2025年新高考数学高频考点+重点题型专题29等差数列通项与前n项和公式含解析答案

这是一份2025年新高考数学高频考点+重点题型专题29等差数列通项与前n项和公式含解析答案，共34页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．记为等差数列的前项和，若，则（ ）
A．B．C．D．
2．和是两个等差数列，其中为常值，，，，则（ ）
A．64B．128C．256D．512
3．等差数列的前n项和为Sn ，若则
A．130B．170C．210D．260
4．等差数列,的前项和分别为,，若，则
A．B．C．D．
5．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
A．3699块B．3474块C．3402块D．3339块
6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S15>0，S160，S161，n∈N*)．
由{an}为等差数列，可知{bn}为等差数列．
选项A中，由a4为a2，a6的等差中项，得2a4＝a2＋a6，成立．
选项B中，由b4为b2，b6的等差中项，得2b4＝b2＋b6，成立．
选项C中，中，a2＝a1＋d，a4＝a1＋3d，a8＝a1＋7d.
由＝a2a8，可得(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋7d)，
化简得a1d＝d2，
又由d≠0，可得a1＝d，符合，成立．
选项D中，b2＝a3＋a4＝2a1＋5d，b4＝a7＋a8＝2a1＋13d，
b8＝a15＋a16＝2a1＋29d.
由＝b2b8，知(2a1＋13d)2＝(2a1＋5d)(2a1＋29d)，
化简得2a1d＝3d
又由d≠0，可得.
这与已知条件矛盾．
故选：ABC
24．16.
【分析】由题意首先求得首项和公差，然后求解前8项和即可.
【详解】由题意可得：，
解得：，则.
【点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程思想，灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程（组），如本题，从已知出发，构建的方程组.
25．5
【分析】若等差数列的各项均为正整数，则数列单增，公差，从而表示出，根据其单减性，求得最小值.
【详解】若等差数列的各项均为正整数，则数列单增，则公差，
故为正整数，关于d单减，
则当时，，当时，，不符；
故的最小值为5，
故答案为：5
26．0
【分析】根据题意可化简得出，再根据求和公式即可求出.
【详解】设数列公差为（），
由可得，则，
则，则可得，
所以.
故答案为：0.
27．
【分析】根据等差数列的前项和的计算公式，结合等差数列的性质及已知条件，即可求得结果.
【详解】.
故答案为：.
28． 0 1009或1008
【分析】根据等差数列的性质和求和公式公式可得，再求出与d的关系，可得，即可求出当或1008时，取得最大值
【详解】解：，，
，
，
，，
，
，
，
故当取得最大值时，或，
故答案为0，1009或1008．
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
29．
【分析】根据题意，由条件可得是以为首项，为公差的等差数列，再由等差数列的通项公式即可得到结果.
【详解】设等差数列的前项和为，则，所以是等差数列．
因为，所以的公差为，又，
所以是以为首项，为公差的等差数列，
所以，所以.
故答案为：
30．
【分析】首先根据题意求出，再根据等差数列的前n项即可求解.
【详解】解：由题意可知，，解得，又，则，
所以，.由，得，
解得或(舍)，故
故答案为：20.
31．2020
【分析】推导出是以﹣2018为首项，1为公差的等差数列．由此能求出S2020的值．
【详解】由等差数列的性质可得为等差数列．
设其公差为，则，∴．
故，
∴．
故答案为：2020. ．
【点睛】本题考查等差数列的前n项和公式的特点及求法，考查运算求解能力，是基础题．
32．
【详解】等式两边同时乘以a2a4a6a8得a2＋a4＋a6＋a8＝14，即2(a2＋a8)＝14，a2＋a8＝7，从而S9＝＝＝.
33．3
【分析】根据条件，分别令n=2，n=3求出a2=12-2a，a3=3+2a，再根据a1+a3=2a2，即可求出的值.
【详解】在中，因为a1=a，所以分别令n=2，n=3
得(a+a2)2=12a2+a2，(a+a2+a3)2=27a3+(a+a2)2，因为，所以a2=12-2a，a3=3+2a．
因为数列{an}是等差数列，所以a1+a3=2a2，即2(12-2a)=a+3+2a，解得a=3．
经检验a=3时，an=3n，Sn=，Sn-1=，满足Sn2=3n2an+ Sn-12．所以a=3．
故答案为：.
