高中数学必修第一册《单元分层过关检测》第2章一元二次函数、方程和不等式单元测试A卷含解析答案

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第二章 一元二次函数、方程和不等式单元测试A卷1．若则一定有A． B． C． D．2．设，，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．若a，b，c为实数，则下列命题正确的是（    ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则4．我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，向各几何？其意是：今有人出钱576，买竹子78根，拟分大､小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大､小竹子各多少根？每根竹子单价各是多少钱？则在这个问题中大竹子每根的单价可能为（    ）A．6钱 B．7钱 C．8钱 D．9钱5．若，则的最小值是（    ）A． B． C． D．6．已知，则的最大值为（　　）A．2 B．4 C．5 D．67．若正数x，y满足，则的最小值是（    ）A．6 B． C． D．8．已知 且，若恒成立，则实数m的取值范围是（    ）A． B．} C． D．9．若、、，则下列命题正确的是（    ）A．若且，则B．若，则C．若且，则D．10．已知关于x的不等式的解集为，则（    ）A．B．C．不等式的解集为D．不等式的解集为11．设正实数m、n满足，则下列说法正确的是（    ）A．的最小值为3 B．的最大值为1C．的最小值为2 D．的最小值为212．已知实数、满足，，则的取值范围为 ．13．若，则的最小值为 ．14．设函数，不等式的解集为，若对任意恒成立，则实数的取值范围为 .15．（1）已知，且，证明：．（2）证明：．16．已知.(1)当时，求的最小值；(2)当时，求的最小值.17．已知关于x的不等式的解集为或（）.(1)求a，b的值；(2)当，，且满足时，有恒成立，求k的取值范围.18．红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用元购进甲灯笼与用元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多元．(1)求甲、乙两种灯笼每对的进价；(2)经市场调查发现，乙灯笼每对售价元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对．销售部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价为元，小明一天通过乙灯笼获得利润元．①求出与之间的函数解析式；②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？19．高一的珍珍阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题.对于非空数集A，B，定义且，将称为“A与B的笛卡尔积”(1)若，，求和；(2)试证明：“”是“”的充要条件；(3)若集合是有限集，将集合的元素个数记为.已知，且存在实数满足对任意恒成立.求的取值范围，并指明当取到最值时和满足的关系式及应满足的条件.参考答案：1．D【详解】本题主要考查不等关系．已知,所以，所以，故．故选2．C【分析】利用作差法结合得出的等价条件，即可得出结论.【详解】因为，，由可得，则，即，因此，若，，则“”是“”的充要条件.故选：C.3．C【分析】对于A，取代入判断；对于B，代入判断；对于C、D，根据不等式的性质运算分析判断．【详解】对于A，若，则，A错误；对于B，若，取，则，B错误；对于C， ∵，则，即，C正确；对于D ，∵，则，∴，D错误；故选：C．4．C【分析】根据题意设买大竹子，每根单价为，可得，由，解不等式组即可求解.【详解】依题意可设买大竹子，每根单价为，购买小竹子，每根单价为，所以，即，即，因为，所以，根据选项，，所以买大竹子根，每根元.故选：C【点睛】本题考查了不等式，考查了数据处理能力以及分析能力，属于基础题.5．B【分析】利用基本不等式即可得解.【详解】由，可得，，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故选：B.6．A【分析】由基本不等式求解即可【详解】因为，所以可得，则，当且仅当，即时，上式取得等号，的最大值为2．故选：A．7．