物理同步精品讲义(人教2019选择性必修一)第02讲简谐运动的描述(原卷版+解析)

这是一份物理同步精品讲义(人教2019选择性必修一)第02讲简谐运动的描述(原卷版+解析)，共43页。

第02讲 简谐运动的描述目标导航知识精讲知识点01 简谐运动的物理量1.简谐运动的物理量(1)振幅是指振动物体离开平衡位置的最大距离，通常用字母A表示，是标量．(2)振子完成一次完整的振动过程称为一次全振动，不论从哪一位置开始计时，弹簧振子完成一次全振动所用的时间总是相同的．(3)做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，叫做振动的周期，用字母T表示．其物理意义是表示物体振动的快慢．(4)单位时间内完成全振动的次数，叫做振动的频率，用字母f表示；其单位是赫兹，符号是Hz.(5)周期与频率的关系是T＝1/f.频率的大小表示振动的快慢．(6)用来描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态的物理量叫相位，当t＝0时的相位称做初相位，用字母φ表示．2．对振幅的理解(1)定义：振动物体离开平衡位置的最大距离叫做振动的振幅．在国际单位制中，振幅的单位是米(m)．(2)振幅是标量，只有大小，没有方向，是用来表示振动强弱的物理量．(3)同一振动系统，系统的能量仅由振幅决定，振动越强，振幅就越大，振动能量也越多．(4)振幅与位移、路程的区别①振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离，是标量；而位移是由平衡位置指向末位置的有向线段，是矢量；路程是运动路径的总长度，是标量．一个周期内的路程为振幅的四倍，半个周期内的路程为振幅的两倍．②当物体做简谐运动时，振幅是定值；位移的大小和方向时刻都在变化；路程则会持续不断地增加．3．对周期和频率的理解(1)周期(T)和频率(f)都是标量，反映了振动的快慢，T＝eq \f(1,f)，即周期越大，频率越小，振动越慢．(2)振动周期、频率由振动系统决定，与振幅无关．(3)全振动次数N与周期T和振动时间t的关系为N＝eq \f(t,T).【即学即练1】如图所示，弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点之间做简谐运动．B、C相距20 cm，某时刻振子处于B点．经过0.5 s，振子首次到达C点．求：(1)振子振动的周期和频率；(2)振子在5 s内通过的路程及位移大小．知识点02 简谐运动的表达式简谐运动的一般表达式为x＝Asin(ωt＋φ)．1．x表示离开平衡位置的位移，A表示简谐运动的振幅，表示振动的强弱．2．式中ω叫做“圆频率”，它与周期频率的关系为ω＝eq \f(2π,T)＝2πf.可见ω、T、f相当于一个量，描述的都是振动的快慢．简谐运动的表达式也可写成：x＝Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)t＋φ))或x＝Asin(2πft＋φ)．3．式中(ωt＋φ)表示相位，描述做周期性运动的物体在各个不同时刻所处的不同状态，是描述不同振动的振动步调的物理量．它是一个随时间变化的量，相当于一个角度，单位为弧度，相位每增加2π，意味着物体完成了一次全振动．4．式中φ表示t＝0时简谐运动质点所处的状态，称为初相位或初相．5．相位差：即某一时刻的相位之差两个具有相同ω．的简谐运动，设其初相分别为φ1和φ2，其相位差Δφ＝(ωt＋φ2)－(ωt＋φ1)＝φ2－φ1.【即学即练2】一个质点做简谐运动的图像如图所示，下列叙述中正确的是(　　)A．质点的振动频率为4 HzB．在10 s内质点经过的路程为20 cmC．在5 s末，质点做简谐运动的相位为eq \f(3,2)πD．t＝1.5 s和t＝4.5 s两时刻质点的位移大小相等，都是eq \r(2) cm【即学即练3】有一弹簧振子在水平方向上的B、C之间做简谐运动，已知B、C间的距离为20 cm，振子在2 s内完成了10次全振动．若从某时刻振子经过平衡位置时开始计时(t＝0)，经过eq \f(1,4)周期振子有负向最大位移．(1)求该振子的振幅和周期；(2)画出该振子的位移—时间图象；(3)写出该振子的振动方程．知识点03 对全振动的理解1．全振动的定义：振动物体以相同的速度相继通过同一位置所经历的过程，叫做一次全振动．如图所示，从O点开始，一次全振动的完整过程为O→A→O→A′→O；从A点开始，一次全振动的完整过程为A→O→A′→O→A。2．注意把握全振动的四个特征(1)物理量特征：位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同．(1)时间特征：历时一个周期．(1)路程特征：振幅的四倍．(1)相位特征：增加2π.【即学即练4】如图所示，弹簧振子在A、B间做简谐运动，O为平衡位置，A、B间距离是20 cm，从A到B运动时间是2 s，则A．从O→B→O振子做了一次全振动B．振动周期为2 s，振幅是10 cmC．从B开始经过6 s，振子通过的路程是60 cmD．从O开始经过3 s，振子处在平衡位置【即学即练5】(多选)如图是一做简谐运动的物体的振动图象，下列说法正确的是(　　)A．振动周期是2×10－2 sB．物体振动的频率为25 HzC．物体振动的振幅为10 cmD．在6×10－2 s内物体通过的路程是60 cm 能力拓展考法01 对振动表达式的理解【典例1】某做简谐运动的物体，其位移与时间的变化关系式为x＝10sin(5πt) cm，则：(1)物体的振幅为多少？