2025年新高考数学高频考点+重点题型专题12函数与方程含解析答案

这是一份2025年新高考数学高频考点+重点题型专题12函数与方程含解析答案，共27页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．已知函数，函数，则函数的零点个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．如图是函数f(x)的图象，它与x轴有4个不同的公共点.给出的下列四个区间之中，存在不能用二分法求出的零点，该零点所在的区间是（ ）
A．[－2.1，－1]B．[4.1，5]
C．[1.9，2.3]D．[5，6.1]
3．函数的零点一定位于区间（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数是定义在区间上的偶函数，且当时，，则方程根的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
5．函数，的零点个数是（ ）.
A．0B．1C．2D．3
6．函数的零点所在的大致区间为（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是
A．[–1，0）B．[0，+∞）C．[–1，+∞）D．[1，+∞）
8．函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．已知f(x)是奇函数并且是R上的单调函数，若函数y=f(2x2+1)+f(-x)只有一个零点，则实数的值是（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数，若函数在上有两个零点，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
11．若函数在区间（－1，1）上有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．（2，＋∞）D．（0，2）
12．已知，有下列四个命题：
：是的零点；
：是的零点；
：的两个零点之和为1
：有两个异号零点
若只有一个假命题，则该命题是（ ）
A．B．C．D．
13．设方程的两个根分别为，则
A．B．
C．D．
14．已知函数，若实数满足且，则的取值范围为（ ）
A．（6，16）B．（6，18）C．（8，16）D．（8，18）
15．已知函数，则函数的零点为（ ）
A．B．，0C．D．0
16．用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为时，所需二分区间的次数最少为（ ）
A．5B．6C．7D．8
17．函数f(x)=|x-2|-lnx在定义域内零点的个数为( )
A．0B．1C．2D．3
18．函数和存在公共点，则的范围为（ ）．
A．B．C．D．
19．函数f(x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．(2，＋∞)B．[2，＋∞)
C．D．
20．已知函数，，的零点分别为，则的大小关系是
A．B．
C．D．
21．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
22．定义域和值域均为[﹣a，a]（常数a＞0）的函数y＝f（x）和y＝g（x）的图象如图所示，方程g[f（x）]＝0解得个数不可能的是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、多选题
23．在下列区间中，函数一定存在零点的区间为（ ）
A．B．C．D．
24．已知函数若函数有且只有两个不同的零点，则实数的取值可以是（ ）
A．-1B．0C．1D．2
25．已知函数，若x1A．x1＋x2＝－1B．x3x4＝1
C．126．已知函数f (x)＝其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f (x)＝b有三个不同的根，则实数m可能的值有（ ）
A．2B．3C．4D．5
27．已知函数，实数是函数的一个零点．给出下列四个判断，其中可能成立的是（ ）
A．B．C．D．
28．在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，并是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔()，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
29．函数在所有零点之和为
30．用二分法求函数的一个零点，其参考数据如下：
据此数据，可得方程的一个近似解为 ．（精确到0.01）
31．已知函数f(x)＝lgax＋x－b(a＞0，且a≠1)．当2＜a＜3＜b＜4时，函数f(x)的零点为x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n= .
32．用二分法求函数在区间上的近似解，验证，给定精度为0.1，需将区间等
分 次.
33．设表示不超过实数的最大整数（如，），则函数的零点个数为 .
34．函数在区间内有零点，则实数k的取值范围是 .
35．已知一元二次方程x2＋ax＋1＝0的一个根在(0，1)内，另一个根在(1，2)内，则实数a的取值范围为 ．
36．若函数f (x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是 ．
37．已知函数，若方程有四个不同的根，则的取值范围是 ．
38．函数，如果方程有四个不同的实数解，，，，则 .
39．已知函数则函数的所有零点之和为 .
40．若函数有且仅有一个零点，则实数的取值为 ．
41．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则函数的所有零点的和为
四、解答题
42．已知函数，．
(1)若有零点，求的取值范围；
(2)试确定的取值范围，使得有两个相异实根．
43．已知函数有且仅有一个零点．
（1）求的值．
（2）求函数的零点．
参考答案：
1．A
【分析】求得的解析式，画出和的图象，根据两个函数图象交点的个数，判断出函数的零点个数.
