数学选择性必修 第二册5.1 导数的概念及其意义评课课件ppt

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函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作
或 , 即
由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)在x=x0处的导数的一般方法:
求函数的增量2. 求平均变化率3. 取极限得导数值
练习：(1)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．
(2)质点运动规律为s=t2+3，求质点在t=3的瞬时速度.
分析：先求Δf=Δy=f(1＋Δx)-f(1) =6Δx+(Δx)2
例3一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设ts时汽车的速度(单位:m/s)为y=v(t)=-t2+6t+60,求汽车在第2s与第6s时的瞬时加速度，并说明它们的意义.
分析：瞬时加速度是速度关于时间的瞬时变化率，因此，在第2s与第6s时，汽车的瞬时加速度分别为v'(2),v'(6).
在第2s与第6s时，汽车的瞬时加速度分别是2m/s2与-6m/s2.说明在第2s附近，汽车的速度每秒大约增加2m/s; 在第6s附近，汽车的速度每秒大约减少6m/s.
在曲线y=f(x)上任取一点P(x, f(x)),如果当点P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0,即Δx→0时,割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y=f(x)在点P0处的切线. (tangent line).
这个几何意义: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.
要注意,曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.
解：我们用曲线h(t)在t=t0, t1,t2处的切线斜率，刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况.(1)当t=t0时，曲线h(t)在t=t0处的切线l0平行于t轴，h'(t0)=0.这时,在t=t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降.(2)当t=t1时，曲线h(t)在t=t1处的切线l1的斜率h'(t1)<0.这时，在t=t1附近曲线下降，即函数h(t)在t=t1附近单调递减.(3)当t=t2时，曲线h(t)在t=t2处的切线l2的斜率h’(t2)<0.这时，在t=t2附近曲线下降，即函数h(t)在t=t2附近也单调递减.从图可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明曲线h(t)在t=t1附近比在t=t2附近下降得缓慢.
由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当x=x0时,f '(x0) 是一个确定的数.那么,当x变化时, f '(x)便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数(derived functin)(简称导数), y=f(x)的导函数有时也记作y'即:
因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.
求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:①求出P点的坐标;②利用切线斜率的定义求出切线的斜率;③利用点斜式求切线方程.
即点P处的切线的斜率等于4.
(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.
例7:在曲线y＝x2上求分别满足下列条件的切线方程：(1)平行于直线y＝4x－5；(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；(3)倾斜角为135°.分析:解此类题的步骤为：①先设切点坐标(x0，y0)；②求导函数f '(x)；③求切线的斜率f ' (x0)；④由斜率间的关系列出关于x0的方程,解方程求x0;⑤由于点(x0，y0)在曲线y＝f(x)上，将x0代入求y0，得切点坐标．
例7:在曲线y＝x2上求分别满足下列条件的切线方程,(1)平行于直线y＝4x－5；(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；(3)倾斜角为135°.
点评:此类题的易错之处是将切点的横坐标代入导函数来求切点坐标.