2025年新高考数学高频考点+重点题型专题09指数与指数函数含解析答案

这是一份2025年新高考数学高频考点+重点题型专题09指数与指数函数含解析答案，共26页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若实数a>0，则下列等式成立的是（ ）
A．(－2)－2＝4B．2a－3＝
C．(－2)0＝－1D．
2．镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为，，．则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（ ）
A．甲同学和乙同学B．丙同学和乙同学
C．乙同学和甲同学D．丙同学和甲同学
3．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是℃，空气的温度是℃，经过分钟后物体的温度℃可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于的常数．现有℃的物体，放在℃的空气中冷却，分钟以后物体的温度是℃，则约等于（参考数据：）（ ）
A．B．
C．D．
4．设函数，则满足的x的取值范围是
A．B．C．D．
5．已知函数，则不等式的解集是（ ）．
A．B．
C．D．
6．已知函数则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
7．若，则函数的值域是（ ）
A．B．
C．D．
8．函数的图象的大致形状是（ ）
A．B．
C．D．
9．设函数，则满足的的取值范围是
A．B．
C．D．
10．设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
11．已知定义在R上的函数（m为实数）为偶函数，记a＝f（lg0．53），b＝f（lg25），c＝f（2m），则a，b，c的大小关系为（ ）
A．b＜a＜cB．c＜a＜bC．c＜b＜aD．a＜b＜c．
12．如果函数y＝a2x＋2ax－1（a＞0，a≠1）在区间[－1，1]上的最大值是14，则a的值为（ ）
A．3B．C．-5D．3或
13．若函数，且的图象恒过点，则
A．3B．1C．D．
14．下列各式比较大小正确的是( )
A．B．
C．D．
15．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
16．设函数与且在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则与的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
17．设实数，满足，，则，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．无法比较
18．已知a＞0，则（ ）
A．B．C．D．
19．已知函数（其中为自然对数的底数，…），若实数满足，则（ ）
A．B．C．D．
20．函数的值域是
A．B．
C．D．
21．已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象是（ ）
A．B．
C．D．
22．国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆、绿色场馆.并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤过程中废水的污染物数量与时间的关系为（为最初污染物数量）.如果前小时消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还需要（ ）小时.
A．B．C．D．
23．方程4x－2x＋1－3＝0的解是（ ）．
A．lg32B．C．lg23D．
24．函数的图像大致为 ( )
A．B．
C．D．
25．下列函数中最小值为4的是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
26．若函数，则下述正确的有（ ）
A． 在R上单调递增B．的值域为
C． 的图象关于点对称D． 的图象关于直线对称
27．已知（k为常数），那么函数的图象不可能是（ ）
A．B．
C．D．
28．函数的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
29．关于函数f(x)＝的性质，下列说法中正确的是（ ）
A．函数f(x)的定义域为R
B．函数f(x)的值域为(0，＋∞)
C．方程f(x)＝x有且只有一个实根
D．函数f(x)的图象是中心对称图形
30．已知，则（ ）
A．为奇函数B．为偶函数
C．在上单调递增D．在上单调递减
三、填空题
31．化简下列各式：
（1） =
（2）（=
（3 设，则的值为
32．函数的值域是 .
33．已知函数（为常数），若在区间上是增函数，则的取值范围是 .
34．已知函数是偶函数，则 .
35．已知函数，将函数的图象向右平移3个单位后，再向上平移2个单位，得到函数的图象，函数，若对任意的（），都有，则实数的最大值为 ．
36．已知则的值为 ．
37．写出一个同时满足下列两个条件的非常数函数
①当时，；②为偶函数
38．已知函数f(x)＝a|x＋1|(a＞0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则a的取值范围为 ，f(－4)与f（1）的大小关系是 ．
四、解答题
39．已知函数．
(1)若，求的单调区间
(2)若有最大值3，求的值
(3)若的值域是，求的值
40．已知函数f(x)＝3x－.
(1)若f(x)＝2，求x的值；
(2)判断x>0时，f(x)的单调性；
(3)若3tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈恒成立，求m的取值范围．
参考答案：
1．D
【解析】结合指数幂的运算性质计算即可.
