2025年新高考数学高频考点+重点题型专题20正弦、余弦、正切函数图像与性质含解析答案

这是一份2025年新高考数学高频考点+重点题型专题20正弦、余弦、正切函数图像与性质含解析答案，共32页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．函数在区间的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
2．函数的部分图像是（ ）
A．B．
C．D．
3．函数，的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
4．函数y=在[-2，2]上的图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
5．函数f(x)=在[—π，π]的图像大致为
A．B．
C．D．
6．函数在上的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
7．函数（且）的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
8．函数的零点的个数是（ ）
A．B．C．D．
9．对于函数.有下列说法：①的值城为；②当且仅当时，函数取得最大值；③函数的最小正周期是；④当且仅当时，.其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
10．函数的一个单调递增区间是（ ）
A． B．[0，π]C．[π，]D．[，2π]
11．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
12．已知，，则，，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
13．设，函数在区间上的最小值为，在上的最小值为，当a变化时，以下不可能的情形是（ ）
A．且B．且C．且D．且
14．已知函数对任意都有，且函数的图象关于对称，当时，.则下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．函数的图象关于直线对称
C．函数的最小正周期为2
D．当时，
15．函数的定义域是（ ）
A．B．
C．D．
16．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
17．函数的定义域为（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
18．设函数，则函数的最大值及取到最大值时的取值集合分别为（ ）
A．3，B．1，
C．3，D．1，
19．函数 的最大值与最小值分别为( )
A．3，－1B．3，－2
C．2，－1D．2，－2
20．已知函数，现有如下说法：
的图象关于直线对称；
为的一个周期；
在上单调递增．
则上述说法中正确的个数为（ ）
A．B．C．D．
21．函数的图象大致形如（ ）
A．B．C．D．
22．已知函数，则下列说法错误的是（ ）
A．的周期为
B．在上单调递增
C．的对称中心为
D．在上单调递减
23．下列函数中，是周期函数的为（ ）
A．B．
C．D．
24．已知函数f(x)＝tan x，则下列结论不正确的是（ ）
A．2π是f(x)的一个周期
B．＝
C．f(x)的值域为R
D．f(x)的图象关于点对称
25．函数在区间（，）内的图象是( )
A．B．C．D．
26．下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是
A．f(x)=│cs 2x│B．f(x)=│sin 2x│
C．f(x)=cs│x│D．f(x)= sin│x│
27．设，则
A．B．C．D．
28．函数的定义域是（ ）
A．B．
C．D．
29．函数的最大值为（ ）
A．1B．C．D．2
30．设函数f（x）=csx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
二、多选题
31．已知，且，则下列命题中成立的是（ ）
A．若，是第一象限角，则
B．若，是第二象限角，则
C．若，是第三象限角，则
D．若，是第四象限角，则
32．已知函数，下面结论正确的是
A．函数的最小正周期为B．函数在区间上是增函数
C．函数的图像关于直线对称D．函数是奇函数
33．设函数，则（ ）
A．B．的最大值为
C．在单调递增D．在单调递减
三、填空题
34．已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为 ， ．
35．函数的定义域为 .
36．关于函数f（x）=有如下四个命题：
①f（x）的图象关于y轴对称．
②f（x）的图象关于原点对称．
③f（x）的图象关于直线x=对称．
④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是 ．
37．函数的最小值为 ．
38．关于函数有如下四个命题：
①的图象关于轴对称.
②的图象关于原点对称.
③的图象关于直线对称.
④的图象关于点对称.
其中所有真命题的序号是 .
39．函数的最大值是 ，最小值是 .
40．函数的最大值为2，最小值为，则 ， .
41．函数的值域为 ．
42．函数（）的最大值是 ．
43．设，若不等式对于任意的恒成立，则的取值范围是 ．
44．已知函数，，有以下结论：①函数的最小正周期为；②函数的最大值为；③将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象；④将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象.其中正确结论的序号是 .
45．已知，，则 ．
46．已知，函数的图像与函数的图像交于点P，点P在x轴上的垂足为，直线交于点，则 .
