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人教A版（2019）高中数学选修三讲义12统计综合
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这是一份人教A版（2019）高中数学选修三讲义12统计综合，文件包含统计综合-讲义教师版docx、统计综合-讲义教师版pdf、统计综合-讲义学生版docx、统计综合-讲义学生版pdf等4份学案配套教学资源，其中学案共144页， 欢迎下载使用。
统计概率 一、 统计1. 随机抽样（一）简单随机抽样（1）概念：设一个总体有 个个体，从中逐个不放回地抽取 个个体作为样本（），如果每次抽 取时，总体内的各个个体被抽到的机会都相等，称这种抽样方法为简单随机抽样．（2）分类① 抽签法：把总体中的 个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一张号签，连续抽取 次，就得到一个容量为 的样本． ② 随机数表法：随机数表是由 这 个数字组成的数表，并且表中的每一位置出现各个数字 的可能性相同．通过随机数表，根据实际需要和方便使用的原则，将几个数组合成一组，然后通过随机数表抽取样本．（二）分层随机抽样（1）概念：当总体由有明显差别的几部分组成时，为了使抽取的样本更好地反映总体的情况，我们经常将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样或系统抽样（已删），这样的抽样方法叫做分层抽样．（2）步骤①分层，即将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分；②按比例确定每层抽取个体的个数；③各层抽样，即各层中采用简单随机抽样或系统抽样（已删）抽取相应的个数；④汇合成样本．（3）特点①适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；②更充分的反映了总体的情况；③它是等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都是 ．经典例题 已知某区中小学学生人数如图所示．为了解该区学生参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽 样的方法来进行调查．若高中需抽取 名学生，则小学与初中共需抽取的学生人数为 名． 小学生人初中生人高中生人 巩固练习某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为 ， ， ， 件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽 取 件． 2. 统计图表（一）频率分布直方图（1）列出样本数据的频率分布表和频率分布直方图的步骤① 计算极差：找出数据的最大值与最小值，计算它们的差；② 决定组距与组数：当样本容量不超过100时，按照数据的多少分成5~12组，且组距极差组数； ③ 将数据分组：通常对组内数值所在区间，取左闭右开区间，最后一组取闭区间；也可以将样本数据多取一位小数分组．④ 列频率分布表：对落入各小组的数据累计，算出各小数的频数，除以样本容量，得到各小组的频率． ⑤ 绘制频率分布直方图：以数据的值为横坐标，以（2）频率分布直方图的特点频率① 每个小长方形的面积 组距 组距 频率，② 所有小长方形的面积的和等于1，频率组距的值为纵坐标绘制直方图． ③ 小长方形的高频率组距，所有小长方形的高的和组距. （3）频率分布折线图将频率分布直方图各个长方形上边的中点用线段连接起来，就得到频率分布折线图，一般把折线图画成与横轴相连，所以横轴左右两端点没有实际意义．（二）茎叶图（1）制作茎叶图的步骤 ①将数据分为“茎”、“叶”两部分，需要注意的是茎叶图的“叶”，无论数据位数是几位，每个数据只能保留一个数字．因此当数据的位数多于两位时，“茎”的数据不再是一位；②将最大茎与最小茎之间的数字按大小顺序排成一列，并画上竖线作为分隔线；③将各个数据的“叶”在分界线的一侧对应茎处同行列出．（2）茎叶图的优点①没有原始信息的损失，所有的数据信息都可以从茎叶图中得到；②茎叶图可以在比赛时随时记录，方便记录与表示（三）扇形图（饼图）扇形统计图图（也称为饼图，饼形图）是用整个圆表示总数，用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系，即占总数的百分比． 换算公式圆心角的度数=百分比×360度作用使杂乱无章的数据变得清晰透彻 经典例题1. 今年 月，有关部门出台在疫情防控常态化条件下推进电影院恢复开放通知，规定低风险地区在电影院各项防控措施有效落实到位的前提下，可有序恢复开放营业，一批影院恢复开放后，统计某连续天的相关数据得到如下的统计表．其中，编号 的日期是周一，票房指影院票销售金额，观影人次相当于门票销售数量．由统计表可以看出，这连续 天内（ ）． 票房（万元） 观影人次（万次） 日期编号 A. B. C. D.周末日均的票房和观影人次高于非周末影院票房，第二周相对于第一周同期趋于上升观影人次，在第一周的统计中逐日增长量大致相同第一周每天的平均单场门票价格都高于 元 2. 某人退休前后各类支出情况如图，已知退休前工资收入为 元/月，退休后每月储蓄的金额比退休 前每月储蓄的金额少 元，则下面结论错误中的是（ ）． 退休前各类支出占比 储蓄 其它旅行衣食行 储蓄 衣食行 旅行 其它 支出类别 A. 该教师退休前每月储蓄支出 元 B. 该教师退休后的旅行支出是退休前旅行支出的 倍 C. 该教师退休工资收入为 元/月 D. 该教师退休后的其他支出比退休前的其他支出少 巩固练习 年 月 日，国家统计局公布了 年度居民人均消费支出的情况，并绘制了饼图，已知 年度和 年度居民在“其他用品及服务”中人均消费支出大约分别为 元和 元，现结合 年 度居民人均消费支出情况，下列结论中正确的是（ ）． 医疗保健教育文化娱乐其他用品及服务 元食品烟酒医疗保健教育文化娱乐其他用品及服务 元食品烟酒 交通通信生活用品及服务居住衣着交通通信生活用品及服务居住衣着 A.B.年度居民在“食品烟酒”项目的人均消费支出所占总额的百分率比年度居民人均消费支出约为 元年度的高 C. 年度和 年度居民在“生活用品及服务”项目上的人均消费支出相等 D. 年度居民人均消费支出比 年度居民人均消费支出有所降低 3. 用样本估计总体（一）集中趋势参数众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据； 中位数：将样本数据按大小顺序排列，若数据的个数为奇数，则最中间的数据为中位数，若样本数据个数为偶数，则取中间两个数据的平均数作为中位数．特别地，当根据频率分布直方图估算中位数时，先计算各直方代表的频率（面积），以此确认中位数（前后直方面积和都为 ）落在哪一个区域，然后根据中位数将直方总面积划分为两个 ，求算中位数的具体位置． 百分位数：一组数按照从小到大排列后为 ，计算 的值，如果 不是整数，设 为大于 的最小整数，取 为 分位数；如果i是整数，取 为 分位数．特别地，规定： 分位 数是 （即最小值）， 分位数是 （即最大值）．实际应用中，除了中位数外，经常使用的是 分位数（简称为第一四分位数）与 分位数（简称为第三四分位数）． 平均数：设样本的数据为 ,则样本的算术平均数为 ． （二）离散程度参数极差（又叫全距）是一组数据的最大值和最小值之差，反映一组数据的变动幅度；方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小；一般地，设样本的数据为，样本的平均数为 ，定义样本方差为 ； 简化公式： = （方差等于原数据 平方的平均数减去平均数的平方）标准差是方差的算术平方根．计算公式：，． 标准差越大数据离散程度越大，数据越分散；标准差越小，数据集中在平均数周围．（三）数字特征的性质 （1）平均数的性质： ① 如果两组数 和 的平均数分别是 和 ， 则一组数 的平均数是 ； ② 如果一组数 的平均数为 ，则一组 数 的平均数为 ． ③ 如果一组数 的平均数为 ，则一组数 的平均数为（2）方差的性质： ① 如果一组数的方差为 ，则一组数的方 差为 ； ② 如果一组数 的方差为 ，则一组数 的方差为 ． （3）利用频率直方图求平均数时，如果没有具体的数据，通常以直方图每个区间的中值点乘以该区间对应的频率求和所得.经典例题 1. 某学校鼓励学生参加社区服务，学生甲 年每月参加社区服务的时长（单位：小时）分别为 ， ， ， ，其均值和方差分别为 和 ，若 年甲每月参加社区服务的时长增加 小时，则 年甲参加社区服务时长的均值和方差分别为（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 2.