高中数学必修第一册《单元分层过关检测》第3章函数的概念与性质单元测试A含解析答案

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第三章 函数的概念与性质单元测试A学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列图象中，能表示函数图象的是（    ）  A．①② B．②③ C．②④ D．①③2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ）A． B． C． D．3．已知函数则等于（    ）A． B． C． D．4．已知,则使成立的的取值范围是（　  ）A． B．C． D．5．设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ）A． B． C． D．6．设是定义域为R的奇函数，且.若，则（    ）A． B． C． D．7．是幂函数，且在上是减函数，则实数（    ）A．2 B． C．4 D．2或8．某企业一个月生产某种商品万件时的生产成本为（万元），每件商品售价为元，假设每月所生产的产品能全部售完．当月所获得的总利润用（万元）表示，用表示当月生产商品的单件平均利润，则下列说法正确的是（    ）A．当生产万件时，当月能获得最大总利润万元B．当生产万件时，当月能获得最大总利润万元C．当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元D．当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元二、多选题9．下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（    ）A．与B．与C．与D．与10．函数是定义在R上的奇函数，下列说法正确的是（    ）A．B．若在上有最小值，则在上有最大值1C．若在上为增函数，则在上为减函数D．若时，，则时，11．（多选）若函数在上满足：对任意的，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．下列函数能被称为“理想函数”的有（    ）A． B．C． D．三、填空题12．函数的值域是 ．13．已知偶函数在单调递减，.若，则的取值范围是 .14．若区间满足：①函数在上有定义且单调；②函数在上的值域也为，则称区间为函数的共鸣区间．请完成：（1）写出函数的一个共鸣区间 ；（2）若函数存在共鸣区间，则实数k的取值范围是 ．四、解答题15．（1）求函数的值域；（2）求函数的值域．16．已知函数的解析式.(1)求；(2)若，求a的值；(3)画出的图象，并写出函数的值域（直接写出结果即可）.17．已知是定义在上的奇函数，当时，．(1)求时，函数的解析式；(2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．18．（1）已知，求的解析式；（2）已知，求函数的解析式；（3）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式；（4）已知，求的解析式．19．对于定义域为D的函数，如果存在区，其中，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称函数是区间上的“保值函数”，区间称为“保值区间”．(1)求证：函数不是定义域上的“保值函数”；(2)若函数是区间上的“保值函数”，求的取值范围；(3)对（2）中函数，若不等式对恒成立，求实数a的取值范围．参考答案：1．D【分析】根据函数的定义判断可得出结论.【详解】解：∵一个只能对应一个，∴①③符合题意，对于②中，当时，一个对应两个，不符合函数的定义；对于④中，当时，一个对应两个，不符合函数的定义.故选：D．2．C【分析】根据抽象函数的定义域的求解，结合具体函数单调性的求解即可.【详解】因为函数的定义域为，所以的定义域为.又因为，即，所以函数的定义域为.故选：C.3．A【分析】由分段函数概念，代入对应解析式求解即可.【详解】∵∴.故选：A.4．A【分析】（方法1）分别在时，解不等式，在时，解不等式，再求并集得答案. （方法2）在同一坐标轴中画的图象，虚线，则函数图象在虚线及以上的部分中的取值范围，即不等式的解集，从而得答案.【详解】（方法1）当时，不等式可化为，解得，又，所以；当时，，不等式可化为，解得，又，所以. 综上，使不等式成立的的取值范围是.故选: A.（方法2）函数的图象如图所示，虚线表示，函数图象在虚线及以上的部分中的取值范围即不等式的解集.由图可知，的取值范围就是点的横坐标与点的横坐标之间的范围.在中，令，得，所以点的横坐标为.在中，令，得（舍去）或，所以点的横坐标为，所以使不等式成立的的取值范围是.故选：A.5．B【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.【详解】由题意可得，对于A，不是奇函数；对于B，是奇函数；对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选：B【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.6．C【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得的值.【详解】由题意可得：，而，故.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.7．A【分析】根据幂函数的性质和定义即可求解.【详解】由于是幂函数，所以，解得或，由于在上是减函数，所以，故，因此，故选：A8．