高二物理寒假精品课(人教版2019)第10天单摆受迫振动(原卷版+解析)

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1.理解单摆模型和单摆做简谐运动的条件，知道单摆振动时回复力的来源.
2.知道影响单摆周期的因素，掌握单摆的周期公式．
3．知道什么是固有振动和阻尼振动，并能用能量的观点给予说明.
4.知道受迫振动的频率等于驱动力的频率，而跟振动物体的固有频率无关.
5.理解共振的概念，知道共振常见的应用和危害．
1. 将秒摆(周期为2 s)的周期变为4 s，下面哪些措施是正确的( )
A．只将摆球质量变为原来的eq \f(1,4)
B．只将振幅变为原来的2倍
C．只将摆长变为原来的4倍
D．只将摆长变为原来的16倍
2. (多选)如图是摆球做阻尼振动的振动图像，下列说法正确的是( )
A．振动过程中周期变小
B．振动过程中周期不变
C．摆球A时刻的势能等于B时刻的势能
D．摆球A时刻的动能等于B时刻的动能
一、单摆
1．惠更斯得出了单摆的周期公式并发明了摆钟．
2．单摆的周期公式：T＝2πeq \r(\f(l,g)).
3．对周期公式的理解
(1)单摆的周期公式在单摆偏角很小时成立(偏角为5°时，由周期公式算出的周期和准确值相差0.01%)．
(2)公式中l是摆长，即悬点到摆球球心的距离l＝l线＋r球．
(3)公式中g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定．
(4)周期T只与l和g有关，与摆球质量m及振幅无关，所以单摆的周期也叫固有周期．
二、受迫振动
1．对三种振动的理解
(1)简谐运动：一种理想化的模型，物体运动过程中的一切阻力都不考虑．
(2)阻尼振动：考虑阻力的影响，是更实际的一种运动．
(3)受迫振动：物体做阻尼振动时在驱动力作用下的振动．
2．三种振动的比较
三、共振
1．共振的条件：驱动力的频率与系统的固有频率相等，即f驱＝f固．
2．共振曲线
如图所示，共振曲线的横坐标为驱动力的频率，纵坐标为受迫振动的振幅．
(1)从受力角度看：当驱动力的频率等于物体的固有频率时，它的每一次作用都使物体的振幅增加，直到振幅达到最大．
(2)从功能关系看：当驱动力的频率等于物体的固有频率时，驱动力对物体做正功，使振动能量不断增加，振幅不断增大，直到增加的能量等于克服阻尼作用损耗的能量，振幅才不再增加．振动能量最大，振幅最大．
(3)认识曲线的形状：f＝f0时发生共振；f＞f0或f＜f0时振幅较小．f与f0相差越大，振幅越小．
3．共振的利用与防止
(1)利用：要利用共振，就应尽量使驱动力的频率与物体的固有频率一致．如共振筛、共振转速计等．
(2)防止：在需要防止共振危害时，要尽量使驱动力的频率和固有频率不相等，而且相差越多越好．如：部队过桥应便步走．
说明：共振是物体做受迫振动时的一种特殊现象．
一、单摆模型的拓展
例题1. 如图所示，MN为半径较大的光滑圆弧的一部分，把小球A放在MN的圆心处，再把另一个小球B放在MN上离最低点C很近的B处(弧BC所对圆心角小于5°)，今使两小球同时释放，则( )
A．球A先到达C点
B．球B先到达C点
C．两球同时到达C点
D．无法确定哪个球先到达C点
解题归纳：支持力相当于绳子的拉力，等效为单摆。圆弧半径为摆长。
二、对共振曲线的理解
例题2. 一个单摆做受迫振动，其共振曲线(振幅A与驱动力的频率f的关系)如图所示，则( )
A．此单摆的摆长约为1 m
B．此单摆的固有周期约为0.5 s
C．若摆长增大，单摆的固有频率增大
D．若摆长增大，共振曲线的峰值将向右移动
解题归纳：
越靠近固有频率，受迫振动的振幅越大。