【详解】对于A，(－2)－2＝，故A错误；
对于B，2a－3＝，故B错误；
对于C，(－2)0＝1，故C错误；
对于D，.
故选：D
【点睛】本题考查指数幂的基本运算，属于基础题
2．C
【分析】判断出，，的大小关系即可得出答案.
【详解】，．∵．∴．
又∵，，∴．
∴有．
又因为镜片折射率越高，镜片越薄，故甲同学创作的镜片最厚，乙同学创作的镜片最薄．
故选：C.
3．D
【分析】℃的物体，放在℃的空气中冷却，4分钟以后物体的温度是℃，则，从而，由此能求出的值．
【详解】由题知，℃的物体，放在℃的空气中冷却，4分钟以后物体的温度是℃，则，从而，
，得.
故选:D
【点睛】本题主要考查指数与对数的运算，考查了学生的阅读理解能力和运算求解能力.
4．D
【分析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有成立，一定会有，从而求得结果.
详解：将函数的图像画出来，观察图像可知会有，解得，所以满足的x的取值范围是，故选D.
点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果.
【详解】
5．D
【分析】作出函数和的图象，观察图象可得结果.
【详解】因为，所以等价于，
在同一直角坐标系中作出和的图象如图：
两函数图象的交点坐标为，
不等式的解为或.
所以不等式的解集为：.
故选：D.
【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题.
6．A
【分析】作出函数以及的大致图象，数形结合即可求解.
【详解】在同一坐标系中，作出函数以及的大致图象，

观察的区域，
由图象可知，在区间和上
，由此的解集.
故选：A
7．B
【分析】首先根据指数函数的单调性解不等式求出的取值范围，再利用指数函数的单调性即可求解.
【详解】因为，所以可化为，
由指数函数的单调性可得，
解得，所以，故函数的值域是.
故选：B
8．C
【分析】
分类讨论与，结合指数函数的单调性即可得解.
【详解】因为，
当时，，由于，所以在上单调递增，排除BD；
当时，，由于，所以在上单调递减，排除A；
而C选项满足上述性质，故C正确.
故选：C.
9．C
【详解】试题分析：令，则，当时，，由的导数为
，当时，在递增，即有，则方程无解；当时，成立，由，即，解得且；或解得，即为，综上所述实数的取值范围是，故选C.
考点：分段函数的综合应用.
【方法点晴】本题主要考查了分段函数的综合应用，其中解答中涉及到函数的单调性、利用导数研究函数的单调性、函数的最值等知识点的综合考查，注重考查了分类讨论思想和转化与化归思想，以及学生分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于难题，本题的解答中构造新的函数，利用新函数的性质是解答的关键.
10．D
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，
则有函数在区间上单调递减，因此，解得，
所以的取值范围是.
故选：D
11．B
【分析】先求出m＝0，进而判断出的图像过原点，且关于y轴对称，在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增．由0＜lg23＜lg25，即可得到c＜a＜b．
【详解】由函数为偶函数，
所以，即，解得m＝0，
即f（x）＝2|x|－1，其图像过原点，且关于y轴对称，在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增．
又a＝f（lg0．53）＝f（－lg23）＝f（lg23），b＝f（lg25），
c＝f（0），且0＜lg23＜lg25，所以c＜a＜b．
故选：B
12．D
【分析】利用换元法，令ax＝t，转化为二次函数，根据单调性由区间[－1，1]上的最大值是14，求出a的值.
【详解】令ax＝t，则．
当a＞1时，因为，所以，
又函数y＝（t＋1）2－2在上单调递增，
所以ymax＝（a＋1）2－2＝14，解得a＝3（a＝-5舍去）．
当0＜a＜1时，因为，所以，
又函数y＝（t＋1）2－2在上单调递增，
则ymax＝，
解得（舍去）．
综上知a＝3或．
故选：D
13．C
【分析】根据题意利用指数函数的单调性和特殊点可得，且，求得m和n的值，可得的值．
【详解】由题意，函数，且的图象恒过点，
所以，且，
解得，，，
故选C．
【点睛】本题主要考查了指数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数的图象与性质，合理应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
14．B
【分析】根据指数函数的单调性判断数的大小即可．
【详解】(A中，∵函数 在R上是增函数，
2．5