2025年新高考数学高频考点+重点题型专题22正弦定理、余弦定理含解析答案

这是一份2025年新高考数学高频考点+重点题型专题22正弦定理、余弦定理含解析答案，共40页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．已知△ABC中，，则b等于（ ）
A．2B．1C．D．
2．的内角，，所对的边分别是，，，已知，，，则
A．B．5C．D．
3．在中，，，，则的面积等于（ ）
A．B．C．D．
4．在中，，则（ ）
A．B．C．D．
5．中，，的对应边分别为，，，满足，则角的范围是（ ）
A．B．C．D．
6．在锐角中， ，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，当面积最大时，此时的为（ ）
A．直角三角形B．钝角三角形
C．等边三角形D．不能对形状进行判断
8．若锐角中，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，C．若，则△ABC为（ ）
A．直角三角形B．钝角三角形
C．锐角三角形D．等边三角形
10．设在中,角所对的边分别为, 若, 则的形状为 （ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定
11．在中，若 ，则=
A．1B．2 C．3D．4
12．在中，，，，则角的值为（ ）
A．B．C．D．或
13．在中，，且的面积为，则的长为（ ）．
A．B．2C．D．
14．在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a＝b，A－B＝，则角C＝（ ）
A．B．
C．D．
15．在△ABC中，csC=，AC=4，BC=3，则csB=（ ）
A．B．C．D．
16．在中，（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则的形状为
A．等边三角形B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形
17．已知锐角的内角的对边分别为，若，，则面积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
18．北京大兴国际机场（如图所示）位于中国北京市大兴区和河北省廊坊市交界处，为级国际机场、世界级航空枢纽、如图，天安门在北京大兴国际机场的正北方向处，北京首都国际机场在北京大兴国际机场北偏东16.28°方向上，在天安门北偏东47.43°的方向上，则北京大兴国际机场与北京首都国际机场的距离约为（ ）
（参考数据：，，）
A．B．
C．D．
二、多选题
19．在直角中，，角的平分线交于点，以下结论正确的是（ ）
A．B．C．D．的面积为
20．已知，，分别是三个内角，，的对边，下列四个命题中正确的是（ ）
A．若，则是锐角三角形
B．若，则是等腰三角形
C．若，则是等腰三角形
D．若，则是等边三角形
三、填空题
21．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C=60°，b=，c=3，则A= .
22．的内角的对边分别为，则
23．内角的对边分别为，若的面积为，则
24．记的内角的对边分别为，已知，若，则
25．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asin B＝bcs A．若a＝4，则周长的最大值为 ．
26．如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cs∠FCB= .
27．在中，，的角平分线交BC于D，则 ．
28．已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时， ．
29．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，且的面积为，则的内切圆的半径为 ．
30．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝，则的值为 ．
31．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝4，点D在边BC上，∠BAD＝45°，则tan∠CAD＝ ．
32．某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=，，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为 cm2．
四、解答题
33．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
34．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.
（1）若a=c，b=2，求的面积；
（2）若sinA+sinC=，求C.
35．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求的面积；
(2)若，求b．
36．记的内角的对边分别为，已知．
(1)证明：；
(2)若，求的周长．
37．记的内角的对边分别为，已知，求的最小值．
38．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）若，证明：△ABC是直角三角形．
39．在中，角所对的边分别为，且满足.
(1)求角；
(2)为边上一点，，且，求.
40．如图，在四边形中，，，，.
（1）若，求；
（2）记，当为何值时，的面积有最小值？求出最小值.
41．已知四边形中，与交于点，．
(1)若，，求；
(2)若，，求的面积．
42．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求B﹔
(2)若，求的值．
43．已知在中，．
(1)求；
(2)设，求边上的高．
44．记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．
(1)若，求；
(2)若，求．
45．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求的值；
（2）在边BC上取一点D，使得，求的值．
46．在中，角的对边分别为，已知 ．
（1）求的值；
（2）若，求的面积．
47．的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
参考答案：
1．D
【解析】直接用正弦定理求角．
【详解】由正弦定理，得.
