河南省开封市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份河南省开封市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试卷（Word版附解析），共20页。

1．本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上对
应的答题区域内，写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设复数z满足，则（ ）
A B. C. D.
2. 设，为两个平面，则的充要条件是
A. 内有无数条直线与平行
B. 内有两条相交直线与平行
C. ，平行于同一条直线
D. ，垂直于同一平面
3. 演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是
A. 中位数B. 平均数
C. 方差D. 极差
4. 在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛．假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4．现采用随机模拟的方法估计甲获得冠军的概率．先由计算机模拟产生1~5之间的整数随机数，当出现随机数1，2或3时表示甲获胜，出现4，5时表示乙获胜．因为比赛采用了3局2胜制，所以每3个随机数为一组，代表3局的结果，经随机模拟产生以下20组随机数：
423 123 423 344 114 453 525 332 152 342
534 443 512 541 125 432 334 151 314 354
据此估计所求概率的值为（ ）
A. 0.3B. 0.35C. 0.6D. 0.65
5. 已知，，且与的夹角，则（ ）
A. 13B. C. 37D.
6. 在中，角的对边分别为，已知，且，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 中，为的中点，与对角线相交于点，记，，用，表示（ ）
A B. C. D.
8. 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．已知四面体为鳖臑，且，，记二面角的平面角为θ，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知，，则下列说法中正确的是（ ）
A. 如果，那么B. 如果，那么
C. 如果互斥，那么D. 如果互斥，那么
10. 已知复数，则（ ）
A. B. C. D.
11. 如图，在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走到达处，在处测得山顶的仰角为，则山高（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量，，在网格中的位置如右图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则______；______．
13. 已知正方体的内切球体积为1，则该正方体的外接球体积为______．
14. 已知复数，，且，则λ的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在一个不透明的盒子中有大小质地完全相同的1个红球和1个白球，从中随机地摸出一个球，观察其颜色后放回．设事件“摸球2次出现1次红球”，“摸球4次出现2次红球”．
（1）分别写出“摸球2次”和“摸球4次”这两个试验的样本空间；
（2）猜想和的大小关系，并验证你的猜想是否正确．
16. 平面直角坐标系Oxy中，已知向量，，，其中．
（1）求；
（2）若，求向量在向量上的投影向量的坐标．
17. 有一种鱼的身体吸收汞，一定量身体中汞的含量超过其体重的的鱼被人食用后，就会对人体产生危害．在一批该鱼中随机抽取30条作为样本，检测其汞含量（乘以百万分之一）如下：
007 0.24 0.95 0.98 1.02 0.98 1.37 1.40 0.39 1.02
1.44 1.58 0.54 1.08 0.61 0.72 1.20 1.14 1.62 1.68
1.85 1.20 0.81 0.82 0.84 1.29 1.26 2.10 1.65 1.31
（1）依据样本数据，补充完成下列频率分布直方图，并分析这30条鱼汞含量的分布特点；
（2）分别依据样本数据和（1）中频率分布直方图估计这批鱼的汞含量的第60百分位数，得到的结果完全一致吗?为什么?
（3）将样本中汞含量最低的两条鱼分别放入相互连通的A、B水池，若这两条鱼的游动相互独立，均有的概率游入另一个水池且不再游回，求这两条鱼最终在同一水池的概率．
18. 如图，在四棱锥中，，，，平面平面ABCD.
（1）证明：平面PCD；
（2）若E是棱PA的中点，且平面PCD，，求异面直线BE与PD所成角的余弦值.
19. 当内一点P满足条件时，称点P为的布洛卡点，角θ为的布洛卡角．如图，在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，记的面积为S，点P为的布洛卡点，其布洛卡角为θ．
（1）证明：．
（2）证明：；
（3）若，且，求A及．
2023—2024学年第二学期期末调研考试
高一数学试题
注意事项：
1．本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上对
应的答题区域内，写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设复数z满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数除法运算求解即可.
【详解】由，可得，
故选 ：A
2. 设，为两个平面，则的充要条件是
A. 内有无数条直线与平行
B. 内有两条相交直线与平行
C. ，平行于同一条直线
D. ，垂直于同一平面
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．
【详解】由面面平行的判定定理知：内两条相交直线都与平行是的充分条件，由面面平行性质定理知，若，则内任意一条直线都与平行，所以内两条相交直线都与平行是的必要条件，故选B．
【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若，则”此类的错误．
3. 演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是
A. 中位数B. 平均数
C. 方差D. 极差
【答案】A
【解析】
【分析】可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案．
【详解】设9位评委评分按从小到大排列为．
则①原始中位数为，去掉最低分，最高分，后剩余，
中位数仍为，A正确．
②原始平均数，后来平均数
平均数受极端值影响较大，与不一定相同，B不正确
③
由②易知，C不正确．
④原极差，后来极差可能相等可能变小，D不正确．
【点睛】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.
