高中数学必修第一册《单元分层过关检测》第4章指数函数与对数函数单元测试B含解析答案

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第四章 指数函数与对数函数单元测试B学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（    ）A． B． C． D．2．已知，则的值是A． B．C． D．3．已知且，，当时均有，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．4．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（    ）（ln19≈3）A．60 B．63 C．66 D．695．设，，则A． B．C． D．6．已知函数，满足对任意x1≠x2，都有0成立，则a的取值范围是（　　）A．a∈(0,1) B．a∈[,1) C．a∈(0,] D．a∈[,2)7．设函数，则f(x)（    ）A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减8．已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（    ）A． B．C． D．二、多选题9．已知函数,下列说法正确的是(    )A．若定义域为R,则 B．若值域为R,则C．若最小值为0,则 D．若最大值为2,则10．已知函数，下面说法正确的有（    ）A．的图象关于轴对称B．的图象关于原点对称C．的值域为D．，且，恒成立11．设函数，集合，则下列命题正确的是（    ）A．当时，B．当时C．若，则k的取值范围为D．若（其中），则三、填空题12．若直线与函数的图象有两个公共点，则a的取值范围是 .13．给出下列结论：①，，y的值域是[2，5]；②幂函数图象不过第四象限；③函数的图象过定点（1，0）；④若，则a的取值范围是；⑤若，，，则.其中正确的序号是 .14．已知函数，若对任意，存在使得恒成立，则实数a的取值范围为 ．四、解答题15．已知函数.（1）若的定义域为，求实数的取值范围；（2）若的值域为，求实数的取值范围.16．已知函数，(1)当时，求函数在的值域(2)若关于x的方程有解，求a的取值范围．17．已知函数.(1)求函数的值域；(2)解关于的不等式；(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.18．近年来，受全球新冠肺炎疫情影响，不少外贸企业遇到展会停办、订单延期等困难，在该形势面前，某城市把目光投向了国内大市场，搭建夜间集市，不仅能拓宽适销对路的出口产品内销渠道，助力外贸企业开拓国内市场，更能推进内外贸一体化发展，加速释放“双循环”活力.某夜市的一位文化工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（按30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系满足（为常数，且），日销售量（单位：件）与时间的部分数据如下表所示：设该文化工艺品的日销售收入为（单位：元），且第15天的日销售收入为1057元. (1)求的值；(2)给出以下四种函数模型：①；②；③；④.请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式；(3)利用问题（2）中的函数，求的最小值.19．对于函数，若其定义域内存在实数满足，则称为“伪奇函数”．（1）已知函数，试问是否为“伪奇函数”？说明理由；（2）若幂函数使得为定义在上的“伪奇函数”，试求实数的取值范围；（3）是否存在实数，使得是定义在上的“伪奇函数”，若存在，试求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．15202530105110105100参考答案：1．C【分析】设，根据当连续函数满足（a）（b）时，在区间上有零点，即方程在区间上有解，进而得到答案．【详解】解：设，当连续函数满足（a）（b）时，在区间上有零点，即方程在区间上有解，又（2），（3），故（2）（3），故方程在区间上有解，即利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是.故选：C．2．B【分析】由题意结合根式的运算法则整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意知， ，由于，故，则原式.故选B.【点睛】本题主要考查根式的运算法则及其应用，属于中等题.3．C【分析】由题意只需对一切恒成立，作出与的图象，数形结合即可求解．【详解】只需对一切恒成立，作出与的图象如下：由图象可得：当时，，解得.当时，，解得故选：C4．C【分析】将代入函数结合求得即可得解.【详解】，所以，则，所以，，解得.故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.5．B【详解】分析：求出，得到的范围，进而可得结果．详解：.,即又即故选：B.6．C【分析】根据条件知在R上单调递减，从而得出，求a的范围即可．【详解】∵满足对任意x1≠x2，都有0成立，∴在R上是减函数，∴，解得，∴a的取值范围是．故选：C．7．D【分析】根据奇偶性的定义可判断出为奇函数，排除AC；当时，利用函数单调性的性质可判断出单调递增，排除B；当时，利用复合函数单调性可判断出单调递减，从而得到结果.【详解】由得定义域为，关于坐标原点对称，又，为定义域上的奇函数，可排除AC；当时，，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，排除B；当时，，在上单调递减，在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据与的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.8．D【分析】由，结合已知，将问题转化为与有个不同交点，分三种情况，数形结合讨论即可得到答案.【详解】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根即可，令，即与的图象有个不同交点.因为，当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意；当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；当时，如图3，当与相切时，联立方程得，令得，解得（负值舍去），所以.综上，的取值范围为.故选：D. 【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.9．BCD【分析】根据对数函数的单调性以及二次函数的性质逐项分析计算即可.