2025年新高考数学高频考点+重点题型专题07函数的奇偶性和周期性含解析答案

这是一份2025年新高考数学高频考点+重点题型专题07函数的奇偶性和周期性含解析答案，共32页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列四个函数中既是奇函数，又是增函数的是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ）
A．B．
C．D．
3．设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．函数y=xcsx+sinx在区间[–π，π]的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
6．设f (x)＝ex＋e－x，g(x)＝ex－e－x，f (x)，g(x)的定义域均为R，下列结论错误的是（ ）
A．|g(x)|是偶函数B．f (x)g(x)是奇函数
C．f (x)|g(x)|是偶函数D．f (x)＋g(x)是奇函数
7．设函数，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在单调递增B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增D．是奇函数，且在单调递减
8．设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=，则当xf(x)的解集为 ．
44．设是定义在R上以2为周期的偶函数，当时，，则函数
在上的解析式是
45．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于 ．
46．设奇函数f（x）的定义域为R，最小正周期T=3，若f（1）≥1，，则a的取值范围是 .
47．设由函数是定义在上且周期为2的函数，，在区间上，，其中，若，则的值为 .
四、解答题
48．设f（x）=ex+ae-x（a∈R，x∈R）.
（1）讨论函数g（x）=xf（x）的奇偶性；
（2）若g（x）是偶函数，解不等式f（x2-2）≤f（x）.
49．已知函数是奇函数．
（1）求实数的值；
（2）若函数在区间上单调递增，结合函数图像求实数的取值范围．
参考答案：
1．D
【分析】分别判断四个选项的奇偶性与单调性即可得出答案.
【详解】对于A，定义域为，不关于原点对称，所以不具奇偶性，故A错误；
对于B，因为，，所以为非奇非偶函数，故B错误；
对于C，因为，，所以不是增函数，故C错误；
对于D，定义域为，
因为，
所以是奇函数，
，
令为增函数，
也是增函数，
所以是增函数.
故D正确.
故选：D.
2．D
【分析】由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解.
【详解】对于A，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；
对于B，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；
对于C，，则，
当时，，与图象不符，排除C.
故选：D.
3．B
【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.
【详解】由题意可得，
对于A，不是奇函数；
对于B，是奇函数；
对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：B
【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.
4．D
【分析】先根据函数解析式判断函数的奇偶性和单调性，再根据函数的奇偶性和单调性即可将不等式转化为对恒成立，根据恒成立问题求解即可.
【详解】解：的定义域为关于原点对称，
且，
为上的奇函数，
又，
而，
当且仅当，即时等号成立，
故恒成立，
故为上的增函数，
不等式对恒成立，
即对恒成立，
即对恒成立，
即对恒成立，
即对恒成立，
当时，不等式恒成立，
当时，则 ，
解得：，
综上所述：.
故选：D.
5．A
【分析】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在处的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.
【详解】因为，则，
即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，
据此可知选项CD错误；
且时，，据此可知选项B错误.
故选：A.
【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
6．D
【解析】利用奇偶性的定义，即可容易判断.
【详解】f (x)，g(x)的定义域均为R，故选项中所有函数的定义域均为，
f (－x)＝e－x＋ex＝f (x)，f (x)为偶函数．
g(－x)＝e－x－ex＝－g(x)，g(x)为奇函数．
|g(－x)|＝|－g(x)|＝|g(x)|，|g(x)|为偶函数，A正确；
f (－x)g(－x)＝f (x)[－g(x)]＝－f (x)g(x)，
所以f (x)g(x)为奇函数，B正确；
f (－x)|g(－x)|＝f (x)|g(x)|，
所以f (x)|g(x)|是偶函数，C正确；
f (x)＋g(x)＝2ex，
f (－x)＋g(－x)＝2e－x≠－[f (x)＋g(x)]，
所以f (x)＋g(x)不是奇函数，D错误.
故选：D.
【点睛】本题考查利用函数奇偶性的定义判断函数奇偶性，属基础题.
7．D
【分析】根据奇偶性的定义可判断出为奇函数，排除AC；当时，利用函数单调性的性质可判断出单调递增，排除B；当时，利用复合函数单调性可判断出单调递减，从而得到结果.
【详解】由得定义域为，关于坐标原点对称，
又，
为定义域上的奇函数，可排除AC；
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，排除B；
当时，，
在上单调递减，在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.
故选：D.
【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据与的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.
8．D
【分析】先把x0,代入可得，结合奇偶性可得.
【详解】是奇函数， 时，．
当时，，，得．故选D．
【点睛】本题考查分段函数的奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素养．采取代换法，利用转化与化归的思想解题．
9．D
【分析】根据定义在上的奇函数的性质求出的值，即可得到当时函数解析式，再判断其单调性，最后根据函数的奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；
【详解】解：为定义在上的奇函数，
因为当时，，
所以，
故，在，上单调递增，根据奇函数的性质可知在上单调递增，
因为，所以，
由不等式可得，，解可得，，
故解集为
故选：．
10．B
【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出值，再检验即可.
