辽宁省锦州市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份辽宁省锦州市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷（Word版附解析），共22页。试卷主要包含了2B， 已知数列满足， 若，，，则等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.本试卷考试时间为120分钟，满分150分.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
3.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答题标号；答非选择题时，将答案写在答题卡上相应区域内，超出答题区域或写在本试卷上无效.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列函数的求导正确的是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知等比数列满足，，则（ ）
A. 1B. C. 3D.
3. 2021年7月30日，东京奥运会女子七人制橄榄球中国队完胜日本队，该事件吸引了大批大学生开始练习橄榄球，某大学橄榄球社团先对报名者的力量和速度进行综合评分，评分达标者方能被吸收为正式社员.现有400人报名，他们的综合评分服从正态分布，若80分以上为达标，则估计能被吸收为正式社员的人数为（ ）
（附：若随机变量，则，，.）
A. 18B. 13C. 9D. 5
4. 有3台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率分别为，加工出来的零件混放在一起．己知第台车床加工的零件数的比为，现任取一个零件，记事件“零件为第i台车床加工” ，事件“零件为次品”，则（ ）
A. 0.2B. 0.05C. D.
5. 已知数列满足：，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
6. 如果方程能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数．隐函数的求导方法如下：在方程中，把y看成x的函数，则方程可看成关于x的恒等式，在等式两边同时对x求导，然后解出即可．例如，求由方程所确定的隐函数的导数，将方程的两边同时对x求导，则（是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得．那么曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
7. 现有一货物堆，从上向下查，第一层有1个货物，第二层比第一层多2个，第三层比第二层多3个，以此类推，记第层货物的个数为，则数列的前2023项和为（ ）
A. B.
C. D.
8. 若，，，则（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知随机事件的概率分别为，且，则（ ）
A. 事件与事件相互独立B. 事件与事件相互对立
C. D.
10. 已知函数，下列选项中正确的是（ ）
A. 在上单调递增，在上单调递减
B. 有极大值
C. 无最小值
D. 若函数恰有6个零点，则实数的取值范围是
11. 已知各项都是正数的数列的前项和为，且，则下列结论正确的是（ ）
A. 当时，B.
C. 数列等差数列D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知随机变量，，且，，则__________.
13. 已知数列满足，则__________.
14. 已知函数及其导函数的定义域均为，且，则不等式的解集是__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知，函数的图象在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2.
（1）求的值；
（2）求在上的值域.
16. 记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列.
（1）求的通项公式；
（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和.
17. 2024年1月18日是中国传统的“腊八节”，“腊八”是中国农历十二月初八（即腊月初八）这一天．腊八节起源于古代祭祀祖先和神灵的仪式，后逐渐成为民间节日，盛行于中国北方．为调查不同年龄人群对“腊八节”民俗文化的了解情况，某机构抽样调查了某市的部分人群．
（1）在100名受调人群中，得到如下数据：
根据小概率值的独立性检验，分析受调群体中对“腊八节”民俗的了解程度是否存在年龄差异；
（2）调查问卷共设置10个题目，选择题、填空题各5个．受调者只需回答8个题：其中选择题必须全部回答，填空题随机抽取3个进行问答．某位受调者选择题每题答对的概率为0.8，知道其中3个填空题的答案，但不知道另外2个的答案．求该受调者答对题目数量的期望．
参考公式：
①．
独立性检验常用小概率值和相应临界值：
②随机变量X，Y期望满足：
18. 某排球教练带领甲、乙两名排球主力运动员训练排球接球与传球，首先由教练第一次传球给甲、乙中的某位运动员，然后该运动员再传回教练.每次教练接球后按下列规律传球：若教练上一次是传给某运动员，则这次有的概率再传给该运动员，有的概率传给另一位运动员.已知教练第一次传给了甲运动员，且教练第次传球传给甲运动员的概率为.