故选：D．
【点睛】本题考查正弦定理，正弦定理一般解决两类问题：（1）已知两角及一角对边，求另一角的对边，（2）已知两边及一边对角，求另一边的对角．
2．A
【分析】求出，利用余弦定理，解方程即可求出结果.
【详解】因为，
所以，
又因为，，
所以，
即，
即，
解得.
故选：A.
【点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式，余弦定理，属于较易题.
3．D
【分析】由正弦定理余弦定理和三角形面积公式求解即可
【详解】由可得，
又，解得，，
又由可得，
所以的面积为，
故选：D
4．B
【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解.
【详解】因为，
所以由正弦定理得，即，
则，故，
又，所以.
故选：B.
5．A
【分析】化简已知不等式可得，利用余弦定理得，利用余弦函数的图像和性质可求的范围.
【详解】由，得：
，
化简得：，
同除以，利用余弦定理得，
所以.
故选：A
【点睛】本题考查了余弦定理、余弦函数的图像与性质，属于基础题.
6．B
【分析】根据三角形是锐角三角形和已知的角的关系得出，再由余弦函数的单调性得出，由正弦定理可得出选项.
【详解】由题得，
因为三角形是锐角三角形，
所以.
由正弦定理得.
所以.
故选：B.
【点睛】本题考查正弦定理、余弦函数的性质，求解时注意三角形是锐角三角形，得出角的范围，属于中档题.
7．C
【分析】由的面积最大，转化为求最大值，再由余弦定理，利用均值不等式，可得结果.
【详解】解：，当取最大值，面积最大，
由余弦定理可得，，
解得，当等号成立，
所以为等边三角形.
故选：C.
【点睛】本题考查了三角形面积公式、余弦定理、均值不等式等基本知识，考查了数学运算能力，转化与化归的思想，属于一般题型.
8．C
【分析】由已知可得，再由锐角可得的范围，由正弦定理可得，．从而可求．
【详解】解：因为锐角中，若，，所以
由正弦定理可得，
，
，
，即．
故选：．
9．B
【分析】由正弦定理得到，得出，进而，即可求解.
【详解】因为，由正弦定理可得，即，
又因为，
所以，即，
因为，所以，
所以，所以为钝角三角形.
故选：B.
10．B
【分析】利用正弦定理可得，结合三角形内角和定理与诱导公式可得，从而可得结果.
【详解】因为，
所以由正弦定理可得，
，
所以，所以是直角三角形.
【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题. 弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.
11．A
【详解】余弦定理将各值代入
得
解得或(舍去)选A.
12．C
【分析】由正弦定理可求出，结合大边对大角可求出角的值.
【详解】解：由正弦定理可得，即，解得，
所以或，由得，所以，
故选:C.
【点睛】本题考查了正弦定理的应用，属于基础题.
13．D
【分析】由三角形面积求得，再由余弦定理可求得．
【详解】由题意，∴，
由余弦定理是，．
故选：D．
【点睛】本题考查三角形面积公式和余弦定理，正弦定理和余弦定理是解三角形的两个基本定理，根据条件选择相应的公式是解题的基础．
14．B
【解析】由正弦定理得sin A＝sin B，再由角A、B的关系得cs B＝sin B，求得B＝，从而可得选项.
【详解】因为在ABC中，A－B＝，所以A＝B＋，所以sin A＝sin＝cs B，
因为a＝b，所以由正弦定理得sin A＝sin B，所以cs B＝sin B，所以tan B＝，
因为B∈(0，π)，所以B＝，所以C＝π－－＝，
故选：B．
【点睛】本题考查运用正弦定理进行边角互化，求解三角形，属于中档题.
15．A
【分析】根据已知条件结合余弦定理求得，再根据，即可求得答案.
【详解】在中，，，
根据余弦定理：
可得 ，即
由
故.
故选：A.
