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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.5 函数的应用（二）4.5.3 函数模型的应用教学演示ppt课件
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.5 函数的应用（二）4.5.3 函数模型的应用教学演示ppt课件，共55页。PPT课件主要包含了整体感知，探究建构，表45-5，应用迁移等内容，欢迎下载使用。
[学习目标] 1．会利用已知函数模型解决实际问题．(数学运算)2．能建立函数模型解决实际问题．(数学建模)3．了解拟合函数模型并解决实际问题．(数据分析)[讨论交流] 预习教材P148－P154，并思考以下问题：问题1．应用指数型函数模型、对数型函数模型解决实际问题时应注意些什么？问题2．建立函数模型解决实际问题的流程是什么？
[自我感知] 经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1 应用已知函数模型解决实际问题
【链接·教材例题】例3 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题．认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据．早在1798年，英国经济学家马尔萨斯(，1766－1834)就提出了自然状态下的人口增长模型y＝y0ert，
其中t表示经过的时间，y0表示t＝0时的人口数，r表示人口的增长率，r是常数 ．(1)根据国家统计局网站公布的数据，我国1950年末、1959年末的人口总数分别为55 196万和67 207万．根据这些数据，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在1950～1959年期间的具体人口增长模型．(2)利用(1)中的模型计算1951～1958年各年末的人口总数．查阅国家统计局网站公布的我国在1951～1958年间各年末的实际人口总数，检验所得模型与实际人口数据是否相符．(3)以(1)中的模型作预测，大约在什么时候我国人口总数达到13亿？
分析：用马尔萨斯人口增长模型建立具体人口增长模型，就是要确定其中的初始量y0和增长率r．
解：(1)由题意可设1950年为t＝0，则y0＝55 196，根据马尔萨斯人口增长模型，有67 207＝55 196e9r，由计算工具得r≈0.021 876．因此，用马尔萨斯人口增长模型建立的我国在1950～1959年期间的人口增长模型为y＝55 196e0.021 876t，t∈[0，9]．
(2)分别取t＝1，2，…，8，由y＝55 196e0.021 876t可得我国在1951～1958年间的各年末人口总数；查阅国家统计局网站，得到我国1951～1958年各年末的实际人口总数，如表4.5-4所示．表4.5-4
根据1950～1959年我国人口总数的实际数据画出散点图，并画出函数y＝55 196e0.021 876t(t∈[0，9])的图象(图4.5-6)．
由表4.5-4和图4.5-6可以看出，所得模型与1950～1959年的实际人口数据基本吻合．
(3)将y＝130 000代入y＝55 196e0.021 876t，由计算工具得t≈39.16．所以，如果人口按照(1)中的模型增长，那么大约在1950年后的第40年(即1990年)，我国的人口就已达到13亿．
[典例讲评] 1．著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为θ1 ℃，空气温度为θ0 ℃，则t分钟后物体的温度θ(单位：℃)满足：θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt．若常数k＝0.05，空气温度为30 ℃，某物体的温度从110 ℃下降到40 ℃，大约需要的时间为( )(参考数据：ln 2≈0.69)A．39分钟 B．41分钟 C．43分钟 D．45分钟
反思领悟 已知函数模型解决实际问题，往往给出的函数解析式含有参数，需要将题中的数据代入函数模型，求得函数模型中的参数，再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值．
探究2 自建确定性函数模型解决实际问题
【链接·教材例题】例4 2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料(草裹泥)上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%，能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的？
分析：因为死亡生物机体内碳14的初始量按确定的衰减率衰减，属于指数衰减，所以应选择函数y＝kax(k∈R，且k≠0；a>0，且a≠1)建立数学模型．
例5 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？
分析：我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据．
解：设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y＝40(x∈N*)进行描述；方案二可以用函数y＝10x(x∈N*)进行描述；方案三可以用函数y＝0.4×2x-1(x∈N*)进行描述．三个模型中，第一个是常数函数，后两个都是增函数．要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析．我们先用信息技术计算一下三种方案所得回报的增长情况(表4.5-5)．
再画出三个函数的图象(图4.5-7)．
由表4.5-5和图4.5-7可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不相同．可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成培增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的．从每天所得回报看，在第1～3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5～8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元．