D【分析】求出的表达式，利用二次函数的基本性质可求得的最大值及其对应的的值，求出的表达式，利用基本不等式可求得的最大值及其对应的的值，即可出结论.【详解】由题意可得，故当时，取得最大值，，当且仅当时，等号成立，因此，当生产万件时，当月能获得最大总利润万元，当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元.故选：D.9．ACD【分析】根据题意，由同一函数的定义对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】对于A，函数，函数，两函数的定义域与对应法则都一致，所以是同一函数，故正确；对于B，函数的定义域为，函数的定义域为，它们的定义域不同，所以不是同一函数，故错误；对于C，函数与函数，两函数的定义域与对应法则都一致，所以是同一函数，故正确；对于D，函数与的定义域相同，对应法则也相同，所以是同一函数，故正确；故选:ACD10．ABD【分析】根据奇函数的定义并取特值即可判定；利用奇函数的定义和最值得定义可以求得在上有最大值，进而判定；利用奇函数的单调性性质判定；利用奇函数的定义根据时的解析式求得时的解析式，进而判定．【详解】由得，故正确；当时，，且存在使得，则时，，，且当有,∴在上有最大值为1，故正确；若在上为增函数，而奇函数在对称区间上具有相同的单调性，则在上为增函数，故错误；若时，，则时，，，故正确．故选：．【点睛】本题考查函数的奇偶性，掌握奇函数的定义是解题关键．11．ABD【分析】先通过分析，得到若在上单调递增，则函数为“理想函数”，然后依次判断四个选项能否满足题意.【详解】不妨设，则由题意可得，即，由单调性定义可知，函数在上单调递增，即若在上单调递增，则称函数为“理想函数”．A选项中，该函数在上单调递增，符合“理想函数”的定义；B选项中，该函数在上单调递增，符合“理想函数”的定义；C选项中，该函数在上单调递减，不符合“理想函数”的定义；D选项中．该函数在上单调递增，符合“理想函数”的定义．故选：ABD．12．【分析】将函数进行化简，得到，分别对和，利用基本不等式，得到答案.【详解】函数，当，由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立，当时，由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立，所以函数的值域为，故答案为.【点睛】本题考查求具体函数的值域，属于简单题.13．【详解】因为是偶函数，所以不等式，又因为在上单调递减，所以，解得.考点：本小题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性，考查绝对值不等式的解法，熟练基础知识是关键.14． 或或 【解析】（1）设是区间上的共鸣区间，由解得结果即可得解；（2）根据题意转化为方程在上有两个不等的实根，然后换元，令，转化为在上有两个不等的实根，令，利用二次函数的性质列式可解得结果.【详解】（1）设是区间上的共鸣区间，因为在上递增，且在上的值域也为，所以，即，因为，所以或或，函数的共鸣区间为或或.（2）因为函数在上单调递增，若存在共鸣区间，则，即，也就是方程在上有两个不等的实根，令，得，所以在上有两个不等的实根，令，则，即，解得，故实数k的取值范围是【点睛】关键点点睛：第二问利用等价转化思想将问题转化为二次函数的零点问题求解是解题关键.15．（1）（2）【分析】（1）利用换元法，令，解得后代入可得，根据二次函数性质可求得值域；（2）利用分离常数法可得，从而可得，进而得到值域.【详解】（1）设，则    当时，的值域为（2）        的值域为【点睛】本题考查函数值域的求解，重点考查了换元法和分离常数法求解根式型和分式型函数的值域；求解值域问题的关键是能够熟练掌握解析式的形式所对应的值域的求解方法.16．(1)(2)或(3)图象见解析，【分析】（1）根据解析式直接求解可得；（2）根据a的范围分段解方程可得；（3）根据解析式直接描点作图即可.【详解】（1）∵函数的解析式，∴，.（2）∵，，∴或或，解得或.（3）画出函数的图象如图所示：    由图可知，的最大值为，函数的值域为.17．(1)；(2).【分析】（1）设，计算，再根据奇函数的性质，得，即可得解；（2）作函数的图像，若在区间上单调递增，结合函数图像，列出关于的不等式组求解.【详解】（1）设，则，所以又为奇函数，所以，所以当时，.（2）作函数的图像如图所示，要使在上单调递增，结合的图象知，所以，所以的取值范围是.18．（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）根据已知函数代入直接求解即可，（2）利用换元法或配凑法求解，（3）利用待定系数法求解，设，然后根据已知条件列方程求出即可，（4）利用方程组法求解，用－x替换中的x，将得到的式子与原式子联立可求出.【详解】（1）因为，所以．（2）方法一  设，则，，即，所以，所以．方法二  因为，所以．（3）因为是二次函数，所以设．由，得c＝1．由，得，整理得，所以，所以，所以．（4）用－x替换中的x，得，由，解得．19．(1)证明见解析；(2)；(3)；【分析】（1）求解函数的值域，由“保值函数”的定义判断；（2）由定义域和值域都是，将问题等价于方程有两个不等的实数根，根据判别式大于零计算即可；（3）首先进行转化可得对恒成立，根据恒成立思想分别求最值即可得解.【详解】（1），时，，根据“保值函数”的定义可知，函数不是定义域上的“保值函数.（2）因为在上单调递增，结合题意易知在内单调递增，且定义域和值域都是，所以或，，因此是方程的两个不等实数根，等价于方程有两个不等的实数根，即，解得或，当时，，所以，满足；当时，，所以，满足；所以实数的取值范围为.（3），，，即为对恒成立.令，易证在单调递增，同理在单调递减.因此，，，所以解得，又或，所以的取值范围是.