河南省信阳市淮滨县多校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份河南省信阳市淮滨县多校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．已知复数z满足,则复数z的虚部为( )
A.B.C.D.
3．设A,B是直线l上两点,则“A,B到平面a的距离相等”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4．若样本数据,,…,的方差为3,则,,…,的方差为( )
A.7B.9C.27D.25
5．已知AD是的中线,,,以,为基底表示,则( )
A.B.C.D.
6．已知m，n为异面直线，平面α，平面β，直线l满足，，，，则( )
A.且B.且
C.α与β相交，且交线垂直于lD.α与β相交，且交线平行于l
7．如图,已知边长为4的正方形ABCD的中心与半径为的圆O的圆心重合,点P是圆O上的一点,则的值为( )
A.16B.18C.20D.22
8．如图,在直三棱柱中,,,点D是线段上靠近的三等分点,则直线与所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知平面向量,,则( )
A.当时,
B.若,则
C.若,则
D.若与的夹角为钝角,则
10．在直三棱柱中,,且,M为线段BC上的动点,则下列结论中正确的是( )
A.
B.异面直线与所成角的取值范围为
C.的最小值为
D.当M是BC的中点时,过三点的平面截三棱柱外接球所得的截面面积为
11．设A,B,C为随机事件,且,,,下列说法正确的是( )
A.事件A,B相互独立与A,B互斥不可能同时成立
B.若三个事件A,B,C两两独立,则
C.若事件A,B独立,则
D.若,,,则
三、填空题
12．已知水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图为矩形,已知,,则四边形ABCD的周长为________.
13．如图,已知正三棱柱的底面边长为2cm,高为5cm,一质点自A点出发,沿着三棱柱的侧面绕行一周到达点的最短路线的长为________cm.
14．某市半程马拉松比赛需要学生志愿者若干名,其中某路段从某校高一年级1000人中按男,女采用比例分配的分层随机抽样抽取一个容量为50的样本,且样本中男生人数比女生人数多20人,则这1000人中女生有________人.
四、解答题
15．设复数（其中）,.
（1）若是实数,求的值;
（2）若是纯虚数,求.
16．某高校承办了奥运会的志愿者选拔面试工作,现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组:第一组,第二组,第三组,第四组,第五组,绘制成如图所示的频率分布直方图,已知第三､四､五组的频率之和为0.7,第一组和第五组的频率相同.
（1）求a,b的值;
（2）估计这100名候选者面试成绩的平均数和分位数（精确到0.1）;
（3）在第四､五两组志愿者中,按比例分层抽样抽取5人,然后再从这5人中选出2人,求选出的两人来自同一组的概率.
17．已知向量,,函数.
（1）求函数在上的单调递减区间;
（2）若,且,求的值;
（3）将图象上所有的点向左平移个单位,然后再向上平移1个单位,最后使所有点的纵坐标变为原来的2倍,得到函数的图象,当时,方程有一解,求实数m的取值范围.
18．如图,在平面四边形ABCD中,已知,,为等边三角形,记,.
（1）若,求的面积;
（2）证明:;
（3）若,求的面积的取值范围.
19．如图1,在矩形ABCD中,,,M是线段上（包括端点）的一动点,如图2,将沿着BM折起,使点A到达点P的位置,满足点平面BCDM.
（1）如图2,当时,点N是线段PC上点的,平面PBM,求的值;
（2）如图2,若点P在平面BCDM内的射影E落在线段BC上.
①是否存在点M,使得平面PCM,若存在,求PM的长;若不存在,请说明理由;
②当三棱锥的体积最大值时,求点E到平面PCD的距离
参考答案
1．答案：D
解析：集合,,
则.
故选:D.
2．答案：A
解析：,故z的虚部为.故选：A.
3．答案：B
解析：
4．答案：C
解析：
5．答案：B
解析：,故选B.
6．答案：D
解析：试题分析：由平面，直线l满足，且，所以，又平面，，，所以，由直线m，n为异面直线，且平面平面，则与相交，否则，若则推出，与m，n异面矛盾，所以，相交，且交线平行于l，故选D.