年 月 日，国务院联防联控机制发布，国药集团中国生物的新冠病毒灭活疫苗已获药监局批准附条件上市，其保护效力达到世界卫生组织及药监局相关标准要求，现已对 至 岁的人提供．根据某地接种年龄样本的频率分布直方图（如下图）估计该地接种年龄的中位数为（ ）． 频率组距 年龄 岁 A. B. C. D. 3. 冬末春初，乍暖还寒，人们容易感冒发热．若发生群体性发热，则会影响到人们的身体健康，干扰 正常工作生产．某大型公司规定：若任意连续 天，每天不超过 人体温高于 ，则称没有发生 群体性发热，下列连续 天体温高于 人数的统计特征数中，能判定该公司没有发生群体性发热 的为（ ）． A. 中位数为 ，众数为 B. 均值小于 ，中位数为 C. 均值为 ，众数为 D. 均值为 ，标准差为 巩固练习1. 若三个数 ， ， 的方差为 ，则，，的方差为． 2. 气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续 天的日平均温度均不低于 ”．现有甲、乙、丙三地 连续 天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：①甲地： 个数据的中位数为 ，众数为 ；②乙地： 个数据的中位数为 ，总体均值为 ；③丙地： 个数据中有一个数据是 ，总体均值为 ，总体方差为 ；则肯定进入夏季的地区有（ ）． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 3. 设 ， ．随机变量 取值 、 、 、 、 的概率均为 ，随机变量 取值 、 、 、 、 的概率也为 ．若记 、 分别为 、 的方差，则（ ）． A. B. C. D.与 的大小关系与 、 、 、 的取值有关 4. 成对数据的统计相关性（一）相关关系两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系.成对样本数据都可用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成散点图．如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个变量正相关；如果当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量负相关．（二）线性相关一般地，如果两个变量地取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关．（三）线性相关系数 对于变量 与 随机抽取到的 对数据 可利用相关系数 来衡量 两个变量之间的线性相关关系 , 线性相关系数的具体计算公式为 当 时 , 表明两个变量正相关． 当 时 , 表明两个变量负相关． 越接近于 , 表明两个变量的线性相关性越强．越接近于 , 表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系． 通常 , 当 大于 时 , 我们认为两个变量存在着很强的线性相关关系． （四）相关系数与标准化数据向量夹角的余弦（新增，了解） 当 时，相关系数的计算公式可以改写为标准化数据的形式 此时，如果令 ， ，则相关系数 等于标准化数据 向量 与 的夹角的余弦，即 类似地，当时，相关系数仍等于两个向量夹角的余弦，只不过，此时两个向量分别为, 一般地， ,都称为 维向量，如果按照类似 维与 维的情况定义向量的内积和模，则相关系数 总是等于两个标准化数据向量夹角的余弦.5. 一元线性回归模型（一） 一元线性模型的表示当变量 和变量 线性关系较强时，可以用一次函数来刻画变量 队变量 的影响，而把其他影响 的因素作为随机误差，得到刻画两个变量之间的线性回归模型．我们称该式为 的一元线性回归模型．其中， 称为因变量或者响应变量， 称为自变量或解释变量； 称为截距参数， 称为斜率参数．（二）最小二乘法 对于一组具有线性相关关系的数据： ， ， ， ， ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘法估计分别为： 其中 ， ， 称为样本点的中心，位于回归直线上． 我们将 称为 关于 的经验回归方程，也称为经验回归函数或者经验回归公式，其图形 称为经验回归直线，这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的 和 叫做 ， 的最小二乘估计. （三）一元线性模型拟合程度的评价（拓展）（1）相关系数法计算出线性相关系数 ， 越接近 ，模型拟合程度越好.（2） 残差分析对于响应变量 ，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的 称为预测值，观测值减去预测值称为残差．残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析．简单地，可以变量 对残差作散点图，若残差比较均匀地分布在横轴两侧，说明模型拟合程度较好．（四）利用一元线性回归分析处理非线性问题（拓展）根据散点图的分布，若呈现的是非线性相关关系，我们可以根据散点的分布形状选择其他函数模型，然后利用代数转化手段，将非线性函数转化为线性函数. 例如：幂函数型 可以移项后取对数： ; 做变换 此时原式子变为线性函数 将原点数据 转化为 ，然后根据线性回归模型求解. 如果确知 ，则可以将 直接整体代换. 同学们也可自己尝试下列这些非线性函数的处理： （1）指数函数型： （2）二次函数型 经典例题1. 某车间为了提高工作效率，需要测试加工零件所花费的时间，为此进行了 次试验，这 次试验的数据如下表：零件数 （个）加工时间 （ ） 若用最小二乘法求得回归直线方程为 ，则 的值为 ． 2. 我国为全面建设社会主义现代化国家，制定了从 年到 年的“十四五”规划．某企业为响应国 家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备增加研发资金．现该企业为了了解年研发资金投入额（单位：亿元）对年盈利额 （单位：亿元）的影响，研究了“十二五”和“十三五”规划发展期间近年年研发资金投入额 和年盈利额 的数据．通过对比分析，建立了两个函数模型：① ，② ，其中 ， ， ， 均为常数， 为自然对数的底数．令 ， ，经计算得如下数据： （ 1 ）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？（ 2 ）解答下列各题． 1 根据（ ）的选择及表中数据，建立 关于 的回归方程．（系数精确到 ） 2 若希望 年盈利额 为 亿元，请预测 年的研发资金投入额 为多少亿元？ （结果精确到 ）附：①相关系数，回归直线中： ， ． ②参考数据： ， ． 巩固练习1. 已知某品牌的新能源汽车的使用年限 （年）与维护费用 （千元）之间有如表数据：使用年限 （年）维护费用 （千元） 与 之间具有线性相关关系，且 关于 的线性回归方程为 （ 为常数） 据此估计，使用年限为 年时，维护费用约为 千元． （参考公式：线性回归方程中的系数． ， ）． 2. 某公司为研究某种图书每册的成本费 （单位：元）与印刷数 （单位：千册）的关系，收集了一些数据并进行了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值． 每册书的成本 元 印刷数 千册 表中 ， ． （ 1 ）根据散点图判断： 与 哪一个模型更适合作为该图书每册的成本费 与印 刷数量 的回归方程？（只要求给出判断，不必说明理由）（ 2 ）根据（ ）的判断结果及表中数据，建立 关于 的回归方程（结果精确到 ）．（ 3 ）若该图书每册的定价为 元，则至少应该印刷多少册才能使销售利润不低于元？（假 设能够全部售出，结果精确到 ） 附：对于一组数据 ， ， ， ，其回归直线 的斜率和截 距的最小二乘估计分别为 ． 6. 2×2列联表和独立性检验（一）2×2列联表取不同的 " 值 " 表示个体所属不同类别的变量称为分类变量．例如变量是否吸烟，变量取值包括”吸烟“、“不吸烟”． 如果两个分类变量是 和 , 它们的值域分别是 和 , 其样本频数 列联表如 下： 总计 总计 （二）独立性检验利用随机变量( 其中为样本容量 ) 来确 定在多大程度上可以认为 " 两个分类变量有关系 " 的方法称为两个分类变量的独立性检验． 因此假设： 没有关系 , 则越小 , 说明 之间的关系越弱．，, 构造随机变量其中．若 成立 , 则 应该很小；若 很大 , 说明有关系的可能性很 大 ．（三）附表以下表格中的数据的含义为：对于两个独立的变量，出现的情况的可能性有多大． 也即：如果一旦出现了 的情况，我们就有 的把握说明，两事件相关． 