四、解答题
47．已知函数
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若恒成立，求a的取值范围．
48．求下列函数的定义域.
（1）；
（2）.
参考答案：
1．A
【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】令，
则，
所以为奇函数，排除BD；
又当时，，所以，排除C.
故选：A.
2．A
【分析】先确定奇偶性，然后再考虑区间上函数值的正负，用排除法可得．
【详解】:因为，所以为偶函数，其图象关于轴对称，故可以排除B，D.又因为函数在上函数值为正，故排除C.
故选：A．
【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，解题方法是排除法，通过确定函数的性质如奇偶性、单调性、对称性等排除一些选项，再利用特殊的函数值，函数值的正负、变化趋势等排除一些选项，得出正确答案．
3．A
【分析】判断出函数的奇偶性排除B，D选项;由时，，排除C,可得答案.
【详解】由题知：，
所以为奇函数，故排除B，D.
又因为时，，排除C.
故选: A.
【点睛】本题考查函数的图象,考查函数奇偶性的应用,考查余弦函数的性质,考查学生数形结合思想,属于中档题.
4．B
【分析】利用同角三角函数的商数关系并注意利用正切函数的性质求得函数的定义域，可以化简得到，考察当趋近于0时，函数的变化趋势，可以排除A,考察端点值的正负可以评出CD.
【详解】,
当趋近于0时，函数值趋近于,故排除A;
,故排除CD,
故选：B
5．D
【分析】先判断函数的奇偶性，得是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．
【详解】由，得是奇函数，其图象关于原点对称．又．故选D．
【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．
6．A
【分析】利用奇函数的定义证得是奇函数，即可排除BC，利用当时，，排除D，从而得出结果.
【详解】因为，所以是奇函数，所以的图象关于点对称，故排除B、C；当时，，，所以当时，，排除D．
故选：A．
7．C
【分析】根据题意可将函数化简为，从而可求解.
【详解】由题意，，化简得，
根据函数的图象和性质，
可得在内为增函数且为正值，
在内为增函数且为负值，在内为减函数且为负值，故C正确.
故选：C.
8．B
【分析】令可得，作出函数、的图象，观察两函数图象的交点个数，即可得解.
【详解】令可得，则函数的零点个数即为函数、图象的交点个数，
分别作函数、的图象，如图，
由图可得交点个数为，
因此，函数的零点的个数是，
故选：B.
9．B
【分析】先对化简，然后作出的图像如图所示，利用函数的图像逐个分析判断即可
【详解】因为，作出函数的图像，如图所示：
所以，的值城为，①错误；
函数的最小正周期是，③错误；
当且仅当时，函数取得最大值，②正确；
当且仅当时，，④正确.
故选：B
【点睛】此题考查三角函数的图像和性质，解题的关键是化简函数解析式后准确的作出函数图像，属于中档题.
10．D
【分析】根据图像翻折变化得解.
【详解】将的图象位于x轴下方的图象关于x轴对称翻折到x轴上方，x轴上方(或x轴上)的图象不变，即得的图象(如图)．

故选：D.
11．D
【分析】根据诱导公式，得到，结合在上是增函数，即可求解.
【详解】由三角函数的诱导公式，可得，
因为，且在上是增函数
所以，即.
故选：D.
12．A
【分析】先利用诱导公式将不同名化同名比较与的大小，然后再比较与的大小，从而得出结论.
【详解】因为，且，
所以.
故选：.
【点睛】本题考查三角函数值大小的比较，较简单. 注意函数名的转化及三角函数单调性的应用.
13．D
【分析】根据给定条件，举例说明，排除不可能的选项作答.
【详解】因为函数的最小正周期是，因此只需考查离原点最近的右侧一个周期内的区间即可，
当时，，，而，，
因此在上的最小值，在上的最小值，A可能；
当时，，，
因此在上的最小值，在上的最小值，B可能；
当时，，，
因此在上的最小值，在上的最小值，C可能；
对于D，若，则，
若，则区间的长度，并且且，
即且与矛盾，所以D不可能.
