【寒假自学课】高一物理寒假精品课(人教版2019)第20天向心力和向心加速度(原卷版+解析)

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1.会分析向心力的来源，掌握向心力的表达式，并能进行计算.
2.知道变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点．
3.理解向心加速度的概念.2.掌握向心加速度和线速度、角速度的关系，能够运用向心加速度公式求解有关问题.
4.会应用动力学方法分析匀速圆周运动问题．
一、向心力的大小
向心力的大小可以表示为Fn＝ 或Fn＝meq \f(v2,r).
二、变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点
1．变速圆周运动的合力：变速圆周运动的合力产生两个方向的效果，如图所示．
(1)跟圆周相切的分力Ft：改变线速度的 ．
(2)指向圆心的分力Fn：改变线速度的 ．
2．一般的曲线运动的处理方法
(1)一般的曲线运动：运动轨迹既不是 也不是 的曲线运动．
(2)处理方法：可以把曲线分割为许多很短的小段，质点在每小段的运动都可以看作 的一部分，分析质点经过曲线上某位置的运动时，可以采用 运动的分析方法来处理．
三、匀速圆周运动的加速度方向
1．向心加速度：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向 ，这个加速度叫作向心加速度．
2．向心加速度的作用：向心加速度的方向总是与速度方向垂直，故向心加速度只改变速度的 ，不改变速度的 ．
3．物体做匀速圆周运动时，向心加速度始终指向圆心，方向在时刻变化，所以匀速圆周运动是 曲线运动．
四、匀速圆周运动的加速度大小
1．向心加速度公式
an＝eq \f(v2,r)或an＝ω2r.
2．向心加速度的公式既适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动．
一、一、向心力的来源分析和计算
例题1. 如图所示，用长为L的细线拴住一个质量为m的小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向的夹角为θ，重力加速度为g，关于小球的受力情况，下列说法正确的是( )
A．小球受到重力、细线的拉力和向心力三个力
B．向心力由细线对小球的拉力提供
C．向心力的大小等于细线对小球拉力的水平分力
D．向心力的大小等于eq \f(mg,tan θ)
解题归纳：1．向心力的大小：Fn＝mω2r＝meq \f(v2,r)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2r.
2．向心力的来源分析
在匀速圆周运动中，由合力提供向心力．在非匀速圆周运动中，物体合力不是始终指向圆心，合力的一个分力提供向心力．
3．几种常见的圆周运动向心力的来源
二、向心加速度的大小
例题2. (多选)对于匀速圆周运动的物体，下列说法正确的是( )
A．由an＝eq \f(v2,r)知，向心加速度an与半径r成反比
B．由an＝eq \f(4π2,T2)r知，向心加速度an与半径r成正比
C．由ω＝eq \f(2π,T)知，角速度ω与周期T成反比
D．由an＝ω2r知，当角速度ω一定时，向心加速度an与半径r成正比
解题归纳：1．向心加速度公式
(1)an＝eq \f(v2,r)＝ω2r.
(2)由于v＝ωr，所以向心加速度也可以写成an＝ωv.
(3)由于ω＝eq \f(2π,T)＝2πf，所以向心加速度也可以写成an＝eq \f(4π2,T2)r＝4π2f2r.