C【分析】对变形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【详解】因为正数x，y满足，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为故选：C8．D【分析】根据基本不等式可取的最小值，从而可求实数m的取值范围.【详解】∵，且，∴，当且仅当时取等号，∴，由恒成立可得，解得：，故选：D.9．BD【分析】利用特殊值法可判断A选项；利用作差法可判断BCD选项.【详解】对于A选项，若且，取，，则，A错；对于B选项，若，则，B对；对于C选项，若且，则，则，故，C错；对于D选项，，当且仅当时，等号成立，故，D对.故选：BD.10．ABD【分析】根据一元二次不等式的解与二次方程的根之间的关系可得，即可结合选项逐一求解.【详解】由于不等式的解集为，所以和是的两个实数根，所以，故，，故AB正确，对于C,不等式为，故，故C错误，对于D, 不等式可变形为，解得，故D正确，故选：ABD11．ABD【分析】根据基本不等式判断．【详解】因为正实数m、n，所以，当且仅当且m+n=2，即m=n=1时取等号，此时取得最小值3，A正确；由 ，当且仅当m=n=1时，mn取得最大值1，B正确；因为，当且仅当m=n=1时取等号，故≤2即最大值为2，C错误；，当且仅当时取等号，此处取得最小值2，故D正确.故选：ABD12．【分析】设，利用待定系数法求出的值，然后根据不等式的性质即可求解.【详解】解：设，则，解得，所以，因为，，所以，，所以，故答案为：.13．【分析】两次利用基本不等式即可求出.【详解】，，当且仅当且，即时等号成立，所以的最小值为.故答案为：.14．【分析】先根据不等式的解集求得，得到，再把对任意，恒成立，结合二次函数的性质，转化为恒成立，即可求解.【详解】由函数，且不等式的解集为，即是方程两个实数根，可得，解得，所以，又由，且，当时，函数取得最大值，最大值为，因为对任意恒成立，即恒成立，解得或，所以实数的取值范围为.故答案为：.15．（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】(1)利用不等式的性质证明即可；(2)等价于证明++，对不等式两边同时平方后只需证明，再平方即可证明.【详解】证明：（1）由，且，所以，且所以，所以，即；所以，即．（2）要证，只需证，即证；即证，即证；即证，显然成立；所以．16．(1)16(2)【分析】（1）由，得到，进而解不等式即可求解；（2）由，可得，再用基本不等式“1”的妙用即可求解.【详解】（1）当时，，即，即，所以，即，当且仅当时等号成立，所以的最小值为16.（2）当时，，即，所以，当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为.17．(1)，(2)【分析】（1）方法一：根据不等式的解集为或，由1和b是方程的两个实数根且，利用韦达定理求解；方法二：根据不等式的解集为或，由1和b是方程的两个实数根且，将1代入求解.（2）易得，再利用“1”的代换，利用基本不等式求解.【详解】（1）解：方法一：因为不等式的解集为或，所以1和b是方程的两个实数根且，所以，解得方法二：因为不等式的解集为或，所以1和b是方程的两个实数根且，由1是的根，有，将代入，得或，∴；（2）由（1）知，于是有，故，当且仅当时，等号成立，依题意有，即，得，所以k的取值范围为.18．(1)甲种灯笼26元，乙种灯笼35元(2)①；②乙种灯笼的销售单价为65元时，一天获得利润最大【分析】（1）设每对甲种灯笼的进价x元，每对乙种灯笼的进价元，根据用元购进甲灯笼与用元购进乙灯笼的数量相同，列分式方程可解；（2）①利用总利润等于每对灯笼的利润乘以卖出的灯笼的实际数量，可以列出函数的解析式；②由函数为开口向下的二次函数，可知有最大值，结合问题的实际意义，可得答案．【详解】（1）设每对甲种灯笼的进价x元，每对乙种灯笼的进价元，所以 两边同乘得：，解得：，经检验：为该分式方程的解，且符合题意．所以甲种灯笼元，乙种灯笼元；（2）①由题意，故与的函数解析式为 ②由①知，函数开口向下函数在对称轴处有最大值．因为销售部门规定其销售单价不高于每对元所以， 所以乙种灯笼的销售单价为元时，一天获得利润最大．19．(1)答案见详解(2)证明见详解(3)答案见详解【分析】（1）根据的定义直接运算求解；（2）根据的定义结合充分必要条件分析证明；（3）设，则，，结合基本不等式求的取值范围，并结合根式分析求解.【详解】（1）由题意可得：，.（2）若，设，由定义可知：且，所以“”是“”的必要条件；若，对任意，均有，即对任意，均有，由任意性可知，则，所以“”是“”的充分条件；综上所述：“”是“”的充要条件.（3）设，则，，可得，当且仅当，即时，等号成立，所以实数的取值范围.若取到最大值，则，即，可得，即，所以.