(2)物体振动的频率为多少？(3)在时间t＝0.1 s时，物体的位移是多少？(4)画出该物体简谐运动的图象。考法02 根据简谐振动表达式求物理量【典例2】(多选)物体A做简谐运动的振动方程是xA＝3sin(100t＋eq \f(π,2))m，物体B做简谐运动的振动方程是xB＝5sin(100t＋eq \f(π,6))m。比较A、B的运动(　　)A．振幅是矢量，A的振幅是6 m，B的振幅是10 mB．周期是标量，A、B周期相等，都为100 sC．A振动的频率fA等于B振动的颍率fBD．A的相位始终超前B的相位eq \f(π,3)考法03 简谐运动的多解问题【典例3】(多选)一振子沿x轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点。t＝0时振子的位移为－0.1 m，t＝1 s时位移为0.1 m，则(　　)A．若振幅为0.1 m，振子的周期可能为eq \f(2,3) sB．若振幅为0.1 m，振子的周期可能为eq \f(4,5) sC．若振幅为0.2 m，振子的周期可能为4 sD．若振幅为0.2 m，振子的周期可能为6 s题组A 基础过关练1．(多选)一个质点经过平衡位置O，在A、B间做简谐运动，如图甲所示，它的振动图象如图乙所示，设向右为正方向，下列说法正确的是(　　)A．OB＝5 cmB．第0.2 s末质点的速度方向是A→OC．第0.4 s末质点的加速度方向是A→OD．第0.7 s末质点的位置在O点与A点之间E．在4 s内完成5次全振动2．(多选)物体A做简谐运动的振动位移xA＝3sin(100t＋eq \f(π,2)) m，物体B做简谐运动的振动位移xB＝5sin(100t＋eq \f(π,6)) m．比较A、B的运动(　　)A．振幅是矢量，A的振幅是6 m，B的振幅是10 mB．周期是标量，A、B周期相等为100 sC．A振动的频率fA等于B振动的频率fBD．A的相位始终超前B的相位eq \f(π,3)3．如图所示，弹簧振子的频率为5 Hz，让振子从B位置开始振动，并开始计时，则经过0.12 s时(　　)A．小球位于B、O之间，运动方向向右B．小球位于B、O之间，运动方向向左C．小球位于C、O之间，运动方向向右D．小球位于C、O之间，运动方向向左4．(多选)一个弹簧振子的振幅是A，若在Δt的时间内物体运动的路程是s，则下列关系中可能正确的是(包括一定正确的)(　　)A．Δt＝2T，s＝8A　　　　 B．Δt＝eq \f(T,2)，s＝2AC．Δt＝eq \f(T,4)，s＝2A D．Δt＝eq \f(T,4)，s>A5．一个质点在水平方向上做简谐运动的位移随时间变化的关系是x＝5sin 5πt cm，则下列判断正确的是(　　)A．该简谐运动的周期是0.2 sB．第1 s内质点运动的路程是100 cmC．0.4 s到0.5 s内质点的速度在逐渐减小D．t＝0.6 s时刻质点的速度为06．一个做简谐运动的质点，先后以同样大小的速度通过相距10 cm的A、B两点(如图)，且由A到B的过程中速度方向不变，历时0.5 s．过B点后再经过0.5 s质点以方向相反、大小相等的速度再次通过B点，则质点振动的周期是(　　)A．0.5 s B．1.0 sC．2.0 s D．4.0 s7．(2020-2021学年天津市第一中学高二(下)期末)如图所示，弹簧振子上下振动，白纸以速度v向左匀速运动，振子所带墨笔在白纸上留下如图曲线，建立如图所示坐标，y1、y2、x0、2x0为纸上印迹的位置坐标，则(　　)A．该弹簧振子的振动周期为2x0B．该弹簧振子的振幅为y1C．该弹簧振子的平衡位置在弹簧原长处D．该弹簧振子的角频率为8．一物体沿x轴做简谐运动，振幅为8 cm，频率为0.5 Hz，在t＝0时，位移是4 cm，且向x轴负方向运动．则：(1)试写出用正弦函数表示的振动方程．(2)10 s内通过的路程是多少？9．如图所示为A、B两质点做简谐运动的位移—时间图象．试根据图象求：(1)质点A、B的振幅和周期；(2)这两个简谐运动的位移随时间变化的关系式；(3)在时间t＝0.05 s时两质点的位移．题组B 能力提升练1．用余弦函数描述一简谐运动，已知振幅为A，周期为T，初相φ＝－eq \f(1,3)π，则振动曲线为下图中的哪一个(　　)2．一水平弹簧振子做简谐运动，周期为T，则(　　)A．若t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则Δt一定等于T的整数倍B．若t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动位移的大小相等、方向相反，则Δt一定等于eq \f(T,2)的整数倍C．若Δt＝T，则在t时刻和(t＋Δt)时刻振子振动的速度一定相等D．若Δt＝eq \f(T,2)，则在t时刻和(t＋Δt)时刻弹簧的长度一定相等3．(多选)如图，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动．以竖直向上为正方向，物块做简谐运动的表达式为y＝0.1sin(2.5πt) m．t＝0时刻，一小球从距物块h高处自由落下；t＝0.6 s时，小球恰好与物块处于同一高度．重力加速度的大小g取10 m/s2.以下判断正确的是(　　)A．h＝1.7 mB．简谐运动的周期是0.8 sC．0.6 s内物块运动的路程是0.2 mD．t＝0.4 s时，物块与小球运动方向相反4．