2．向心加速度与半径的关系(如图所示)
3．向心加速度公式不仅适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动，v为某位置的线速度，且无论物体做的是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，其向心加速度的方向都指向圆心．
1. (多选)如图所示，皮带传动装置中，右边两轮连在一起共轴转动，图中三轮半径分别为r1＝3r，r2＝2r，r3＝4r；A、B、C三点为三个轮边缘上的点，向心加速度大小分别为a1、a2、a3，皮带不打滑，则下列比例关系正确的是( )
A.eq \f(a1,a2)＝eq \f(3,2) B.eq \f(a1,a2)＝eq \f(2,3) C.eq \f(a2,a3)＝2 D.eq \f(a2,a3)＝eq \f(1,2)
2. 如图所示，圆柱形转筒绕其竖直中心轴转动，小物体贴在转筒内壁上随转筒一起转动而不滑落．则下列说法正确的是( )
A．小物体受到重力、弹力、摩擦力和向心力共4个力的作用
B．小物体随筒壁做圆周运动的向心力是由摩擦力提供的
C．筒壁对小物体的摩擦力随转速增大而增大
D．筒壁对小物体的弹力随转速增大而增大
（建议用时：30分钟）
一、单选题
1．如图所示，竖直固定的锥形漏斗内壁是光滑的，内壁上有两个质量相等的小球A和B，在各自不同的水平面内做匀速圆周运动．下列关于A、B两球做圆周运动时的线速度(vA、vB)、角速度(ωA、ωB)、加速度(aA、aB)和对内壁的压力(FNA、FNB)的关系式正确的是( )
A．vA>vB B．ωA>ωB
C．aA>aB D．FNA>FNB
2．甲、乙两个物体都做匀速圆周运动，转动半径之比为9∶4，转动周期之比为3∶4，则它们的向心加速度大小之比为( )
A．1∶4 B．4∶1 C．4∶9 D．9∶4
3．如图所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，图中c方向沿半径指向圆心，a方向与c方向垂直．当转盘逆时针转动时，下列说法正确的是( )
A．当转盘匀速转动时，P所受摩擦力方向为c
B．当转盘匀速转动时，P不受转盘的摩擦力
C．当转盘加速转动时，P所受摩擦力方向可能为a
D．当转盘减速转动时，P所受摩擦力方向可能为b
4．如图所示，质量为m的小明坐在秋千上摆动到最高点时悬线与竖直方向夹角为30°，重力加速度为g，下列说法正确的是( )
A．小明在最高点的速度为零，合力为零
B．小明在最低点的加速度为零，速度最大
C．最高点秋千对小明的作用力为eq \f(\r(3),2)mg
D．最低点秋千对小明的作用力为mg
二、多选题
5．(多选)如图所示，光滑的圆锥漏斗的内壁，有个质量为m的小球，它紧贴漏斗在水平面上做半径为r的匀速圆周运动．已知漏斗壁的倾角为θ，重力加速度为g，下列说法正确的是( )
A．小球做匀速圆周运动的线速度为eq \r(grtan θ)
B．小球做匀速圆周运动的线速度为eq \r(grsin θ)
C．漏斗壁对小球的弹力为mgcs θ
D．漏斗壁对小球的弹力为eq \f(mg,cs θ)
6． (多选)有一种叫“飞椅”的游乐项目．如图所示，长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘．转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动．当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ.不计钢绳的重力．重力加速度g.下列说法正确的是( )
A．钢绳的拉力大小为eq \f(mω2r＋Lsin θ,sin θ)
B．钢绳的拉力大小为eq \f(mg,cs θ)
C．如果角速度足够大，可以使钢绳成水平拉直
D．两个体重不同的人，摆开的夹角θ一样大
三、解答题
7．如图所示，有一质量为m的小球在光滑的半球形碗内做匀速圆周运动，轨道平面在水平面内．已知小球与半球形碗的球心O的连线跟竖直方向的夹角为θ，半球形碗的半径为R，重力加速度为g，求小球做匀速圆周运动的线速度大小及碗壁对小球的弹力大小．
8．如图所示，有一质量为m1的小球A与质量为m2的物块B通过轻绳相连，轻绳穿过光滑水平板绕O点做半径为r的匀速圆周运动时，物块B刚好保持静止．求：(重力加速度为g)
(1)轻绳的拉力大小；
(2)小球A做匀速圆周运动的线速度大小．
实例分析
图例
向心力来源
在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未发生滑动
弹力提供向心力
用细绳拴住小球在光滑的水平面内做匀速圆周运动
绳的拉力(弹力)提供向心力
物体随转盘做匀速圆周运动，且物体相对于转盘静止
静摩擦力提供向心力
用细绳拴住小球在竖直平面内做圆周运动，当小球经过最低点时
拉力和重力的合力提供向心力
小球在细绳作用下，在水平面内做匀速圆周运动时
绳的拉力的水平分力(或拉力与重力的合力)提供向心力
第20天 向心力和向心加速度 （预习篇）
1.会分析向心力的来源，掌握向心力的表达式，并能进行计算.
2.知道变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点．
3.理解向心加速度的概念.2.掌握向心加速度和线速度、角速度的关系，能够运用向心加速度公式求解有关问题.
4.会应用动力学方法分析匀速圆周运动问题．
一、向心力的大小
向心力的大小可以表示为Fn＝mω2r或Fn＝meq \f(v2,r).
