人教A版 (2019)选择性必修 第三册第六章 计数原理6.3 二项式定理优质导学案

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二项式定理
一、 课堂目标
1．掌握二项式定理和二项展开式的通项公式及其应用．
2．掌握二项式系数的性质，并能够利用其性质对相关问题进行求解．
3．掌握二项式定理的应用．
二、 知识讲解
1. 二项式定理
知识精讲
（1）二项式定理
．
其中右边的多项式叫做的二项展开式，各项的系数叫做二项式系数.
（2）二项展开式的特征
①二项展开式共有项；
②二项式系数依次为组合数：
；
③各项次数都等于二项式的幂指数，即为 ；
④字母 的指数由 开始按降幂排列到 ，字母 的指数由 开始按升幂排列到 ．
（3）二项式定理通常有如下变形
①；
②．
注意：一个二项展开式的某一项二项式系数 与这一项的系数是两个不同的概念，二项式系数一定为正值，而项的系数可以是正值，也可以是负值，还可以是 ．
经典例题
1. 用二项式定理展开：．
2. 设，，则的值为（
）．
A.B.C.D.
巩固练习
3.，则 等于（ ）．
A.B.
C.D.
2. 二项展开式的通项公式
知识讲解
展开式中的项叫做二项展开式的通项，通项是展开式的第项，记作 ，
即：（，，）．
上面的这个公式叫做二项展开式的通项公式．注意：
①是第项，而不是第 项；
②字母 的指数和组合数的上标相同， 与 的指数之和为 ；③二项式系数与二项展开式的系数不一定相等，如：
的二项展开式的第项为，相应的系数是，而二项式系数是 ；
④通项公式中含有五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求出第五个元素．
知识点睛
求展开式中的指定项或其系数
解决此类问题可以分成两步：
第一步，根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数，求解时要注意二项式系数中
和 的隐含条件（ 为正整数， 为非负整数，）；
第二步，根据所求的指数，再求所求解的项或项的系数．
经典例题
4.的展开式中的常数项为（ ）．
A.B.C.D.
巩固练习
5. 在的展开式中，常数项为．（用数字作答）
经典例题
6. 设常数
．若
的二项展开式中 项的系数为 ，则
．
巩固练习
7. 若展开式的常数项为 ，则 的值为（ ）．
A.B.C.D.
经典例题
8.的展开式中， 的系数是．（用数字填写答案）
巩固练习
9. 在
的二项展开式中， 的系数为
．
经典例题
10.的展开式中 的系数为（ ）．
A.B.C.D.
巩固练习
11.的展开式中 的系数为（ ）．
A.B.C.D.
经典例题
12.的展开式中常数项为．
巩固练习
13.的展开式中， 的系数是．（用数字填写答案）
3. “杨辉三角”与二项式系数
知识精讲
杨辉三角
因为，所以可以把对应的二形式系数看成是 .
把对应的二形式系数逐个写出，并排成数表的形式.
1
上表称为“杨辉三角”．
知识精讲
二项式系数的性质
（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即
．
（2）增减性与最大值：①增减性：当
时，二项式系数逐渐增大，由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间
取得最大值；
②最大值：当 是偶数时，中间一项的二项式系数
取得最大值；当 是奇数时，中间两项的二项式系
数，相等，且同时取得最大值．
（3）各二项式系数和：
在二项展开式中各二项式系数之和为
．
（4）奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和相等：
．
经典例题
14. 在二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和是，含 项的系数是．
巩固练习
15. 若
展开式中的所有二项式系数和为 ，则该展开式中的常数项为
．
经典例题
16.的展开式中，仅有第六项的二项式系数取得最大值，则展开式中 项的系数
是．
巩固练习
17. 在
的二项展开式中，仅有第 项的二项式系数最大，则在该二项展开式中含 项的系
数为．
经典例题
18. 已知的展开式中第 项与第 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）．
A.B.C.D.
巩固练习
19.展开式中所有奇数项系数之和为，则展开式中各项系数的最大值是（ ）．
A.B.C.D.
知识讲解
求二项展开式系数和——赋值法
（1）对形如
的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，
只需令即可；
（2）对形如
的式子求其展开式的各项系数之和，只需令
即可．
（3）一般地，若，则：
①展开式中各项系数之和为 ；
②奇数项系数之和为；
③偶数项系数之和为．
经典例题
20. 设，求值：
（ 1 ） ．
（ 2 ）．
（ 3 ）．
巩固练习
21. 已知，则，
．
22. 在的展开式中，求：
（ 1 ）各项系数的和．
（ 2 ）奇数项系数与偶数项系数和．
经典例题
23. 已知
，求：
．
巩固练习
24. 已知
，
，则
．
经典例题
25. 若，则的值为（ ）．
A.B.C.D.
巩固练习
26. 若
，则
．
4. 二项式定理的应用
知识精讲
整除或取余问题
利用二项式定理处理整除或求余问题，通常把被除数写成以除数为变量的一次函数形式，然后展开，这
样，只需要考虑不含除数的个别项即可．
建议：一次函数形式转化为除数倍数加减1的形式，否则需二次展开．
经典例题
27.除以 的余数是．
巩固练习
28. 求 除以 的余数．
经典例题
29.除以 的余数是．
巩固练习
30. 已知
，则 除以 所得的余数是
．
经典例题
31. 设，且，若能被 整除，则．
巩固练习
32. 若能被 整除，则 （ ）．
A.B.C.D.
知识精讲
用于近似计算
当 的绝对值与1相比很小且n
不太大时，常用近似公式
．展开式中保留的
项，以最后一项小数位满足要求标准．
经典例题
33. 求的近似值．
（ 1 ）精确到 ．
（ 2 ）精确到．
巩固练习
34.的计算结果精确到 的近似值是（ ）．
A.B.C.D.
三、 思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
四、 出门测
35. 在的展开式中， 的系数为．
36. 若的展开式的所有奇数项二项式系数之和为 ，则．
37. 设，则等于（ ）．
A.B.
C.D.
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