(2020-2021学年北京四中高二(下)期中)(多选)有两个弹簧振子1和2做简谐运动：和，下列说法中正确的是(　　)A．两个弹簧振子1和2的振幅不同，频率不同B．两个弹簧振子1和2的振幅不同，频率相同C．弹簧振子1超前于弹簧振子2的相位是D．弹簧振子1落后于弹簧振子2的相位是5．(2020-2021学年屯溪第一中学高二(下)期中)如图甲所示，弹簧振子以点O为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动。取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是( )A．t=0.8s，振子的速度方向向左B．t=0.2s时，振子在O点右侧6cm处C．t=0.4s和t=1.2s时，振子的加速度完全相同D．t=0.4s到t=0.8s的时间内，振子的速度逐渐减小6．(多选)一简谐振子沿x轴振动，平衡位置在坐标原点．t＝0时振子的位移x＝－0.1 m，t＝eq \f(4,3) s 时x＝0.1 m，t＝4 s时x＝0.1 m．该振子的振幅和周期可能为(　　)A．0.1 m，eq \f(8,3) s B．0.1 m,8 sC．0.2 m，eq \f(8,3) s D．0.2 m,8 s7．一个做简谐运动的弹簧振子，周期为T，振幅为A，已知振子从平衡位置第一次运动到x＝eq \f(A,2)处所用的最短时间为t1，从最大的正位移处第一次运动到x＝eq \f(A,2)处所用的最短时间为t2，那么下列关于t1与t2的大小关系正确的是(　　)A．t1＝t2 B．t1t2 D．t1＝2t28．一竖直悬挂的弹簧振子，下端装有一记录笔，在竖直面内放置有一记录纸．当振子上下振动时，以速率v水平向左匀速拉动记录纸，记录笔在纸上留下如图所示的图象，y1、y2、x0、2x0为纸上印迹的位置坐标．则(　　)A．该弹簧振子的振动周期为2x0B．该弹簧振子的振幅为y1C．该弹簧振子的平衡位置在弹簧原长处D．该弹簧振子的圆频率为eq \f(πv,x0)9．质点沿x轴做简谐运动，平衡位置为坐标原点O.质点经过a点(xa＝－5 cm)和b点(xb＝5 cm)时速度相同，用时间tab＝0.2 s；质点由b点回到a点所用的最短时间tba＝0.4 s；则该质点做简谐运动的频率为(　　)A．1 Hz B．1.25 HzC．2 Hz D．2.5 Hz10．(2020-2021学年屯溪第一中学高二(下)期中)如图所示，质量为M、倾角为α的斜面体(斜面光滑且足够长)放在粗糙的水平地面上，斜面顶端与劲度系数为k、自然长度为L的轻质弹簧相连，弹簧的另一端连接着质量为m的物块。压缩弹簧使其长度为L时将物块由静止开始释放，且物块在以后的运动中，斜面体始终处于静止状态。重力加速度为g。(1)求物块处于平衡位置时弹簧的长度；(2)求物块在运动过程中弹簧的最大伸长量。题组C 培优拔尖练1．(多选)一弹簧振子做简谐运动，周期为T(　　)A．若t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动速度、位移的大小相等、方向相反，则Δt一定等于eq \f(T,2)的奇数倍B．若t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则Δt一定等于T的整数倍C．若Δt＝eq \f(T,2)，则在t时刻和(t＋Δt)时刻弹簧的长度一定相等D．若Δt＝T，则在t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动的加速度一定相等2．(多选)物体做简谐运动，通过A点时的速度为v，经过时间t后物体第一次以相同速度v通过B点，又经过同样的时间物体紧接着又通过B点，已知物体在这段时间内走过的总路程为18 cm，则该简谐运动的振幅可能是(　　)A．3 cm B．5 cmC．7 cm D．9 cm3．(多选)弹簧振子以O点为平衡位置做简谐运动，从振子通过O点时开始计时，振子第一次到达M点用了0.3 s，又经过0.2 s第二次通过M点，则振子第三次通过M点还要经过的时间可能是(　　)A.eq \f(1,3) s B.eq \f(8,15) sC．1.4 s D．1.6 s4．物体做简谐运动，从A点经1 s后，物体第一次以相同的速度通过B点，再经过1 s物体又通过B点，已知物体在2 s内所走过的总路程为12 cm.则该简谐运动的周期和振幅分别是多少？5．甲、乙两人先后观察同一弹簧振子在竖直方向上下振动的情况．(设平衡位置上方为正方向，时间轴上每格代表0.5 s)(1)甲开始观察时，振子正好在平衡位置并向下运动，试在图a中画出甲观察到的弹簧振子的振动图象．已知经过1 s后，振子第一次回到平衡位置，振子振幅为5 cm.(2)乙在甲观察3.5 s后，开始观察并记录时间，试在图b上画出乙观察到的弹簧振子的振动图象．6．(2020-2021学年辽宁省实验中学高二(上)期末)如图所示，将质量为mA=100g的平台A连接在劲度系数k=200N/m的弹簧上端，弹簧下端固定在地面上，形成竖直方向的弹簧振子，在A的上方放置mB=mA的物块B，使A、B一起上下振动，弹簧原长为5cm。A的厚度可忽略不计，g取10m/s2。求：(1)当系统做小振幅简谐振动时，A的平衡位置离地面C多高？(2)当振幅为0．5cm时，B对A的最大压力有多大？(3)为使B在振动中不脱离A，振幅应满足的条件。课程标准课标解读1．知道振幅、周期和频率的概念，知道全振动的含义．2．知道简谐运动的数学表达式，知道其中各物理量的意义．3．了解初相和相位差的概念，理解相位的物理意义．4．