故选：D
14．C
【分析】根据题中条件可得的周期为4且关于对称，结合时，，即可画出函数的图象，由图象即可逐一判断.
【详解】因为函数对任意都有，即恒成立，所以的周期为4.
因为函数的图象关于对称，所以将的图象向右平移一个单位，得到的图象，所以的图象关于对称，
故，因此的图象关于对称，
设，则，
因为函数对任意都有
所以，
所以 所以选项D错误.
作出的图象如图所示：
由图象可知，函数的图象关于点中心对称，关于直线对称，故A，B错误；
对于C：函数的图象可以看成的图象轴上方的图象保留，把轴下方的图象翻折到轴上方，所以函数的最小正周期为2.故C正确.
故选：C
15．D
【解析】利用负数不能开偶次方根，再由三角不等式的解法求解．
【详解】由，得，
解得．
所以函数的定义域是.
故选：D．
16．A
【分析】由条件即，由，得；反之不成立，可举反例．再由充分必要条件的判定得答案．
【详解】由，则，即
所以当时，由正弦函数的单调性可得，
即由可以得到.
反之不成立，例如当时，也有成立，但不成立.
故“”是“”的充分不必要条件
故选：A
【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）若 是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；
（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．
17．D
【分析】定义域要求根号下面的式子大于等于0，变形为，结合图像和周期可以求出定义域
【详解】
要使函数有意义，需，即，如上图所示，当时，令得：或，由图像可得，若，则，因为周期为，所以函数定义域为，
故选：D
18．C
【分析】直接由可求出的范围，从而可得其最大值，并得其取值集合
【详解】由于，
所以当时，函数有最大值为.
故选：C
【点睛】此题考查求含型的函数的最值，利用了的有界性，属于基础题.
19．D
【详解】分析：将化为，令，可得关于t的二次函数，根据t的取值范围，求二次函数的最值即可.
详解：利用同角三角函数关系化简，
设，则，
根据二次函数性质当时，y取最大值2，当时，y取最小值.
故选D.
点睛：本题考查三角函数有关的最值问题，此类问题一般分为两类，一种是解析式化为的形式，用换元法求解；
另一种是将解析式化为的形式，根据角的范围求解.
20．C
【分析】对于①，验证关于对称的点为是否在图像上即可.
对于②，验证是否成立即可.
对于③，根据复合函数的单调性，即可判断.
【详解】①设为上的任意一点，
则且此点关于对称的点为，
，
点不在函数上，故①错误；
②，
为的一个周期，故②正确；
③当时，单调递增且，
∵在上单调递增，
∴由复合函数的单调性，可知在上单调递增，故③正确．
∴说法正确的有2个.
故选：．
21．A
【分析】根据函数的奇偶性和函数值等知识确定正确答案.
【详解】依题意，
为偶函数，则为偶函数，
又，则.
故选A．
22．D
【分析】根据题意，由三角恒等变换可得函数的解析式，然后由正切函数的性质，对选项逐一判断即可.
【详解】因为，
则其周期为，故A正确；
当时，则，所以在上单调递增，故B正确；
令，则，所以的对称中心为，
故C正确；
因为正切函数只有单调递增区间，故D错误；
故选:D
23．B
【分析】分别做出四个函数的图像，观察图像，即可得到正确答案.
【详解】对于A：的图像为：

所以不是周期函数，故A不正确；
对于B：的图像为：

所以是周期函数，故B正确；
对于C：的图像为：

所以不是周期函数，故C不正确；
对于D：的图像为：

所以不是周期函数，故D不正确.
故选：B.