二、变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点
1．变速圆周运动的合力：变速圆周运动的合力产生两个方向的效果，如图所示．
(1)跟圆周相切的分力Ft：改变线速度的大小．
(2)指向圆心的分力Fn：改变线速度的方向．
2．一般的曲线运动的处理方法
(1)一般的曲线运动：运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动．
(2)处理方法：可以把曲线分割为许多很短的小段，质点在每小段的运动都可以看作圆周运动的一部分，分析质点经过曲线上某位置的运动时，可以采用圆周运动的分析方法来处理．
三、匀速圆周运动的加速度方向
1．向心加速度：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向圆心，这个加速度叫作向心加速度．
2．向心加速度的作用：向心加速度的方向总是与速度方向垂直，故向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小．
3．物体做匀速圆周运动时，向心加速度始终指向圆心，方向在时刻变化，所以匀速圆周运动是变加速曲线运动．
四、匀速圆周运动的加速度大小
1．向心加速度公式
an＝eq \f(v2,r)或an＝ω2r.
2．向心加速度的公式既适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动．
一、一、向心力的来源分析和计算
例题1. 如图所示，用长为L的细线拴住一个质量为m的小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向的夹角为θ，重力加速度为g，关于小球的受力情况，下列说法正确的是( )
A．小球受到重力、细线的拉力和向心力三个力
B．向心力由细线对小球的拉力提供
C．向心力的大小等于细线对小球拉力的水平分力
D．向心力的大小等于eq \f(mg,tan θ)
答案 C
解析 对小球受力分析可知，小球受到重力、细线的拉力两个力，这两个力的合力提供向心力，也可把拉力分解，拉力的水平分力提供向心力，如图所示，A、B错误，C正确；向心力的大小Fn＝mgtan θ，D错误．
解题归纳：1．向心力的大小：Fn＝mω2r＝meq \f(v2,r)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2r.
2．向心力的来源分析
在匀速圆周运动中，由合力提供向心力．在非匀速圆周运动中，物体合力不是始终指向圆心，合力的一个分力提供向心力．
3．几种常见的圆周运动向心力的来源
二、向心加速度的大小
例题2. (多选)对于匀速圆周运动的物体，下列说法正确的是( )
A．由an＝eq \f(v2,r)知，向心加速度an与半径r成反比
B．由an＝eq \f(4π2,T2)r知，向心加速度an与半径r成正比
C．由ω＝eq \f(2π,T)知，角速度ω与周期T成反比
D．由an＝ω2r知，当角速度ω一定时，向心加速度an与半径r成正比
答案 CD
解析 由an＝eq \f(v2,r)知，线速度不变时，向心加速度an与半径r成反比，选项A错误；由an＝eq \f(4π2,T2)r知，周期不变时，向心加速度an与半径r成正比，选项B错误；由ω＝eq \f(2π,T)知，角速度ω与周期T成反比，选项C正确；由an＝ω2r知，当角速度ω一定时，向心加速度an与半径r成正比，选项D正确．
解题归纳：1．向心加速度公式
(1)an＝eq \f(v2,r)＝ω2r.
(2)由于v＝ωr，所以向心加速度也可以写成an＝ωv.
(3)由于ω＝eq \f(2π,T)＝2πf，所以向心加速度也可以写成an＝eq \f(4π2,T2)r＝4π2f2r.