【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
16．B
【分析】由二倍角公式和余弦定理化角为边后变形可得．
【详解】∵，∴，，，整理得，∴三角形为直角三角形．
故选：B．
【点睛】本题考查三角形形状的判断，考查二倍角公式和余弦定理，用余弦定理化角为边是解题关键．
17．A
【分析】结合式子的特点，联系余弦定理，以及，表示出三角形ABC的面积，，结合三角函数的图像求出范围.
【详解】由于 ，， ，
且 ，所以 ，那么外接圆半径为 ，

由于 ，
所以 ，，
故 .
故选：A.
18．A
【分析】由题意可得，，，然后在中利用正弦定理求解即可
【详解】如图所示，由题意可得，，，
由正弦定理可得，即，
解得．
故选：A
19．BCD
【分析】根据角平分线和大角的余弦值，利用二倍角公式，可以求出平分后两个角的正余弦值，在两个直角三角形中，可求出各边的长度，判断A,C的正误，以及求出D选项中的三角形面积；结合角平分线定理可以确定B选项的正误
【详解】
如上图所示，
因为是角平分线，设，则，根据二倍角公式得：，且，所以，中，，所以，中，，故A错误，C正确
根据角平分线定理，，故B正确
因为，且，所以，
，故D正确，综上可得，BCD正确
故选：BCD
20．ACD
【分析】由两角和的正切公式结合诱导公式以及，，为的内角可判断A；由正弦定理化边为角结合正弦的二倍角公式可判断B；由正弦定理化边为角，逆用两角和的正弦公式可判断C；利用正弦定理化边为角结合同角三角函数基本关系可判断D，进而可得正确选项.
【详解】对于A，因为，所以，
所以，
因为，，为的内角，所以，，都是锐角，所以是锐角三角形，故选项A正确；
对于B：由及正弦定理，可得，
即，所以或，所以或，
所以是等腰三角形或直角三角形，故选项B错；
对于C：由及正弦定理化边为角，
可知，即，
因为，为的内角，所以，所以是等腰三角形，故选项C正确；
对于D：由和正弦定理化边为角，易知，所以，因为，，为的内角，所以，所以是等边三角形，故选项D正确；
故选：ACD.
21．
【详解】由正弦定理，得，结合可得，则.
【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.
第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.
第三步：求结果.
22．
【分析】已知等式利用正弦定理化简，整理得到关系式，再利用余弦定理求，即可得到答案.
【详解】因为，
利用正弦定理化简得，即，
所以，，所以.
故答案为：
23．
【分析】由余弦定理可得，根据条件结合三角形的面积公式可得从而可得答案.
【详解】由余弦定理可得，所以
的面积为
所以 即，由
所以
故答案为：
24．
【分析】根据条件得到，即可求出结果.
【详解】因为，，
所以，
而，所以.
故答案为：.
25．12
【分析】根据已知求出A＝．由余弦定理得16＝(b＋c)2－3bc，根据bc≤()2得到b＋c≤8，即得周长的最大值.
【详解】由正弦定理＝，
可将asin B＝bcs A转化为sin Asin B＝sin Bcs A．
又在中，sin B＞0，∴sin A＝cs A，
即tan A＝．
∵0＜A＜π，∴A＝．
由于a＝4，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccs A，
得16＝b2＋c2－2bc·＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，
又bc≤()2，∴(b＋c)2≤64，即b＋c≤8，（当且仅当时取等）
∴a＋b＋c≤12．
故答案为：12
【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
26．
【分析】在中，利用余弦定理可求得，可得出，利用勾股定理计算出、，可得出，然后在中利用余弦定理可求得的值.
【详解】，，，
由勾股定理得，
同理得，，
在中，，，，
由余弦定理得，
，
在中，，，，
由余弦定理得.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.
27．
【分析】方法一：利用余弦定理求出，再根据等面积法求出；
方法二：利用余弦定理求出，再根据正弦定理求出，即可根据三角形的特征求出．
【详解】
如图所示：记，
方法一：由余弦定理可得，，
因为，解得：，
由可得，
，
解得：．
故答案为：．
方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：，
由正弦定理可得，，解得：，，
因为，所以，，
又，所以，即．
故答案为：．
【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规．
28．/
【分析】设，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得解.
