图象上，
∴A（4，2），
∴AC＝AD＝AB＝4，
在Rt△ACE中，AC＝4，AE＝2，
∴sin∠ACE＝＝，CE＝＝2，
∴∠ACE＝30°，
∴∠ADC＝∠ACE＝30°，
∴∠CAD＝120°，
∵AE⊥CE，
∴CE＝DE＝CD＝2，
∴CD＝4，
∴S阴影＝S扇形ACD﹣S△ACD＝﹣×＝π﹣4．
故答案为：π﹣4．
三、解答题（共9小题，第17、18、19题6分，第20、21题8分，第22、23题9分，第24、25题10分，共72分）
17．【解答】解：原式＝
＝
＝
＝﹣1．
18．【解答】解：原式＝•
＝•
＝•
＝2a（a+2）
＝2（a2+2a），
∵a满足a2+2a﹣3＝0，
∴a2+2a＝3，
当a2+2a＝3时，原式＝2×3＝6．
19．【解答】解：∵∠OCA＝∠D+∠COD，
∴∠COD＝30°﹣15°＝15°，
∴CO＝CD＝20（km），
在Rt△OCA中，∵∠OCA＝30°，
∴OA＝OC＝10，CA＝OA＝10≈17（km），
在Rt△OBA中，∵∠OBA＝45°，
∴BA＝OA＝10，OB＝OA≈14，
∴BC＝17﹣10＝7（km），
当这批物资在C码头装船，运抵小岛O时，所用时间＝+＝1.2（小时）；
当这批物资在B码头装船，运抵小岛O时，所用时间＝+＝1.1（小时）；
当这批物资在A码头装船，运抵小岛O时，所用时间＝+＝1.14（小时）；
所以这批物资在B码头装船，最早运抵小岛O．
20．【解答】解：（1）根据题意得：参加演讲比赛的学生共有：4÷10%＝40（人），
∴m%＝1﹣40%﹣10%﹣30%＝20%，
∴m＝20，
∵n%＝×100%＝30%，
∴n＝30；
如图：
故答案为：40，20，30；
（2）画树状图得：
，
∵共有12种等可能的结果，A等级中一男一女参加比赛的有8种情况，
∴A等级中一男一女参加比赛的概率为：＝．
21．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠B＝∠D＝90°，
∵矩形ABCD沿对角线AC折叠点B落在点E处，
∴AB＝AE，∠B＝∠E，
∴AE＝CD，∠D＝∠E，
在△AOE和△COD中，
，
∴△AOE≌△COD（AAS）；
（2）解：∵△AOE≌△COD，
∴AO＝CO，
∵∠OCD＝30°，AB＝，
∴CO＝CD÷cs30°＝÷＝2，
∴△AOC的面积＝AO•CD＝×2×＝．
22．【解答】解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，
根据题意得：，
解得：x＝50，
经检验x＝50是原方程的解，
则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2＝100（m2），
答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100m2、50m2．
（2）设应安排甲队工作y天，
根据题意得：0.4y+×0.25≤8，
解得：y≥10，
答：至少应安排甲队工作10天．
23．【解答】（1）证明：如图1，连接CD，则∠BDC＝90°，即CD⊥AB，
∵DF⊥AC，
∴∠DFA＝90°，
∴∠BDC＝∠DFA，
又∵∠DAF＝∠DAC，
∴△ADF∽△ACD；
（2）解：由（1）知∠BDC＝90°，即CD⊥AB，
∵AC＝BC，CD⊥AB，AB＝8，
∴，
∵△ADF∽△ACD，
∴，
∴，
解得：；
（3）解：由（2）知D是AB的中点，连接OD、CD，如图2，
∵O是BC的中点，D是AB的中点，
∴OD∥AC，
∵EF⊥AC，
∴OD⊥EF，
∴，
∵，AC＝6，
∴，
设EB＝x，则，
解得：x＝24，
∴．
24．【解答】解：（1）∵|3|+|1|＝3+1＝4，，|﹣5|+|1|＝5+1＝6，
∴点A（3，1），是“高质量发展点”，点C（﹣5，1）不是“高质量发展点”；
（2）假设一次函数y＝﹣2x+3上存在“高质量发展点”，并设一次函数y＝﹣2x+3上存的“高质量发展点”的坐标为（a，﹣2a+3），
根据题意得：|a|+|﹣2a+3|＝4，
当时，﹣2a+3＜0，
