灌云县第一中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份灌云县第一中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．( )
A.B.C.D.
2．掷一颗质地均匀的骰子，观察所得的点数为a，设事件“a为3”，“a为4”，“a为奇数”，则下列结论正确的是( )
A.A与B为互斥事件B.A与B为对立事件
C.A与C为对立事件D.A与C为互斥事件
3．已知复数z满足，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为( )
A.B.C.D.
4．某学校有学生2500人，教师350人，后勤职工150人，为了调查队食堂服务的满意度，用分层抽样从中抽取300人，则学生甲被抽到的概率为( )
A.B.C.D.
5．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为13，弧长为的扇形，则该圆锥的体积为( )
A.B.C.D.
6．在正四面体中，点E，F，G分别为棱，，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
7．已知，则的值为( )
A.B.C.D.
8．已知的外接圆的圆心为O，且，，则的最大值为( )
A.B.C.2D.3
二、多项选择题
9．下列说法正确的是( )
A.用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率是0.1
B.已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5
C.数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23
D.若样本数据，，…，的标准差为8，则数据，，…，的标准差为32
10．设a，b为两条不重合的直线，为一个平面，则下列说法正确的是( )
A.若，，则B.若，，则
C.若，，则D.若，，则
11．如图，在棱长为2的正方体中，M,N,P分别是,,的中点，Q是线段上的动点，则下列说法中正确的是( )
A.存在点Q，使B,N,P,Q四点共面
B.存在点Q，使平面
C.三棱锥的体积为
D.经过C,M,B,N四点的球的表面积为
三、填空题
12．给定数6，4，3，8，6，3，8，3，1，8，则这组数据的中位数是________.
13．已知直三棱柱的侧棱长为3，直三棱柱底面的直观图是一个等腰直角三角形(如图)，斜边长，则该直三棱柱的侧面积为________.
14．已知事件A与B相互独立，，，则________.
四、解答题
15．已知向量,.
（1）若向量,的夹角为锐角，求x的取值范围；
（2）若，求.
16．为打造精品赛事，某市举办“南粤古驿道定向大赛”，该赛事体现了“体育+文化+旅游”全方位融合发展.本次大赛分少年组、成年组、专业组三个小组，现由工作人员统计各个组别的参赛人数以及选手们比赛时的速度，得到如下统计表和频率分布直方图：
（1）求a，b的值；
（2）估计本次大赛所有选手的平均速度（同一组数据用该组数据的中间值作代表，最终计算结果精确到0.01）；
（3）通过分层抽样从成年组和专业组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人接受采访，求接受采访的2人都来自“成年组”的概率.
17．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求角A的大小；
（2）若，，求边上中线的长.
18．如图，三棱柱中，，，，，.
（1）证明：.
（2）求三棱柱的体积.
（3）求二面角的平面角余弦值大小.
19．已知函数.
（1）当，且的最大值为，求m的值；
（2）方程在上的两解分别为、，求的值.
参考答案
1．答案：A
解析：，
故选：A.
2．答案：A
解析：依题意可知:事件A与B不可能同时发生，A，B互斥，但不是对立事件；显然A与C可以同时发生，不是互斥事件，更不是对立事件.
故选A
3．答案：D
解析：，，
，，
，
z的共轭复数的虚部为，
故选：D.
4．答案：A
解析：根据分层抽样的特点可以知道,抽取的学生为人,则学生甲被抽到的概率,所以A选项是正确的.
5．答案：C
解析：圆锥的侧面展开图是一个半径为13，弧长为的扇形，
设圆锥底面圆的半径为r，则，故，
又圆锥的母线为13，故高为，
故该圆锥的体积为.
故选：C.
6．答案：A
解析：连接，设正四面体的棱长为2，
因为G,F分别为,的中点，则，
所以异面直线，所成角为（或其补角），
在中，则,，
由余弦定理可得，
所以异面直线，所成角的余弦值为.
故选：A.
7．答案：D
解析：因为
，
所以，
故选：D
8．答案：C
解析：由正弦定理得，故，
因为，所以，
则
，
因为，则，
故.
故选：C
9．答案：AC
解析：对于选项A,个体m被抽到的概率为，故该选项正确；
对于选项B，，解得，
则方差为，故该选项错误；
对于选项C,数据27，12，14，30，14，17，19，23从小到大排列为，12，14，14，17，19，23，27，30，
由于，其中第6个数为23，故该选项正确；
对于选项D,设数据，，…，的均值为，
则数据，，…，的均值为，
因为数据，，…，的标准差为，
所以数据，，…，的标准差为
，故该选项错误；
故选：AC.