在统计中，常用以下结果对变量的独立性进行判断： （1）当 时，没有充分的证据判定变量 有关系，可以认为变量 是没有关系的（二者 独立的可能性超过 ）； （2）当 时，有 的把握判定变量 有关系； （3）当 时，有 的把握判定变量 有关系； （4）当 时，有 的把握判定变量 有关系． 经典例题有关研究表明，正确佩戴安全头盔，规范使用安全带能够将交通事故死亡风险大幅降低，对保护群 众生命安全具有重要作用． 年 月，“一盔一带”安全守护行动在全国各地开展．行动期间，公安 交管部门将加强执法管理，依法查纠摩托车和电动自行车骑乘人员不佩戴安全头盔，汽车驾乘人员不使用安全带的行为，助推养成安全习惯．该行动开展一段时间后，某市针对电动自行车骑乘人员 是否佩戴安全头盔问题进行调查，在随机调查的 名骑行人员中，记录其年龄和是否佩戴头盔情 况，得到如下的统计图表： 频率组距 年龄 周岁未佩戴头盔佩戴头盔 年龄低于 岁 年龄不低于 岁 （ 1 ）估算该市电动自行车骑乘人员的平均年龄．（ 2 ）根据所给的数据，完成下面的列联表： 年龄 是否佩戴头盔 是 否 （ 3 ）根据（ ）中的列联表，判断是否有 的把握认为遵守佩戴安全头盔与年龄有关？ 附： ， 巩固练习1. 某学校为了了解该校学生对于某项运动的爱好是否与性别有关，通过随机抽查 名学生，得到如下的列联表： 喜欢该项运动不喜欢该项运动总计 男女总计由公式，算得 附表：参照附表，以下结论正确是（ ）． A. B. C. D.有有有有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” 2. 近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有着很大的健康隐患．目前，国际上常用身体质 量指数(英文为 ，简称 )来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是 体重 单位身高 单位 中国成人的 数值标准为： 为偏瘦； 为正常； 为偏胖； 为肥胖． 某地区随机调查了 名 岁以上成人的身体健康状况，其中有 名高血压患者，得到被调查者 的频率分布直方图如图： 频率组距频率组距 高血压 非高血压 参考公式： ，其中 ， 参考数据：（ 1 ）求被调查者中肥胖人群的（ 2 ）平均值 ． 根据频率分布直方图，完成下面的 列联表，并判断能有多大（百分数）的把握认为 岁 以上成人高血压与肥胖有关？ 肥胖不肥胖总计高血压非高血压总计 7. 知识总结（一） 两种抽样方式的联系和区别 类别共同点各自特点相互联系适用范围简单随机抽样抽样过程中每个个体被抽取的从总体中逐个抽取总体中的分层抽样将总体分成几层，抽取各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样（已删）总体由组成 （二）统计图表：（1） 频率分布直方图① 每个小长方形的面积， ② 所有小长方形的面积的和等于 ， ③ 小长方形的高 ，所有小长方形的高的和 . （2）茎叶图茎叶图的，无论数据位数是几位，每个数据只能保留一个数字．因此当数据的位数多于两位 时， 的数据不再是一位． （3）扇形图（饼图）扇形统计图是用整个圆表示总数，用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数，圆心角的度数（三）用样本的数字特征估计总体的数字特征（1）众数、中位数、百分位数、平均数、极差、方差、标准差的定义、统计意义、计算公式 （2）平均数的性质： 如果两组数 和 的平均数分别是 和 ， 则① 的平均数是 ； ② 的平均数为 ． ③ 的平均数为（3）方差的性质： ①如果一组数的方差为 ，则①的方差为 ； ② 的方差为 ． （四）成对数据的统计相关性成对样本数据的散点图上，如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现 增加的趋势，我们就称这两个变量 ；如果当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减 少的趋势，则称这两个变量 ． 线性相关系数 ， 当 时 , 表明两个变量 ． 当 时 , 表明两个变量 ． 越接近于 , 表明两个变量的线性相关性越强．越接近于 , 表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系． 通常 , 当 大于 时 , 我们认为两个变量存在着很强的线性相关关系． 相关系数 总是等于两个标准化数据向量夹角的 . （五）一元线性回归模型（1）最小二乘法求 时使用公式， 其中 ＋ ，再由 求 ，并写出回归直线方程． （2）一元线性模型拟合程度的评价： 和 （六） 列联表和独立性检验如果两个分类变量是 和 , 它们的值域分别是和, 其样本频数列联表如 下： 总计 总计 利用随机变量 ( 其中 为样本容量 ) 来确 定在多大程度上可以认为 " 两个分类变量有关系 " 的方法称为两个分类变量的独立性检验． 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 如果一旦出现了 的情况，我们就有 的把握说明，两个分类变量相关． 二、 事件与概率1. 随机事件与概率（一）随机试验（1）必然现象：在一定条件下必然发生某种结果的现象叫做必然现象；（2）随机现象：在相同条件下，很难预料哪一种结果会出现的现象叫做随机现象；（3）试验：我们把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验；把观察结果或实验的结果称为试验的结果．一次试验是指事件的条件实现一次．（二）样本点和样本空间我们把随机试验 的每个可能的基本结果称为样本点， 全体样本点的集合称为试验的样本空间。一般地，我们用 表示样本空间，用 表示样本点。在本书中，我们只讨论 为有限集的情况、如果一 个随机试验有 个可能结果 ，则称样本空间 为有限样本空间. （三）随机事件、不可能事件和必然事件的概率 发生可能性 样本点空间 概率 随机事件 可能发生也可能不发生 不可能事件 不会发生 0 必然事件 一定发生 1 （四）随机事件间的关系与运算 事件 之间的关系 符号表示 概率性质 备注 包含关系：如果事件 发生，则事件 一定发生．（或）任何事件都包含不可能事件 相等关系并事件（和事件）:某事件发生是当且仅当事件 或事件 发生．或 交事件:某事件发生是当且仅当事件A发生且事件B发生．（或 ） 互斥事件:不能同时发生的两个事件．若事件两互斥，．两 对立事件:不能同时发生且必有一个发生的两个事件．对立事件是特殊的互斥事件 （五）频率与概率 （1）频率：在相同的条件下重复 次试验，观察，某一事件A是否出现，称 次试验中事件A出现的次数为事件A出现的频数，称事件A出现的比例 为事件A出现的频率．（2）概率的统计定义：一般地，在 次重复进行的试验中，事件 发生的频率 ，当 很大时，总是在某个常数附近摆动，随着 的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件 的概率，记为．（3）频率与概率的的联系和区别① 频率随着试验次数的变化而变化，概率却是一个常数，它是频率的科学抽象，是事件自身的固有性质，在试验前就已经注定，而频率则依赖于具体的试验而存在．② 当试验次数越来越多时，频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率．经典例题从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ） A. 至少有1个白球，都是白球 B. 至少有1个白球，至少有1个红球 C. 恰有1个白球，恰有2个白球 D. 至少有1个白球，都是红球 巩固练习某小组有 名男生和 名女生，从中任意选取 名同学参加演讲比赛，那么互斥但不对立的两个事件是（ ）． A. 至少有一名男生和都是男生 B. 至少有一名男生和都是女生 C. 恰好一名男生和恰好 名男生 D. 恰好一名男生和恰好一名女生 2. 古典概型（一）古典概型的概念如果一次实验中所有可能出现的基本事件只有有限个，且每个事件出现的可能性相等，则这样的概率模型称为古典概型．（二）古典概型的特征① 有限性：即在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件；② 等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的；判断一个试验是否是古典概型，在于该试验是否具有上述两个特征：有限性和等可能性．（三）古典概型的计算公式如果一次试验中可能出现的结果有 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是 ， 若 包含的基本事件有 个，则 发生的概率为： 经典例题1. 