（1）求，；
（2）求的表达式；
（3）设，证明：
19. 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线．1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程为，其中为参数．当时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数．它们与正、余弦函数有许多类似的性质．
（1）类比正、余弦函数导数之间的关系，，，请写出，具有的类似的性质（不需要证明）；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；
（3）求的最小值．年龄
了解程度
不了解
了解
30岁以下
16
24
50岁以上
16
44
0.1
0.05
0.01
0.005
0001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
2023~2024学年度第二学期期末考试
高二数学
注意事项：
1.本试卷考试时间为120分钟，满分150分.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
3.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答题标号；答非选择题时，将答案写在答题卡上相应区域内，超出答题区域或写在本试卷上无效.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列函数求导正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据基本初等函数的导数公式和复合函数的求导法则，可对选项一一判断即得.
【详解】对于A项，因，故A项错误；
对于B项，，故B项正确；
对于C项，，故C项错误；
对于D项，，故D项错误.
故选：B.
2. 已知等比数列满足，，则（ ）
A. 1B. C. 3D.
【答案】C
【解析】
【分析】两式相除即可得解.
【详解】因为，，，，
所以.
故选：C
3. 2021年7月30日，东京奥运会女子七人制橄榄球中国队完胜日本队，该事件吸引了大批大学生开始练习橄榄球，某大学橄榄球社团先对报名者力量和速度进行综合评分，评分达标者方能被吸收为正式社员.现有400人报名，他们的综合评分服从正态分布，若80分以上为达标，则估计能被吸收为正式社员的人数为（ ）
（附：若随机变量，则，，.）
A. 18B. 13C. 9D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】利用正态分布的对称性求出80分以上的概率，即可求解.
【详解】因为X服从正态分布，
所以，
则估计能被吸收为正式社员的人数为（人）.
故选：C
4. 有3台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率分别为，加工出来的零件混放在一起．己知第台车床加工的零件数的比为，现任取一个零件，记事件“零件为第i台车床加工” ，事件“零件为次品”，则（ ）
A. 0.2B. 0.05C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，由全概率公式、条件概率公式和贝叶斯公式，结合已知条件，求解即可.
【详解】根据题意可得：；
；
由全概率公式可得：
；
故.
故选：D.
5. 已知数列满足：，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据递推公式列出数列的前几项，即可找到规律，从而得解.
【详解】因为，
所以，，，
，，，，，，
可知从第6项起数列为周期为3的周期数列，
又，所以.
故选：B
6. 如果方程能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数．隐函数的求导方法如下：在方程中，把y看成x的函数，则方程可看成关于x的恒等式，在等式两边同时对x求导，然后解出即可．例如，求由方程所确定的隐函数的导数，将方程的两边同时对x求导，则（是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得．那么曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用给定隐函数的导数求法确定斜率，再求出切线方程即可.
【详解】由给定定义得，对左右两侧同时求导，
可得，将点代入，得，
解得，故切线斜率为，得到切线方程为，
化简得方程为，故B正确.
故选：B
7. 现有一货物堆，从上向下查，第一层有1个货物，第二层比第一层多2个，第三层比第二层多3个，以此类推，记第层货物的个数为，则数列的前2023项和为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由累加法可得，利用裂项相消求和法求出，即可得解.
【详解】依题意，，，，，
则由累加法得，，因此，
而满足上式，即，则，
所以，.
故选：D
8. 若，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用作商法可得；构建函数，，利用导数判断的单调性，可得，构建，，利用导数判断的单调性，可得.
【详解】显然，，
因为，所以；
又因为，，
令，．则，
可知在上单调递增，
则，可得，
令，，则在内恒成立，
可知在内单调递增，
则，即，所以；
综上所述：．
故选：A．
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知随机事件的概率分别为，且，则（ ）
A. 事件与事件相互独立B. 事件与事件相互对立
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据题意可求得再利用条件概率公式可得，由相互独立事件的定义可知，即事件与事件相互独立；显然，即事件与事件不是相互对立事件；由概率的加法公式和条件概率公式计算可得C正确，D错误.
