高中数学必修第一册《单元分层过关检测》第5章三角函数单元测试A含解析答案

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第五章 三角函数单元测试A学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是（    ）A． B．C． D．2．若，则的化简结果是（    ）A． B． C． D．3．已知，且，则（    ）A． B． C． D．4．函数f(x)=在[—π，π]的图像大致为A． B．C． D．5．已知，且，则（    ）A． B．C． D．6．若，则（    ）A． B．C． D．7．把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（    ）A． B．C． D．8．达·芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，，数百年来让无数观赏者人迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角处作圆弧的切线，两条切线交于点，测得如下数据：（其中）.根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（    ）A． B． C． D．二、多选题9．下列结论正确的是（    ）A．是第三象限角B．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为C．若角的终边上有一点，则D．若角为锐角，则角为钝角10．设函数，则下列结论中正确的是（    ）A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称C．在上单调递减 D．在上的最小值为011．如图，一圆形摩天轮的直径为100米，圆心O到水平地面的距离为60米，最上端的点记为Q，现在摩天轮开始逆时针方向匀速转动，30分钟转一圈，以摩天轮的中心为原点建立平面直角坐标系，则下列说法正确的是（    ）A．点Q距离水平地面的高度与时间的函数为B．点Q距离水平地面的高度与时间的函数的对称中心坐标为C．经过10分钟点Q距离地面35米D．摩天轮从开始转动一圈，点Q距离水平地面的高度不超过85米的时间为20分钟三、填空题12．已知都是锐角，，则 .13．记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为 ．14．已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ．  四、解答题15．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了“弧田”，“弦”和“矢”的定义，“弧田”(如图阴影部分所示)是由圆弧和弦围成，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.（1）当圆心角为，矢为2的弧田，求：弧田(如图阴影部分所示)的面积；（2）已知如图该扇形圆心角是，半径为，若该扇形周长是一定值当为多少弧度时，该扇形面积最大？16．已知．(1)化简函数；(2)若，求和的值．17．已知函数(1)求函数的最小正周期；(2)函数的单调递增区间和对称轴方程．(3)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．18．已知函数的一段图象过点，如图所示．(1)求函数的表达式；(2)将函数的图象向右平移个单位，得函数的图象，求在区间上的值域；(3)若，求的值.19．定义：若函数的定义域为D，且存在非零常数，对任意，恒成立，则称为线周期函数，为的线周期.（1）下列函数（其中表示不超过x的最大整数），是线周期函数的是____________（直接填写序号）；（2）若为线周期函数，其线周期为，求证：为周期函数；（3）若为线周期函数，求的值.参考答案：1．C【分析】根据终边相同的角的表示方法，以及角度和弧度的用法要求，分别判断各选项，可得答案.【详解】对于A，B，，中角度和弧度混用，不正确；对于C，因为与是终边相同的角，故与角的终边相同的角可表示为，C正确；对于D，，不妨取，则表示的角与终边不相同，D错误，故选：C2．D【分析】根据同角平方和的关系，结合角的范围即可化简求解.【详解】，由于，所以，故，故选：D3．C【分析】根据已知可求得，根据同角三角函数的基本关系，即可得出答案.【详解】由已知可得，，所以.因为，所以，.所以，.故选：C.4．D【分析】先判断函数的奇偶性，得是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．【详解】由，得是奇函数，其图象关于原点对称．又．故选D．【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．5．A【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于的一元二次方程，求解得出，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.【详解】，得，即，解得或（舍去），又.故选：A.【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.6．C【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.【详解】[方法一]：直接法由已知得：,即：，即：所以故选：C[方法二]：特殊值排除法解法一:设β=0则sinα +cosα =0，取，排除A, B；再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β，排除D；选C.[方法三]：三角恒等变换 所以即故选：C.7．