（建议用时：30分钟）
一、单选题
1．如图所示，摆长为L的单摆，周期为T.如果在悬点O的正下方的B点固定一个光滑的钉子，OB的距离为OA长度的eq \f(5,9)，使摆球A(半径远小于L)通过最低点向左摆动，悬线被钉子挡住成为一个新的单摆，则下列说法中正确的是( )
A．单摆在整个振动过程中的周期不变
B．单摆在整个振动过程中的周期将变大为原来的eq \f(6,5)倍
C．单摆的整个振动过程中的周期将变小为原来的eq \f(5,6)
D．单摆的整个振动过程中的周期无法确定
2．如图所示，五个摆悬挂于同一根绷紧的水平绳上，A是摆球质量较大的摆，让它摆动后带动其他摆运动，下列结论正确的是( )
A．只有E摆的振动周期与A摆的相同
B．其他各摆的振幅都相等
C．其他各摆的振幅不同，E摆的振幅最大
D．其他各摆的振动周期不同，D摆周期最大
3．如图所示是单摆做阻尼振动的位移—时间图线，下列说法中正确的是( )
A．摆球在P与N时刻的势能相等
B．摆球在P与N时刻的动能相等
C．摆球在P与N时刻的机械能相等
D．摆球在P时刻的机械能小于在N时刻的机械能
4．下列振动中属于受迫振动的是( )
A．用重锤敲击一下悬吊着的钟后，钟的摆动
B．打点计时器接通电源后，振针的振动
C．小孩睡在自由摆动的吊床上，小孩随着吊床一起摆动
D．弹簧振子在竖直方向上上下振动
二、多选题
5．惠更斯利用摆的等时性发明了带摆的计时器，叫摆钟．摆钟运行时克服摩擦所需的能量由重锤的势能提供，运行的速率由钟摆控制．旋转钟摆下端的螺母可以使摆上的圆盘沿摆杆上下移动，如图所示．以下说法正确的是( )
A．当摆钟不准确时需要调整圆盘的位置
B．摆钟快了应使圆盘沿摆杆上移
C．由冬季变为夏季时应使圆盘沿摆杆上移
D．把摆钟从福建移到北京应使圆盘沿摆杆上移
6．如图所示为单摆在两次受迫振动中的共振曲线，下列说法正确的是( )
A．若两次受迫振动分别在月球和地球上进行，且摆长相同，则图线Ⅰ表示月球上单摆的共振曲线
B．若两次受迫振动是在地球上同一地点进行，则两次摆长之比l1∶l2＝25∶4
C．图线Ⅱ若是在地球上完成的，则该单摆摆长约为1 m
D．若摆长约为1 m，则图线Ⅰ是在地球上完成的
三、解答题
7．如图所示，光滑的半球壳半径为R，O点在球心O′的正下方，一小球甲(可视为质点)由距O点很近的A点由静止释放，R≫.
(1)若小球甲释放的同时，另一小球乙(可视为质点)从球心O′处自由落下，求两球第一次到达O点的时间比；
(2)若小球甲释放的同时，另一小球丙(可视为质点)在O点正上方某处自由落下，为使两球在O点相碰，小球应由多高处自由落下？
8．如图所示，曲轴上悬挂一弹簧振子，转动摇把，曲轴可以带动弹簧振子上下振动．
(1)开始时不转动摇把，而用手往下拉振子，然后放手让振子上下振动，测得振子在10 s内完成20次振动，不考虑阻力，振子做什么振动？其固有周期和固有频率各是多少？若考虑阻力，振子做什么振动？
(2)在振子正常振动过程中，以转速4 r/s匀速转动把手，振子的振动稳定后，振子做什么运动？其周期是多少？
振动类型
比较项目
简谐运动
阻尼振动
受迫振动
产生条件
不受阻力作用
受阻力作用
受阻力和驱动力作用
频率
有固有频率
频率不变
由驱动力的频率决定
振动图像
形状不确定
常见例子
弹簧振子或单摆
敲锣打鼓时发出的声音越来越弱
机器运转时底座发生的振动
第10天 单摆 受迫振动 （复习篇）
1.理解单摆模型和单摆做简谐运动的条件，知道单摆振动时回复力的来源.
2.知道影响单摆周期的因素，掌握单摆的周期公式．
3．知道什么是固有振动和阻尼振动，并能用能量的观点给予说明.
4.知道受迫振动的频率等于驱动力的频率，而跟振动物体的固有频率无关.