【详解】[方法一]：余弦定理
设，
则在中，，
在中，，
所以
，
当且仅当即时，等号成立，
所以当取最小值时，.
故答案为：.
[方法二]：建系法
令 BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系.
则C（2t,0），A（1，），B（-t,0）
[方法三]：余弦定理
设BD=x,CD=2x.由余弦定理得
，，
，，
令，则，
，
，
当且仅当，即时等号成立.
[方法四]：判别式法
设，则
在中，，
在中，，
所以，记，
则
由方程有解得：
即，解得：
所以，此时
所以当取最小值时，，即.

29．/
【分析】由三角形面积得到，利用余弦定理求得边，根据内切圆圆心的性质，结合三角形面积公式即可求得.
【详解】由题意,的面积为，可得，
由余弦定理，，则.
设的内切圆的半径为，
则，解得.
故答案为：.
30．3
【分析】利用正弦定理的边角互化即可求解.
【详解】解析：由正弦定理，
得＝，
即(csA－3csC)sinB＝(3sinC－sinA)·csB，
化简可得sin(A＋B)＝3sin(B＋C)，
又知A＋B＋C＝π，所以sinC＝3sinA，因此＝3．
故答案为：3
31．
【详解】在中，由余弦定理变式得，又，∴ ，∴ ，∴，故答案.
32．
【分析】利用求出圆弧所在圆的半径，结合扇形的面积公式求出扇形的面积，求出直角的面积，阴影部分的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆的面积求得.
【详解】设，由题意，，所以，
因为,所以，
因为，所以，
因为与圆弧相切于点，所以，
即为等腰直角三角形；
在直角中，，，
因为，所以，
解得；
等腰直角的面积为；
扇形的面积，
所以阴影部分的面积为.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背景，体现了五育并举的育人方针.
33．详见解析
【分析】方法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a,b的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解.
【详解】［方法一］【最优解】：余弦定理
由可得：，不妨设，
则：，即.
若选择条件①：
据此可得：，，此时.
若选择条件②：
据此可得：，
则：，此时：，则：.
若选择条件③：
可得，，与条件矛盾，则问题中的三角形不存在.
［方法二］：正弦定理
由，得．
由，得，即，
得．由于，得．所以．
若选择条件①：
由，得，得．
解得．所以，选条件①时问题中的三角形存在，此时．
若选择条件②：
由，得，解得，则．
由，得，得．
所以，选条件②时问题中的三角形存在，此时．
若选择条件③：
由于与矛盾，所以，问题中的三角形不存在．
【整体点评】方法一：根据正弦定理以及余弦定理可得的关系，再根据选择的条件即可解出，是本题的通性通法,也是最优解；
方法二：利用内角和定理以及两角差的正弦公式，消去角，可求出角，从而可得，再根据选择条件即可解出．
34．（1）；（2）.
【分析】（1）已知角和边，结合关系，由余弦定理建立的方程，求解得出，利用面积公式，即可得出结论；
（2）方法一 ：将代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有关角的三角函数值，结合的范围，即可求解.
【详解】（1）由余弦定理可得，
的面积；
（2）[方法一]：多角换一角
，
，
，
.
[方法二]：正弦角化边
由正弦定理及得．故．
由，得．
又由余弦定理得，所以，解得．
所以．
【整体点评】本题考查余弦定理、三角恒等变换解三角形，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.其中第二问法一主要考查三角恒等变换解三角形，法二则是通过余弦定理找到三边的关系，进而求角.
35．(1)
(2)
【分析】（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可；
（2）由正弦定理得，即可求解.
【详解】（1）由题意得，则，
即，由余弦定理得，整理得，则，又，
则，，则；
（2）由正弦定理得：，则，则，.
36．(1)见解析
(2)14
【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；
（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出，从而可求得，即可得解.
【详解】（1）证明：因为，
所以，
所以，
即，
所以；
（2）解：因为，
由（1）得，
由余弦定理可得，
则，
所以，
故，
所以，
所以的周长为.
37．
【分析】根据条件，得到，从而有，，再由正弦定理边转角并化简得到，即可求出结果.