24．B
【分析】根据正切函数的性质判断．
【详解】A．(x)＝tan x的最小正周期为π，所以2π是f(x)的一个周期，所以该选项正确；
B．，＝－1，所以该选项不正确；
C．f(x)＝tan x的值域为R，所以该选项正确；
D．f(x)＝tan x的图象关于点对称，所以该选项正确．
故选：B．
25．D
【详解】解：函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|=
分段画出函数图象如D图示，
故选D．
26．A
【分析】本题主要考查三角函数图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养．画出各函数图象，即可做出选择．
【详解】因为图象如下图，知其不是周期函数，排除D；因为，周期为，排除C，作出图象，由图象知，其周期为，在区间单调递增，A正确；作出的图象，由图象知，其周期为，在区间单调递减，排除B，故选A．
【点睛】
利用二级结论：①函数的周期是函数周期的一半；②不是周期函数；
27．A
【分析】利用三角函数的诱导公式进行化简，结合余弦函数的单调性进行比较大小即可．
【详解】解：，
，
在上是减函数，
，
即，
故选：．
【点睛】本题主要考查三角函数值的大小比较，结合三角函数的诱导公式以及余弦函数的单调性是解决本题的关键，属于基础题．
28．D
【分析】由，解不等式可得结果.
【详解】由函数由意义得，
所以，，
所以，，
所以函数的定义域是.
故选：D
29．B
【分析】根据题意，将原式整理，得到，进而可求出结果.
【详解】因为，
由得，所以当时，，
故选：B.
【点睛】本题主要考查求含三角函数的二次式的最值，属于基础题型.
30．C
【分析】根据定义域为R的函数为偶函数等价于进行判断.
【详解】 时，, 为偶函数；
为偶函数时，对任意的恒成立，

，得对任意的恒成立，从而.从而“”是“为偶函数”的充分必要条件，故选C.
【点睛】本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.
31．BD
【分析】举反例判断A，C；利用角的范围，结合余弦函数以及正切函数的单调性可判断B，D.
【详解】对于A，不妨取，，满足题意，但是，A错误；
对于B，由，，因为，故，由于在上单调递减，故，B正确；
对于C，不妨取，，满足题意，而，C错误；
对于D，由，，因为，故，由于在上单调递增，故，D正确
故选：BD.
32．ABC
【分析】先化简函数，对于选项A,求出函数的最小正周期判断得解；对于选项B,利用复合函数的单调性分析判断；对于选项C,利用三角函数的奇偶性分析判断；对于选项D,利用函数的奇偶性判断得解.
【详解】由题意，可得，
对于选项A,,所以选项A正确；
对于选项B,在上是减函数，所以函数在区间上是增函数
,所以选项B正确；
对于选项C,,所以函数是偶函数，所以其图像关于直线对称，所以选项C正确；
对于选项D,由于函数是偶函数 ,所以选项D错误；
故选ABC
【点睛】本题主要考查诱导公式化简，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
33．AD
【解析】先证明为周期函数，周期为，从而A正确，再利用辅助角公式可判断B的正误，结合导数的符号可判断C D的正误．
【详解】的定义域为，且，
，故A正确．
又，令，
则，
其中，
故即，故，
当时，有，此时即，
故，故B错误．
，
当时，，故在为减函数，故D正确．
当时，，故，
因为为增函数且，而在为增函数，
所以在上为增函数，
故在有唯一解，
故当时，即，故在为减函数，故C不正确．
故选：AD
【点睛】方法点睛：与三角函数有关的复杂函数的研究，一般先研究其奇偶性和周期性，而单调性的研究需看函数解析式的形式，比如正弦型函数或余弦型函数可利用整体法来研究，而分式形式则可利用导数来研究，注意辅助角公式在求最值中的应用．
34．
【分析】根据正切函数单调性以及任意角的定义分析求解.
【详解】因为在上单调递增，若，则，
取，
则，即，
令，则，
因为，则，
即，则.
不妨取，即满足题意.
故答案为：.
35．
【解析】由题意得，解得即可.
【详解】由题意，要使函数有意义，则，即，
解得，
所以
所以函数的定义域为.
故答案为：.
【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，属于中档题.
36．②③
【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取可判断命题④的正误.综合可得出结论.
【详解】对于命题①，，，则，
所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误；
对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称，
，
所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确；
对于命题③，，
，则，
所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确；
对于命题④，当时，，则，
命题④错误.