【详解】依题意，
，
，
，
，
即.
画出和的图象如下图所示，由图可知，两个函数图象有个交点.
所以函数有个零点.
故选：A

【点睛】求解函数零点个数问题，可转化为两个函数图象交点个数来研究.
2．C
【分析】能用二分法求出的零点，必须在区间端点函数值异号，结合选项即可得解.
【详解】结合图象可得：ABD选项每个区间的两个端点函数值异号，可以用二分法求出零点，
C选项区间两个端点函数值同号，不能用二分法求零点.
故选：C
【点睛】此题考查二分法求零点方法的辨析，关键在于熟练掌握二分法的处理方法和适用条件.
3．C
【分析】根据零点存在性定理，若在区间有零点，则，逐一检验选项，即可得答案.
【详解】由题意得为连续函数，且在单调递增，
，，，
根据零点存在性定理，，
所以零点一定位于区间.
故选：C
4．D
【分析】将问题转化为与的交点个数，由解析式画出在上的图象，再结合偶函数的对称性即可知定义域上的交点个数.
【详解】要求方程根的个数，即为求与的交点个数，
由题设知，在上的图象如下图示，
∴由图知：有3个交点，又由在上是偶函数，
∴在上也有3个交点，故一共有6个交点.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：将问题转化为与的交点个数，利用数形结合思想及偶函数的对称性求交点的个数.
5．A
【分析】根据函数定义域，结合零点定义，即可容易判断和求解.
【详解】由于，，
因此不存在使得，
因此函数没有零点.
故选：.
【点睛】本题考查函数零点的求解，属简单题.
6．D
【分析】先利用导数证明函数在R上单调递减，再证明，即得解.
【详解】因为在上恒成立，
所以函数在R上单调递减，
，，
所以，
所以零点所在的大致区间为.
故选：D
【点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性，考查零点定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
7．C
【详解】分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程有两个解，将其转化为有两个解，即直线与曲线有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数的图像（将去掉），再画出直线，并将其上下移动，从图中可以发现，当时，满足与曲线有两个交点，从而求得结果.
详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，
再画出直线，之后上下移动，
可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，
并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，
即方程有两个解，
也就是函数有两个零点，
此时满足，即，故选C.
点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.
8．C
【分析】根据零点存在定理得出，代入可得选项.
【详解】由题可知：函数单调递增，若 一个零点在区间内，则需：，
即，解得，
故选：C.
【点睛】本题考查零点存在定理，属于基础题.
9．C
【分析】利用函数零点的意义结合函数f(x)的性质将问题转化为一元二次方程有等根即可.
【详解】依题意，函数y=f(2x2+1)+f(-x)的零点，即方程f(2x2+1)+f(-x)=0的根，
由f(2x2+1)+f(-x)=0得f(2x2+1)=-f(-x)，因f(x)是R上奇函数，
从而有f(2x2+1)=f(x-)，又f(x)是R上的单调函数，则有2x2+1=x-，
而函数y=f(2x2+1)+f(-x)只有一个零点，于是得2x2-x+1+=0有两个相等实数解，
因此得Δ=1-8(1+)=0，解得=，
所以实数的值是.
故选：C
10．A
【详解】由题意可得：
解得
故选
11．B
【分析】根据二次函数的性质，结合题意，列出不等式组，即可求得答案.
【详解】因为为开口向上的抛物线，且对称轴为，在区间（－1，1）上有两个不同的零点，
所以，即，解得，
所以实数a的取值范围是.
故选：B
12．A
【分析】首先假设，是真命题，则，均为假命题，不合题意，故，中必有一个假命题.然后分情况讨论是假命题和是假命题的两种情况，推出合理或者矛盾.
【详解】由题意，若，是真命题，则，均为假命题，不合题意，故，中必有一个假命题.
若是假命题，，是真命题，则的另一个零点为，此时为真命题，符合题意；
若是假命题，，是真命题，则的另一个零点为，此时为假命题，不符合题意.
故选:A.