某车站，每天均有 辆开往省城的分为上、中、下等级的客车，某人某天准备在该车站乘车前往省城办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序，为了尽可能乘上上等车，他采取如下策略；先放过第一辆车，如果第二辆车比第一辆车好则上第二辆，否则上第三辆车，那么他乘上上等车的概率为（ ）． A. B. C. D. 2. 从分别写有 ， ， ， ， 的 张卡片中随机抽取 张，放回后再随机抽取 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）． A. B. C. D. 3. 已知一袋中装有大小相同的 个红球和 个白球，现从中任取 个球，则“至少有一个白球”的概率 为 ． 4. 《易 系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中．如图，白圈为阳数，黑 点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数分别记为 ， ．则满足 的概率为（ ）． A. B. C. D. 巩固练习1. 为美化环境，从红、黄、白、紫 种颜色的花中任选 种花种在一个花坛中，余下的 种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（ ）． A. B. C. D. 2. 古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式”．在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美．如清代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》（如图）以连环诗的形式展现， 个字绕着茶壶成一圆环，不论顺着读还是逆着读，皆成 佳作．数学与生活也有许多奇妙的联系，如 年 月 日（ ）被称为世界完全对称日 （公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）．数学上把 这样的对称数叫回文数，两位数 的回文数共有 个（ ， ， ， ），则在三位数的回文数中，出现奇数的概率为（ ）． A. B. C. D. 3. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于 的 偶数可以表示为两个素数的和”，如 ．在不超过 的素数中，随机选取两个不同的数，其 和等于 的概率是（ ）． A. B. C. D. 4. 我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，有丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这 部专著中有 部产生于汉、魏、晋、南北朝时期，某中学拟从这 部专著中选择 部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选 部专著中至少有 部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为（ ）． A. B. C. D. 3. 事件独立性（一）定义对于事件 和 ，若事件 的发生与事件 的发生互不影响，则称事件相互独立. 事件独立性的 证明在选修的条件概率部分，在《条件概率和随机变量》讲义中.（二）独立事件的概率乘法公式： “事件 相互独立”是“ ”的充要条件 如果事件 与 相互独立，则 与 ， 与 ， 与 也相互独立．独立性可推广至多个事件： 事件 相互独立 任意有限个事件同时发生的概率等于它们各自发生的概率之积 经典例题1. 投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件 ，“骰于向上的点数是 ”为事件，则事件 ， 中至少有一件发生的概率是（ ）． A. B. C. D. 2. 为积极应对新冠肺炎疫情，提高大家对新冠肺炎的认识，某企业举办了“抗击疫情，共克时艰”预防新冠肺炎知识竞赛，知识竞赛规则如下，在预设的 个问题中，选手若能连续正确回答出 个问题．即停止答题．晋级下一轮．假定某选手正确回答每个问题的概率都是 ，且每个问题的回答结果相互 独立，则该选手至少回答了 个问题晋级下一轮的概率等于 ． 巩固练习1. 从甲口袋摸出一个红球的概率是 ，从乙口袋中摸出一个红球的概率是 ，则 是（ ） A. 个球不都是红球的概率 B. 个球都是红球的概率 C. 至少有一个红球的概率 D. 个球中恰好有 个红球的概率 2. 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为 与 ，且乙投球 次均未命中的概率为 ．（ 1 ）求甲投球 次，至少命中 次的概率．（ 2 ）若甲、乙两人各投球 次，求两人共命中 次的概率．3. 某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表： 男生 女生 支持 不支持 支持 不支持 方案一 人 人 人 人 方案二 人 人 人 人 假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．（ 1 ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率．（ 2 ）从该校全体男生中随机抽取 人，全体女生中随机抽取 人，估计这 人中恰有 人支持方案一的概率．（ 3 ）将该校学生支持方案二的概率估计值记为 ．假设该校一年级有 名男生和 名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为 ．试比较 与 的大小．（结论不要求证明）4. 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰，比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空，每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰，当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为 ．（ 1 ）求甲连胜四场的概率． （ 2 ）求需要进行第五场比赛的概率．（ 3 ）求丙最终获胜的概率．4. 知识总结(一)概率的基本性质及运算法则① 从概率的定义中，我们可以看出随机事件的概率满足：. ② 当 是必然事件时， ，当 是不可能事件时， ． ③互斥事件的概率加法公式：若 、 是互斥事件，有 ；若事件 两两互斥， ． ④对立事件概率和为 ．有 ， ⑤独立事件的概率乘法公式：若事件 相互独立则 ；若事件 相 互独立则（二）古典概型古典概型的特征是等和， 如果一次试验中可能出现的结果有 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是 ， 若 包含的基本事件有 个，则 发生的概率为：导图总结你学会了吗？出门测 1.是居民消费价格指数的简称，是一个反映居民家庭一般所购买的消费品和服务项目价格水平变动情况的宏观经济指标．同比一般情况下是今年第 月与去年第 月比；环比，表示连续 个统计周期 （比如连续两月）内的量的变化比．如图是根据国家统计局发布的 年 月 年 月我国 涨跌幅数据绘制的折线图，根据该折线图，则下列说法正确的是（ ）． 同比环比 年 月 月 月 月 月 月 月 月月年 月 月 月月 A. B. C. D.年 月 同比涨幅最大年 月与同年 月相比较， 月 环比更大年 月至 月， 一直增长年 月至 月 只跌不涨 2. 已知某种商品的广告费支出 （单位：万元）与销售额 （单位：万元）之间有如下对应数据： 根据上表可得回归方程 ，根据最小二乘法计算可得 ，则当投入 万元广告费时，销 售额的预报值为 万元． 3. 某班主任对全班 名学生进行了作业量的调查，数据如表： 认为作业量大 认为作业量不大 合计 男生女生合计若推断“学生的性别与认为作业量大有关”，则这种推断犯错误的概率不超过（ ）． 附： ， A. B. C. D. 4. 某班级有 名学生，在一次考试中统计出平均分为 分，方差为 ，后来发现有 名学生的分数登记错了，学生甲实得 分却记成了 分，学生乙实得 分却记成了 分，则更正后的方差 为 ． 5. 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其中个位数为 的概率是（ ）． A. B. C. D. 6. 环保部门为降低某社区在改造过程中产生的扬尘污染，决定对全部街道采取洒水降尘作业．该社区街道的平面结构如图所示（线段代表街道），洒水车随机选择 ， ， ， ， ， 中的一点驶入进行作业，则选择的驶入点使洒水车能够不重复地走遍全部街道的概率为（ ）． A. B. C. D. 7. 某普通高校招生体育专业测试合格分数线确定为 分．甲、乙、丙三名考生独立参加测试，他们能 达到合格的概率分别是 ， ， ，则三个中至少有一人达标的概率为（ ）． A. B. C. D. 25
