2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市道里区九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市道里区九年级上学期数学期末试题及答案，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 的倒数是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据倒数的定义作答即可．
【详解】解：，
的倒数是，
故选：A．
【点睛】本题考查了倒数的定义，即乘积为1的两个数互为倒数，熟练掌握知识点是解题的关键．
2. 下列运算中，正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘除法、幂的乘方法则逐项判断即可得．
【详解】解：A、，则此项错误，不符合题意；
B、，则此项错误，不符合题意；
C、，则此项错误，不符合题意；
D、，则此项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘除法、幂的乘方，熟练掌握各运算法则是解题关键．
3. 下列图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）和轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形）逐项判断即可得．
【详解】解：A、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，则此项不符合题意；
B、既是中心对称图形，也是轴对称图形，则此项不符合题意；
C、是中心对称图形但不是轴对称图形，则此项符合题意；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形，则此项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，熟记定义是解题关键．
4. 如图，由5个完全相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体的左视图是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据从左面看得到的图形是左视图，可得答案．
【详解】解：从左面看第一层是二个小正方形，第二层左边一个小正方形，如图：
故选：B．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从左面看得到的图形是左视图．
5. 如图，在中，，，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题需先根据勾股定理得出的长，再根据锐角三角函数的定义即可得出的值．
【详解】，，，
，
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义，在解题时要根据勾股定理解出的长是解本题的关键．
6. 将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数平移法则：左加右减(x），上加下减(y)可知， 进而得出变化后的解析式．
【详解】抛物线的顶点坐标为，
将抛物线左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后的顶点坐标为，
得到的抛物线的解析式为，故A正确．
故选：A
【点睛】此题主要考查了二次函数图像与几何变换，熟记平移规律“左加右减，上加下减”，是解题的关键．
7. 对于每一象限内的双曲线，都随的增大而减小，则的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据“每一象限内的双曲线，都随的增大而减小”可知，解不等式即可得到答案．
【详解】解：∵每一象限内的双曲线，都随的增大而减小”
∴，
解得：，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查根据双曲线的增减性求参数的取值范围，掌握双曲线的图象和性质是解题的关键．
8. 如图，将绕着点按顺时针方向旋转，点落在位置，点落在位置，连接，，，则的度数是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设，则，根据平行线的性质可得，再根据旋转的性质可得，，然后根据等腰三角形的性质可得，最后根据三角形的内角和定理求解即可得．
【详解】解：设，
，
，
，
，
由旋转的性质得：，，
，
在中，，
，
解得，
即，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、旋转的性质等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题关键．
9. 如图，平行四边形中，连接，在的延长线上取一点，点为的中点，连接，交、分别为点、点，则下列结论错误的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用平行四边形的性质以及平行线分线段成比例定理解决问题即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴故A正确，不符合题意；
∵，
∴，
又∵．
∴，故B正确，不符合题意；
∴，
∴，，
∴，故C正确，不符合题意；
∵与不一定相等，不一定等于， 而，故D错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】考核知识点∶ 相似三角形的判定与性质．理解性质是关键．
10. 2022年11月某市发生新冠疫情，为迅速阻断疫情传播，该市防疫指挥部迅速调集一批核酸采样队进驻某区进行核酸采样，为加快核酸采样进度，4小时后又增派第二批核酸采样队加入合做，完成剩下的全部核酸采样工作，设总工作量为单位1，采样进度与采样时间满足如图所示的函数关系，那么实际完成该区核酸采样所用的时间是（ ）小时．
A. 4B. 8C. 10D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】如图（见解析），设表示工作量，表示时间，先利用待定系数法求出所在直线的函数解析式，再求出时，的值即可得．
【详解】解：如图，设表示工作量，表示时间，
设当时，，
将点代入得：，解得，
则，
当时，，解得，
即实际完成该区核酸采样所用的时间是10小时，
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法是解题关键．
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11. 将数字用科学记数法表示为___________．
【答案】
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：将数字用科学记数法可表示为．
故答案为：．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12. 在函数中，自变量的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式的分母不能为0即可得．
【详解】解：由题意得：，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，熟练掌握分式的分母不能为0是解题关键．
13. 把因式分解的结果是___________．
【答案】##
【解析】
【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．
14. 计算的结果是___________．
【答案】
【解析】