故答案为：②③.
【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
37．.
【分析】本题首先应用诱导公式，转化得到二倍角的余弦，进一步应用二倍角的余弦公式，得到关于的二次函数，从而得解.
【详解】，
，当时，，
故函数的最小值为．
【点睛】解答本题的过程中，部分考生易忽视的限制，而简单应用二次函数的性质，出现运算错误．
38．①④
【分析】根据余弦函数的性质，由题中条件，逐项判断，即可得出结果.
【详解】对于①，定义域为，显然关于原点对称，
且，所以的图象关于y轴对称，命题①正确；
对于②，，，则，所以的图象不关于原点对称，命题②错误；
对③，，，则，所以的图象不关于对称，命题③错误；
对④，，，
则，命题④正确.
故答案为：①④.
【点睛】本题主要考查判定与三角函数有关命题的真假，熟记熟记余弦函数的性质即可，属于常考题型.
39．
【分析】将函数的解析式化为，由结合不等式的性质，即可得出的最大值和最小值.
【详解】
即，
故答案为：；
【点睛】本题主要考查了求含正弦函数的最值，属于中档题.
40．
【分析】根据已经列方程组，解出来即可.
【详解】解：由已知得，解得.
故答案为：；.
【点睛】本题考查正弦函数的最值，是基础题.
41．
【详解】在上是增函数，在上是减函数，所以最大值为，最小值为，值域为.
点睛：在正弦函数中，时，，当时，，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，掌握了这些性质变可求得在某个区间的最值，也即能求出值域.
42．1
【详解】化简三角函数的解析式，
可得
，
由，可得，
当时，函数取得最大值1．
43．
【详解】令 ，则不等式 对 恒成立，因此
44．①④
【分析】首先根据三角函数的恒等变换，利用诱导公式求出相应关系式，进一步求出相应周期和最值，及根据平移变换法则，写出相应关系式.
【详解】解：，.
因为，
所以的最小正周期为：，故结论①正确；
因为的最大值为，所以结论②不正确；
因为函数的图象向右平移个单位后得到函数的解析式为：
，所以结论③不正确；
因为函数的图象向左平移个单位后得到函数的解析式为：
，所以结论④正确.
故答案为：①④.
【点睛】本题考查三角函数的诱导公式的应用，三角函数的关系式的平移变换问题，属于基础题.
45．
【分析】由解析式已知为奇函数，利用奇函数性质有，即可求.
【详解】∵，
∴，即为奇函数，
∴，故.
故答案为：.
46．
【分析】根据图象可得，即为的值，根据题意，化简计算，即可得答案.
【详解】作出图象，如图所示：
则即为的值，
因为，即，
所以，解得或（舍），
所以.
故答案为：
47．(1)答案见解析.
(2)
【分析】（1）求导,然后令,讨论导数的符号即可;
（2）构造,计算的最大值,然后与0比较大小,得出的分界点,再对讨论即可.
【详解】（1）
令,则
则
当
当,即.
当,即.
所以在上单调递增,在上单调递减
（2）设
设
所以.
若,
即在上单调递减,所以.
所以当,符合题意.
若
当,所以.
.
所以,使得,即,使得.
当,即当单调递增.
所以当,不合题意.
综上,的取值范围为.
【点睛】关键点点睛:本题采取了换元,注意复合函数的单调性在定义域内是减函数,若,当,对应当.
48．（1）；（2）
【解析】根据定义域的求法，（1）根号下被开方数大于等于0（2）分母不为零，正切函数中，解三角不等式，即可求解定义域.
【详解】（1）要使函数有意义，必须使.
由正弦的定义知，就是角的终边与单位圆的交点的纵坐标是非负数.
∴角的终边应在轴或其上方区域，
∴.
∴函数的定义域为.
（2）要使函数有意义，必须使有意义，且.
∴
∴.
∴函数的定义域为.
【点睛】本题考查（1）函数定义域的求法（2）三角不等式的求法，属于基础题.