【点睛】本题考查逻辑推理､命题真假､数的零点等问题，主要考查学生分析问题解决问题的能力.基本就是反证法解决问题，推出合理或矛盾.
13．D
【分析】对应函数的定义域为，两个根分别为，则得到，再根据
的范围得到，得到答案
【详解】则两个根分别为，则得到.
设则：，
两式相减得：
故
故答案选D
【点睛】本题考查了方程的解的范围，将解代入方程做减法是解题的关键.
14．B
【分析】作出函数的图象，求出的取值范围，可得出的取值范围，利用结合绝对值的性质可求得，由此可求得的取值范围.
【详解】作出函数的图象如下图所示：
当时，，
由图可知，，即，解得，则，
由，即，即，可得，
因此，.
故选：B
15．D
【分析】函数的零点，即令分段求解即可.
【详解】函数
当时，
令，解得
当时，
令，解得（舍去）
综上函数的零点为0.
故选：D.
16．C
【分析】由于长度等于1区间，每经这一次操作，区间长度变为原来的一半，那么经过次操作后，区间长度变为，若要求精确度为时则，解不等式即可求出所需二分区间的最少次数.
【详解】因为开区间的长度等于1，每经这一次操作，区间长度变为原来的一半，
所以经过次操作后，区间长度变为，
令，解得，且，
故所需二分区间的次数最少为7.
故选：C.
17．C
【详解】分别画出函数y＝ln x(x>0)和y＝|x－2|(x>0)的图像，可得2个交点，故f(x)在定义域中零点个数为2.
18．B
【分析】构造函数，结合函数单调性和零点存在定理可选出正确答案.
【详解】解：由题意知，有解，，
因为在上连续且在上单调递增，有，则解的范围为，
故选:B.
19．D
【分析】函数f(x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，即方程ax＝x2＋1在上有解，参变分离并构造函数求出值域,可得实数a的取值范围.
【详解】由题意知方程ax＝x2＋1在上有解，即a＝x＋在上有解，设t＝x＋，x∈，则t的取值范围是.∴实数a的取值范围是.
故选: D.
【点睛】本题考查函数的零点的应用,考查对勾函数的值域,考查函数与方程思想,属于中档题.
20．B
【分析】由函数，，的零点分别为，，，即函数令，，与函数的交点的横坐标分别为，，，作出函数的图象，结合函数的图象可判断.
【详解】在同一坐标系中作出函数的图象，如图所示：
由图可知x1＜x2＜x3.
故选:B.
21．C
【分析】利用图象法，根据有3个交点，即可求出m的范围.
【详解】画出f(x)＝的图象，如图：
．
由函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，结合图象得：0＜m＜1，即m∈(0，1)．
故选：C
22．D
【分析】由图象知有一个上的正根，结合图象可知根的个数.
【详解】因为时，有唯一解，
不妨设唯一解为，由图象可知，
则由g[f（x）]＝0可得，
因为，由图象可知，可能有1根，2根，3个根，不可能又4个根，
故选：D
【点睛】本题考查根的存在性及根的个数判断，函数的图象，考查逻辑思维能力，数形结合思想，属于中档题.
23．ABD
【分析】本题首先可通过求导得出函数在上是增函数、在上是减函数以及，然后通过函数的单调性以及零点存在性定理对四个选项依次进行判断，即可得出结果.
【详解】，，
当时，，函数在上是增函数；
当时，，函数在上是减函数，
，
A项：，，
因为，所以函数在内存在零点，A正确；
B项：，，
因为，，所以函数在内存在零点，B正确；
C项：，，，
因为，所以函数在内不存在零点，C错误；
D项：，，，
则函数在内存在零点，D正确，
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数零点所在区间的判断，考查零点存在性定理的应用，若函数在区间上满足，则函数在区间上有零点，考查利用导数求函数单调性，考查推理能力与计算能力，是中档题.
24．BCD
【分析】作出函数的图象如下图所示，将原问题转化为函数的图象与直线有两个不同的交点，根据图示可得实数的取值范围.