统计概率 一、 统计1. 随机抽样（一）简单随机抽样（1）概念：设一个总体有 个个体，从中逐个不放回地抽取 个个体作为样本（），如果每次抽 取时，总体内的各个个体被抽到的机会都相等，称这种抽样方法为简单随机抽样．（2）分类① 抽签法：把总体中的 个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一张号签，连续抽取 次，就得到一个容量为 的样本． ② 随机数表法：随机数表是由 这 个数字组成的数表，并且表中的每一位置出现各个数字 的可能性相同．通过随机数表，根据实际需要和方便使用的原则，将几个数组合成一组，然后通过随机数表抽取样本．（二）分层随机抽样（1）概念：当总体由有明显差别的几部分组成时，为了使抽取的样本更好地反映总体的情况，我们经常将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样或系统抽样（已删），这样的抽样方法叫做分层抽样．（2）步骤①分层，即将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分；②按比例确定每层抽取个体的个数；③各层抽样，即各层中采用简单随机抽样或系统抽样（已删）抽取相应的个数；④汇合成样本．（3）特点①适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；②更充分的反映了总体的情况；③它是等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都是 ．经典例题 已知某区中小学学生人数如图所示．为了解该区学生参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽 样的方法来进行调查．若高中需抽取 名学生，则小学与初中共需抽取的学生人数为 名． 小学生人初中生人高中生人 巩固练习某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为 ， ， ， 件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽 取 件． 2. 统计图表（一）频率分布直方图（1）列出样本数据的频率分布表和频率分布直方图的步骤① 计算极差：找出数据的最大值与最小值，计算它们的差；② 决定组距与组数：当样本容量不超过100时，按照数据的多少分成5~12组，且组距极差组数； ③ 将数据分组：通常对组内数值所在区间，取左闭右开区间，最后一组取闭区间；也可以将样本数据多取一位小数分组．④ 列频率分布表：对落入各小组的数据累计，算出各小数的频数，除以样本容量，得到各小组的频率． ⑤ 绘制频率分布直方图：以数据的值为横坐标，以（2）频率分布直方图的特点频率① 每个小长方形的面积 组距 组距 频率，② 所有小长方形的面积的和等于1，频率组距的值为纵坐标绘制直方图． ③ 小长方形的高频率组距，所有小长方形的高的和组距. （3）频率分布折线图将频率分布直方图各个长方形上边的中点用线段连接起来，就得到频率分布折线图，一般把折线图画成与横轴相连，所以横轴左右两端点没有实际意义．（二）茎叶图（1）制作茎叶图的步骤 ①将数据分为“茎”、“叶”两部分，需要注意的是茎叶图的“叶”，无论数据位数是几位，每个数据只能保留一个数字．因此当数据的位数多于两位时，“茎”的数据不再是一位；②将最大茎与最小茎之间的数字按大小顺序排成一列，并画上竖线作为分隔线；③将各个数据的“叶”在分界线的一侧对应茎处同行列出．（2）茎叶图的优点①没有原始信息的损失，所有的数据信息都可以从茎叶图中得到；②茎叶图可以在比赛时随时记录，方便记录与表示（三）扇形图（饼图）扇形统计图图（也称为饼图，饼形图）是用整个圆表示总数，用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系，即占总数的百分比． 换算公式圆心角的度数=百分比×360度作用使杂乱无章的数据变得清晰透彻 经典例题1. 今年 月，有关部门出台在疫情防控常态化条件下推进电影院恢复开放通知，规定低风险地区在电影院各项防控措施有效落实到位的前提下，可有序恢复开放营业，一批影院恢复开放后，统计某连续天的相关数据得到如下的统计表．其中，编号 的日期是周一，票房指影院票销售金额，观影人次相当于门票销售数量．由统计表可以看出，这连续 天内（ ）． 票房（万元） 观影人次（万次） 日期编号 A. B. C. D.周末日均的票房和观影人次高于非周末影院票房，第二周相对于第一周同期趋于上升观影人次，在第一周的统计中逐日增长量大致相同第一周每天的平均单场门票价格都高于 元 2. 某人退休前后各类支出情况如图，已知退休前工资收入为 元/月，退休后每月储蓄的金额比退休 前每月储蓄的金额少 元，则下面结论错误中的是（ ）． 退休前各类支出占比 储蓄 其它旅行衣食行 储蓄 衣食行 旅行 其它 支出类别 A. 该教师退休前每月储蓄支出 元 B. 该教师退休后的旅行支出是退休前旅行支出的 倍 C. 该教师退休工资收入为 元/月 D. 该教师退休后的其他支出比退休前的其他支出少 巩固练习 年 月 日，国家统计局公布了 年度居民人均消费支出的情况，并绘制了饼图，已知 年度和 年度居民在“其他用品及服务”中人均消费支出大约分别为 元和 元，现结合 年 度居民人均消费支出情况，下列结论中正确的是（ ）． 医疗保健教育文化娱乐其他用品及服务 元食品烟酒医疗保健教育文化娱乐其他用品及服务 元食品烟酒 交通通信生活用品及服务居住衣着交通通信生活用品及服务居住衣着 A.B.年度居民在“食品烟酒”项目的人均消费支出所占总额的百分率比年度居民人均消费支出约为 元年度的高 C. 年度和 年度居民在“生活用品及服务”项目上的人均消费支出相等 D. 年度居民人均消费支出比 年度居民人均消费支出有所降低 3. 用样本估计总体（一）集中趋势参数众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据； 中位数：将样本数据按大小顺序排列，若数据的个数为奇数，则最中间的数据为中位数，若样本数据个数为偶数，则取中间两个数据的平均数作为中位数．特别地，当根据频率分布直方图估算中位数时，先计算各直方代表的频率（面积），以此确认中位数（前后直方面积和都为 ）落在哪一个区域，然后根据中位数将直方总面积划分为两个 ，求算中位数的具体位置． 百分位数：一组数按照从小到大排列后为 ，计算 的值，如果 不是整数，设 为大于 的最小整数，取 为 分位数；如果i是整数，取 为 分位数．特别地，规定： 分位 数是 （即最小值）， 分位数是 （即最大值）．实际应用中，除了中位数外，经常使用的是 分位数（简称为第一四分位数）与 分位数（简称为第三四分位数）． 平均数：设样本的数据为 ,则样本的算术平均数为 ． （二）离散程度参数极差（又叫全距）是一组数据的最大值和最小值之差，反映一组数据的变动幅度；方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小；一般地，设样本的数据为，样本的平均数为 ，定义样本方差为 ； 简化公式： = （方差等于原数据 平方的平均数减去平均数的平方）标准差是方差的算术平方根．计算公式：，． 标准差越大数据离散程度越大，数据越分散；标准差越小，数据集中在平均数周围．（三）数字特征的性质 （1）平均数的性质： ① 如果两组数 和 的平均数分别是 和 ， 则一组数 的平均数是 ； ② 如果一组数 的平均数为 ，则一组 数 的平均数为 ． ③ 如果一组数 的平均数为 ，则一组数 的平均数为（2）方差的性质： ① 如果一组数的方差为 ，则一组数的方 差为 ； ② 如果一组数 的方差为 ，则一组数 的方差为 ． （3）利用频率直方图求平均数时，如果没有具体的数据，通常以直方图每个区间的中值点乘以该区间对应的频率求和所得.经典例题 1. 某学校鼓励学生参加社区服务，学生甲 年每月参加社区服务的时长（单位：小时）分别为 ， ， ， ，其均值和方差分别为 和 ，若 年甲每月参加社区服务的时长增加 小时，则 年甲参加社区服务时长的均值和方差分别为（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 2.年 月 日，国务院联防联控机制发布，国药集团中国生物的新冠病毒灭活疫苗已获药监局批准附条件上市，其保护效力达到世界卫生组织及药监局相关标准要求，现已对 至 岁的人提供．根据某地接种年龄样本的频率分布直方图（如下图）估计该地接种年龄的中位数为（ ）． 频率组距 年龄 岁 A. B. C. D. 3. 