下面再看累计的回报数．通过信息技术列表如下(表4.5-6)．表4.5-6
因此，投资1～6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8～10天，应选择方案二；投资11天(含11天)以上，则应选择方案三．
反思领悟 在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数型函数模型表示，通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．
[学以致用] 2．据观测统计，某湿地公园某种珍稀鸟类的现有个数约为1 000，并以平均每年8%的速度增加．(1)求两年后这种珍稀鸟类的大约个数；(2)写出y(珍稀鸟类的个数)关于x(经过的年数)的函数关系式；(3)约经过多少年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的3倍或以上？(结果为整数)(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
[解] (1)依题意，一年后这种鸟类的个数为1 000＋1 000×8%＝1 080，两年后这种鸟类的个数为1 080＋1 080×8%≈1 166．(2)由题意可知珍稀鸟类的现有个数约为1 000，并以平均每年8%的速度增加，则所求的函数关系式为y＝1 000×1.08x，x∈N．
探究3 拟合数据构建函数模型解决实际问题
【链接·教材例题】例6 某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝lg7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？
分析：本例提供了三个不同增长方式的奖励模型，按要求选择其中一个函数作为刻画奖金总数与销售利润的关系．由于公司总的利润目标为1 000万元，所以销售人员的销售利润一般不会超过公司总的利润．于是，只需在区间[10，1 000]上，寻找并验证所选函数是否满足两条要求：第一，奖金总数不超过5万元，即最大值不大于5；第二，奖金不超过利润的25%，即y≤0.25x．不妨先画出函数图象，通过观察函数图象，得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果．
解：借用信息技术画出函数y＝5，y＝0.25x，y＝lg7x＋1，y＝1.002x的图象(图4.5-8)．观察图象发现，在区间[10，1 000]上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的图象都有一部分在直线y＝5的上方，只有模型y＝lg7x＋1的图象始终在y＝5的下方，这说明只有按模型y＝lg7x＋1进行奖励时才符合公司的要求．
对于模型y＝lg7x＋1，它在区间[10，1 000]上单调递增，而且当x＝1 000时，y＝lg71 000＋1≈4.55<5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求．再计算按模型y＝lg7x＋1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x∈[10，1 000]时，是否有y≤0.25x，即lg7x＋1≤0.25x成立．令f (x)＝lg7x＋1－0.25x，x∈[10，1 000]，利用信息技术画出它的图象(图4.5-9)．
由图象可知函数f (x)在区间[10，1 000]上单调递减，因此f (x)≤f (10)≈－0.316 7<0，即lg7x＋1<0.25x．所以，当x∈[10，1 000]时，y≤0.25x，说明按模型y＝lg7x＋1奖励，奖金不会超过利润的25%．综上所述，模型y＝lg7x＋1确实能符合公司要求．
[典例讲评] 3．某科研小组对面积为8 000平方米的某池塘里的一种生物的生长规律进行研究，一开始在此池塘投放了一定面积的该生物，观察试验得到该生物覆盖面积y(单位：平方米)与所经过月数x(x∈N)的下列数据：
反思领悟 函数拟合与预测的一般步骤(1)根据原始数据、表格，绘出散点图．(2)通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线．(3)求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．
[学以致用] 3．数据显示，某新创业的IT公司2023年上半年五个月的收入情况如表所示：
【教用·备选题】 在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖速度在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢．在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量y(单位：百万个)与培养时间x(单位：小时)的关系为：
根据表格中的数据画出散点图如下：
1．某研究小组在一项试验中获得一组关于y，t的数据，将其整理得到如图所示的散点图．下列函数中，最能近似刻画y与t之间关系的是( )
D [由题图知，该函数可能是y＝lg2t．故选D．]
A．y＝2t B．y＝2t2 C．y＝t3 D．y＝lg2t
2．某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N*)，该产品的产量y满足( )A．y＝a(1＋5%x) B．y＝a＋5%C．y＝a(1＋5%)x-1 D．y＝a(1＋5%)x
D [经过1年，y＝a(1＋5%)；经过2年，y＝a(1＋5%)2；…；经过x年，y＝a(1＋5%)x．]
4．现测得(x，y)的两组对应值分别为(1，2)，(2，5)，现有两个待选模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3，10.2)，则应选用_____作为函数模型．
甲 [将x＝3分别代入y＝x2＋1及y＝3x－1中，得y＝32＋1＝10，y＝3×3－1＝8．由于10更接近10.2，所以选用甲模型．]