∴a﹣（﹣2a+3）＝4，
∴，
∴此时发展点的坐标为，
当时，﹣2a+3≥0，
∴a+（﹣2a+3）＝4，
∴a＝﹣1，不满足，故舍去，
当a＜0时，﹣2a+3＞0，
∴﹣a+（﹣2a+3）＝4，
∴，
∴此时发展点的坐标为，
∴综上所述，一次函数y＝﹣2x+3上存在“高质量发展点”，坐标为或；
（3）设“高质量发展点”的坐标为（x，y），则|x|+|y|＝4，
当x≥0，y≥0时，x+y＝4，即y＝﹣x+4（0≤x≤4），
当x＜0，y≥0时，﹣x+y＝4，即y＝x+4（﹣4≤x＜0），
当x＜0，y＜0时，﹣x﹣y＝4，即y＝﹣x﹣4（﹣4＜x＜0），
当x≥0，y＜0时，x﹣y＝4，即y＝x﹣4（0≤x＜4），
画出该函数图象，如图所示：
，
由图象可知OD＝OE＝OF＝OM＝4，OT＝1，
∵∠DOE＝90°，
∴△DOE为等腰直角三角形，
∴∠ODE＝45°，
当⊙T与DE相切时，此时⊙T的半径最小，作TN⊥DE交直线DE于N，此时r＝TN，
∴∠TND＝90°，
∵∠ODE＝45°，
∴△TND是等腰直角三角形，
∵TD＝OD﹣OT＝4﹣1＝3，TN2+DN2＝TD2，TN＝DN，
∴，
当⊙T经过F点时，此时⊙T的半径最大，r＝OF+OT＝4+1＝5，
∴若⊙T上存在“高质量发展点”，则r的取值范围为．
25．【解答】解：（1）∵，
∴，
∴a＝3，，
又∵点A（a，0），B（0，，
∴A（3，0），B（0，，
∵点C（﹣1，0）和点M关于点B（1，对称，设点M（x，y），
∴，
解得，
∴M（1，；
设二次函数解析式为y＝ax2+bx+c，由A（3，0），B（0，，M（1，三点在二次函数上，则
，
解得
∴该抛物线的解析式为；
（2）如图，过点P作PQ⊥x轴于点Q，
设P（a，（0＜a＜3），则
设直线AB的解析式为y＝kx+b，将A（3，0），B（0，代入，得
，解得，
∴直线AB的解析式为，
∵PF∥x轴交直线AB于点F，
∴，
∴x＝2a2﹣5a，
∴PF＝a﹣（2a2﹣5a）＝﹣2a2+6a（0＜a＜3），
∵PE∥BC，PQ⊥x轴于点Q，
∴∠PEA＝∠BCO，∠PQE＝∠BOC＝90°，
∴△PQE∽△BOC，
∴，
又∵Rt△BOC中，，
∴，
∴，
∴，
∵，且0＜a＜3
∴时，PE+PF的值最大，为；
（3）存在．设H（m，0），
过点M作MD平行于y轴交AB于点D，交x轴于点H，
∵A（3，0），B（0，，M（1，，
∴OA＝3，，，AH＝2，
∴，，
∴∠BAO＝30°，∠MAH＝60°，
∴∠ADH＝90°﹣30°＝60°，∠MAD＝∠MAH﹣∠BAO＝60°﹣30°＝30°，
∴，∠AMD＝30°＝∠MAD，
当点E与点B重合，即E（0，时，如图1，
若∠AFE＝∠FAE＝∠MAD＝∠AMD＝30°，则△AEF∽△ADM，此时点F与点A关于y轴对称，F（﹣3，0）；
若∠AEF＝∠FAE＝∠MAD＝∠AMD＝30°，则△AEF∽△AMD，则AF＝EF，即EF＝3﹣m，OF＝m，，
∵OF2+OE2＝EF2，
∴，解得：m＝1，
∴F（1，0）；
当点E在x轴下方对称轴左侧抛物线上时，如图2，设E（n，，
∵∠FAE＝30°，
∴，
解得：n＝3（舍去）或n＝﹣1，
∴E（﹣1，，
若∠AFE＝∠FAE＝∠MAD＝∠MAD＝30°，则△AEF∽△ADM，
∴点F与点A关于x＝﹣1轴对称，F（﹣5，0）；
∴∠AEF＝∠FAE＝∠MAD＝∠MAD＝30°，则△AEF∽△AMD，
∴AF＝EF，即EF＝3﹣m，CF＝m+1，，
∵CF2+CE2＝EF2，
∴，解得：，
∴，0）；
当点E与点M重合，即E（1，时，如图3，
点H在点A的，即∠MAF＝180°﹣∠MAO＝180°﹣60°＝120°＝∠ADM，
若∠AHM＝∠MAD＝30°，则△AEH∽△AMD，
∴∠AEH＝∠AHE＝30°，
∴AH＝AE＝4，
∴m＝OF＝3+4＝7，
∴H（7，0），
过A作直线AB的垂线，交抛物线于G，
易得G（﹣2，﹣5），此时AG＝10，得H点（13，0）．
综上所述，点H的坐标为（﹣3，0）或（1，0）或（﹣5，0）或（，0）或（7，0）或（13，0）．