2．向心加速度与半径的关系(如图所示)
3．向心加速度公式不仅适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动，v为某位置的线速度，且无论物体做的是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，其向心加速度的方向都指向圆心．
1. (多选)如图所示，皮带传动装置中，右边两轮连在一起共轴转动，图中三轮半径分别为r1＝3r，r2＝2r，r3＝4r；A、B、C三点为三个轮边缘上的点，向心加速度大小分别为a1、a2、a3，皮带不打滑，则下列比例关系正确的是( )
A.eq \f(a1,a2)＝eq \f(3,2) B.eq \f(a1,a2)＝eq \f(2,3) C.eq \f(a2,a3)＝2 D.eq \f(a2,a3)＝eq \f(1,2)
答案 BD
解析 由于皮带不打滑，故v1＝v2，由an＝eq \f(v2,r)可得eq \f(a1,a2)＝eq \f(r2,r1)＝eq \f(2,3)，A错误，B正确；由于右边两轮共轴转动，故ω2＝ω3，由an＝rω2可得eq \f(a2,a3)＝eq \f(r2,r3)＝eq \f(1,2)，C错误，D正确．
2. 如图所示，圆柱形转筒绕其竖直中心轴转动，小物体贴在转筒内壁上随转筒一起转动而不滑落．则下列说法正确的是( )
A．小物体受到重力、弹力、摩擦力和向心力共4个力的作用
B．小物体随筒壁做圆周运动的向心力是由摩擦力提供的
C．筒壁对小物体的摩擦力随转速增大而增大
D．筒壁对小物体的弹力随转速增大而增大
答案 D
解析 小物体随转筒一起做圆周运动，受重力、弹力和静摩擦力共3个力的作用，故选项A错误．水平方向上，弹力指向圆心，提供向心力，据牛顿第二定律有：FN＝mω2r，又ω＝2πn，可知转速越大，角速度越大，小物体所受的弹力越大，故选项B错误，D正确；在竖直方向上，小物体所受的重力和静摩擦力平衡，静摩擦力大小不变，故选项C错误．
（建议用时：30分钟）
一、单选题
1．如图所示，竖直固定的锥形漏斗内壁是光滑的，内壁上有两个质量相等的小球A和B，在各自不同的水平面内做匀速圆周运动．下列关于A、B两球做圆周运动时的线速度(vA、vB)、角速度(ωA、ωB)、加速度(aA、aB)和对内壁的压力(FNA、FNB)的关系式正确的是( )
A．vA>vB B．ωA>ωB
C．aA>aB D．FNA>FNB
答案 A
解析 对小球受力分析如图所示，可得FN＝eq \f(mg,sin θ)，Fn＝eq \f(mg,tan θ)，由于两个小球的质量相同，并且都是在水平面内做匀速圆周运动，即θ相同，所以两个小球的向心力大小和受到的支持力大小都相等，所以有FNA＝FNB，aA＝aB，故C、D错误；向心力大小相等，由Fn＝meq \f(v2,r)可知，半径大的，线速度大，所以vA>vB，故A正确；由Fn＝mrω2可知，半径大的，角速度小，所以ωA<ωB，故B错误．
2．甲、乙两个物体都做匀速圆周运动，转动半径之比为9∶4，转动周期之比为3∶4，则它们的向心加速度大小之比为( )
A．1∶4 B．4∶1 C．4∶9 D．9∶4
答案 B
解析 设甲、乙两个物体的转动半径分别为r1、r2，周期分别为T1、T2，根据题意eq \f(r1,r2)＝eq \f(9,4)，eq \f(T1,T2)＝eq \f(3,4)，由an＝eq \f(4π2,T2)r得：eq \f(a1,a2)＝eq \f(r1,r2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(T2,T1)))2＝eq \f(9,4)×(eq \f(4,3))2＝eq \f(4,1)，故选B.
3．如图所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，图中c方向沿半径指向圆心，a方向与c方向垂直．当转盘逆时针转动时，下列说法正确的是( )
A．当转盘匀速转动时，P所受摩擦力方向为c
B．当转盘匀速转动时，P不受转盘的摩擦力
C．当转盘加速转动时，P所受摩擦力方向可能为a
D．当转盘减速转动时，P所受摩擦力方向可能为b
答案 A
解析 转盘匀速转动时，物块P所受的重力和支持力平衡，摩擦力提供其做匀速圆周运动的向心力，故摩擦力方向为c，A项正确，B项错误；当转盘加速转动时，物块P做加速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还有指向a方向的切向力，使线速度大小增大，故摩擦力可能沿b方向，不可能沿a方向，C项错误；当转盘减速转动时，物块P做减速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还有与a方向相反的切向力，使线速度大小减小，故摩擦力可能沿d方向，不可能沿b方向，D项错误．