【详解】根据题意，作出的图像如下所示：
令，得，
所以要使函数有且只有两个不同的零点，
所以只需函数的图像与直线有两个不同的交点，
根据图形可得实数的取值范围为，
故选：．
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．
25．BCD
【分析】由解析式得到函数图象，结合函数各分段的性质有，，，即可知正确选项.
【详解】由函数解析式可得图象如下：

∴由图知：，，而当时，有，即或2，
∴，而知：，
∴，.
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：利用分段函数的性质确定函数图象，由二次函数、对数运算性质确定的范围及关系.
26．CD
【分析】在同一坐标系中，作y＝f (x)与y＝b的图象，利用数形结合法求解.
【详解】在同一坐标系中，作y＝f (x)与y＝b的图象．
当x>m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，
所以要使方程f (x)＝b有三个不同的根，
则有4m－m20.
又m>0，解得m>3.
故选：CD
27．ABD
【分析】在定义域(0，＋∞)上是单调减函数，分情况讨论，当f(a)，f(b)，f(c)都为负值，则a，b，c都大于d；当f(a)＞0，f(b)＞0，f(c)＜0，则a，b都小于d，c大于d，从而可判断出结果.
【详解】由在(0，＋∞)上单调递减，y＝lg2x在(0，＋∞)上单调递增，
可得在定义域(0，＋∞)上是单调减函数，
当0＜a＜b＜c时，f(a)＞f(b)＞f(c)，又因为f(a)f(b)f(c)＜0，f(d)＝0，
所以①当f(a)，f(b)，f(c)都为负值，则a，b，c都大于d，
②当f(a)＞0，f(b)＞0，f(c)＜0，则a，b都小于d，c大于d.
综合①②可得d＞c不可能成立．
故选：ABD
28．BCD
【分析】根据题中“不动点”函数所给定义，只需判断是否有解即可
【详解】对于A：由题意，所以，此方程无解，所以A中函数不是“不动点”函数；
对于B：由题意，即，记，因为，，，，由零点存在性定理知，函数在区间和区间上有零点，即方程有解，故B中函数是“不动点”函数；
对于C：由题意，解得：，所以C中函数是“不动点”函数；
对于D：，在同一直角坐标系下画出函数以及的图像，可确定两个函数的图像有交点，即方程有解，所以D中函数是“不动点”函数；
故选：BCD.
29．
【分析】化简函数为，令，求得方程的根，即可求解.
【详解】由，
令，即，解得或，
因为，所以或或，所以零点之和为.
故答案为：.
30．1.56
【分析】根据零点存在定理，可知零点在内，再根据二分法即可判断该方程的近似解且满足误差不超过0.005.
【详解】因为，，
根据零点存在性定理，可知零点在内，
由二分法可得零点的近似值可取为，
所以的一个零点的近似值可取为1.55935，误差不超过0.005．
故答案为：1.56
31．2
【分析】把要求零点的函数，变成两个基本初等函数，根据所给的a，b的值，可以判断两个函数的交点的所在的位置，同所给的区间进行比较，得到n的值.
【详解】设函数y=lgax，m=﹣x+b
根据2＜a＜3＜b＜4，
对于函数y=lgax 在x=2时，一定得到一个值小于1，而b-2>1，x=3时，对数值在1和2 之间，b-3<1
在同一坐标系中画出两个函数的图象，
判断两个函数的图形的交点在（2，3）之间，
∴函数f（x）的零点x0∈（n，n+1）时，n=2．故答案为2.
考点：二分法求方程的近似解；对数函数的图象与性质．
32．5
【详解】因为区间的长度为2，所以第一次等分后区间长度为1，第二次等分后区间长度为0.5，……第四次等分后区间长度为0.125<0.2，第五次等分区间后区间长度为0.0625<0.1，所以需要将区间等分5次.
故答案为5.
33．
【分析】问题等价于方程的解的个数，由可得出，然后分、、三种情况解方程，由此可得出结论.
【详解】函数的零点即方程的根，
函数的零点个数，即方程的根的个数.
，则.
当时，，则，解得；
当时，，则，解得或（舍）；
当时，，方程无解.
综上所述，函数有个零点.
故答案为：.
【点睛】本题考查方程根的个数的求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.