10．答案：BD
解析：对于A，直线a可能在平面内，可能与平面相交，也可能平面平行，故A错误.
对于B，设直线l为平面内的任意一条直线，因为，，所以，又，所以，即b与内任意直线垂直，所以，故B正确.
对于C，若，，则直线a与直线b可能平行，也可能异面，故C错误.
对于D，过直线a作平面，使得平面与平面相交，设，
因为，，，所以，又，，所以，则，故D正确.
故选:BD
11．答案：ABD
解析：对于A中，如图所示，在正方体中，连接,，
因为N,P分别是,的中点，所以,
又因为，所以，所以,B,N,P四点共面，
即当Q与点重合时，B,N,P,Q四点共面，所以A正确；
对于B中，连接,，当Q是的中点时，
因为,，所以，
因为平面，平面，所以平面，所以B正确；
对于C中，连接，，，因为，
则，所以C错误；
对于D中，分别取,的中点E,F，构造长方体，
则经过C,M,B,N四点的球即为长方体的外接球，
设所求外接球的直径为，则长方体的体对角线即为所求的球的直径，即，
所以经过C,M,B,N四点的球的表面积为，所以D正确.
故选：ABD
12．答案：5
解析：根据题意，将数据从小到大排列为：1，3，3，3，4，6，6，8，8，8，
则数据的中位数为，
故答案为：5.
13．答案：
解析：由题意知：，
斜二测法知：原直三棱柱中，的对应边长为，对应边长为，且对应边长不变，故底面周长为，而直三棱柱的侧棱长为3，故其侧面积为.
故答案为：.
14．答案：0.88
解析：因为事件A与B相互独立，
所以，
所以.
故答案为：0.88
15．答案：（1）；
（2）
解析：（1）因为向量,的夹角为锐角，
所以，且与不同向共线，
则，解得且，
故x的取值范围为
（2）由,，得，
若，则，即，解得，
所以，
所以
16．答案：（1），；
（2）9.05千米/小时；
（3）.
解析：（1）由频率分布直方图可知
，.
少年组人数为300人，频率，总人数人，
.
，.
（2）平均速度：，
估计本次大赛的平均速度为9.05千米/小时.
（3）成年组和专业组的参赛人数分别为600人、300人.
设在成年组和专业组抽取的人数分布为x，y，
则.
，.
由分层抽样在成年组中抽取4人，专业组中抽取2人.
设成年组中的4人分别用A，B，C，D表示；专业组中的2人分别为a，b表示.从中抽取两人接受采访的所有结果为：
AB，AC，AD，Aa，Ab，BC，BD，Ba，Bb，CD，Ca，Cb，Da，Db，ab共15种.
接受采访的两人均来自成年组的所有结果为：
AB，AC，AD，BC，BD，CD共6种.
故接受采访的两人都来自成年组的概率为.
17．答案：（1）；
（2）若，则边上中线的长为；
若，则边上中线的长为；
解析：（1）因为，
所以，
所以，
由余弦定理可得，又，
所以，
（2）由可得，
所以，，
所以或，
所以或，
若，则，
又，所以，
设的中点为D，
所以边上中线的长为，
若，则，为等边三角形，
因为，所以，
设的中点为E，
所以边上中线的长为.
18．答案：（1）证明见解析；
（2）3；
（3）
解析：（1）取中点O，连结，，，
，，
是正三角形，.
，，
，平面平面，
平面.
又平面，；
（2）由题设知与都是边长为2的等边三角形，所以.又，则，故.
因为，所以平面，即为三棱柱的高，
又的面积，故三棱柱的体积.
（3）过O作于H点，连接，
因为，，，平面，
所以平面，所以，
又，，平面，
所以平面，
因为平面，
故，.
则即为二面角的平面角.
在中：，，
所以，
所以.
19．答案：（1）；
（2）.
解析：（1），当时，令，则，则.
，
令，令，该二次函数图象开口向上，对称轴为直线.
①当时，二次函数在区间上单调递减，
则，不合乎题意；
②当时，二次函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则，解得或（舍）；
③当时，二次函数在区间上单调递增，
则，解得（舍）.
综上所述，；
（2）设，，则，
由于正弦函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，由，得，
因为方程在上的两解分别为、，
则，必有，，
所以，，同理，
，由于，且，，则，
由，可得.
组数
速度（千米/小时）
参赛人数（单位：人）
少年组
300
成年组
600
专业组
b