冬末春初，乍暖还寒，人们容易感冒发热．若发生群体性发热，则会影响到人们的身体健康，干扰 正常工作生产．某大型公司规定：若任意连续 天，每天不超过 人体温高于 ，则称没有发生 群体性发热，下列连续 天体温高于 人数的统计特征数中，能判定该公司没有发生群体性发热 的为（ ）． A. 中位数为 ，众数为 B. 均值小于 ，中位数为 C. 均值为 ，众数为 D. 均值为 ，标准差为 巩固练习1. 若三个数 ， ， 的方差为 ，则，，的方差为． 2. 气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续 天的日平均温度均不低于 ”．现有甲、乙、丙三地 连续 天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：①甲地： 个数据的中位数为 ，众数为 ；②乙地： 个数据的中位数为 ，总体均值为 ；③丙地： 个数据中有一个数据是 ，总体均值为 ，总体方差为 ；则肯定进入夏季的地区有（ ）． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 3. 设 ， ．随机变量 取值 、 、 、 、 的概率均为 ，随机变量 取值 、 、 、 、 的概率也为 ．若记 、 分别为 、 的方差，则（ ）． A. B. C. D.与 的大小关系与 、 、 、 的取值有关 4. 成对数据的统计相关性（一）相关关系两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系.成对样本数据都可用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成散点图．如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个变量正相关；如果当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量负相关．（二）线性相关一般地，如果两个变量地取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关．（三）线性相关系数 对于变量 与 随机抽取到的 对数据 可利用相关系数 来衡量 两个变量之间的线性相关关系 , 线性相关系数的具体计算公式为 当 时 , 表明两个变量正相关． 当 时 , 表明两个变量负相关． 越接近于 , 表明两个变量的线性相关性越强．越接近于 , 表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系． 通常 , 当 大于 时 , 我们认为两个变量存在着很强的线性相关关系． （四）相关系数与标准化数据向量夹角的余弦（新增，了解） 当 时，相关系数的计算公式可以改写为标准化数据的形式 此时，如果令 ， ，则相关系数 等于标准化数据 向量 与 的夹角的余弦，即 类似地，当时，相关系数仍等于两个向量夹角的余弦，只不过，此时两个向量分别为, 一般地， ,都称为 维向量，如果按照类似 维与 维的情况定义向量的内积和模，则相关系数 总是等于两个标准化数据向量夹角的余弦.5. 一元线性回归模型（一） 一元线性模型的表示当变量 和变量 线性关系较强时，可以用一次函数来刻画变量 队变量 的影响，而把其他影响 的因素作为随机误差，得到刻画两个变量之间的线性回归模型．我们称该式为 的一元线性回归模型．其中， 称为因变量或者响应变量， 称为自变量或解释变量； 称为截距参数， 称为斜率参数．（二）最小二乘法 对于一组具有线性相关关系的数据： ， ， ， ， ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘法估计分别为： 其中 ， ， 称为样本点的中心，位于回归直线上． 我们将 称为 关于 的经验回归方程，也称为经验回归函数或者经验回归公式，其图形 称为经验回归直线，这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的 和 叫做 ， 的最小二乘估计. （三）一元线性模型拟合程度的评价（拓展）（1）相关系数法计算出线性相关系数 ， 越接近 ，模型拟合程度越好.（2） 残差分析对于响应变量 ，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的 称为预测值，观测值减去预测值称为残差．残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析．简单地，可以变量 对残差作散点图，若残差比较均匀地分布在横轴两侧，说明模型拟合程度较好．（四）利用一元线性回归分析处理非线性问题（拓展）根据散点图的分布，若呈现的是非线性相关关系，我们可以根据散点的分布形状选择其他函数模型，然后利用代数转化手段，将非线性函数转化为线性函数. 例如：幂函数型 可以移项后取对数： ; 做变换 此时原式子变为线性函数 将原点数据 转化为 ，然后根据线性回归模型求解. 如果确知 ，则可以将 直接整体代换. 同学们也可自己尝试下列这些非线性函数的处理： （1）指数函数型： （2）二次函数型 经典例题1. 某车间为了提高工作效率，需要测试加工零件所花费的时间，为此进行了 次试验，这 次试验的数据如下表：零件数 （个）加工时间 （ ） 若用最小二乘法求得回归直线方程为 ，则 的值为 ． 2. 我国为全面建设社会主义现代化国家，制定了从 年到 年的“十四五”规划．某企业为响应国 家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备增加研发资金．现该企业为了了解年研发资金投入额（单位：亿元）对年盈利额 （单位：亿元）的影响，研究了“十二五”和“十三五”规划发展期间近年年研发资金投入额 和年盈利额 的数据．通过对比分析，建立了两个函数模型：① ，② ，其中 ， ， ， 均为常数， 为自然对数的底数．令 ， ，经计算得如下数据： （ 1 ）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？（ 2 ）解答下列各题． 1 根据（ ）的选择及表中数据，建立 关于 的回归方程．（系数精确到 ） 2 若希望 年盈利额 为 亿元，请预测 年的研发资金投入额 为多少亿元？ （结果精确到 ）附：①相关系数，回归直线中： ， ． ②参考数据： ， ． 巩固练习1. 已知某品牌的新能源汽车的使用年限 （年）与维护费用 （千元）之间有如表数据：使用年限 （年）维护费用 （千元） 与 之间具有线性相关关系，且 关于 的线性回归方程为 （ 为常数） 据此估计，使用年限为 年时，维护费用约为 千元． （参考公式：线性回归方程中的系数． ， ）． 2. 某公司为研究某种图书每册的成本费 （单位：元）与印刷数 （单位：千册）的关系，收集了一些数据并进行了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值． 每册书的成本 元 印刷数 千册 表中 ， ． （ 1 ）根据散点图判断： 与 哪一个模型更适合作为该图书每册的成本费 与印 刷数量 的回归方程？（只要求给出判断，不必说明理由）（ 2 ）根据（ ）的判断结果及表中数据，建立 关于 的回归方程（结果精确到 ）．（ 3 ）若该图书每册的定价为 元，则至少应该印刷多少册才能使销售利润不低于元？（假 设能够全部售出，结果精确到 ） 附：对于一组数据 ， ， ， ，其回归直线 的斜率和截 距的最小二乘估计分别为 ． 6. 2×2列联表和独立性检验（一）2×2列联表取不同的 " 值 " 表示个体所属不同类别的变量称为分类变量．例如变量是否吸烟，变量取值包括”吸烟“、“不吸烟”． 如果两个分类变量是 和 , 它们的值域分别是 和 , 其样本频数 列联表如 下： 总计 总计 （二）独立性检验利用随机变量( 其中为样本容量 ) 来确 定在多大程度上可以认为 " 两个分类变量有关系 " 的方法称为两个分类变量的独立性检验． 因此假设： 没有关系 , 则越小 , 说明 之间的关系越弱．，, 构造随机变量其中．若 成立 , 则 应该很小；若 很大 , 说明有关系的可能性很 大 ．（三）附表以下表格中的数据的含义为：对于两个独立的变量，出现的情况的可能性有多大． 也即：如果一旦出现了 的情况，我们就有 的把握说明，两事件相关． 在统计中，常用以下结果对变量的独立性进行判断： （1）当 时，没有充分的证据判定变量 有关系，可以认为变量 是没有关系的（二者 独立的可能性超过 ）； （2）当 时，有 的把握判定变量 有关系； （3）当 时，有 的把握判定变量 有关系； （4）当 时，有 的把握判定变量 有关系． 经典例题有关研究表明，正确佩戴安全头盔，规范使用安全带能够将交通事故死亡风险大幅降低，对保护群 众生命安全具有重要作用． 