34．
【分析】根据题意将问题转化为与，的图象有交点，再由在上递增，可求得结果.
【详解】令，则，即，
即与，的图象有交点，
因为和在上递增，所以在上递增，
所以，即，
所以，
即实数k的取值范围是，
故答案为：
35．
【分析】根据一元二次方程根的分布得出结论．
【详解】设f (x)＝x2＋ax＋1，由题意知，解得－故答案为：.
36．
【分析】通过参变分离，转化为在上有解，转化为求函数t＝x＋，x∈的值域.
【详解】由题意知方程ax＝x2＋1在上有解，即在上有解．设t＝x＋，x∈，则t的取值范围是，所以实数a的取值范围是.
故答案为：.
37．
【分析】在时，求出的范围，再将方程的根转化为直线与函数图象交点横坐标，然后分段计算即可得解.
【详解】依题意，当时，在上单调递减，，当时，在上单调递增，，而，
当时，，，
方程有四个不同的根，即直线与函数图象有4个交点，如图，
其交点横坐标为，不妨令，观察图象知，，，
由得，即，则，
由，即得：是方程的两个不等实根，
于是得，，则，而在上是递增的，，
因此，，
所以的取值范围是.
故答案为：
38．
【分析】作出的图象，可得和的图象有四个不同的交点，不妨设交点横坐标，由，关于原点对称，，关于点对称，即可得到所求的和.
【详解】作出的图象，
方程有四个不同的实数解，等价为和的图象有四个不同的交点，不妨设交点横坐标为，，，且，
由，关于原点对称，，关于点对称，
可得，，
则，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了函数方程的转化思想，考查数形结合的思想以及对称性的运用，属于中档题.
39．
【分析】
利用分段函数，分类讨论，即可求出函数的所有零点，从而得解．
【详解】解：时，，，由，可得或，或；
时，，，由，可得或，或；
函数的所有零点为，，，，所以所有零点的和为
故答案为：．
40．0或
【分析】由题知方程的解仅有一个，注意按和分类讨论．
【详解】当时，函数为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点；
当时，函数为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程有两个相等实根．
∴，解得．
综上，当或时，函数仅有一个零点．
故答案为：0或.
41．3
【分析】先求出，再作出函数与的图象，数形结合分析即得解.
【详解】∵是定义在R上的奇函数，且当时，
∴当时，
则
即.
则
作出的图象如图所示：
∵的图象与的图象关于对称
∴作出的图象，由图象知与的图象有三个交点
即有三个根，其中一个根为1，另外两个根关于对称
即
则所有解的和为.
故答案为：3
42．(1)；
(2).
【分析】（1）利用函数单调性的定义判断函数在上的单调性，作出函数的图象，数形结合即可求解；
（2）由（1）知的最小值，根据二次函数的性质可求出的最大值，由题意可知与的图象有两个不同的交点，结合图象可知解不等式即可求解.
【详解】（1）任取，则，
当时，，，可得即，
当时，，，可得即，
所以在上单调递减，在上单调递增，，
作出函数图象如图：

若有零点，则有函数与图象有交点，
由图知：，故实数的取值范围为．
（2）若有两个相异实根，即与的图象有两个不同的交点．
因为，对称轴为，开口向下，
最大值为，
由（1）知：，
在同一平面直角坐标系中，作出和的图象，如图．

由图知当即时，
与的图象有两个不同的交点，即有两个相异实根，
所以实数的取值范围是.
43．（1）； (2).
【分析】(1)根据题意，得方程仅有一个实根，设，则仅有一正根，分别讨论，两种情况，即可得出结果；
(2)由(1)即可得出结果.
【详解】(1)因为有且仅有一个零点，
即方程仅有一个实根．
设，则仅有一正根.
当时，即，所以，
当时，；
当时， (不合题意，舍去)．
所以，符合题意．
当时，即或，
有两正或两负根，
即有两个零点或没有零点．
所以这种情况不符合题意．
综上可知：当时，有唯一零点．
(2)由(1)可知，该函数的零点为0.
【点睛】本题主要考查由函数零点个数求参数，以及求函数的零点，属于常考题型.