北京市海淀区2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份北京市海淀区2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试卷（Word版附解析），共20页。试卷主要包含了07， 若复数满足，则的虚部为， 已知向量，则， 在中，点D满足，若，则等内容，欢迎下载使用。
2024.07
学校__________班级__________姓名__________
考生须知1．本试卷共6页，共三道大题，19道小题．满分100分．考试时间90分钟．
2．在试卷上准确填写学校名称、班级名称、姓名．
3．答案一律填涂或书写在试卷上，用黑色字迹签字笔作答．
4．考试结束，请将本试卷交回．
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 若复数满足，则的虚部为（ ）
A. B. 2C. D.
2. 已知向量，则（ ）
A. 0B. C. D.
3. 函数的部分图象如图所示，则其解析式为（ ）
A. B.
C. D.
4. 若，且，则（ ）
A B. C. D. 7
5. 在中，点D满足，若，则（ ）
A. B. C. 3D.
6. 已知，则下列直线中，是函数对称轴为（ ）
A. B. C. D.
7. 在平面直角坐标系xOy中，点，点，其中．若，则（ ）
A. B. C. D.
8. 在中，已知．则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，是锐角三角形B. 当时，是直角三角形
C. 当时，是钝角三角形D. 当时，是等腰三角形
9. 已知是非零向量，则“”是“对于任意的，都有成立”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
10. 定义域为函数的图象的两个端点分别为．点是的图象上的任意一点，其中，点N满足向量，点O为坐标原点．若不等式恒成立，则称函数在上为k函数．已知函数在上为k函数，则实数k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题共5小题，每小题4分，共20分．
11. 知复数z满足，则__________，__________．
12. 在中，，P满足，则____________．
13. 在中，若，则k的一个取值为__________；当时，__________．
14. 一名学生想测算某风景区山顶上古塔的塔尖距离地面的高度，由于山崖下河流的阻碍，他只能在河岸边制定如下测算方案：他在河岸边设置了共线的三个观测点A，B，C（如图），相邻两观测点之间的距离为200m，并用测角仪器测得各观测点与塔尖的仰角分别为,,,根据以上数据，该学生得到塔尖距离地面的高度为__________m．
15 已知函数，给出下列四个结论：
①对任意的，函数是周期函数；
②存在，使得函数在上单调递减；
③存在，使得函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形；
④对任意的，记函数的最大值为，则．
其中所有正确结论的序号是__________．
三、解答题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 已知函数．
（1）求的值和的零点；
（2）求的单调递增区间．
17. 已知．
（1）求；
（2）若，求的最小值．
18. 在中，．
（1）求A的大小；
（2）若，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求最长边上高线长．
条件①：；
条件②：的面积为；
条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
19. 已知n维向量，给定，定义变换；选取，再选取一个实数x，对的坐标进行如下改变：若此时，则将同时加上x．其余坐标不变；若此时，则将及同时加上x，其余坐标不变．若a经过有限次变换（每次变换所取的i，x的值可能不同）后，最终得到的向量满足，则称a为k阶可等向量．例如，向量经过两次变换可得：，所以是2阶可等向量．
（1）判断是否是2阶可等向量？说明理由；
（2）若取1，2，3，4的一个排序得到的向量是2阶可等向量，求；
（3）若任取的一个排序得到的n维向量均为k阶可等向量．则称为k阶强可等向量．求证：向量是5阶强可等向量．
海淀区高一年级练习
数学
2024.07
学校__________班级__________姓名__________
考生须知1．本试卷共6页，共三道大题，19道小题．满分100分．考试时间90分钟．
2．在试卷上准确填写学校名称、班级名称、姓名．
3．答案一律填涂或书写在试卷上，用黑色字迹签字笔作答．
4．考试结束，请将本试卷交回．
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 若复数满足，则的虚部为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再判断其虚部.
【详解】因为，所以，
所以的虚部为.
故选：A
2. 已知向量，则（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量的数量积的坐标表示计算．
【详解】由题意，
故选：B．
3. 函数的部分图象如图所示，则其解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由最小值求得，由求得，再结合最小值点和周期求得．
【详解】由图象知，
所以，
则或，
又，所以，
，，，，
又，，已知，所以，所以，
故选：D．
4. 若，且，则（ ）
A. B. C. D. 7
【答案】D
【解析】
分析】根据正弦得到正切值，利用正切差角公式计算出答案.