【详解】对A，根据题意可得
由条件概率公式可得，又
所以，又易知，
所以；
即满足，所以事件与事件相互独立，即A正确；
对B，又，不满足，所以事件与事件不是相互对立事件，即B错误；
对C，易知，即C正确；
对D，由条件概率公式可得，所以D错误.
故选：AC
10. 已知函数，下列选项中正确的是（ ）
A. 在上单调递增，在上单调递减
B. 有极大值
C. 无最小值
D. 若函数恰有6个零点，则实数的取值范围是
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，利用导数判断在的单调性，对于B，由选项A中的单调性进行判断，对于C，分别求出和时的值域分析判断，对于D，作出的图象，结合函数图象，根据一元二次方程根的分布得到关于的不等式，解不等式即可得到实数的取值范围.
【详解】对于A，当时，，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以A正确，
对于B，由选项A可知在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，所以B正确，
对于C，当时，，
当时，，当时，，
所以当时，，
因为在上单调递增，在上单调递减，且当时，恒成立，
综上，的值域为，所以有最小值0，所以C错误，
对于D，因为在上单调递增，在上单调递减，，，
所以的大致图象如图所示
由，得，
令，则，
由的图象可知，要使有6个零点，则方程有两个不相等的实数根，不妨令，
若，则由图可知有6个零点，但，所以不符合题意，
所以，
因为，
所以，解得，即实数的取值范围是，所以D正确，
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调区间、极值和最值，利用导数解决函数零点问题，选项D解题的关键是根据题意画出函数的大致图象，换元后根据图象将问题转化为方程有两个不等的实根，考查计算能力和数学转化思想，属于较难题.
11. 已知各项都是正数的数列的前项和为，且，则下列结论正确的是（ ）
A. 当时，B.
C. 数列是等差数列D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】计算数列首项及第二项可判定A，利用等差数列的定义及的关系可判定C，从而求出的通项公式结合基本不等式、函数的单调性可判定B、D.
【详解】对A，由题意可知，所以，
则，所以，故A错误；
对C，由，故C正确；
对C，所以，
则，故B正确；
对D，易知，令，
则，则单调递增，
所以，即，故D正确.
故选：BCD
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知随机变量，，且，，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据正态曲线的性质求出，即可得到，从而求出，再由二项分布的期望公式计算可得.
【详解】因为且，所以，则，
又，所以，
因为，所以，解得.
故答案为：
13. 已知数列满足，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】依题意可得，两边同除得到，即可得到是以为首项，为公差的等差数列，即可求出的通项，即可得解.
【详解】因为，，
则，
因为，显然，
所以，
所以是以为首项，为公差的等差数列，
所以，
所以，则.
故答案为：
14. 已知函数及其导函数的定义域均为，且，则不等式的解集是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可构造函数，求得的单调性，再利用函数对称性解不等式即可求得结果.
【详解】构造函数，则；
因为，
所以当时，，即，此时在上单调递增；
当时，，即，此时在上单调递减；
又，所以，即；
所以函数图像上的点关于的对称点也在函数图像上，
即函数图像关于直线对称，
不等式变形为，即；
可得，
又在上单调递增，在上单调递减，
所以，解得.
则不等式的解集为.
故答案：
【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据的结构特征构造函数，判断出其单调性，再由得出其对称性解不等式即可.
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知，函数的图象在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2.
（1）求的值；
（2）求在上的值域.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义，求出切线的斜率，利用点斜式求出切线方程，求出切线在坐标轴上的截距，利用三角形面积公式可得结果；
（2）由（1）可得在上单调递增，在上单调递减，求出，，的值可得结果.
【小问1详解】
因为，所以，则.
因为，所以切点坐标为，
所以的图象在点处的切线方程为.
令，得，又，所以，所以.
【小问2详解】
由（1）可知，令，解得，所以在上单调递增.
令，解得，所以 在上单调递减，
又，，，
所以在上的值域为.
16. 记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列.
（1）求的通项公式；
（2）记为在区间中项的个数，求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）先利用等差数列的通项公式求得，再利用求即可得解；
（2）利用“错位相减求和法”即可得解.