【详解】因为，
所以，即，
所以，又，
所以，即有，所以
所以
．
当且仅当时取等号，所以的最小值为．
38．（1）；（2）证明见解析
【分析】（1）根据诱导公式和同角三角函数平方关系，可化为，即可解出；
（2）根据余弦定理可得，将代入可找到关系，
再根据勾股定理或正弦定理即可证出．
【详解】（1）因为，所以，
即，
解得，又，
所以；
（2）因为，所以，
即①，
又②， 将②代入①得，，
即，而，解得，
所以，
故，
即是直角三角形．
【点睛】本题主要考查诱导公式和平方关系的应用，利用勾股定理或正弦定理，余弦定理判断三角形的形状，属于基础题．
39．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理得到，再利用辅助角公式求出；
（2）分别在与中，利用正弦定理得到，再由余弦定理得到，从而求出.
【详解】（1）由，得.
由，
故
所以，
又因为，所以，故.
即，又，所以.
（2）由（1）知：
所以.
在中，；在中，.
又，代入得：.
由余弦定理得：，
所以.
40．（1）；（2），取最小值.
【分析】（1）在四边形中，根据，，，求得 ，然后在中，利用正弦定理求解.
（2）根据四边形内角和，得到，然后在中，利用正弦定理求得DC，同理在中，求得BC，然后利用，结合三角函数的性质求解.
【详解】（1）在四边形中，因为，
，，所以 ，
在中，可得，
又，，
由正弦定理得:，即，
解得：，.
（2）因为，可得，
因为四边形内角和，所以，
在中，，
在中，，
，
，
，
当时，取最小值.
【点睛】本题主要考查正弦定理在平面几何中的应用以及三角函数的性质的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
41．(1)
(2)
【分析】（1）在中由正弦定理求出，再根据同角三角函数的基本关系计算可得；
（2）依题意可得，根据数量积的运算律将上式两边平方，再结合余弦定理求出，由余弦定理求出，即可求出，最后根据面积公式计算可得.
【详解】（1）解：在中，由正弦定理得，
即，解得，
因为为钝角，所以，即；
（2）解：因为是中点，所以，
平方得，
由余弦定理得，
代入上式有，即，
解得，
所以，即，
所以．
42．(1)
(2)
【分析】（1）先由正弦定理角化边，再结合余弦定理即可求解；
（2）由切化弦结合三角恒等变换及正弦定理得，再由（1）中结论得到关于的齐次方程，即可求出，进而求得.
【详解】（1）由，可得，由正弦定理得，
即，由余弦定理得，因为，可得；
（2），则，
又，可得﹐又由（1），得，所以，所以，所以．
43．(1)
(2)6
【分析】（1）根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解；
（2）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根据等面积法求解即可.
【详解】（1），
，即，
又，
，
，
，
即，所以，
.
（2）由（1）知，，
由，
由正弦定理，，可得，
，
.
44．(1)；
(2).
【分析】（1）方法1，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面积公式求出，作出边上的高，利用直角三角形求解作答.
（2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答；方法2，利用向量运算律建立关系求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答.
【详解】（1）方法1：在中，因为为中点，，，

则，解得，
在中，，由余弦定理得，
即，解得，则，
，
所以.
方法2：在中，因为为中点，，，
则，解得，
在中，由余弦定理得，
即，解得，有，则，
，过作于，于是，，
所以.
（2）方法1：在与中，由余弦定理得，
整理得，而，则，
又，解得，而，于是，
所以.
方法2：在中，因为为中点，则，又，
于是，即，解得，
又，解得，而，于是，
所以.
45．（1）；（2）.
【分析】（1）方法一：利用余弦定理求得，利用正弦定理求得.
（2）方法一：根据的值，求得的值，由（1）求得的值，从而求得的值，进而求得的值.
【详解】（1）[方法一]：正余弦定理综合法
由余弦定理得，所以.
由正弦定理得.
[方法二]【最优解】：几何法
过点A作，垂足为E．在中，由，可得，又，所以．
在中，，因此．
（2）[方法一]：两角和的正弦公式法
由于，，所以.