【详解】因为，所以，
又，所以，
故，
所以.
故选：D
5. 在中，点D满足，若，则（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平面向量的三角形法则即可得解
【详解】如图，因为在中，，
所以，
又，所以,
所以，
故选：B.
6. 已知，则下列直线中，是函数对称轴的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】举例说明判断ABD；利用轴对称的意义判断C.
【详解】依题意，，解得，
对于A，，，则函数的图象关于不对称，A不是；
对于B，，，则函数的图象关于不对称，B不是；
对于C，，即，
，则函数的图象关于对称，C是；
对于D，，，则函数的图象关于不对称，D不是.
故选：C
7. 在平面直角坐标系xOy中，点，点，其中．若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先的坐标，然后求出模长，然后结合辅助角公式化简，建立关于的方程，解方程即可得解.
【详解】因平面直角坐标系xOy中，点，点
所以
所以
又
所以，即
所以，又因为
所以，即，
故选：A.
8. 在中，已知．则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，是锐角三角形B. 当时，是直角三角形
C. 当时，是钝角三角形D. 当时，是等腰三角形
【答案】B
【解析】
【分析】根据边长应用正弦定理计算分别判断各个选项.
【详解】对于A:因为由正弦定理,
当时，是钝角三角形,
当时，是钝角三角形,A选项错误；
对于B:因为,由,
所以是直角三角形,B选项正确；
对于C:因为,由
当时，,是锐角三角形,C选项错误；
对于D:因为,由,,,
因为，所以不是等腰三角形,D选项错误；
故选：B.
9. 已知是非零向量，则“”是“对于任意的，都有成立”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据充分条件、必要条件的定义及数量积的运算律判断即可.
【详解】因为是非零向量，
若，则，
所以
，
所以对于任意的，都有成立，故充分性成立；
若对于任意的，都有成立，
则，即，
所以，所以，所以，故必要性成立；
所以“”是“对于任意的，都有成立”的充要条件.
故选：C
10. 定义域为的函数的图象的两个端点分别为．点是的图象上的任意一点，其中，点N满足向量，点O为坐标原点．若不等式恒成立，则称函数在上为k函数．已知函数在上为k函数，则实数k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出两个端点，设的横坐标为，纵坐标为，进一步确定，从而求出，求出，得到答案.
【详解】在上的两个端点分别为，
设的横坐标为，纵坐标为，则，
故，
，
故，，
所以，
当时，等号成立，
故实数k的取值范围为.
故选：B
二、填空题共5小题，每小题4分，共20分．
11. 知复数z满足，则__________，__________．
【答案】 ①. ； ②. .
【解析】
【分析】根据复数的运算法则，及共轭复数的定义即可求解
【详解】因为，所以；所以的共轭复数，
故答案为：，
12. 在中，，P满足，则____________．
【答案】0
【解析】
【分析】根据已知及数量积运算律，即可求解.
【详解】由题意可知，.
故答案为：
13. 在中，若，则k的一个取值为__________；当时，__________．
【答案】 ①. （答案不唯一） ②. 1
【解析】
【分析】根据正弦定理，可以进行边化角，然后得到，根据，可得k的取值，又，即可得到的具体值.
【详解】因为，由正弦定理可得，
，又，所以，
所以，又，取，所以，
所以当时，，
故答案为：，1.
14. 一名学生想测算某风景区山顶上古塔的塔尖距离地面的高度，由于山崖下河流的阻碍，他只能在河岸边制定如下测算方案：他在河岸边设置了共线的三个观测点A，B，C（如图），相邻两观测点之间的距离为200m，并用测角仪器测得各观测点与塔尖的仰角分别为,,,根据以上数据，该学生得到塔尖距离地面的高度为__________m．
【答案】
【解析】
【分析】首先根据几何关系表示边长，再根据余弦定理求解.
【详解】由题意可知，，，，，
设，则，，，
根据，
则，解得：
所以塔尖距离底面的高度为米.
故答案为：
15. 已知函数，给出下列四个结论：
①对任意的，函数是周期函数；
②存在，使得函数在上单调递减；
③存在，使得函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形；
④对任意的，记函数的最大值为，则．
其中所有正确结论的序号是__________．
【答案】① ② ③
【解析】
【分析】根据周期函数的定义可以证明①，取时可以判断②，取时可以判断③、④.