年 月，“一盔一带”安全守护行动在全国各地开展．行动期间，公安 交管部门将加强执法管理，依法查纠摩托车和电动自行车骑乘人员不佩戴安全头盔，汽车驾乘人员不使用安全带的行为，助推养成安全习惯．该行动开展一段时间后，某市针对电动自行车骑乘人员 是否佩戴安全头盔问题进行调查，在随机调查的 名骑行人员中，记录其年龄和是否佩戴头盔情 况，得到如下的统计图表： 频率组距 年龄 周岁未佩戴头盔佩戴头盔 年龄低于 岁 年龄不低于 岁 （ 1 ）估算该市电动自行车骑乘人员的平均年龄．（ 2 ）根据所给的数据，完成下面的列联表： 年龄 是否佩戴头盔 是 否 （ 3 ）根据（ ）中的列联表，判断是否有 的把握认为遵守佩戴安全头盔与年龄有关？ 附： ， 巩固练习1. 某学校为了了解该校学生对于某项运动的爱好是否与性别有关，通过随机抽查 名学生，得到如下的列联表： 喜欢该项运动不喜欢该项运动总计 男女总计由公式，算得 附表：参照附表，以下结论正确是（ ）． A. B. C. D.有有有有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” 2. 近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有着很大的健康隐患．目前，国际上常用身体质 量指数(英文为 ，简称 )来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是 体重 单位身高 单位 中国成人的 数值标准为： 为偏瘦； 为正常； 为偏胖； 为肥胖． 某地区随机调查了 名 岁以上成人的身体健康状况，其中有 名高血压患者，得到被调查者 的频率分布直方图如图： 频率组距频率组距 高血压 非高血压 参考公式： ，其中 ， 参考数据：（ 1 ）求被调查者中肥胖人群的（ 2 ）平均值 ． 根据频率分布直方图，完成下面的 列联表，并判断能有多大（百分数）的把握认为 岁 以上成人高血压与肥胖有关？ 肥胖不肥胖总计高血压非高血压总计 7. 知识总结（一） 两种抽样方式的联系和区别 类别共同点各自特点相互联系适用范围简单随机抽样抽样过程中每个个体被抽取的从总体中逐个抽取总体中的分层抽样将总体分成几层，抽取各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样（已删）总体由组成 （二）统计图表：（1） 频率分布直方图① 每个小长方形的面积， ② 所有小长方形的面积的和等于 ， ③ 小长方形的高 ，所有小长方形的高的和 . （2）茎叶图茎叶图的，无论数据位数是几位，每个数据只能保留一个数字．因此当数据的位数多于两位 时， 的数据不再是一位． （3）扇形图（饼图）扇形统计图是用整个圆表示总数，用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数，圆心角的度数（三）用样本的数字特征估计总体的数字特征（1）众数、中位数、百分位数、平均数、极差、方差、标准差的定义、统计意义、计算公式 （2）平均数的性质： 如果两组数 和 的平均数分别是 和 ， 则① 的平均数是 ； ② 的平均数为 ． ③ 的平均数为（3）方差的性质： ①如果一组数的方差为 ，则①的方差为 ； ② 的方差为 ． （四）成对数据的统计相关性成对样本数据的散点图上，如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现 增加的趋势，我们就称这两个变量 ；如果当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减 少的趋势，则称这两个变量 ． 线性相关系数 ， 当 时 , 表明两个变量 ． 当 时 , 表明两个变量 ． 越接近于 , 表明两个变量的线性相关性越强．越接近于 , 表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系． 通常 , 当 大于 时 , 我们认为两个变量存在着很强的线性相关关系． 相关系数 总是等于两个标准化数据向量夹角的 . （五）一元线性回归模型（1）最小二乘法求 时使用公式， 其中 ＋ ，再由 求 ，并写出回归直线方程． （2）一元线性模型拟合程度的评价： 和 （六） 列联表和独立性检验如果两个分类变量是 和 , 它们的值域分别是和, 其样本频数列联表如 下： 总计 总计 利用随机变量 ( 其中 为样本容量 ) 来确 定在多大程度上可以认为 " 两个分类变量有关系 " 的方法称为两个分类变量的独立性检验． 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 如果一旦出现了 的情况，我们就有 的把握说明，两个分类变量相关． 二、 事件与概率1. 随机事件与概率（一）随机试验（1）必然现象：在一定条件下必然发生某种结果的现象叫做必然现象；（2）随机现象：在相同条件下，很难预料哪一种结果会出现的现象叫做随机现象；（3）试验：我们把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验；把观察结果或实验的结果称为试验的结果．一次试验是指事件的条件实现一次．（二）样本点和样本空间我们把随机试验 的每个可能的基本结果称为样本点， 全体样本点的集合称为试验的样本空间。一般地，我们用 表示样本空间，用 表示样本点。在本书中，我们只讨论 为有限集的情况、如果一 个随机试验有 个可能结果 ，则称样本空间 为有限样本空间. （三）随机事件、不可能事件和必然事件的概率 发生可能性 样本点空间 概率 随机事件 可能发生也可能不发生 不可能事件 不会发生 0 必然事件 一定发生 1 （四）随机事件间的关系与运算 事件 之间的关系 符号表示 概率性质 备注 包含关系：如果事件 发生，则事件 一定发生．（或）任何事件都包含不可能事件 相等关系并事件（和事件）:某事件发生是当且仅当事件 或事件 发生．或 交事件:某事件发生是当且仅当事件A发生且事件B发生．（或 ） 互斥事件:不能同时发生的两个事件．若事件两互斥，．两 对立事件:不能同时发生且必有一个发生的两个事件．对立事件是特殊的互斥事件 （五）频率与概率 （1）频率：在相同的条件下重复 次试验，观察，某一事件A是否出现，称 次试验中事件A出现的次数为事件A出现的频数，称事件A出现的比例 为事件A出现的频率．（2）概率的统计定义：一般地，在 次重复进行的试验中，事件 发生的频率 ，当 很大时，总是在某个常数附近摆动，随着 的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件 的概率，记为．（3）频率与概率的的联系和区别① 频率随着试验次数的变化而变化，概率却是一个常数，它是频率的科学抽象，是事件自身的固有性质，在试验前就已经注定，而频率则依赖于具体的试验而存在．② 当试验次数越来越多时，频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率．经典例题从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ） A. 至少有1个白球，都是白球 B. 至少有1个白球，至少有1个红球 C. 恰有1个白球，恰有2个白球 D. 至少有1个白球，都是红球 巩固练习某小组有 名男生和 名女生，从中任意选取 名同学参加演讲比赛，那么互斥但不对立的两个事件是（ ）． A. 至少有一名男生和都是男生 B. 至少有一名男生和都是女生 C. 恰好一名男生和恰好 名男生 D. 恰好一名男生和恰好一名女生 2. 古典概型（一）古典概型的概念如果一次实验中所有可能出现的基本事件只有有限个，且每个事件出现的可能性相等，则这样的概率模型称为古典概型．（二）古典概型的特征① 有限性：即在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件；② 等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的；判断一个试验是否是古典概型，在于该试验是否具有上述两个特征：有限性和等可能性．（三）古典概型的计算公式如果一次试验中可能出现的结果有 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是 ， 若 包含的基本事件有 个，则 发生的概率为： 经典例题1. 某车站，每天均有 辆开往省城的分为上、中、下等级的客车，某人某天准备在该车站乘车前往省城办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序，为了尽可能乘上上等车，他采取如下策略；先放过第一辆车，如果第二辆车比第一辆车好则上第二辆，否则上第三辆车，那么他乘上上等车的概率为（ ）． A. B. C. D. 2. 