了解简谐运动的表达式中各量的物理意义，能依据简谐运动表达式描绘振动图象．1．知道振动物体的固有周期和固有频率，并正确理解与振幅无关．2．理解振幅、周期和频率的物理意义，了解相位、初相、相位差的概念．3．理解周期和频率的关系．4．掌握用公式描述简谐运动的方法．5．根据简谐振动的表达式、振动图象进行计算．第02讲 简谐运动的描述目标导航知识精讲知识点01 简谐运动的物理量1.简谐运动的物理量(1)振幅是指振动物体离开平衡位置的最大距离，通常用字母A表示，是标量．(2)振子完成一次完整的振动过程称为一次全振动，不论从哪一位置开始计时，弹簧振子完成一次全振动所用的时间总是相同的．(3)做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，叫做振动的周期，用字母T表示．其物理意义是表示物体振动的快慢．(4)单位时间内完成全振动的次数，叫做振动的频率，用字母f表示；其单位是赫兹，符号是Hz.(5)周期与频率的关系是T＝1/f.频率的大小表示振动的快慢．(6)用来描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态的物理量叫相位，当t＝0时的相位称做初相位，用字母φ表示．2．对振幅的理解(1)定义：振动物体离开平衡位置的最大距离叫做振动的振幅．在国际单位制中，振幅的单位是米(m)．(2)振幅是标量，只有大小，没有方向，是用来表示振动强弱的物理量．(3)同一振动系统，系统的能量仅由振幅决定，振动越强，振幅就越大，振动能量也越多．(4)振幅与位移、路程的区别①振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离，是标量；而位移是由平衡位置指向末位置的有向线段，是矢量；路程是运动路径的总长度，是标量．一个周期内的路程为振幅的四倍，半个周期内的路程为振幅的两倍．②当物体做简谐运动时，振幅是定值；位移的大小和方向时刻都在变化；路程则会持续不断地增加．3．对周期和频率的理解(1)周期(T)和频率(f)都是标量，反映了振动的快慢，T＝eq \f(1,f)，即周期越大，频率越小，振动越慢．(2)振动周期、频率由振动系统决定，与振幅无关．(3)全振动次数N与周期T和振动时间t的关系为N＝eq \f(t,T).【即学即练1】如图所示，弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点之间做简谐运动．B、C相距20 cm，某时刻振子处于B点．经过0.5 s，振子首次到达C点．求：(1)振子振动的周期和频率；(2)振子在5 s内通过的路程及位移大小．【解析】 (1)振子从B到C所用时间t＝0.5 s，为周期T的一半，所以T＝1.0 s；f＝eq \f(1,T)＝1.0 Hz.(2)设振幅为A，由题意BC＝2A＝20 cm，所以A＝10 cm.振子在1个周期内通过的路程为4A，故在t′＝5 s＝5T内通过的路程s＝eq \f(t′,T)×4A＝200 cm.5 s内振子振动了5个周期，5 s末振子仍处在B点，所以它的位移大小为0.【答案】 (1)1.0 s　1.0 Hz　(2)200 cm　0【归纳总结】 (1)振动物体在一个周期内通过的路程一定为四倍振幅，则在n个周期内通过的路程必为n·4A.(2)振动物体在半个周期内通过的路程一定为两倍振幅．(3)振动物体在eq \f(T,4)内通过的路程可能等于一倍振幅，还可能大于或小于一倍振幅，只有当初始时刻在平衡位置或最大位移处时，eq \f(T,4)内通过的路程才等于一倍振幅．知识点02 简谐运动的表达式简谐运动的一般表达式为x＝Asin(ωt＋φ)．1．x表示离开平衡位置的位移，A表示简谐运动的振幅，表示振动的强弱．2．式中ω叫做“圆频率”，它与周期频率的关系为ω＝eq \f(2π,T)＝2πf.可见ω、T、f相当于一个量，描述的都是振动的快慢．简谐运动的表达式也可写成：x＝Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)t＋φ))或x＝Asin(2πft＋φ)．3．式中(ωt＋φ)表示相位，描述做周期性运动的物体在各个不同时刻所处的不同状态，是描述不同振动的振动步调的物理量．它是一个随时间变化的量，相当于一个角度，单位为弧度，相位每增加2π，意味着物体完成了一次全振动．4．式中φ表示t＝0时简谐运动质点所处的状态，称为初相位或初相．5．相位差：即某一时刻的相位之差两个具有相同ω．的简谐运动，设其初相分别为φ1和φ2，其相位差Δφ＝(ωt＋φ2)－(ωt＋φ1)＝φ2－φ1.【即学即练2】一个质点做简谐运动的图像如图所示，下列叙述中正确的是(　　)A．质点的振动频率为4 HzB．在10 s内质点经过的路程为20 cmC．在5 s末，质点做简谐运动的相位为eq \f(3,2)πD．t＝1.5 s和t＝4.5 s两时刻质点的位移大小相等，都是eq \r(2) cm【解析】　由振动图像可直接得到周期T＝4 s，频率f＝eq \f(1,T)＝0.25 Hz，故选项A错误．一个周期内做简谐运动的质点经过的路程是4A＝8 cm,10 s为2.5个周期，故质点经过的路程为20 cm，选项B正确．由图像知位移与时间的关系为x＝Asin(ωt＋φ0)＝0.02sin(eq \f(π,2)t)m.当t＝5 s时，其相位ωt＋φ0＝eq \f(π,2)×5＝eq \f(5,2)π，故C项不正确．在1.5 s和4.5 s两时刻，质点位移相同，与振幅的关系是x＝Asin135°＝eq \f(\r(2),2)A＝eq \r(2) cm，故D项正确．