由于，所以，所以.
所以
.
由于，所以.
所以.
[方法二]【最优解】：几何法+两角差的正切公式法
在（1）的方法二的图中，由，可得，从而．
又由（1）可得，所以．
[方法三]：几何法+正弦定理法
在（1）的方法二中可得．
在中，，
所以．
在中，由正弦定理可得，
由此可得．
[方法四]：构造直角三角形法
如图，作，垂足为E，作，垂足为点G．
在（1）的方法二中可得．
由，可得．
在中，．
由（1）知，所以在中，，从而．
在中，．
所以．
【整体点评】（1）方法一：使用余弦定理求得，然后使用正弦定理求得；方法二：抓住45°角的特点，作出辅助线，利用几何方法简单计算即得答案，运算尤其简洁，为最优解；（2）方法一：使用两角和的正弦公式求得的正弦值，进而求解；方法二：适当作出辅助线，利用两角差的正切公式求解，运算更为简洁，为最优解；方法三：在几何法的基础上，使用正弦定理求得的正弦值，进而得解；方法四：更多的使用几何的思维方式，直接作出含有的直角三角形，进而求解，也是很优美的方法.
46．（1）（2）
【详解】试题分析：（1）先根据三角形内角关系将角A化为B,C：;
再利用诱导公式求，代入化简得，解得（2）先由正弦定理得，即，再根据三角形面积公式得
试题解析：（1）因为，所以．
因为，
所以，
由题意，所以，
所以．
（2）由（1）知，所以．
由正弦定理得，所以，
又，
所以．
考点：诱导公式、两角和正弦公式，正弦定理
【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
第一步：定条件
即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.
第二步：定工具
即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.
第三步：求结果.
47．(1) ;(2).
【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据A,B,C均为三角形内角解得.
(2)根据三角形面积公式，又根据正弦定理和得到关于的函数，由于是锐角三角形，所以利用三个内角都小于来计算的定义域，最后求解的值域.
【详解】(1)
[方法一]【最优解：利用三角形内角和为结合正弦定理求角度】
由三角形的内角和定理得，
此时就变为．
由诱导公式得，所以．
在中，由正弦定理知，
此时就有，即，
再由二倍角的正弦公式得，解得．
[方法二]【利用正弦定理解方程求得的值可得的值】
由解法1得，
两边平方得，即．
又，即，所以，
进一步整理得，
解得，因此．
[方法三]【利用正弦定理结合三角形内角和为求得的比例关系】
根据题意，由正弦定理得，
因为，故，
消去得．
，，因为故或者，
而根据题意，故不成立，所以，
又因为，代入得，所以.
(2)
[方法一]【最优解：利用锐角三角形求得C的范围，然后由面积函数求面积的取值范围】
因为是锐角三角形，又，所以，
则．
因为，所以，则，
从而，故面积的取值范围是．
[方法二]【由题意求得边的取值范围，然后结合面积公式求面积的取值范围】
由题设及（1）知的面积．
因为为锐角三角形，且，
所以即
又由余弦定理得，所以即，
所以，故面积的取值范围是．
[方法三]【数形结合，利用极限的思想求解三角形面积的取值范围】
如图，在中，过点A作，垂足为，作与交于点．
由题设及（1）知的面积，因为为锐角三角形，且，
所以点C位于在线段上且不含端点，从而，
即，即，所以，
故面积的取值范围是．

【整体点评】(1)方法一：正弦定理是解三角形的核心定理，与三角形内角和相结合是常用的方法；
方法二：方程思想是解题的关键，解三角形的问题可以利用余弦值确定角度值；
方法三：由正弦定理结合角度关系可得内角的比例关系，从而确定角的大小.
(2)方法一：由题意结合角度的范围求解面积的范围是常规的做法；
方法二：将面积问题转化为边长的问题，然后求解边长的范围可得面积的范围；
方法三：极限思想和数形结合体现了思维的灵活性，要求学生对几何有深刻的认识和灵活的应用.