34．
【分析】首先判断出数列与项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.
【详解】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，
数列是以1首项，以3为公差的等差数列，
所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，
所以的前项和为，
故答案为：.
【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等差数列求和公式，属于简单题目.
35．
【分析】由等差数列的性质可得：．再利用已知即可得出．
【详解】由等差数列的性质可得：．
对于任意的都有，
则．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等差数列的性质，求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
36．(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列的通项公式建立方程求解即可；
（2）由为等差数列得出或，再由等差数列的性质可得，分类讨论即可得解.
【详解】（1），，解得，
，
又，
，
即，解得或（舍去），
.
（2）为等差数列，
，即，
，即，解得或，
，，
又，由等差数列性质知，，即，
，即，解得或（舍去）
当时，，解得，与矛盾，无解；
当时，，解得.
综上，.
37．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）设数列的公差为，根据题意列出方程组即可证出；
（2）根据题意化简可得，即可解出．
【详解】（1）设数列的公差为，所以，，即可解得，，所以原命题得证．
（2）由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以满足等式的解，故集合中的元素个数为．
38．(1)；(2)7.
【分析】(1)由题意首先求得的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；
(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.
【详解】(1)由等差数列的性质可得：，则：，
设等差数列的公差为，从而有：，
，
从而：，由于公差不为零，故：，
数列的通项公式为：.
(2)由数列的通项公式可得：，则：，
则不等式即：，整理可得：，
解得：或，又为正整数，故的最小值为.
【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.
39．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）设等差数列的公差为，用表示及，即可求解作答.
（2）方法1，利用（1）的结论求出，，再分奇偶结合分组求和法求出，并与作差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出，，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出，并与作差比较作答.
【详解】（1）设等差数列的公差为，而，
则，
于是，解得，，
所以数列的通项公式是.
（2）方法1：由（1）知，，，
当为偶数时，，
，
当时，，因此，
当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
方法2：由（1）知，，，
当为偶数时，，
当时，，因此，
当为奇数时，若，则
，显然满足上式，因此当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
40．(1)
(2)
【分析】（1）根据即可求出；
（2）根据错位相减法即可解出．
【详解】（1）因为，
当时，，即；
当时，，即，
当时，，所以，
化简得：，当时，，即，
当时都满足上式，所以．
（2）因为，所以，
，
两式相减得，
，
，即，．
41．（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）由已知得,且，取,得,由题意得,消积得到项的递推关系,进而证明数列是等差数列;
（2）由（1）可得的表达式,由此得到的表达式,然后利用和与项的关系求得.
【详解】（1）[方法一]：
由已知得,且，,
取,由得,
由于为数列的前n项积，
所以,
所以，
所以,
由于
所以，即,其中
所以数列是以为首项，以为公差等差数列;
[方法二]【最优解】：
由已知条件知 ①
于是． ②
由①②得． ③
又， ④
由③④得．
令，由，得．
所以数列是以为首项，为公差的等差数列．
[方法三]：
由，得，且，，．
又因为，所以，所以．
在中，当时，．
故数列是以为首项，为公差的等差数列．
[方法四]：数学归纳法
由已知，得，，，，猜想数列是以为首项，为公差的等差数列，且．
下面用数学归纳法证明．
当时显然成立．
假设当时成立，即．
那么当时，．
综上，猜想对任意的都成立．
即数列是以为首项，为公差的等差数列．
（2）
由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，
,
,
当n=1时，,
当n≥2时,,显然对于n=1不成立,
∴.
【整体点评】（1）方法一从得，然后利用的定义，得到数列的递推关系，进而替换相除消项得到相邻两项的关系，从而证得结论；
方法二先从的定义，替换相除得到，再结合得到，从而证得结论，为最优解；
方法三由，得，由的定义得，进而作差证得结论；方法四利用归纳猜想得到数列，然后利用数学归纳法证得结论．
（2）由（1）的结论得到，求得的表达式,然后利用和与项的关系求得的通项公式；
42．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）将已知递推关系移项配方整理可得，进而利用等差中项法证明数列是等差数列；
（2）利用裂项求和法求和化简后即得证.
【详解】解：（1）由结合数列各项均为正数 得
则，所以数列是等差数列；
（2），则公差
∴，
∴.