B【分析】解法一：从函数的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到，即得，再利用换元思想求得的解析表达式；解法二：从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式.【详解】解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，根据已知得到了函数的图象，所以，令,则,所以,所以；解法二：由已知的函数逆向变换，第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，即为的图象，所以.故选：B.8．A【解析】由已知，设．可得．于是可得，进而得出结论．【详解】解：依题意，设．则．，．设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为．则，．故选：A．【点睛】本题考查了直角三角形的边角关系、三角函数的单调性、切线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．BC【分析】利用象限角的定义可判断A选项；利用扇形的面积公式可判断B选项；利用三角函数的定义四可判断C选项；取可判断D选项.【详解】对于A选项，因为且为第二象限角，故是第二象限角，A错；对于B选项，若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的半径为，因此，该扇形的面积为，B对；对于C选项，若角的终边上有一点，则，C对；对于D选项，因为为锐角，不妨取，则为直角，D错.故选：BC.10．ABC【分析】AB选项，代入检验是否是对称中心和对称轴，C选项，求出，由数形结合验证单调性，D选项，求出，结合求出最小值.【详解】当时，，所以的图象关于点对称，A正确；当时，，所以的图象关于直线对称，B正确；当时，，在上单调递减，故C正确；当时，，在上的最小值为，D错误.故选：ABC11．CD【分析】由题可知，摩天轮转一圈用30分钟，则OQ在分钟转过的角为，即可得OQ为终边的角，进而判断A选项；对称中心的横坐标满足，即可判断B选项；将代入点Q距离水平地面的高度与时间的函数中，即可判断C选项；令，求解即可判断D选项.【详解】由题意知，OQ在分钟转过的角为，所以以OQ为终边的角为，所以点Q距离水平地面的高度与时间的关系为，故A错误；由，得，所以不是对称中心，故B错误；经过10分钟，，故C正确；由，得，得，解得，共20分钟，故D正确.故选：CD12．/【分析】要求，先求，结合已知可有，利用两角差的余弦公式展开可求.【详解】、为锐角，，，由于为锐角，故答案为： 13．【分析】首先表示出，根据求出，再根据为函数的零点，即可求出的取值，从而得解；【详解】解： 因为，（，）所以最小正周期，因为，又，所以，即，又为的零点，所以，解得，因为，所以当时；故答案为：14．【分析】设，依题可得，，结合的解可得，，从而得到的值，再根据以及，即可得，进而求得．【详解】设，由可得，由可知，或，，由图可知，，即，．因为，所以，即，．所以，所以或，又因为，所以，．故答案为：．【点睛】本题主要考查根据图象求出以及函数的表达式，从而解出，熟练掌握三角函数的有关性质，以及特殊角的三角函数值是解题关键．15．（1）；（2）.【分析】（1）令圆弧的半径为，由定义知求，进而由弧田面积，即可求其面积；（2）由题意得，扇形面积，利用基本不等式求其最大值，确定最大值时的值即可.【详解】（1）由题意，如下图示，令圆弧的半径为，，∴，即，得，∴弧田面积，而，∴.（2）由题意知：弧长为，即该扇形周长，而扇形面积，∴当且仅当时等号成立.∴当时，该扇形面积最大.【点睛】关键点点睛：（1）根据“矢”的定义，结合扇形中弦、半径、圆心角的关系求其半径，进而由面积关系求弧田面积即可；（2）由扇形周长、面积公式列出扇形面积关于圆心角的函数，应用基本不等式求最值并确定等号成立的条件.16．(1)(2)；.【分析】（1）由三角函数的诱导公式化简得出；（2）由三角函数的诱导公式化简再计算得出.【详解】（1）（2）因为，所以，所以；．17．(1)(2)单调递增区间为；对称轴方程为(3)最大值是，最小值是﹣1【分析】（1）展开利用辅助角公式化简即可求最小正周期（2）根据复合函数整体法即可求单调递增区间和对称轴方程（3）根据复合函数整体法即可最大值和最小值【详解】（1）函数的最小正周期（2）令解得所以函数的单调递增区间为令,解得所以对称轴方程为（3）当时,所以所以函数在区间上的最大值是,最小值是18．(1)(2)(3)【分析】（1）通过三个连续零点的值可以求出函数的周期，根据最小正周期公式可以求出的值，将特殊点代入解析式中，可以求出，的值，进而确定函数解析式；（2）根据正弦型函数的图象变换特点可以求出的解析式，由 可求出，进而得到的值域；（3）根据可求出，由此求出，进而得到的值.【详解】（1）由图知，，则.由图可得，在处最大值，又因为图象经过，故，所以，故，又因为，所以，函数又经过，故，得.所以函数的表达式为．（2）由题意得，，因为，所以，则，所以，所以在区间上的值域为.（3）因为，所以，即，又因为，所以， 由，所以.所以，所以.19．（1）；（2）证明见解析；（3）.【分析】（1）根据新定义逐一判断即可；（2）根据新定义证明即可；（3）若为线周期函数，则存在非零常数，对任意，都有，可得，解得的值再检验即可.【详解】（1）对于，，所以不是线周期函数，对于，，所以不是线周期函数，对于，，所以是线周期函数；（2）若为线周期函数，其线周期为，则存在非零常数对任意，都有恒成立，因为，所以，所以为周期函数；（3）因为为线周期函数，则存在非零常数，对任意，都有，所以，令，得，令，得，所以，因为，所以，检验：当时，，存在非零常数，对任意，，所以为线周期函数，所以：.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是对新定义的理解和应用，以及特殊值解决恒成立问题.