1．知识链：(1)应用已知函数模型解决实际问题．(2)指数型函数模型．(3)对数型函数模型．2．方法链：转化法．3．警示牌：实际应用题易忘记定义域和结论．
[学习目标] 1．会利用已知函数模型解决实际问题．(数学运算)2．能建立函数模型解决实际问题．(数学建模)3．了解拟合函数模型并解决实际问题．(数据分析)[讨论交流] 预习教材P148－P154，并思考以下问题：问题1．应用指数型函数模型、对数型函数模型解决实际问题时应注意些什么？问题2．建立函数模型解决实际问题的流程是什么？
[自我感知] 经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1 应用已知函数模型解决实际问题
【链接·教材例题】例3 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题．认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据．早在1798年，英国经济学家马尔萨斯(，1766－1834)就提出了自然状态下的人口增长模型y＝y0ert，
其中t表示经过的时间，y0表示t＝0时的人口数，r表示人口的增长率，r是常数 ．(1)根据国家统计局网站公布的数据，我国1950年末、1959年末的人口总数分别为55 196万和67 207万．根据这些数据，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在1950～1959年期间的具体人口增长模型．(2)利用(1)中的模型计算1951～1958年各年末的人口总数．查阅国家统计局网站公布的我国在1951～1958年间各年末的实际人口总数，检验所得模型与实际人口数据是否相符．(3)以(1)中的模型作预测，大约在什么时候我国人口总数达到13亿？
分析：用马尔萨斯人口增长模型建立具体人口增长模型，就是要确定其中的初始量y0和增长率r．
解：(1)由题意可设1950年为t＝0，则y0＝55 196，根据马尔萨斯人口增长模型，有67 207＝55 196e9r，由计算工具得r≈0.021 876．因此，用马尔萨斯人口增长模型建立的我国在1950～1959年期间的人口增长模型为y＝55 196e0.021 876t，t∈[0，9]．
(2)分别取t＝1，2，…，8，由y＝55 196e0.021 876t可得我国在1951～1958年间的各年末人口总数；查阅国家统计局网站，得到我国1951～1958年各年末的实际人口总数，如表4.5-4所示．表4.5-4
根据1950～1959年我国人口总数的实际数据画出散点图，并画出函数y＝55 196e0.021 876t(t∈[0，9])的图象(图4.5-6)．
由表4.5-4和图4.5-6可以看出，所得模型与1950～1959年的实际人口数据基本吻合．
(3)将y＝130 000代入y＝55 196e0.021 876t，由计算工具得t≈39.16．所以，如果人口按照(1)中的模型增长，那么大约在1950年后的第40年(即1990年)，我国的人口就已达到13亿．
[典例讲评] 1．著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为θ1 ℃，空气温度为θ0 ℃，则t分钟后物体的温度θ(单位：℃)满足：θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt．若常数k＝0.05，空气温度为30 ℃，某物体的温度从110 ℃下降到40 ℃，大约需要的时间为( )(参考数据：ln 2≈0.69)A．39分钟 B．41分钟 C．43分钟 D．45分钟
反思领悟 已知函数模型解决实际问题，往往给出的函数解析式含有参数，需要将题中的数据代入函数模型，求得函数模型中的参数，再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值．
探究2 自建确定性函数模型解决实际问题
【链接·教材例题】例4 2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料(草裹泥)上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%，能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的？
分析：因为死亡生物机体内碳14的初始量按确定的衰减率衰减，属于指数衰减，所以应选择函数y＝kax(k∈R，且k≠0；a>0，且a≠1)建立数学模型．
例5 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？
分析：我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据．
解：设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y＝40(x∈N*)进行描述；方案二可以用函数y＝10x(x∈N*)进行描述；方案三可以用函数y＝0.4×2x-1(x∈N*)进行描述．三个模型中，第一个是常数函数，后两个都是增函数．要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析．我们先用信息技术计算一下三种方案所得回报的增长情况(表4.5-5)．
再画出三个函数的图象(图4.5-7)．
由表4.5-5和图4.5-7可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不相同．可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成培增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的．从每天所得回报看，在第1～3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5～8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元．
下面再看累计的回报数．通过信息技术列表如下(表4.5-6)．表4.5-6