5.理解共振的概念，知道共振常见的应用和危害．
1. 将秒摆(周期为2 s)的周期变为4 s，下面哪些措施是正确的( )
A．只将摆球质量变为原来的eq \f(1,4)
B．只将振幅变为原来的2倍
C．只将摆长变为原来的4倍
D．只将摆长变为原来的16倍
答案 C
解析 由T＝2πeq \r(\f(l,g))可知，单摆的周期与摆球的质量和振幅均无关，A、B错误；对秒摆，T0＝2πeq \r(\f(l0,g))＝2 s，对周期为4 s的单摆，T＝2πeq \r(\f(l,g))＝4 s，则l＝4l0，C正确，D错误．
2. (多选)如图是摆球做阻尼振动的振动图像，下列说法正确的是( )
A．振动过程中周期变小
B．振动过程中周期不变
C．摆球A时刻的势能等于B时刻的势能
D．摆球A时刻的动能等于B时刻的动能
答案 BC
解析 阻尼振动中，摆球的振幅逐渐减小，由于周期与振幅无关，故振动过程中周期不变，选项A错误，B正确；因A、B两时刻的位移相同，故摆球A时刻的势能等于B时刻的势能，选项C正确；由于振动的能量逐渐减小，故摆球A时刻的动能大于B时刻的动能，选项D错误．
一、单摆
1．惠更斯得出了单摆的周期公式并发明了摆钟．
2．单摆的周期公式：T＝2πeq \r(\f(l,g)).
3．对周期公式的理解
(1)单摆的周期公式在单摆偏角很小时成立(偏角为5°时，由周期公式算出的周期和准确值相差0.01%)．
(2)公式中l是摆长，即悬点到摆球球心的距离l＝l线＋r球．
(3)公式中g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定．
(4)周期T只与l和g有关，与摆球质量m及振幅无关，所以单摆的周期也叫固有周期．
二、受迫振动
1．对三种振动的理解
(1)简谐运动：一种理想化的模型，物体运动过程中的一切阻力都不考虑．
(2)阻尼振动：考虑阻力的影响，是更实际的一种运动．
(3)受迫振动：物体做阻尼振动时在驱动力作用下的振动．
2．三种振动的比较
三、共振
1．共振的条件：驱动力的频率与系统的固有频率相等，即f驱＝f固．
2．共振曲线
如图所示，共振曲线的横坐标为驱动力的频率，纵坐标为受迫振动的振幅．
(1)从受力角度看：当驱动力的频率等于物体的固有频率时，它的每一次作用都使物体的振幅增加，直到振幅达到最大．
(2)从功能关系看：当驱动力的频率等于物体的固有频率时，驱动力对物体做正功，使振动能量不断增加，振幅不断增大，直到增加的能量等于克服阻尼作用损耗的能量，振幅才不再增加．振动能量最大，振幅最大．
(3)认识曲线的形状：f＝f0时发生共振；f＞f0或f＜f0时振幅较小．f与f0相差越大，振幅越小．
3．共振的利用与防止
(1)利用：要利用共振，就应尽量使驱动力的频率与物体的固有频率一致．如共振筛、共振转速计等．
(2)防止：在需要防止共振危害时，要尽量使驱动力的频率和固有频率不相等，而且相差越多越好．如：部队过桥应便步走．
说明：共振是物体做受迫振动时的一种特殊现象．
一、单摆模型的拓展
例题1. 如图所示，MN为半径较大的光滑圆弧的一部分，把小球A放在MN的圆心处，再把另一个小球B放在MN上离最低点C很近的B处(弧BC所对圆心角小于5°)，今使两小球同时释放，则( )
A．球A先到达C点
B．球B先到达C点
C．两球同时到达C点
D．无法确定哪个球先到达C点
答案 A
解析 球A做自由落体运动，到达C点的时间为TA＝eq \r(\f(2h,g))＝eq \r(\f(2R,g)).