【详解】对于A，若函数定义域为R,则恒成立,当时,恒成立,满足题意,当时,则有,解得,所以实数的取值范围为,故选项A错误；对于B，若函数值域为R,则能取尽大于零的所有实数，当时,,不满足题意，当时,则有,解得，所以若值域为R,则,故选项B正确；对于C，若函数最小值为0,则有最小值1，由二次函数的图象和性质得,解得,故选项C正确;对于D，若函数最大值为2,则有最大值4,由二次函数的图象和性质得,解得,故选项D正确.故选:BCD.10．BC【解析】判断的奇偶性即可判断选项AB，求的值域可判断C，证明的单调性可判断选项D，即可得正确选项.【详解】的定义域为关于原点对称,，所以是奇函数，图象关于原点对称，故选项A不正确，选项B正确；，因为，所以，所以，，所以，可得的值域为，故选项C正确；设任意的，则，因为，，，所以，即，所以，故选项D不正确；故选：BC【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法（1）取值：设是该区间内的任意两个值，且；（2）作差变形：即作差，即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；（3）定号：确定差的符号；（4）下结论：判断，根据定义作出结论.即取值---作差----变形----定号----下结论.11．ABD【分析】A解一元二次方程直接求解集即可；B由题设易知集合中方程无解即可判断；C、D画出的图象，令根据二次函数的性质及所得的图象判断正误即可.【详解】A：时，或，结合解析式：时有或，时有，所以，正确；B：时，方程无解，则，正确；由解析式可得其函数图象如下图示：令，开口向上且对称轴为，若，则，即，有以下情况：1、，：此时，令，则在上有一个零点，∴，可得， 2、，，由A知：.综上：，故C错误；若，由函数的性质及图象知：必有，.此时，，，所以，，所以，故D正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：C、D选项中，画出大致图象，结合二次函数的性质判断给定集合对应的的可能取值，再结合图象判断正误.12．【分析】就的取值分类讨论后可得a的取值范围.【详解】直线与的图象有两个公共点，故有两个不同的解，故和共有两个不同的解，因为，故有且只有一个实数解.若，则，故无解，而只有一个解，故有且只有一个实数解，与题设矛盾，舍；若，因为只有一个解，故需有一解，故，故.故答案为：.13．②④【分析】对于①：判断出在是的单调性，直接求值域.对于②：由幂函数的图像直接判断；对于③：由对数函数的图像过定点坐标进行判断；对于④：由对数函数的单调性解不等式；对于⑤：化为同构的形式，利用单调性即可求解.【详解】①当时，函数单调递减，时，函数单调递增，函数的最小值，函数的最大值，所以函数的值域是[1，5]，故①不正确.②幂函数图象一定不过第四象限，②正确.③因为，所以函数一定过定点，故③不正确.④当时，，不成立；当时，，即，故④正确.⑤原不等式变形为，，，设函数，则函数在单调递减，由，，，变形为，所以，即，故⑤ 不正确.故答案为：②④.14．【分析】恒成立存在性共存的不等式问题，需要根据题意确定最值比大小解不等式即可.【详解】根据题意可得只需即可，由题可知a为对数底数且或.当时，此时在各自定义域内都有意义，由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递减，所以，，所以，即，可得；当时，由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增，所以，，所以，即，可得.综上：.故答案为：.15．（1）；（2）【解析】对研究：（1）分类讨论和，时，应该有；（2）分类讨论和，时，应该有；【详解】（1）函数的定义域为，即在上恒成立。当时，得或.当时，显然在上不能恒成立，故舍去； 当时，恒成立；当，即时，则.解得或.综上可得，实数的取值范围为.（2）设的值域为，的函数值要取遍所有的正数，即是值域的子集.当时，得或.当时，符合题意；当时，不符合题意；当时，函数为二次函数，即函数的图象与轴有交点且开口向上，则，解得.综上可知，实数的取值范围为【点睛】本题考查对数型复合函数的定义域和值域．掌握对数函数的性质是解题基础．解题时注意对真数多项式中最高次项系数需分类讨论．16．(1)(2)【分析】（1）依题意可得，令，则，最后根据二次函数的性质计算可得；（2）依题意可得有解，参变分离可得有解，再根据指数函数的性质计算可得；【详解】（1）解：∵，，令，∵，∴，∴，，而对称轴，开口向上，∴当时，当时，∴的值域是.（2）解：方程有解，即有解，即有解，∴有解，令，则，∴.17．(1)(2)或(3)【分析】（1）根据对数的运算性质可化简由换元法结合二次函数的性质即可求解，（2）由一元二次不等式以及对数不等式即可求解，（3）分离参数，结合基本不等式求解最值即可求解.【详解】（1）因为定义域为，则设，则，所以值域为.（2）不等式可化为，即解得或即或，解得或所以不等式的解集为或（3）因为，所以，设，则，原问题化为对任意，即，因为（当且仅当即时，取等号），即的最小值为0，所以.18．(1)(2)选择函数模型②，(3)961【分析】（1）根据已知条件列方程，由此求得的值.（2）根据函数的单调性选择模型并根据已知条件列方程，求得，从而求得的解析式.（3）结合基本不等式和函数的单调性求得正确答案.【详解】（1）因为第15天的日销售收入为1057元，所以，解得.（2）由表中的数据知，当时间变化时，先增后减.而函数模型①；③；④都是单调函数，所以选择函数模型②.由，解得，，.所以日销售量与时间的变化关系为.（3）由（2）知所以即.当，时，由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立.当，时，单调递减，所以.综上所述：当时，取得最小值，最小值为961.19．（1）不是；（2）；（3）．【分析】（1）先假设为“伪奇函数”，然后推出矛盾即可说明；（2）先根据幂函数确定出的解析式，然后将问题转化为“在上有解”，根据指数函数的值域以及对勾函数的单调性求解出的取值范围；（3）将问题转化为“在上有解”，通过换元法结合二次函数的零点分布求解出的取值范围.【详解】（1）假设为“伪奇函数”，存在满足，有解，化为，无解，不是“伪奇函数”；（2）为幂函数，，，，为定义在的“伪奇函数”，在上有解，在上有解，令，在上有解，又对勾函数在上单调递减，在上单调递增，且时，，时，，，的值域为，，；（3）设存在满足，即在上有解，在上有解，在上有解，令，取等号时，在上有解，在上有解（*），，解得， 记，且对称轴，当时，在上递增，若（*）有解，则，，当时，在上递减，在上递增，若（*）有解，则，即，此式恒成立，，综上可知，.【点睛】关键点点睛：解答本题（2）（3）问题的关键在于转化思想的运用，通过理解“伪奇函数”的定义，将问题转化为方程有解的问题，利用换元的思想简化运算并完成计算.