4．如图所示，质量为m的小明坐在秋千上摆动到最高点时悬线与竖直方向夹角为30°，重力加速度为g，下列说法正确的是( )
A．小明在最高点的速度为零，合力为零
B．小明在最低点的加速度为零，速度最大
C．最高点秋千对小明的作用力为eq \f(\r(3),2)mg
D．最低点秋千对小明的作用力为mg
答案 C
解析 小明在最高点时，速度为零，受力分析如图；易知F合＝mgsin 30°，F1＝mgcs 30°，解得F1＝eq \f(\r(3),2)mg，F合≠0，故A错误，C正确；小明在最低点速度最大，设最低点秋千对小明的作用力为F2，由牛顿第二定律，可得F2－mg＝man＝meq \f(v2,r)>0，易知，加速度不为零，秋千对小明的作用力F2大于mg，故B、D错误．
二、多选题
5．(多选)如图所示，光滑的圆锥漏斗的内壁，有个质量为m的小球，它紧贴漏斗在水平面上做半径为r的匀速圆周运动．已知漏斗壁的倾角为θ，重力加速度为g，下列说法正确的是( )
A．小球做匀速圆周运动的线速度为eq \r(grtan θ)
B．小球做匀速圆周运动的线速度为eq \r(grsin θ)
C．漏斗壁对小球的弹力为mgcs θ
D．漏斗壁对小球的弹力为eq \f(mg,cs θ)
答案 AD
解析 对小球进行受力分析，合力沿水平方向，得F向＝mgtan θ＝meq \f(v2,r)
解得v＝eq \r(grtan θ)，A正确，B错误；根据几何知识得cs θ＝eq \f(mg,FN)，解得FN＝eq \f(mg,cs θ)，C错误，D正确．
6． (多选)有一种叫“飞椅”的游乐项目．如图所示，长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘．转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动．当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ.不计钢绳的重力．重力加速度g.下列说法正确的是( )
A．钢绳的拉力大小为eq \f(mω2r＋Lsin θ,sin θ)
B．钢绳的拉力大小为eq \f(mg,cs θ)
C．如果角速度足够大，可以使钢绳成水平拉直
D．两个体重不同的人，摆开的夹角θ一样大
答案 ABD
解析 对座椅受力分析，且对F正交分解，如图所示
竖直方向Fcs θ＝mg，解得F＝eq \f(mg,cs θ)，水平方向Fsin θ＝mω2(r＋Lsin θ)则F＝eq \f(mω2r＋Lsin θ,sin θ)，A、B正确；因钢绳拉力的竖直分量等于人和座椅的重力，则即使角速度足够大，也不可以使钢绳成水平拉直，C错误；根据F＝eq \f(mg,cs θ)＝eq \f(mω2r＋Lsin θ,sin θ)，两边可消掉m，即两个体重不同的人，摆开的夹角θ一样大，D正确．
三、解答题
7．如图所示，有一质量为m的小球在光滑的半球形碗内做匀速圆周运动，轨道平面在水平面内．已知小球与半球形碗的球心O的连线跟竖直方向的夹角为θ，半球形碗的半径为R，重力加速度为g，求小球做匀速圆周运动的线速度大小及碗壁对小球的弹力大小．
答案 eq \r(gRsin θtan θ) eq \f(mg,cs θ)
解析 对小球受力分析如图所示，
设小球做匀速圆周运动的线速度大小为v，半径为r，碗壁对小球的弹力大小为FN.
mgtan θ＝eq \f(mv2,r)
r＝Rsin θ
联立解得v＝eq \r(gRsin θtan θ)
又FNcs θ＝mg
得FN＝eq \f(mg,cs θ).
8．如图所示，有一质量为m1的小球A与质量为m2的物块B通过轻绳相连，轻绳穿过光滑水平板绕O点做半径为r的匀速圆周运动时，物块B刚好保持静止．求：(重力加速度为g)
(1)轻绳的拉力大小；
(2)小球A做匀速圆周运动的线速度大小．
答案 (1)m2g (2)eq \r(\f(m2gr,m1))
解析 (1)物块B受力平衡，故轻绳拉力大小FT＝m2g
(2)小球A做匀速圆周运动的向心力由轻绳拉力FT提供，
根据牛顿第二定律有：
m2g＝m1eq \f(v2,r)
解得v＝eq \r(\f(m2gr,m1)).
实例分析
图例
向心力来源
在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未发生滑动
弹力提供向心力
用细绳拴住小球在光滑的水平面内做匀速圆周运动
绳的拉力(弹力)提供向心力
物体随转盘做匀速圆周运动，且物体相对于转盘静止
静摩擦力提供向心力
用细绳拴住小球在竖直平面内做圆周运动，当小球经过最低点时
拉力和重力的合力提供向心力
小球在细绳作用下，在水平面内做匀速圆周运动时
绳的拉力的水平分力(或拉力与重力的合力)提供向心力