【详解】对于①，令，则
，
所以对任意的，函数是周期函数，故①正确；
对于②，当时，，所以
所以，
当时，
即，
因为，所以，易知在上单调递减，
即存在，使得函数在上单调递减，故②正确；
对于③，当时，令，即，易知定义域为R.
因为
所以图象关于轴对称；
又因为，
所以为奇函数，图象关于原点中心对称，
所以存在，使得函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形；故③正确；
对于④，假设④为假命题，则它的否定：
“存在，记函数的最大值为，则”为真命题，
由③知，当时，
所以，所以，存在，函数的最大值为，则，所以假设成立，即④为假命题，
故答案为：①②③.
三、解答题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 已知函数．
（1）求的值和的零点；
（2）求的单调递增区间．
【答案】（1），的零点为；
（2）的单调递增区间为.
【解析】
【分析】（1）先应用诱导公式及两角和差化简，再根据正弦函数的对称中心求出零点即可；
（2）应用正弦函数的单调区间求解即可.
【小问1详解】
令，所以．
所以的零点为
【小问2详解】
因为的单调递增区间为
所以．
所以
所以函数的单调递增区间为
17. 已知．
（1）求；
（2）若，求的最小值．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）先求，然后直接求的平方即可得解；
（2）利用向量的运算律，将转化为关于的二次函数，然后求出最值即可.
小问1详解】
因为，
，
因为
所以，
【小问2详解】
由（1）知，，
因为
所以当时，的最小值为
18. 在中，．
（1）求A的大小；
（2）若，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求最长边上高线的长．
条件①：；
条件②：面积为；
条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）；
（2）答案见解析，最长边上高线长.
【解析】
【分析】（1）利用二倍角的余弦公式，化简求值；
（2）若选择条件①，方法一，根据正弦定理和余弦定理求三边，判断最长边，再根据几何关系求高，方法二，根据边长和角，根据大角对大边，直接判断最长边，再求高；
若选择条件②，根据面积求，再根据余弦定理求边长，再求最长边的高；
如选择条件③，根据正弦定理，判断是否存在.
【小问1详解】
因为，所以
所以，
所以，因为，所以舍
所以，则；
【小问2详解】
选择①
因为，由正弦定理
代入，得
法一：
由余弦定理
代入得
所以
所以或（舍），所以边最长，
边上的高线
法二：
因为，所以，
所以，所以，所以为最长边
边上的高线
选择②
因为
所以
因为，由余弦定理
所以
所以或
所以最长边上的高线，
若选择③，，
根据正弦定理，，则，不成立，
此时不存在.
19. 已知n维向量，给定，定义变换；选取，再选取一个实数x，对的坐标进行如下改变：若此时，则将同时加上x．其余坐标不变；若此时，则将及同时加上x，其余坐标不变．若a经过有限次变换（每次变换所取的i，x的值可能不同）后，最终得到的向量满足，则称a为k阶可等向量．例如，向量经过两次变换可得：，所以是2阶可等向量．
（1）判断是否是2阶可等向量？说明理由；
（2）若取1，2，3，4的一个排序得到的向量是2阶可等向量，求；
（3）若任取的一个排序得到的n维向量均为k阶可等向量．则称为k阶强可等向量．求证：向量是5阶强可等向量．
【答案】（1）是2阶可等向量，理由见解析；
（2）5； （3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据的定义即可求解，
（2）根据的定义即可求解，，即可结合是2阶可等向量求解，
（3）根据是阶可等向量，等价于是阶可等向量，即可根据变换求证.
【小问1详解】
是2阶可等向量．
例如经过两次变换可得：
【小问2详解】
设进行一次变换后得，
当时，
当时，
当时，
当时，
综上，我们得到
．
因为是2阶可等向量，即
所以．
所以
【小问3详解】
任取的一个排序，记为．
注意到，是阶可等向量，等价于是阶可等向量．
变换即对连续五个维度坐标（首尾也看成连续）同时加上，
相当于对剩余两个连续维度的坐标同时加上．
对依次加上，相当于对单独加上；
对依次加上，相当于对单独加上；
……
基于上述分析，相当于可以对分别单独加上．
所以为5阶可等向量，为5阶强可等向量．
【点睛】方法点睛：对于新型定义，首先要了解定义的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.