4. 在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛．假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4．现采用随机模拟的方法估计甲获得冠军的概率．先由计算机模拟产生1~5之间的整数随机数，当出现随机数1，2或3时表示甲获胜，出现4，5时表示乙获胜．因为比赛采用了3局2胜制，所以每3个随机数为一组，代表3局的结果，经随机模拟产生以下20组随机数：
423 123 423 344 114 453 525 332 152 342
534 443 512 541 125 432 334 151 314 354
据此估计所求概率的值为（ ）
A. 0.3B. 0.35C. 0.6D. 0.65
【答案】D
【解析】
【分析】由20组随机数中先求出甲获胜的频数，从而可求出甲获胜的频率，进而可得答案
【详解】由题意可知，20组随机数中甲获胜的有：423，123，423，114，332，152，342，512，125，432，334，151，314有13组，
所以甲获胜的频率为，
所以甲获得冠军的概率的近似值约为，
故选：D.
5. 已知，，且与的夹角，则（ ）
A. 13B. C. 37D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据数量积的定义求出，再根据及数量积的运算律计算可得.
【详解】因为，，且与的夹角，
所以，
所以.
故选：D
6. 在中，角的对边分别为，已知，且，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用正弦定理把边化为角，再用和差公式得，所以，再用余弦定理即可求解.
【详解】由正弦定理得，
，，
即，
，，
，即，
，又，
.
故选：.
7. 中，为的中点，与对角线相交于点，记，，用，表示（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平面几何的知识得到，即，再根据平面向量线性运算法则计算可得.
【详解】在中，为的中点，与对角线相交于点，
所以，所以，
所以，
所以.
故选：C
8. 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．已知四面体为鳖臑，且，，记二面角的平面角为θ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】取的中点，过点作交于点，证明二面角的平面角为θ就是，结合解三角形知识即可求解.
【详解】由题意设，
取的中点，过点作交于点，连接，如图所示：
因为，，点是等腰直角三角形斜边上的中点，
所以，
又因为，平面，平面，平面平面，
所以二面角平面角为θ就是，
设，则，，，，
从而，所以，
又，
所以，所以，
所以，.
故选：C．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知，，则下列说法中正确的是（ ）
A. 如果，那么B. 如果，那么
C. 如果互斥，那么D. 如果互斥，那么
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于AB，由可得即可；对于CD，由互斥可得即可.
【详解】对于AB，由可得,
所以,故AB正确；
对于CD，由互斥可得，
所以,故C正确，D错误.
故选：ABC.
10. 已知复数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，由共轭复数概念、复数乘法即可判断；对于B，由复数模的计算公式即可判断；对于CD，由复数乘方、复数乘法即可判断.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：ABD.
11. 如图，在山脚测得山顶仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走到达处，在处测得山顶的仰角为，则山高（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据所给条件表示出、、，在中利用正弦定理表示出、，再由锐角三角函数计算可得.
【详解】由题意可知，，，，，
分别在，中，，，
所以，
又，
，
在中，由正弦定理可得，，
即， 所以，
在中，，故A正确，B错误；
在中，由正弦定理可得，，
即， 所以，
在中，，
又，
所以，故C正确、D错误.
故选：AC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量，，在网格中的位置如右图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则______；______．
【答案】 ①. 2 ②. 3
【解析】
【分析】建立坐标系，求出，，的坐标，再根据数量积的坐标运算直接计算即可.
【详解】建立直角坐标系如图所示：
因为网格纸上小正方形的边长为1，
则，
，，
.
故答案为：2；3.
13. 已知正方体的内切球体积为1，则该正方体的外接球体积为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据正方体的内切球体积计算出正方体边长，再利用正方体的外接球体积计算得到结果；
【详解】设正方体的棱长为，正方体的内切球半径为，正方体的内切球体积为，解得，
正方体外接球的半径为，
故正方体的外接球体积为．
故答案为：．
14. 已知复数，，且，则λ的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】利用复数相等建立关系，再消去并结合二次函数求出范围即得.
【详解】由，得，
消去并整理得，
显然，当时，，当时，，
所以λ的取值范围是.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在一个不透明的盒子中有大小质地完全相同的1个红球和1个白球，从中随机地摸出一个球，观察其颜色后放回．设事件“摸球2次出现1次红球”，“摸球4次出现2次红球”．
（1）分别写出“摸球2次”和“摸球4次”这两个试验样本空间；
（2）猜想和的大小关系，并验证你的猜想是否正确．
【答案】（1）答案见解析
（2），猜想正确
【解析】
【分析】（1）根据样本空间的定义逐一列举即可得解；
（2）根据古典概型概率计算公式直接计算即可比较大小.
【小问1详解】
用a表示“取出红球”，b表示“取出白球”，
摸球2次，样本空间为，包含4个等可能的样本点；
摸球4次，样本空间为
，
包含16个等能的样本点；
【小问2详解】
猜想应该有，
，故，
，故，
根据古典概型概率计算公式，得，，
所以，猜想正确.