从分别写有 ， ， ， ， 的 张卡片中随机抽取 张，放回后再随机抽取 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）． A. B. C. D. 3. 已知一袋中装有大小相同的 个红球和 个白球，现从中任取 个球，则“至少有一个白球”的概率 为 ． 4. 《易 系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中．如图，白圈为阳数，黑 点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数分别记为 ， ．则满足 的概率为（ ）． A. B. C. D. 巩固练习1. 为美化环境，从红、黄、白、紫 种颜色的花中任选 种花种在一个花坛中，余下的 种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（ ）． A. B. C. D. 2. 古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式”．在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美．如清代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》（如图）以连环诗的形式展现， 个字绕着茶壶成一圆环，不论顺着读还是逆着读，皆成 佳作．数学与生活也有许多奇妙的联系，如 年 月 日（ ）被称为世界完全对称日 （公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）．数学上把 这样的对称数叫回文数，两位数 的回文数共有 个（ ， ， ， ），则在三位数的回文数中，出现奇数的概率为（ ）． A. B. C. D. 3. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于 的 偶数可以表示为两个素数的和”，如 ．在不超过 的素数中，随机选取两个不同的数，其 和等于 的概率是（ ）． A. B. C. D. 4. 我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，有丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这 部专著中有 部产生于汉、魏、晋、南北朝时期，某中学拟从这 部专著中选择 部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选 部专著中至少有 部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为（ ）． A. B. C. D. 3. 事件独立性（一）定义对于事件 和 ，若事件 的发生与事件 的发生互不影响，则称事件相互独立. 事件独立性的 证明在选修的条件概率部分，在《条件概率和随机变量》讲义中.（二）独立事件的概率乘法公式： “事件 相互独立”是“ ”的充要条件 如果事件 与 相互独立，则 与 ， 与 ， 与 也相互独立．独立性可推广至多个事件： 事件 相互独立 任意有限个事件同时发生的概率等于它们各自发生的概率之积 经典例题1. 投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件 ，“骰于向上的点数是 ”为事件，则事件 ， 中至少有一件发生的概率是（ ）． A. B. C. D. 2. 为积极应对新冠肺炎疫情，提高大家对新冠肺炎的认识，某企业举办了“抗击疫情，共克时艰”预防新冠肺炎知识竞赛，知识竞赛规则如下，在预设的 个问题中，选手若能连续正确回答出 个问题．即停止答题．晋级下一轮．假定某选手正确回答每个问题的概率都是 ，且每个问题的回答结果相互 独立，则该选手至少回答了 个问题晋级下一轮的概率等于 ． 巩固练习1. 从甲口袋摸出一个红球的概率是 ，从乙口袋中摸出一个红球的概率是 ，则 是（ ） A. 个球不都是红球的概率 B. 个球都是红球的概率 C. 至少有一个红球的概率 D. 个球中恰好有 个红球的概率 2. 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为 与 ，且乙投球 次均未命中的概率为 ．（ 1 ）求甲投球 次，至少命中 次的概率．（ 2 ）若甲、乙两人各投球 次，求两人共命中 次的概率．3. 某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表： 男生 女生 支持 不支持 支持 不支持 方案一 人 人 人 人 方案二 人 人 人 人 假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．（ 1 ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率．（ 2 ）从该校全体男生中随机抽取 人，全体女生中随机抽取 人，估计这 人中恰有 人支持方案一的概率．（ 3 ）将该校学生支持方案二的概率估计值记为 ．假设该校一年级有 名男生和 名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为 ．试比较 与 的大小．（结论不要求证明）4. 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰，比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空，每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰，当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为 ．（ 1 ）求甲连胜四场的概率． （ 2 ）求需要进行第五场比赛的概率．（ 3 ）求丙最终获胜的概率．4. 知识总结(一)概率的基本性质及运算法则① 从概率的定义中，我们可以看出随机事件的概率满足：. ② 当 是必然事件时， ，当 是不可能事件时， ． ③互斥事件的概率加法公式：若 、 是互斥事件，有 ；若事件 两两互斥， ． ④对立事件概率和为 ．有 ， ⑤独立事件的概率乘法公式：若事件 相互独立则 ；若事件 相 互独立则（二）古典概型古典概型的特征是等和， 如果一次试验中可能出现的结果有 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是 ， 若 包含的基本事件有 个，则 发生的概率为：导图总结你学会了吗？出门测 1.是居民消费价格指数的简称，是一个反映居民家庭一般所购买的消费品和服务项目价格水平变动情况的宏观经济指标．同比一般情况下是今年第 月与去年第 月比；环比，表示连续 个统计周期 （比如连续两月）内的量的变化比．如图是根据国家统计局发布的 年 月 年 月我国 涨跌幅数据绘制的折线图，根据该折线图，则下列说法正确的是（ ）． 同比环比 年 月 月 月 月 月 月 月 月月年 月 月 月月 A. B. C. D.年 月 同比涨幅最大年 月与同年 月相比较， 月 环比更大年 月至 月， 一直增长年 月至 月 只跌不涨 2. 已知某种商品的广告费支出 （单位：万元）与销售额 （单位：万元）之间有如下对应数据： 根据上表可得回归方程 ，根据最小二乘法计算可得 ，则当投入 万元广告费时，销 售额的预报值为 万元． 3. 某班主任对全班 名学生进行了作业量的调查，数据如表： 认为作业量大 认为作业量不大 合计 男生女生合计若推断“学生的性别与认为作业量大有关”，则这种推断犯错误的概率不超过（ ）． 附： ， A. B. C. D. 4. 某班级有 名学生，在一次考试中统计出平均分为 分，方差为 ，后来发现有 名学生的分数登记错了，学生甲实得 分却记成了 分，学生乙实得 分却记成了 分，则更正后的方差 为 ． 5. 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其中个位数为 的概率是（ ）． A. B. C. D. 6. 环保部门为降低某社区在改造过程中产生的扬尘污染，决定对全部街道采取洒水降尘作业．该社区街道的平面结构如图所示（线段代表街道），洒水车随机选择 ， ， ， ， ， 中的一点驶入进行作业，则选择的驶入点使洒水车能够不重复地走遍全部街道的概率为（ ）． A. B. C. D. 7. 某普通高校招生体育专业测试合格分数线确定为 分．甲、乙、丙三名考生独立参加测试，他们能 达到合格的概率分别是 ， ， ，则三个中至少有一人达标的概率为（ ）． A. B. C. D. 25
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