高中数学北师大版 (2019)必修 第一册4.1 一元二次函数教课内容ppt课件

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必备知识·情境导学探新知
1．函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)中，a，h，k分别对该函数的图象起了什么作用？2．如何确定函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象开口方向、对称轴、顶点坐标、单调区间和最值？
1．抛物线通常把一元二次函数的图象叫作抛物线．2．一元二次函数的图象变换一元二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象可以由y＝ax2的图象经过向左(或向右)平移______个单位长度，再向上(或向下)平移______个单位长度而得到．
3．一元二次函数的性质
(2)①不能，平移只改变图象的位置，不改变其形状，而二者形状不同．②当a>0时，图象开口向上，a值越大，开口越小；当a<0时，图象开口向下，a值越大，开口越大．
体验2．若函数y＝x2＋2(2a－1)x＋2在区间(－∞，7]上y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是(　　)A．{－3} 　B．(－3，＋∞)C．(－∞，－3] 　D．[－3，＋∞)
C　[由在区间(－∞，7]上函数值y随自变量x的增大而减小，可知－(2a－1)≥7，所以a≤－3.]
体验3．函数y＝x2－1的最小值是________．
－1　[y＝x2－1≥－1，所以函数的最小值为－1.]
体验4．函数y＝x2＋2x＋3的图象可由y＝x2＋x的图象向左移________单位长度，再向上平移________个单位长度得到．
关键能力·合作探究释疑难
类型1　二次函数的图象及应用【例1】　在同一坐标系中作出下列函数的图象．(1)y＝x2；(2)y＝x2－2；(3)y＝2x2－4x.并分析如何由y＝x2的图象变换成y＝2x2－4x的图象．
描点、连线即得相应函数的图象，如图所示．
由图象可知由y＝x2到y＝2x2－4x的变化过程如下．
法一：先把y＝x2的图象向右平移1个单位长度得到y＝(x－1)2的图象，然后把y＝(x－1)2的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到y＝2(x－1)2的图象，最后把y＝2(x－1)2的图象向下平移2个单位长度便可得到y＝2x2－4x的图象．法二：先把y＝x2的图象向下平移1个单位长度得到y＝x2－1的图象，然后再把y＝x2－1的图象向右平移1个单位长度得到y＝(x－1)2－1的图象，最后把y＝(x－1)2－1的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，便可得到y＝2(x－1)2－2，即y＝2x2－4x的图象．
反思领悟　任意一元二次函数y＝ax2＋bx＋c都可转化为y＝a(x－h)2＋k的形式，都可由y＝ax2图象经过适当的平移得到，具体平移方法如图所示：
上述平移规律为：“h正右移，h负左移”；“k正上移，k负下移”．
[跟进训练]1．如何把y＝2x2－4x的图象变换成y＝x2的图象？
类型2　一元二次函数图象的应用【例2】　已知二次函数y＝3x2－2x－1.(1)求其顶点坐标；(2)判断其在区间(－1，0)上是递增的还是递减的；(3)当x取何值时，y＝0?
[跟进训练]2．如图是一元二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1．给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a类型3　一元二次函数解析式的求法【例3】　已知一元二次函数的最大值是8，且当x＝2时，y＝－1；当x＝－1时，y＝－1．求此一元二次函数的解析式．
反思领悟　求一元二次函数解析式的方法，应根据已知条件的特点，选用解析式的形式，利用待定系数法求解．(1)若已知条件是图象上的三个点，则设所求一元二次函数为一般式y＝ax2＋bx＋c，a，b，c为常数，a≠0的形式．(2)若已知一元二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大(小)值，则设所求一元二次函数为顶点式y＝a(x－h)2＋k(其中顶点(h，k)，a为常数，a≠0)．(3)若已知一元二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1，0)，(x2，0)，则设所求一元二次函数为两根式y＝a(x－x1)(x－x2)(a为常数，且a≠0．)．
[跟进训练]3．根据下列条件，求一元二次函数的解析式：(1)图象过点(1，1)，(0，2)，(3，5)；(2)图象顶点为(1，2)并且过点(0，4)；(3)图象过点(2，0)，(4，0)，(0，3)．
类型4　一元二次函数在闭区间上的最值问题角度1　轴定区间定【例4】　求一元二次函数y＝－x2＋4x－2在区间[0，3]上的最大值和最小值．
[解]　函数y＝－x2＋4x－2＝－(x－2)2＋2是定义在区间[0，3]上的一元二次函数，其对称轴方程是x＝2，顶点坐标为(2，2)，且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在[0，3]上，如图所示．在区间[0，3]上，函数y在x＝2处取得最大值，即ymax＝2；函数y在x＝0处取得最小值，即ymin＝－2.
角度2　轴定区间变【例5】　如果函数y＝(x－1)2＋1定义在区间[t，t＋1]上，求函数的最小值．
[解]　函数y＝(x－1)2＋1，其对称轴方程为x＝1，顶点坐标为(1，1)，图象开口向上．如图①所示，若顶点横坐标在区间[t，t＋1]左侧时，有t>1，此时，当x＝t时，函数取得最小值ymin＝(t－1)2＋1.如图②所示，若顶点横坐标在区间[t，t＋1]上时，有t≤1≤t＋1，即0≤t≤1.当x＝1时，函数取得最小值ymin＝1.
如图③所示，若顶点横坐标在区间[t，t＋1]右侧时，有t＋1<1，即t<0.当x＝t＋1时，函数取得最小值ymin＝t2＋1.
角度3　轴变区间定【例6】　求函数y＝－x(x－a)在[－1，1]上的最大值．
(3)当a>2时，函数大致图象如图③所示，由图可知ymax＝a－1.
反思领悟　求一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)在[m，n]上的最值的步骤：(1)配方，找对称轴．(2)判断对称轴与区间的关系．(3)求最值．若对称轴在区间外，则一元二次函数在[m，n]的端点处取得最值；若对称轴在区间内，则在对称轴取得最小值，最大值在[m，n]端点处取得．
[跟进训练]4．当x≥0，y≥0，且x＋2y＝1，那么2x＋3y2的最小值为________．
学习效果·课堂评估夯基础
2．函数y＝－(x－1)2＋4的图象的顶点坐标是(　　)A．(－1，4) 　B．(－1，－4)C．(1，－4) 　D．(1，4)
3．已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是(　　)
A　　　B　　　C　　　　D
D　[∵a>b>c，且a＋b＋c＝0，∴a>0，c<0.]
4．若抛物线y＝x2－(m－2)x＋m＋3的顶点在y轴上，则m的值为________．