【小问1详解】
因为，故，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，
所以，即，
则，两式相减得，即，
所以，
因此的通项公式为.
【小问2详解】
由题可知，
则，所以，
，
两式相减得，
所以.
17. 2024年1月18日是中国传统的“腊八节”，“腊八”是中国农历十二月初八（即腊月初八）这一天．腊八节起源于古代祭祀祖先和神灵的仪式，后逐渐成为民间节日，盛行于中国北方．为调查不同年龄人群对“腊八节”民俗文化的了解情况，某机构抽样调查了某市的部分人群．
（1）在100名受调人群中，得到如下数据：
根据小概率值的独立性检验，分析受调群体中对“腊八节”民俗的了解程度是否存在年龄差异；
（2）调查问卷共设置10个题目，选择题、填空题各5个．受调者只需回答8个题：其中选择题必须全部回答，填空题随机抽取3个进行问答．某位受调者选择题每题答对的概率为0.8，知道其中3个填空题的答案，但不知道另外2个的答案．求该受调者答对题目数量的期望．
参考公式：
①．
独立性检验常用小概率值和相应临界值：
②随机变量X，Y的期望满足：
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）计算出参考独立性检验常用小概率值和相应临界值表比较可得答案；
（2）用分别表示受调者答对选择题、填空题的个数，求出、，由可得答案.
【小问1详解】
，
根据小概率值的独立性检验，
认为受调群体中对“腊八节”民俗的了解程度不存在年龄差异；
【小问2详解】
用分别表示受调者答对选择题、填空题的个数，
则，所以，
则可取则，
所以，，，
所以，
由，
该受调者答对题目数量的期望为.
18. 某排球教练带领甲、乙两名排球主力运动员训练排球的接球与传球，首先由教练第一次传球给甲、乙中的某位运动员，然后该运动员再传回教练.每次教练接球后按下列规律传球：若教练上一次是传给某运动员，则这次有的概率再传给该运动员，有的概率传给另一位运动员.已知教练第一次传给了甲运动员，且教练第次传球传给甲运动员的概率为.
（1）求，；
（2）求的表达式；
（3）设，证明：.
【答案】（1），
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，结合互斥事件和独立事件概率公式进行求解即可；
（2）根据互斥事件和独立事件概率公式，结合等比数列的定义和通项公式进行求解即可；
（3）利用构造函数法，结合导数与函数单调性的关系、等比数列的前项和公式进行证明即可.
【小问1详解】
，，；
【小问2详解】
由已知，∴，即，
∴是以为公比的等比数列，
∴，∴.
【小问3详解】
.
设，，∴，∴在上单调递增，
显然，则，
∴，则，
即，
∴.
【点睛】关键点睛：本题的关键是根据题意利用独立事件概率公式得到递推关系式.
19. 固定项链两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线．1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程为，其中为参数．当时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数．它们与正、余弦函数有许多类似的性质．
（1）类比正、余弦函数导数之间的关系，，，请写出，具有的类似的性质（不需要证明）；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；
（3）求的最小值．
【答案】（1）,
（2）
（3）0
【解析】
【分析】（1）求导即可得结论;
（2）构造函数,求导,并结合分类讨论确定函数的最小值即可求解;
（3）多次求导最终判断函数单调在内单调递增,且函数为偶函数从而确定最小值.
【小问1详解】
求导易知,.
【小问2详解】
构造函数，，由（1）可知，
①当时，由,
可知，，故单调递增，
此时，故对任意，恒成立，满足题意；
②当时，令，，
则，可知单调递增，
由与可知，
存在唯一，使得，
故当时，，
则在内单调递减，
故对任意，，即，矛盾；
综上所述，实数的取值范围为．
【小问3详解】
，，
令，则；
令，则，
当时，由（2）可知，，
则，
令，则，故在内单调递增，
则，故在内单调递增，
则，故在内单调递增，
则，故在内单调递增，
因为，
即为偶函数，故在内单调递减，
则，故当且仅当时，取得最小值0．
年龄
了解程度
不了解
了解
30岁以下
16
24
50岁以上
16
44
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828