【分析】先化简二次根式，再计算二次根式的乘法与减法即可得．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法与减法，熟练掌握运算法则是解题关键．
15. 不等式组的解集为___________．
【答案】##
【解析】
【分析】分别解一元一次不等式，再求不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查的知识点是解一元一次不等式组，属于基础题目，难度不大．解题关键是根据“大大取大，小小取小，大小小大取中，大大小小取不着”写出公共解集即可．
16. 一个袋子中有两个黄球，一个红球，任意摸出一个球后放回去，再任意摸出一个球，求两次摸到一红球和一黄球的概率为___________．
【答案】
【解析】
【分析】先画出树状图，从而可得两次摸球的所有等可能的结果，再找出两次摸到一红球和一黄球的结果，然后利用概率公式计算即可得．
【详解】解：由题意，画出树状图如下：
由图可知，两次摸球的所有等可能的结果共有9种，其中，两次摸到一红球和一黄球的结果有4种，
则两次摸到一红球和一黄球的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了利用列举法求概率，正确画出树状图是解题关键．
17. 某扇形的弧长为，圆心角为，则此扇形的半径为___________．
【答案】9
【解析】
【分析】根据弧长公式求出扇形的半径即可．
【详解】解：设扇形的半径为r，则，
解得：，
故答案为：9．
【点睛】本题考查的知识点是弧长计算公式，熟记公式内容是解此题的关键．
18. 已知：的直径，是的弦，，垂足为，，则的长为___________．
【答案】或##或
【解析】
【分析】分两种情况：①当点在上时，②当点在上时，先利用勾股定理求出的长，再利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：①如图，当点在上时，连接，
的直径，
，
，
，
，
，
，
；
②如图，当点在上时，连接，
的直径，
，
，
，
，
，
，
，
综上，的长为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了勾股定理、圆，正确分两种情况讨论是解题关键．
19. 如图．矩形中，E是上一点，将沿折叠，点A的对称点为F，点F恰好落在边上，若，，则长为___________．
【答案】##2.5
【解析】
【分析】设，则，先根据矩形的性质可得，从而可得，再根据折叠的性质可得，然后根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得的长，最后在中，利用勾股定理可求出的值，由此即可得．
【详解】解：设，则，
四边形为矩形，，
，
，
由折叠的性质得：，
，
，
在和中，，
，
，即，
解得，
在中，，即，
解得，
则，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形与折叠问题、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题关键．
20. 如图，在中，，，点D在上，连接，过点C作，垂足为点E，过点B作，垂足为点F，若，，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】作外接圆，连接，先证出点在的外接圆上，再根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的判定可得，然后根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得的长，最后在中，利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：如图，作的外接圆，连接，
在中，，，
，的外接圆的直径为，
，即，
点在的外接圆上，
（圆周角定理），
，
是等腰直角三角形，且，
又，，
，
，
，即，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，证出点在的外接圆上是解题关键．
三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分）
21. 先化简，再求代数式的值，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，然后根据特殊角的三角函数值求出的值，代入计算即可得．
【详解】解：原式
，
，
原式．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．
22. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形．
（1）画出以为直角边的，点C在方格纸上的格点上，；
（2）在（1）条件下，线段绕点C顺时针旋转，得到线段（点A与点D为对应点），点D在方格纸上的格点上，连接，直接写出四边形的面积．
【答案】（1）图见解析
（2）15
【解析】
【分析】（1）先判断出是直角，再根据正切三角函数的定义可得，结合网格特点画出图形即可；
（2）先根据旋转的性质、勾股定理可得，再根据四边形的面积等于即可得．
【小问1详解】
解：由网格可知，，
是以为直角边，且，
是直角，
，
解得．
则画出图形如下：
【小问2详解】
解：由题意，画出图形如下：
由旋转的性质得：，
则四边形的面积为．
【点睛】本题考查了解直角三角形、旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键．
23. 为喜迎中国共产党第二十次全国代表大会的召开，某中学举行党史知识竞赛．团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标，良好，优秀，优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）请通过计算补全条形统计图，并计算圆心角β的度数；
（3）该中学共有1200名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为多少？
【答案】（1）50名 （2）图见解析，
（3）480名
【解析】
【分析】（1）根据成绩为良好等级学生人数的扇形统计图和条形统计图的信息即可得；
（2）根据（1）的结果，求出成绩为优秀等级的学生人数，据此补全条形统计图即可；再利用乘以成绩为优异等级的学生人数所占百分比即可得的度数；
（3）利用1200乘以成绩为优异等级的学生人数所占百分比即可得．
【小问1详解】
解：（名），
答：在这次调查中，一共抽取了50名学生．
【小问2详解】
解：成绩为优秀等级的学生人数为（人），
补全条形统计图如下：
圆心角的度数为，
答：圆心角的度数为．
小问3详解】
解：（名），
答：估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为480名．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联、利用样本估计总体等知识点，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键．
24. 如图，在四边形中，和相交于点，，．

（1）如图1，求证：四边形是平行四边形；
（2）如图2，分别是的中点，连接，，，，，和相交于点，若，在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图2中是面积4倍的所有三角形．
【答案】（1）见解析 （2）、、、
【解析】
【分析】（1）由得到，再证明，由全等三角形的性质得到，由此即可证明四边形为平行四边形；
（2）由为平行四边形得到，．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形；