【答案】　BD【即学即练3】有一弹簧振子在水平方向上的B、C之间做简谐运动，已知B、C间的距离为20 cm，振子在2 s内完成了10次全振动．若从某时刻振子经过平衡位置时开始计时(t＝0)，经过eq \f(1,4)周期振子有负向最大位移．(1)求该振子的振幅和周期；(2)画出该振子的位移—时间图象；(3)写出该振子的振动方程．【解析】　(1)弹簧振子在B、C之间做简谐运动，故振幅A＝10 cm，振子在2 s内完成了10次全振动，振子的周期T＝eq \f(t,n)＝0.2 s.(2)振子从平衡位置开始计时，故t＝0时刻，位移是零，经eq \f(1,4)周期振子的位移为负向最大，故其位移—时间图象如图所示．(3)由函数图象可知振子的位移与时间函数关系式为x＝10sin(10πt＋π) cm.【答案】　(1)10 cm　0.2 s　(2)图见解析 (3)x＝10 sin(10πt＋π) cm【归纳总结】 (1)为了写出简谐运动的表达式x＝Asin(ωt＋φ)，首先要明确表达式中各物理量的意义，找到各物理量对应的数值，根据ω＝eq \f(2π,T)＝2πf确定三个描述振动快慢的物理量间的关系，有时还需要画出其振动图象来解决问题．(2)在给定振动图象条件下，可由图象直接读出振幅A、初相φ0及周期T，从而写出位移与时间的关系式x＝Asin(ωt＋φ0)．知识点03 对全振动的理解1．全振动的定义：振动物体以相同的速度相继通过同一位置所经历的过程，叫做一次全振动．如图所示，从O点开始，一次全振动的完整过程为O→A→O→A′→O；从A点开始，一次全振动的完整过程为A→O→A′→O→A。2．注意把握全振动的四个特征(1)物理量特征：位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同．(1)时间特征：历时一个周期．(1)路程特征：振幅的四倍．(1)相位特征：增加2π.【即学即练4】如图所示，弹簧振子在A、B间做简谐运动，O为平衡位置，A、B间距离是20 cm，从A到B运动时间是2 s，则A．从O→B→O振子做了一次全振动B．振动周期为2 s，振幅是10 cmC．从B开始经过6 s，振子通过的路程是60 cmD．从O开始经过3 s，振子处在平衡位置【解析】　振子从O→B→O只完成半个全振动，A错误；从A→B振子也只是半个全振动，半个全振动是2 s，所以振动周期是4 s，B错误；6 s＝eq \f(3,2) T，所以振子经过的路程为4A＋2A＝6A＝60 cm，C正确；从O开始经过3 s，振子处在最大位移处A或B，D错误。【答案】　C【归纳总结】 解答这类题目的关键是理解简谐运动的对称性和周期性。在振子运动的一个周期内，振子往复通过同一点时，速度大小相等、方向相反；通过关于平衡位置对称的两点时，速度大小相等、方向相同或相反；往复通过同一段距离或通过关于平衡位置对称的两段距离时所用时间相等。【即学即练5】(多选)如图是一做简谐运动的物体的振动图象，下列说法正确的是(　　)A．振动周期是2×10－2 sB．物体振动的频率为25 HzC．物体振动的振幅为10 cmD．在6×10－2 s内物体通过的路程是60 cm 【解析】 周期在图象上是两相邻极大值间的时间间隔，所以周期是4×10－2 s，则A选项错误；又f＝eq \f(1,T)，所以f＝25 Hz，则B选项正确；正、负极大值的绝对值表示物体的振幅，所以振幅A＝10 cm，则C选项正确；t＝6×10－2 s＝1eq \f(1,2)T，所以物体通过的路程为4A＋2A＝6A＝60 cm，则D选项正确．【答案】 BCD能力拓展考法01 对振动表达式的理解【典例1】某做简谐运动的物体，其位移与时间的变化关系式为x＝10sin(5πt) cm，则：(1)物体的振幅为多少？(2)物体振动的频率为多少？(3)在时间t＝0.1 s时，物体的位移是多少？(4)画出该物体简谐运动的图象。【解析】 简谐运动的表达式x＝Asin(ωt＋φ)，比较题中所给表达式x＝10sin(5πt) cm可知：(1)振幅A＝10 cm。(2)物体振动的频率f＝eq \f(ω,2π)＝eq \f(5π,2π) Hz＝2.5 Hz。(3)t＝0.1 s时位移x＝10sin(5π×0.1)cm＝10 cm。(4)该物体筒谐运动的周期T＝eq \f(1,f)＝0.4 s，简谐运动图象如图所示。【答案】 (1)10 cm　(2)2.5 Hz　(3) 10 cm (4)见解析图【归纳总结】 简谐运动的表达式(1)简谐运动的位移和时间的关系也可用余弦函数表示成：x＝Acos[eq \f(π,2)－(ωt＋φ)]，注意：同一振动用不同函数表示时相位不同，而且相位是随时间变化的一个变量。(2)比较相位或计算相位差时，要用同种函数来表示振动方程，否则就会出错。考法02 根据简谐振动表达式求物理量【典例2】(多选)物体A做简谐运动的振动方程是xA＝3sin(100t＋eq \f(π,2))m，物体B做简谐运动的振动方程是xB＝5sin(100t＋eq \f(π,6))m。比较A、B的运动(　　)A．振幅是矢量，A的振幅是6 m，B的振幅是10 mB．周期是标量，A、B周期相等，都为100 sC．A振动的频率fA等于B振动的颍率fBD．A的相位始终超前B的相位eq \f(π,3)【解析】 振幅是标量，A、B的振动范围分别是6 m、10 m，但振幅分别为3 m、5 m，选项A错误；A、B的周期均为T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(2π,100) s＝6.28×10－2 s，选项B错误；因为TA＝TB，故fA＝fB，选项C正确；Δφ＝φA－φB＝eq \f(π,3)，为定值，选项D正确。