7．答案：C
解析：由题意知
,
所以的值为20.
故选:C.
8．答案：C
解析：直三棱柱中,
,,
以C为坐标原点,CA为x轴,CB为y轴,为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,
所以.,
设直线与所成角为,
则,
所以直线与所成角的余弦值为.
故选:C.
9．答案：ACD
解析：A.当时,,故A正确;
B.若,则,解得,故B错误;
C.若,则,解得,故C正确;
D.由,若与的夹角为钝角,则且与不共线,解得且,故D正确.
故选ACD.
10．答案：ABD
解析：
11．答案：ACD
解析：
12．答案：10
解析：
13．答案：
解析：正三棱柱的底面边长为2cm,高为5cm,沿着正三棱柱的侧棱剪开,如图,
把正三棱柱的侧面展成一个平面图形,可得一个长为,宽为5cm一个矩形,
可矩形的对角线长为,即最短路线的长为.故答案为:.
14．答案：300
解析：设样本中女生人数为x,则男生人数为,由,得,所以这1000人中女生有(人).
15．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）由已知,
是实数,
,即,
.
（2）,
由于是纯虚数,,解得,
则.
.
16．答案：（1）
（2）69.4
（3）
解析：（1）因为第三､四､五组的频率之和为0.7,
所以,解得,
所以前两组的频率之和为,即,解得;
（2）由（1）知,
平均数为;
前两组频率之和为0.3,前三组频率之和为0.75,所以中位数位于组内,
且,即50%分位数为69.4;
（3）第四､五两组志愿者分别有20人,人,
故按照分层抽样抽得第四组志愿者人数为4,分别设为
第五组志愿者人数为1,设为,
这5人选出2人,所有情况有,,,,,,,,,,共10种,
其中选出的2人来自同一组的有,,,,,共6种,
所以选出的2人来自同一组的概率为.
17．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）因为,
所以即
又因为,所以函数在上的单调递减区间为
（2）若则,所以.
因为,所以,
所以,
所以
故.
（3）将图象上所有的点的纵坐标变为原来的,再向下平移1个单位,最后再向右平移个单位得到函数的图象,
即:
则,
当时,
由方程有一解,可得m的取值范围为.
18．答案：（1）
（2）见解析
（3）
解析：（1）在平面四边形ABCD中,已知,,为等边三角形,记,
在中,由余弦定理,,
所以,则,所以,
又因为为等边三角形,
所以,且,
所以,
则的面积为;
（2）在中,由正弦定理可得,
即且,
由于,
故,
由于三角形中,,因此,得证,
（3）在平面四边形ABCD中,已知,,为等边三角形,,设,
在中,由余弦定理,,
,
在中,由正弦定理,,即,所以,
结合
,
又因为,所以,
所以,
即的面积的取值范围为.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）取BC的中点F,连接DF,FN,
因为,所以,
因为,所以四边形MDFB为平行四边形,
所以,
因为平面PBM,平面PBM,
所以平面PBM,
因为平面PBM,,DF,平面DNF,
所以平面∥平面,
因为平面平面,平面平面,
所以,
因为F是BC的中点,所以;
（2）①存在点M,当点DNF与点D重合,即时,平面,
理由如下:当点DNF与点D重合时,则,
因为平面BCD,平面BCD,所以,
因为,BC,平面PBC,
所以平面PBC,
因为平面PBC,所以,
因为,,PM,平面PMC,
所以平面PCM,
即当点M与点D重合,时,平面PCM;
②在矩形ABCD中作于O,延长AO交BC于点G,折起后得,
设,则,
因为,,
所以,
因为,所以,
因为,
所以,得,即,得,
所以,
因为,,,OP,平面POG,
所以平面POG,
因为平面POG,所以,
因为平面BCDM,平面BCDM,所以,
所以点E与点G重合,
因为要使得点P的射影落在线段BC上,所以,
则,解得,
在中,,
所以
,
当且仅当,即时,,
当时,,,则E是BC的中点,
所以点E到平面PCD的距离为.