【小问2详解】
解：、、、，理由如下：
如下图，设、交于点，
∵点分别为和的中点，
∴是的中位线，
∴，且，
∵，，
∴，
∵为中点，
∴，
∴，
∴四边形、四边形均为平行四边形，
∴分别为、中点，
∴，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵为中点，
∴，
∵。
∴，
∵为中点，
∴，
同理，．
综上所述，图2中是面积4倍的三角形有、、、．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关性质及定理是解决本题的关键．
25. 近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆．
（1）求菜苗基地每捆A种菜苗的价格；
（2）菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元，学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，所花的费用不超过2250元，求在菜苗基地购买A种菜苗至少多少捆．
【答案】（1）20元 （2）75捆
【解析】
【分析】（1）设菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元，根据用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆列出方程，解出方程即可；
（2）购买A种菜苗捆，则购买B种菜苗捆，所花的费用不超过2250元列出不等式求解．
【小问1详解】
解：设：菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元，
解得
检验：将代入，值不为零，
∴是原方程的解，
∴菜苗基地每捆A种菜苗的价格为20元．
【小问2详解】
解：设：购买A种菜苗捆，则购买B种菜苗捆，
又∵，解得：
∴，
∴本次所花的费用不超过2250元，在菜苗基地购买A种菜苗至少75捆．
【点睛】本题考查分式方程与一元一次不等式的应用，根据题意列出分式方程并检验是解答本题的关键．
26. 已知四边形内接于，且．
（1）如图1，求证：为的直径；
（2）如图2，过点C作的垂线交于点E，G为上一点，连接，并延长交延长线于点F，若，，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点A作的切线，在切线上取一点L，使，连接，在上取一点Q，连接并延长交于点P，使，连接和，点N和点M分别在和边上，若，和相交于点K，且，，的面积是，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）7
【解析】
【分析】（1）根据圆内接四边形对角互余结合已知条件得到，再根据的圆周角所对的弦是直径即可证明结论；
（2）如图所示，过点E作于H，先证明，得到，进一步证明，证明，得到，即可证明四边形是正方形，则，由此即可证明；
（3）如图所示，过点L作交延长线于S，先证明，得到，再证明，推出，得到，再由，推出，过点N作于H，延长交于T，连接，证明，得到，再由，得到，即可证明，推出，则，设，则，由，解得，中，由勾股定理得，设，则在中，由勾股定理得，，解得，则，，即可得到．
【小问1详解】
证明：∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴为的直径；
【小问2详解】
证明：如图所示，过点E作于H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：如图所示，过点L作交延长线于S，
∵为的切线，
∴，即，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
过点N作于H，延长交于T，连接，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得（负值舍去），
∴，
在中，由勾股定理得，
设，则
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，正方形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
27. 已知在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线交x轴和y轴分别于点A和点B，抛物线的图象交x轴于点O和点A，交直线于点C，点C的横坐标为2．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P在第三象限的抛物线上，设P的横坐标为t，连接和，的面积为S，求S与与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，点D在第一象限的抛物线上，连接，过点D作的平行线交抛物线于点K，过点P作x轴的垂线，垂足为点E，交的延长线于点F，连接和相交于点G，若，，求的长．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）过点C作轴，交于点D，根据题意得出，求出直线的解析式为，求出，得出，表示出；
（3）过点A作交y轴于点Q，过点B作，交于点M，交x轴于点N，过点M作轴于点H，先求出点，然后求出的解析式为：，再求出直线的解析式为，联立，求出，从而得出，证明为等腰直角三角形，得出，证明，得出，即，说明，列出关于t的方程，求出t的值，得出点F的坐标，求出的解析式，联立，求出点D的坐标，根据求出的解析式，联立，求出点K的坐标，最后根据两点间距离公式求出的长即可．
【小问1详解】
解：把代入得：，
解得：，
∴，
∵点C在直线上，且点C的横坐标为2，
∴把代入得：，
∴，
把，代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为．
【小问2详解】
解：过点C作轴，交于点D，如图所示：
∵点P的横坐标为t，
∴，
设的解析式为，把，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
把代入直线的解析式得：，
∴，
∴，
∴的面积为S为：
；
【小问3详解】
解：过点A作交y轴于点Q，过点B作，交于点M，交x轴于点N，过点M作轴于点H，如图所示：
把代入，得，
∴，
∵，，
∴，
设直线为，把代入得：
解得：，
∴直线为，
把代入得：，
∴点，
∵，
∴设的解析式为：，把代入得：，
解得：，
∴的解析式为：，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
把代入得：，解得：，
∴直线的解析式为，
联立，解得：，
∴，
∴，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
把代入直线的解析式得：，
∴，
∵，
∴，
解得：，，
∵点P在第三象限内，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为：，把，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为：，
联立，
解得：，，
∴，
∵的解析式为，
∵，
∴设的解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴的解析式为，
联立，
解得：，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，求一次函数解析式，三角形的面积，三角形相似的判定和性质，勾股定理，两点间距离公式，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，构造相似三角形，数形结合，仔细运算．