【答案】 CD考法03 简谐运动的多解问题【典例3】(多选)一振子沿x轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点。t＝0时振子的位移为－0.1 m，t＝1 s时位移为0.1 m，则(　　)A．若振幅为0.1 m，振子的周期可能为eq \f(2,3) sB．若振幅为0.1 m，振子的周期可能为eq \f(4,5) sC．若振幅为0.2 m，振子的周期可能为4 sD．若振幅为0.2 m，振子的周期可能为6 s【解析】 若振幅为0.1 m，由题意知，Δt＝(n＋eq \f(1,2))T，n＝0，1，2，…，解得T＝eq \f(2,2n＋1)s，n＝0，1，2，…，A项正确，B项错误；若振幅为0.2 m，t＝0时，由质点简谐运动表达式y＝0.2 sin(eq \f(2π,T)t＋φ0)(m)可知，0.2 sinφ0(m)＝－0.1 m，t＝1 s时，有0.2 sin(eq \f(2π,T)＋φ0)(m)＝0.1 m，解得φ0＝－eq \f(π,6)或φ＝－eq \f(5π,6)；将T＝6 s代入0.2 sin(eq \f(2π,T)＋φ0)(m)＝0.1 m可得，D项正确；将T＝4 s代入0.2 sin(eq \f(2π,T)＋φ0)(m)＝0.1 m，得T＝4 s不满足题意，C项错误。【答案】 AD【归纳总结】 多解问题的原因1．周期性造成的多解问题：简谐运动是一种周期性的运动，其运动过程中每一个物理量都随时间周期性变化．因此，物体经过同一位置可以对应不同的时刻，物体的位移、加速度相同，而速度可能相同，也可能等大反向，这样就形成简谐运动的多解问题．2．对称性造成的多解问题：由于简谐运动具有对称性，因此当物体通过两个对称位置时，其位移、加速度大小相同，而速度可能相同，也可能等大反向，这种也形成多解问题．题组A 基础过关练1．(多选)一个质点经过平衡位置O，在A、B间做简谐运动，如图甲所示，它的振动图象如图乙所示，设向右为正方向，下列说法正确的是(　　)A．OB＝5 cmB．第0.2 s末质点的速度方向是A→OC．第0.4 s末质点的加速度方向是A→OD．第0.7 s末质点的位置在O点与A点之间E．在4 s内完成5次全振动【解析】 由题图乙可知振幅为5 cm，则OB＝OA＝5 cm，A项正确；由题图可知0～0.2 s内质点从B向O运动，第0.2 s末质点的速度方向是B→O，B项错误；由题图可知第0.4 s末质点运动到A点处，则此时质点的加速度方向是A→O，C项正确；由题图可知第0.7 s末质点位置在O与B之间，D项错误；由题图乙可知周期T＝0.8 s，则在4 s内完成全振动的次数为eq \f(4 s,0.8 s)＝5，E项正确。【答案】 ACE2．(多选)物体A做简谐运动的振动位移xA＝3sin(100t＋eq \f(π,2)) m，物体B做简谐运动的振动位移xB＝5sin(100t＋eq \f(π,6)) m．比较A、B的运动(　　)A．振幅是矢量，A的振幅是6 m，B的振幅是10 mB．周期是标量，A、B周期相等为100 sC．A振动的频率fA等于B振动的频率fBD．A的相位始终超前B的相位eq \f(π,3)【解析】 振幅是标量，A、B的振动范围分别是6 m、10 m，但振幅分别为3 m、5 m．A项错．A、B振动的周期T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(2π,100) s＝6.28×10－2 s，B项错；因TA＝TB，故fA＝fB，C项对；Δφ＝φA0－φB0＝eq \f(π,3)为定值，D项对，故选C、D项．【答案】 CD3．如图所示，弹簧振子的频率为5 Hz，让振子从B位置开始振动，并开始计时，则经过0.12 s时(　　)A．小球位于B、O之间，运动方向向右B．小球位于B、O之间，运动方向向左C．小球位于C、O之间，运动方向向右D．小球位于C、O之间，运动方向向左【解析】 因振子频率为5 Hz，则周期为0.2 s，题中所给的时间0.12 s＝eq \f(3,5)T＜T，而eq \f(T,2)＜eq \f(3,5)T＜eq \f(3,4)T，因此在0.12 s 时，振子应位于C、O之间且正向O运动，所以选项C正确，A、B、D错误．【答案】 C4．(多选)一个弹簧振子的振幅是A，若在Δt的时间内物体运动的路程是s，则下列关系中可能正确的是(包括一定正确的)(　　)A．Δt＝2T，s＝8A　　　　 B．Δt＝eq \f(T,2)，s＝2AC．Δt＝eq \f(T,4)，s＝2A D．Δt＝eq \f(T,4)，s>A【解析】 无论从哪个位置开始振动，每个全振动所通过的路程都为4A，每半个全振动通过的路程为2A，故A、B正确，C错误；若振子不是从最大位移处或平衡位置处出发，经过eq \f(T,4)通过的路程可能大于A，故D正确．【答案】 ABD5．一个质点在水平方向上做简谐运动的位移随时间变化的关系是x＝5sin 5πt cm，则下列判断正确的是(　　)A．该简谐运动的周期是0.2 sB．第1 s内质点运动的路程是100 cmC．0.4 s到0.5 s内质点的速度在逐渐减小D．