16. 在平面直角坐标系Oxy中，已知向量，，，其中．
（1）求；
（2）若，求向量在向量上的投影向量的坐标．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）先应用减法得出向量坐标，再应用坐标运算得出夹角；
（2）根据坐标求出模长，再根据投影向量公式计算即可.
小问1详解】
因为，，
，又，所以，所以．
【小问2详解】
，
所以，解之得，
设向量和向量的夹角为θ，又，
所以向量在向量上的投影向量为：
，
当时，，，
当时，，，
所以向量在向量上的投影向量的坐标为或
17. 有一种鱼的身体吸收汞，一定量身体中汞的含量超过其体重的的鱼被人食用后，就会对人体产生危害．在一批该鱼中随机抽取30条作为样本，检测其汞含量（乘以百万分之一）如下：
0.07 0.24 0.95 0.98 1.02 0.98 1.37 1.40 0.39 1.02
1.44 1.58 0.54 1.08 0.61 0.72 1.20 1.14 1.62 1.68
1.85 1.20 0.81 0.82 0.84 1.29 1.26 2.10 1.65 1.31
（1）依据样本数据，补充完成下列频率分布直方图，并分析这30条鱼的汞含量的分布特点；
（2）分别依据样本数据和（1）中频率分布直方图估计这批鱼的汞含量的第60百分位数，得到的结果完全一致吗?为什么?
（3）将样本中汞含量最低的两条鱼分别放入相互连通的A、B水池，若这两条鱼的游动相互独立，均有的概率游入另一个水池且不再游回，求这两条鱼最终在同一水池的概率．
【答案】（1）答案见解析；
（2），，不一致，理由见解析；
（3）.
【解析】
【分析】（1）汞含量在的样本数为12，求出频率即可补充直方图；
（2）分别依据样本数据和（1）中频率分布直方图估计第60百分位数即可求解；
（3）记“两条鱼最终均在A水池”为事件A，记“两条鱼最终均在B水池”为事件B，根据互斥事件的概率加法公式即可求解.
【小问1详解】
汞含量在的样本数为12，故频率为,
在频率分布直方图中对应的高为,
补充频率分布直方图如图所示：
汞含量分布偏向于大于的方向，即多数鱼的汞含量分布在大于的区域.
【小问2详解】
依据样本数据：由，样本数据的第60百分位数为第18，19项数据的平均数，即，
所以估计这批鱼的汞含量的第60百分位数为；
依据频率分布直方图：由，
所以估计这批鱼的汞含量的第60百分位数为，
两种方式得到的估计结果不一致，但相差不大，因为在频率分布直方图中已经损失了一些样本信息，我们无法知道每个组内的数据是如何分布的，此时，通常假设数据在组内均匀分布.
【小问3详解】
记“两条鱼最终均在A水池”为事件A，则，
记“两条鱼最终均在B水池”为事件B，则，
因为事件与事件互斥，
所以这两条鱼最终在同一水池的概率为.
18. 如图，在四棱锥中，，，，平面平面ABCD.
（1）证明：平面PCD；
（2）若E是棱PA的中点，且平面PCD，，求异面直线BE与PD所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）应用面面垂直性质定理结合线面垂直判定定理证明即可；
（2）应用面面平行性质定理得出线线平行求出异面直线所成角余弦值.
【小问1详解】
因为平面平面ABCD，交线为AD，
又平面ABCD，，所以平面PAD，
又因为平面PAD，所以，
又因为，平面PCD，平面PCD，所以平面PCD
【小问2详解】
取AD中点，记为F，连接EF，BF，又因为E为AP中点，
所以，所以为BE与PD所成角（或补角），
又平面PCD，平面PCD，所以平面PCD，
又因为平面PCD，，平面平面
所以平面平面PCD，
又平面平面，平面平面，所以，
由（1）知，平面PAD，所以平面PAD，平面PAD，所以，
，，，
所以.
所以异面直线BE与PD所成角的余弦值为.
19. 当内一点P满足条件时，称点P为的布洛卡点，角θ为的布洛卡角．如图，在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，记的面积为S，点P为的布洛卡点，其布洛卡角为θ．
（1）证明：．
（2）证明：；
（3）若，且，求A及．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3），
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理的面积公式即可证明.
（2）利用余弦定理和（1）中结论即可证明.
（3）利用余弦定理和（2）中结论即可求解.
【小问1详解】
因为①式，
所以.
【小问2详解】
在，，中，分别由余弦定理得：
，
，
，
三式相加整理得：②式，
结合①②式，可得，
整理可得，所以原式得证，
【小问3详解】
若，则，所以，所以，
所以，即，又，
在中，由余弦定理得，
又，所以，
由（2），得，
解之可得．