因此，投资1～6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8～10天，应选择方案二；投资11天(含11天)以上，则应选择方案三．
反思领悟 在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数型函数模型表示，通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．
[学以致用] 2．据观测统计，某湿地公园某种珍稀鸟类的现有个数约为1 000，并以平均每年8%的速度增加．(1)求两年后这种珍稀鸟类的大约个数；(2)写出y(珍稀鸟类的个数)关于x(经过的年数)的函数关系式；(3)约经过多少年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的3倍或以上？(结果为整数)(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
[解] (1)依题意，一年后这种鸟类的个数为1 000＋1 000×8%＝1 080，两年后这种鸟类的个数为1 080＋1 080×8%≈1 166．(2)由题意可知珍稀鸟类的现有个数约为1 000，并以平均每年8%的速度增加，则所求的函数关系式为y＝1 000×1.08x，x∈N．
探究3 拟合数据构建函数模型解决实际问题
【链接·教材例题】例6 某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝lg7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？
分析：本例提供了三个不同增长方式的奖励模型，按要求选择其中一个函数作为刻画奖金总数与销售利润的关系．由于公司总的利润目标为1 000万元，所以销售人员的销售利润一般不会超过公司总的利润．于是，只需在区间[10，1 000]上，寻找并验证所选函数是否满足两条要求：第一，奖金总数不超过5万元，即最大值不大于5；第二，奖金不超过利润的25%，即y≤0.25x．不妨先画出函数图象，通过观察函数图象，得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果．
解：借用信息技术画出函数y＝5，y＝0.25x，y＝lg7x＋1，y＝1.002x的图象(图4.5-8)．观察图象发现，在区间[10，1 000]上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的图象都有一部分在直线y＝5的上方，只有模型y＝lg7x＋1的图象始终在y＝5的下方，这说明只有按模型y＝lg7x＋1进行奖励时才符合公司的要求．
对于模型y＝lg7x＋1，它在区间[10，1 000]上单调递增，而且当x＝1 000时，y＝lg71 000＋1≈4.55<5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求．再计算按模型y＝lg7x＋1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x∈[10，1 000]时，是否有y≤0.25x，即lg7x＋1≤0.25x成立．令f (x)＝lg7x＋1－0.25x，x∈[10，1 000]，利用信息技术画出它的图象(图4.5-9)．
由图象可知函数f (x)在区间[10，1 000]上单调递减，因此f (x)≤f (10)≈－0.316 7<0，即lg7x＋1<0.25x．所以，当x∈[10，1 000]时，y≤0.25x，说明按模型y＝lg7x＋1奖励，奖金不会超过利润的25%．综上所述，模型y＝lg7x＋1确实能符合公司要求．
[典例讲评] 3．某科研小组对面积为8 000平方米的某池塘里的一种生物的生长规律进行研究，一开始在此池塘投放了一定面积的该生物，观察试验得到该生物覆盖面积y(单位：平方米)与所经过月数x(x∈N)的下列数据：
反思领悟 函数拟合与预测的一般步骤(1)根据原始数据、表格，绘出散点图．(2)通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线．(3)求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．
[学以致用] 3．数据显示，某新创业的IT公司2023年上半年五个月的收入情况如表所示：
【教用·备选题】 在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖速度在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢．在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量y(单位：百万个)与培养时间x(单位：小时)的关系为：
根据表格中的数据画出散点图如下：
1．某研究小组在一项试验中获得一组关于y，t的数据，将其整理得到如图所示的散点图．下列函数中，最能近似刻画y与t之间关系的是( )
D [由题图知，该函数可能是y＝lg2t．故选D．]
A．y＝2t B．y＝2t2 C．y＝t3 D．y＝lg2t
2．某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N*)，该产品的产量y满足( )A．y＝a(1＋5%x) B．y＝a＋5%C．y＝a(1＋5%)x-1 D．y＝a(1＋5%)x
D [经过1年，y＝a(1＋5%)；经过2年，y＝a(1＋5%)2；…；经过x年，y＝a(1＋5%)x．]
4．现测得(x，y)的两组对应值分别为(1，2)，(2，5)，现有两个待选模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3，10.2)，则应选用_____作为函数模型．
甲 [将x＝3分别代入y＝x2＋1及y＝3x－1中，得y＝32＋1＝10，y＝3×3－1＝8．由于10更接近10.2，所以选用甲模型．]
1．知识链：(1)应用已知函数模型解决实际问题．(2)指数型函数模型．(3)对数型函数模型．2．方法链：转化法．3．警示牌：实际应用题易忘记定义域和结论．
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