t＝0.6 s时刻质点的速度为0【解析】 由简谐运动的位移随时间变化的关系式x＝5sin 5πt cm，知圆频率ω＝5π rad/s，周期T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(2π,5π)＝0.4 s，故A错误；eq \f(t,T)＝eq \f(1,0.4)＝2.5,1个周期内质点运动的路程4A＝20 cm，所以第1 s内质点运动的路程是s＝2.5×20 cm＝50 cm，故B错误；0.4 s到0.5 s内质点由平衡位置向最大位移处运动，速度减小，故C正确；t＝0.6 s时刻质点位移x＝5sin(5π×0.6)cm＝0，质点处于平衡位置，速度最大，故D错误．【答案】 C6．一个做简谐运动的质点，先后以同样大小的速度通过相距10 cm的A、B两点(如图)，且由A到B的过程中速度方向不变，历时0.5 s．过B点后再经过0.5 s质点以方向相反、大小相等的速度再次通过B点，则质点振动的周期是(　　)A．0.5 s B．1.0 sC．2.0 s D．4.0 s【解析】 由振动的对称性可知，AB的中点(设为O)为平衡位置，A、B两点对称分布于O点两侧．质点从平衡位置O向右运动到B的时间应为tOB＝eq \f(1,2)×0.5 s＝0.25 s．质点从B向右到达右方最大位移位置(设为D)的时间tBD＝eq \f(1,2)×0.5 s＝0.25 s．所以质点从O到D的时间tOD＝eq \f(1,4)T＝0.25 s＋0.25 s＝0.5 s，则T＝2.0 s，C正确．【答案】 C7．(2020-2021学年天津市第一中学高二(下)期末)如图所示，弹簧振子上下振动，白纸以速度v向左匀速运动，振子所带墨笔在白纸上留下如图曲线，建立如图所示坐标，y1、y2、x0、2x0为纸上印迹的位置坐标，则(　　)A．该弹簧振子的振动周期为2x0B．该弹簧振子的振幅为y1C．该弹簧振子的平衡位置在弹簧原长处D．该弹簧振子的角频率为【解析】 A．该弹簧振子的振动周期为，选项A错误；B．该弹簧振子的振幅为，选项B错误；C．该弹簧振子的平衡位置满足mg=kx0，则平衡位置不在弹簧原长处，弹簧处于伸长状态，选项C错误；D．该弹簧振子的角频率为，选项D正确。故选D。【答案】 D8．一物体沿x轴做简谐运动，振幅为8 cm，频率为0.5 Hz，在t＝0时，位移是4 cm，且向x轴负方向运动．则：(1)试写出用正弦函数表示的振动方程．(2)10 s内通过的路程是多少？【解析】 (1)简谐运动振动方程的一般表示式为x＝Asin(ωt＋φ)．根据题目条件，有A＝0.08 m，ω＝2πf＝π.所以x＝0.08sin(πt＋φ) m.将t＝0，x＝0.04 m，代入得0.04＝0.08sinφ，解得初相位φ＝eq \f(π,6)或φ＝eq \f(5,6)π，因为t＝0时，速度方向沿x轴负方向，即位移在减小，所以取φ＝eq \f(5,6)π.故所求的振动方程为x＝0.08sin(πt＋eq \f(5,6)π) m.(2)周期T＝eq \f(1,f)＝2 s，所以t＝5 T，因1T内的路程是4A，则通过的路程s＝5×4A＝20×8 cm＝1.6 m.【答案】 (1)x＝0.08sin(πt＋eq \f(5,6)π) m　(2)1.6 m9．如图所示为A、B两质点做简谐运动的位移—时间图象．试根据图象求：(1)质点A、B的振幅和周期；(2)这两个简谐运动的位移随时间变化的关系式；(3)在时间t＝0.05 s时两质点的位移．【解析】 (1)由题图知质点A的振幅是0.5 cm，周期为0.4 s，质点B的振幅是0.2 cm，周期为0.8 s.(2)由题中图象知，质点A的初相φA＝π，由TA＝0.4 s得ωA＝eq \f(2π,TA)＝5π rad/s则质点A的位移表达式为xA＝0.5sin(5πt＋π)cm质点B的初相φB＝eq \f(π,2)由TB＝0.8 s得ωB＝eq \f(2π,TB)＝2.5π rad/s则质点B的位移表达式为xB＝0.2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2.5πt＋\f(π,2)))cm.(3)将t＝0.05 s分别代入两个表达式得xA＝0.5sin(5π×0.05＋π)cm＝－0.5×eq \f(\r(2),2) cm＝－eq \f(\r(2),4) cmxB＝0.2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2.5π×0.05＋\f(π,2)))cm＝0.2sin eq \f(5,8)π cm.【答案】 见解析题组B 能力提升练1．用余弦函数描述一简谐运动，已知振幅为A，周期为T，初相φ＝－eq \f(1,3)π，则振动曲线为下图中的哪一个(　　)【解析】　根据题意可以写出振动表达式为x＝Acos(eq \f(2π,T)t－eq \f(π,3))，故选A项．【答案】　A2．一水平弹簧振子做简谐运动，周期为T，则(　　)A．若t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则Δt一定等于T的整数倍B．若t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动位移的大小相等、方向相反，则Δt一定等于eq \f(T,2)的整数倍C．若Δt＝T，则在t时刻和(t＋Δt)时刻振子振动的速度一定相等D．若Δt＝eq \f(T,2)，则在t时刻和(t＋Δt)时刻弹簧的长度一定相等【解析】 本题可以结合弹簧振子的运动示意图和振动图象进行分析。