【详解】因为 为偶函数，则 ，解得，
当时，，，解得或，
则其定义域为或，关于原点对称.
，
故此时为偶函数.
故选：B.
11．D
【分析】根据偶函数的定义运算求解.
【详解】因为为偶函数，则，
又因为不恒为0，可得，即，
则，即，解得.
故选：D.
12．D
【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.
【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，
所以在上也是单调递减，且，，
所以当时，，当时，，
所以由可得：
或或
解得或，
所以满足的的取值范围是，
故选：D.
【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.
13．B
【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由的近似值即可得出结果．
【详解】设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又排除选项D；，排除选项A，故选B．
【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
14．B
【分析】先判断出的周期性，然后根据的周期性和奇偶性求得.
【详解】因为f（x）满足f（x+4）=f（x），所以f（x）是周期为4的函数，所以f（2021）=f（505×4+1）=f（1）=f（-3），因为f（x）是奇函数，且当x∈（2，4）时，f（x）=x3-3x，所以f（-3）=-f（3）=-（33-3×3）=-18，故f（2021）=-18.
故选：B
15．D
【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．
【详解】[方法一]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
所以．
[方法二]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．
所以．
故选：D．
【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．
16．C
【详解】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.
详解：因为是定义域为的奇函数，且，
所以,
因此，
因为，所以，
，从而，选C.
点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
17．A
【分析】函数的零点个数转化为两个函数图象交点的个数，转化条件为函数周期，当时，，根据周期性可画出它的图象，从图象上观察交点个数即可.
【详解】∵，则函数是周期的周期函数．
又∵函数是定义在上的偶函数，且时，，
∴当时，，
令，则函数的零点个数即为函数和的图象交点个数，
分别作出函数和的图象，如下图，
显然与在上有1个交点，在上有一个交点，
当时，，而，
所以或时，与无交点．
综上，函数和的图象交点个数为2，即函数的零点个数是2．
故选：A
18．B
【分析】由①可知函数为奇函数，由②可知图象关于对称，则函数为周期函数，周期为，然后利用周期性可知解出的值.
【详解】由①可知函数为奇函数，又，故，即函数的周期为3，
∴，解得.
故选：B.
【点睛】本题考查函数的性质的综合，常见的与函数的对称性、周期性有关的结论有：
①若，则函数图象关于对称；
②若函数，则函数图象关于点中心对称；
③若函数的图象关于点中心对称，且关于直线对称，则函数为周期函数，周期.
19．D
【分析】本题由不等式和，带入后得到即，即，可得，可得周期为1，即可得解.
【详解】因为对任意的，都有，，
所以，即.
又对任意的，，
所以，即，
所以，即，
所以，从而是周期为1的周期函数.
又，所以.
故选：D
20．B
【分析】判断出的奇偶性和周期性，从而判断出的减区间.
【详解】依题意知，f（x）是偶函数，且是以6为周期的周期函数.因为当x∈[0，3]时，f（x）单调递增，所以f（x）在[-3，0]上单调递减.根据函数周期性知，函数f（x）在[3，6]上单调递减.又因为[4，5]⊆[3，6]，所以函数f（x）在[4，5]上单调递减.
故选：B
21．D
【分析】运用复合函数的单调性：同增异减，结合指数函数的单调性和对称性，可判断A，B，C均错，D正确，得到答案．
【详解】函数，即，
可令，即有，
由在递增，在R上递增，
可得函数在R上为增函数，则A，B均错；
由，可得，
即有的图象关于点对称，则C错误，D正确．
故选D．
【点睛】本题主要考查了函数的性质和应用，其中解答中熟练应用复合函数的同增异减，结合指数函数的单调性和对称性求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．
22．A
【分析】法一：根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出．
【详解】[方法一]：赋值加性质
因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以
一个周期内的．由于22除以6余4，
所以．故选：A．
[方法二]：【最优解】构造特殊函数
由，联想到余弦函数和差化积公式
，可设，则由方法一中知，解得，取，
所以，则
，所以符合条件，因此的周期，，且，所以，
由于22除以6余4，
所以．故选：A．
【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；
法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解.
23．D
【分析】根据对称性和已知条件得到，从而得到，，然后根据条件得到的值，再由题意得到从而得到的值即可求解.
【详解】因为的图像关于直线对称，
所以，
因为，所以，即，
因为，所以，
代入得，即，
所以，
.
因为，所以，即，所以.
因为，所以，又因为，
联立得，，
所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，
所以
因为，所以.
所以.
故选：D
【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.
24．A
【分析】先分析函数的定义域排除C，再分析区间上，的符号，排除BD，即可得答案.
【详解】根据题意，，必有，则有，
在区间上，有，排除C，
在区间上，，，，排除BD.
故选：A.
25．D
【分析】依题意可得函数的周期性，根据周期将给定的数据转化到同一周期，再根据单调性可比较出大小.
【详解】∵偶函数满足，∴函数的周期为2.
由于，，，
.且函数在上单调递减，∴.
【点睛】本题考查函数周期性和单调性的应用，属于基础题.
26．D
【详解】由f(x)为奇函数可知，
＝0时，f(x)