当弧BC所对的圆心角小于5°时，球B在圆弧的支持力FN和重力G的作用下做简谐运动(与单摆类似)，它的振动周期为T＝2πeq \r(\f(l,g))＝2πeq \r(\f(R,g))，
因此球B运动到C点所需的时间是TB＝eq \f(T,4)＝eq \f(π,2)eq \r(\f(R,g))，
故TA解题归纳：支持力相当于绳子的拉力，等效为单摆。圆弧半径为摆长。
二、对共振曲线的理解
例题2. 一个单摆做受迫振动，其共振曲线(振幅A与驱动力的频率f的关系)如图7所示，则( )
图7
A．此单摆的摆长约为1 m
B．此单摆的固有周期约为0.5 s
C．若摆长增大，单摆的固有频率增大
D．若摆长增大，共振曲线的峰值将向右移动
答案 A
解析 由题图可知，此单摆的固有频率为0.5 Hz，则周期为2 s，由公式T＝2πeq \r(\f(L,g))，可得L≈1 m，故A正确，B错误；若摆长增大，单摆的固有周期增大，则固有频率减小，所以共振曲线的峰值将向左移动，故C、D错误．
解题归纳：
越靠近固有频率，受迫振动的振幅越大。
（建议用时：30分钟）
一、单选题
1．如图所示，摆长为L的单摆，周期为T.如果在悬点O的正下方的B点固定一个光滑的钉子，OB的距离为OA长度的eq \f(5,9)，使摆球A(半径远小于L)通过最低点向左摆动，悬线被钉子挡住成为一个新的单摆，则下列说法中正确的是( )
A．单摆在整个振动过程中的周期不变
B．单摆在整个振动过程中的周期将变大为原来的eq \f(6,5)倍
C．单摆的整个振动过程中的周期将变小为原来的eq \f(5,6)
D．单摆的整个振动过程中的周期无法确定
答案 C
解析 根据单摆周期公式知，未加钉子时，周期T1＝T＝2πeq \r(\f(L,g))，碰到钉子后，T′＝2π eq \r(\f(L－\f(5,9)L,g))＝eq \f(4,3)πeq \r(\f(L,g))，所以加了钉子的周期为T2＝eq \f(1,2)T＋eq \f(1,2)T′＝eq \f(5,3)πeq \r(\f(L,g))，所以周期变为原来的eq \f(5,6)，A、B、D错误，C正确.
2．如图所示，五个摆悬挂于同一根绷紧的水平绳上，A是摆球质量较大的摆，让它摆动后带动其他摆运动，下列结论正确的是( )
A．只有E摆的振动周期与A摆的相同
B．其他各摆的振幅都相等
C．其他各摆的振幅不同，E摆的振幅最大
D．其他各摆的振动周期不同，D摆周期最大
答案 C
解析 A摆摆动，其余各摆也摆动起来，它们均做受迫振动，则它们的振动周期均等于A摆的振动周期，而由于A、E摆长相同，这两个摆的固有周期相同，则E摆出现共振现象，振幅达到最大，故C正确．
3．如图所示是单摆做阻尼振动的位移—时间图线，下列说法中正确的是( )
A．摆球在P与N时刻的势能相等
B．摆球在P与N时刻的动能相等
C．摆球在P与N时刻的机械能相等
D．摆球在P时刻的机械能小于在N时刻的机械能
答案 A
解析 由于摆球的势能大小由其位移和摆球质量共同决定，P、N两时刻位移大小相同，所以势能相等，A正确；由于系统机械能在减少，P、N两时刻势能相同，则P时刻动能大于N时刻动能，B、C、D错误．
4．下列振动中属于受迫振动的是( )
A．用重锤敲击一下悬吊着的钟后，钟的摆动
B．打点计时器接通电源后，振针的振动
C．小孩睡在自由摆动的吊床上，小孩随着吊床一起摆动
D．弹簧振子在竖直方向上上下振动
答案 B
解析 受迫振动是振动物体在驱动力作用下的运动，故只有B对．
二、多选题
5．惠更斯利用摆的等时性发明了带摆的计时器，叫摆钟．摆钟运行时克服摩擦所需的能量由重锤的势能提供，运行的速率由钟摆控制．旋转钟摆下端的螺母可以使摆上的圆盘沿摆杆上下移动，如图所示．以下说法正确的是( )
A．当摆钟不准确时需要调整圆盘的位置
B．摆钟快了应使圆盘沿摆杆上移
C．由冬季变为夏季时应使圆盘沿摆杆上移
D．把摆钟从福建移到北京应使圆盘沿摆杆上移
答案 AC
解析 根据周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))知，当摆钟不准确时需要调整摆长，A正确；摆钟快了，周期小，则需将摆长增大，增大周期，B错误；由冬季变为夏季时摆杆受热伸长，则需上移圆盘，C正确；摆钟从福建移到北京，重力加速度增大，则需将摆长增大，D错误．
6．如图所示为单摆在两次受迫振动中的共振曲线，下列说法正确的是( )
A．若两次受迫振动分别在月球和地球上进行，且摆长相同，则图线Ⅰ表示月球上单摆的共振曲线
B．若两次受迫振动是在地球上同一地点进行，则两次摆长之比l1∶l2＝25∶4
C．图线Ⅱ若是在地球上完成的，则该单摆摆长约为1 m
D．若摆长约为1 m，则图线Ⅰ是在地球上完成的
答案 ABC
解析 题图图线中振幅最大处对应频率应与做受迫振动的单摆的固有频率相等．从题图可以看出，两单摆的固有频率f1＝0.2 Hz，f2＝0.5 Hz.根据周期公式可得f＝eq \f(1,T)＝eq \f(1,2π)eq \r(\f(g,l))，当两单摆分别在月球和地球上做受迫振动且摆长相等时，g越大，f越大，所以g2>g1，由于月球上的重力加速度比地球上的小，所以图线Ⅰ表示月球上单摆的共振曲线，所以选项A正确；若两次受迫振动是在地球上同一地点进行，则g相同，两次摆长之比l1∶l2＝eq \f(1,f12)∶eq \f(1,f22)＝25∶4，所以B正确；图线Ⅱ若是在地球上完成的，由频率的计算公式可解得l2≈1 m，所以C正确，D错误.