如图所示，图中的a、b、c三点位移大小相等、方向相同，显然Δt不一定等于T的整数倍，故选项A是错误的；图中的a、d两点的位移大小相等、方向相反，Δt<eq \f(T,2)，故选项B是错误的；在相隔一个周期T的两个时刻，振子只能位于同一位置，其位移相同，速度也相等，选项C是正确的；相隔eq \f(T,2)的两个时刻，振子的位移大小相等，方向相反，其位置关于平衡位置对称，弹簧分别处于压缩和拉伸状态，弹簧的长度并不相等，选项D是错误的。【答案】 C3．(多选)如图，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动．以竖直向上为正方向，物块做简谐运动的表达式为y＝0.1sin(2.5πt) m．t＝0时刻，一小球从距物块h高处自由落下；t＝0.6 s时，小球恰好与物块处于同一高度．重力加速度的大小g取10 m/s2.以下判断正确的是(　　)A．h＝1.7 mB．简谐运动的周期是0.8 sC．0.6 s内物块运动的路程是0.2 mD．t＝0.4 s时，物块与小球运动方向相反【解析】 t＝0.6 s时，物块的位移为y＝0.1sin(2.5π×0.6)m＝－0.1 m，则对小球h＋|y|＝eq \f(1,2)gt2，解得h＝1.7 m，选项A正确；简谐运动的周期是T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(2π,2.5π) s＝0.8 s，选项B正确；0.6 s内物块运动的路程是3A＝0.3 m，选项C错误；t＝0.4 s＝eq \f(T,2)，此时物块在平衡位置向下振动，则此时物块与小球运动方向相同，选项D错误．【答案】 AB4．(2020-2021学年北京四中高二(下)期中)(多选)有两个弹簧振子1和2做简谐运动：和，下列说法中正确的是(　　)A．两个弹簧振子1和2的振幅不同，频率不同B．两个弹簧振子1和2的振幅不同，频率相同C．弹簧振子1超前于弹簧振子2的相位是D．弹簧振子1落后于弹簧振子2的相位是【解析】 AB．1的振幅为3a，2的振幅为9a，所以两个弹簧振子1和2的振幅不同；1的频率为，2的频率为，所以两个弹簧振子1和2的频率相同，故A错误，B正确；CD．从公式可以看出弹簧振子1落后于弹簧振子2的相位是，故C错误；D正确。故选BD。【答案】 BD5．(2020-2021学年屯溪第一中学高二(下)期中)如图甲所示，弹簧振子以点O为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动。取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是( )A．t=0.8s，振子的速度方向向左B．t=0.2s时，振子在O点右侧6cm处C．t=0.4s和t=1.2s时，振子的加速度完全相同D．t=0.4s到t=0.8s的时间内，振子的速度逐渐减小【解析】 A．由图可知时，振子在平衡位置由正位移向负位移方向运动，即向左运动，速度方向向左，A正确；B．振动周期，振幅，由图像函数，可知，当时，，振子在O点右侧处，B错误；C．由图像可知和，振子分别在B、A两点，加速度大小相同，方向相反，C错误；D．到的时间内，振子由最大位移处相平衡位置运动，振子速度越来越大，D错误；故选A。【答案】 A6．(多选)一简谐振子沿x轴振动，平衡位置在坐标原点．t＝0时振子的位移x＝－0.1 m，t＝eq \f(4,3) s 时x＝0.1 m，t＝4 s时x＝0.1 m．该振子的振幅和周期可能为(　　)A．0.1 m，eq \f(8,3) s B．0.1 m,8 sC．0.2 m，eq \f(8,3) s D．0.2 m,8 s【解析】 若振子的振幅为0.1 m，eq \f(4,3) s＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋\f(1,2)))T(n＝0,1,2，…)，4 s－eq \f(4,3) s＝n1T(n1＝1，2，…)，则周期T的最大值为eq \f(8,3) s，故A符合题意，B不符合题意；若振子的振幅为0.2 m，由简谐运动的对称性可知，当振子由x＝－0.1 m处运动到负向最大位移处再反向运动到x＝0.1 m处，再经n个周期时所用时间为eq \f(4,3) s，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋n))T＝eq \f(4,3) s(n＝0,1,2，…)，所以周期的最大值为eq \f(8,3) s，且t＝4 s时刻x＝0.1 m，故C符合题意；当振子由x＝－0.1 m经平衡位置运动到x＝0.1 m处，再经n个周期时所用时间为eq \f(4,3) s，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)＋n))T＝eq \f(4,3) s(n＝0,1,2，…)，所以此时周期的最大值为8 s，且t＝4 s时，x＝0.1 m，故D符合题意．【答案】 ACD7．一个做简谐运动的弹簧振子，周期为T，振幅为A，已知振子从平衡位置第一次运动到x＝eq \f(A,2)处所用的最短时间为t1，从最大的正位移处第一次运动到x＝eq \f(A,2)处所用的最短时间为t2，那么下列关于t1与t2的大小关系正确的是(　　)A．t1＝t2 B．t1t2 D．t1＝2t2【解析】 根据振子远离平衡位置时速度减小，靠近平衡位置时速度增大，可知振子从平衡位置第一次以最短时间运动到x＝eq \f(A,2)处的平均速度大于从最大正位移处第一次运动到x＝eq \f(A,2)处的平均速度，而路程相等，则t1