43．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）依题意可得，根据，作差即可得到，从而得证；
（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出，即可得到的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得．
【详解】（1）因为，即①，
当时，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以为公差的等差数列．
（2）[方法一]：二次函数的性质
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，当或时，．
[方法二]：【最优解】邻项变号法
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，即有.
则当或时，．
【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出的最小值，适用于可以求出的表达式；
法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．
44．证明过程见解析
【分析】选①②作条件证明③时，可设出，结合的关系求出，利用是等差数列可证；也可分别设出公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系，进行证明.
选①③作条件证明②时，根据等差数列的求和公式表示出，结合等差数列定义可证；
选②③作条件证明①时，设出，结合的关系求出，根据可求，然后可证是等差数列；也可利用前两项的差求出公差，然后求出通项公式，进而证明出结论.
【详解】选①②作条件证明③：
[方法一]：待定系数法+与关系式
设，则，
当时，；
当时，；
因为也是等差数列，所以，解得；
所以，，故.
[方法二] ：待定系数法
设等差数列的公差为d，等差数列的公差为，
则，将代入，
化简得对于恒成立．
则有，解得．所以．
选①③作条件证明②：
因为，是等差数列，
所以公差，
所以，即，
因为，
所以是等差数列.
选②③作条件证明①：
[方法一]：定义法
设，则，
当时，；
当时，；
因为，所以，解得或；
当时，，当时，满足等差数列的定义，此时为等差数列；
当时，，不合题意，舍去.
综上可知为等差数列.
[方法二]【最优解】：求解通项公式
因为，所以，，因为也为等差数列，所以公差，所以，故，当时，，当时，满足上式，故的通项公式为，所以，，符合题意.
【整体点评】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，选①②时，法一：利用等差数列的通项公式是关于的一次函数，直接设出，平方后得到的关系式，利用得到的通项公式，进而得到，是选择①②证明③的通式通法；法二：分别设出与的公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系，，进而得到；选①③时，按照正常的思维求出公差，表示出及，进而由等差数列定义进行证明；选②③时，法一：利用等差数列的通项公式是关于的一次函数，直接设出，结合的关系求出，根据可求，然后可证是等差数列；法二：利用是等差数列即前两项的差求出公差，然后求出的通项公式，利用，求出的通项公式，进而证明出结论.
45．（1）见解析；（2），．
【分析】(1)可通过题意中的以及对两式进行相加和相减即可推导出数列是等比数列以及数列是等差数列；
(2)可通过(1)中的结果推导出数列以及数列的通项公式，然后利用数列以及数列的通项公式即可得出结果．
【详解】(1)由题意可知，，，，
所以，即，
所以数列是首项为、公比为的等比数列，，
因为，
所以，数列是首项、公差为的等差数列，．
(2)由(1)可知，，，
所以，．
【点睛】本题考查了数列的相关性质，主要考查了等差数列以及等比数列的相关证明，证明数列是等差数列或者等比数列一定要结合等差数列或者等比数列的定义，考查推理能力，考查化归与转化思想，是中档题．
46．（1），；（2）.
【分析】（1）利用等差数列的性质结合已知条件得到是方程的两实根，从而求出； 再利用等差数列的通项公式求，，从而求和；
（2）根据求出，，，根据数列是等差数列得到，从而求出的值.
【详解】（1）因为数列为等差数列，所以，又，
所以是方程的两实根，
又公差，所以，所以，
所以，，所以，
所以，.
（2）由（1）知，所以，
所以，，，
因为数列是等差数列，所以，即，
所以，解得或(舍)，所以.
47．（1）；（2）λ=0.
【分析】（1）若λ=1，根据已知可得=，累乘可得，再根据与的关系即可得解；
（2）根据已知求得，再由数列{an}是等差数列，得，解得λ=0，代入已知，证明数列{an}时等差数列即可.
【详解】解：（1）若λ=1，则 ,，令n=1，得．
又因为，，所以=，
所以 ··=···，
即，所以①
所以当n≥2时，②
①-②，得，所以=2(n≥2)．当n=1时上式也成立．
所以数列{an}是首项为1、公比为2的等比数列，即．
（2）令n=1，得．令n=2，得．
要使数列{an}是等差数列，必须有，解得λ=0．
当λ=0时，，且．
当n≥2时，，
整理，得，则=，
从而·=·，
化简，得，即，所以．
综上所述，an=1(n∈N*)．
所以λ=0时，数列{an}是以1为公差的等差数列．