三、解答题
7．如图所示，光滑的半球壳半径为R，O点在球心O′的正下方，一小球甲(可视为质点)由距O点很近的A点由静止释放，R≫.
(1)若小球甲释放的同时，另一小球乙(可视为质点)从球心O′处自由落下，求两球第一次到达O点的时间比；
(2)若小球甲释放的同时，另一小球丙(可视为质点)在O点正上方某处自由落下，为使两球在O点相碰，小球应由多高处自由落下？
答案 (1)eq \r(2)π∶4 (2)eq \f(2n－12π2R,8)(n＝1,2,3，…)
解析 (1)甲球沿圆弧做简谐运动，它第一次到达O点的时间为t1＝eq \f(1,4)T＝eq \f(1,4)×2πeq \r(\f(R,g))＝eq \f(π,2)eq \r(\f(R,g)).
乙球做自由落体运动，到达O点的时间为t2
R＝eq \f(1,2)gt22，所以t2＝eq \r(\f(2R,g))，t1∶t2＝eq \r(2)π∶4.
(2)小球甲从A点由静止释放运动到O点的时间为t＝eq \f(T,4)(2n－1)，n＝1,2,3，…，由O点正上方自由落下的小球丙到达O点的时间也为t时两球才能在O点相碰，所以h＝eq \f(1,2)gt2＝eq \f(2n－12π2R,8)(n＝1,2,3，…)．
8．如图所示，曲轴上悬挂一弹簧振子，转动摇把，曲轴可以带动弹簧振子上下振动．
(1)开始时不转动摇把，而用手往下拉振子，然后放手让振子上下振动，测得振子在10 s内完成20次振动，不考虑阻力，振子做什么振动？其固有周期和固有频率各是多少？若考虑阻力，振子做什么振动？
(2)在振子正常振动过程中，以转速4 r/s匀速转动把手，振子的振动稳定后，振子做什么运动？其周期是多少？
答案 (1)简谐运动 0.5 s 2 Hz 阻尼振动 (2)受迫振动 0.25 s
解析 (1)用手往下拉振子，放手后，因振子所受回复力满足F＝－kx，所以做简谐运动，根据题意T固＝eq \f(t,n)＝eq \f(10,20) s＝0.5 s．f固＝eq \f(1,T固)＝eq \f(1,0.5) Hz＝2 Hz，由于阻力的存在，振子克服阻力做功消耗能量，振幅越来越小，故振动为阻尼振动．
(2)由于把手转动的转速为4 r/s，它给弹簧振子的驱动力频率为f驱＝4 Hz，周期T驱＝0.25 s，故振子做受迫振动．振动达到稳定状态后，其频率(或周期)等于驱动力的频率(或周期)，而跟固有频率(或周期)无关．即f＝f驱＝4 Hz，T＝T驱＝0.25 s.
振动类型
比较项目
简谐运动
阻尼振动
受迫振动
产生条件
不受阻力作用
受阻力作用
受阻力和驱动力作用
频率
有固有频率
频率不变
由驱动力的频率决定
振动图像
形状不确定
常见例子
弹簧振子或单摆
敲锣打鼓时发出的声音越来越弱
机器运转时底座发生的振动