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高中数学必修第一册《单元分层过关检测》第5章三角函数单元测试B卷含解析答案
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这是一份高中数学必修第一册《单元分层过关检测》第5章三角函数单元测试B卷含解析答案，共21页。
1．已知函数（且）的图像经过定点，且点在角的终边上，则（ ）A． B．0 C．7 D．2．已知，则（ ）A． B． C． D．23．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（ ）A． B． C． D．4．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）A． B．C． D．5．已知，，是函数的两个零点，且的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称，则的最大值为（ ）A． B． C． D．6．若，则（ ）A． B． C． D．7．已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（ ）A． B． C． D．8．2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ Day）．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是（ ）．A． B．C． D．9．已知，，其中，为锐角，则以下命题正确的是（ ）A． B．C． D．10．将函数的图象向左平移个单位得到函数，则下列说法正确的是（ ）A．的周期为 B．的一条对称轴为C．是奇函数 D．在区间上单调递增11．筒车是我国古代发明的一种灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(图1)，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图2).现有一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟旋转1圈，筒车的轴心距离水面的高度为2米，设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为(单位：米)(在水面下则为负数)，若以盛水筒P刚浮出水面为初始时刻，经过t秒后，下列命题正确的是（ ）(参考数据：)A．，其中，且B．，其中，且C．当时，盛水筒再次进入水中D．当时，盛水筒到达最高点12．我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形如图所示，记直角三角形较小的锐角为α，大正方形的面积为，小正方形的面积为，若，则的值为 13．已知，则的值是 .14．函数是定义域为R的奇函数，满足，且当时，，给出下列四个结论：① ；② 是函数的周期；③ 函数在区间上单调递增；④ 函数所有零点之和为.其中，正确结论的序号是 .15．已知是第三象限角， .（1）化简；（2）若，求的值；（3）若，求的值.16．已知，，，，求：(1)的值；(2)的值.17．设函数，其中.已知.（Ⅰ）求；（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.18．已知函数的一段图象过点，如图所示．(1)求函数的表达式；(2)将函数的图象向右平移个单位，得函数的图象，求在区间上的值域；(3)若，求的值.19．若函数满足且（），则称函数为“函数”．(1)试判断是否为“函数”，并说明理由；(2)函数为“函数”，且当时，，求的解析式，并写出在上的单调增区间；(3)在（2）条件下，当，关于的方程（为常数）有解，记该方程所有解的和为，求． 参考答案：1．D【分析】由题知,进而根据三角函数定义结合齐次式求解即可.【详解】解:令得,故定点为, 所以由三角函数定义得，所以故选：D2．D【分析】利用诱导公式化简可得的值，再利用弦化切可求得所求代数式的值.【详解】解：由诱导公式可得，所以，.因此，.故选：D.3．B【分析】连接，分别求出，再根据题中公式即可得出答案.【详解】解：如图，连接，因为是的中点，所以，又，所以三点共线，即，又，所以，则，故，所以.故选：B.4．A【分析】先由周期大于等于单调区间的长度的2倍，求得的初步范围，然后结合余弦函数的单调性进一步确定的范围，得到答案.【详解】由题意有，可得，又由，必有，可得.故选：A5．A【分析】由已知得函数的周期，求出，再利用图像的平移变换规律写出函数平移后的解析式，再利用函数关于原点对称，列出等式即可得到结果.【详解】由题意知函数的最小正周期，则，得，. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，要使该图象关于原点对称，则，，所以，，又，所以当时，取得最大值，最大值为．故选：A【点睛】思路点睛：先根据正切函数图象的特征求出函数的最小正周期，进而求出，然后根据函数图象的平移变换得到平移后的函数图象的解析式，最后利用正切函数图象的对称中心建立方程求解即可，考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力，属于中档题.6．A【分析】由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】，，，，解得，，.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出.7．D【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入即可得到答案.【详解】因为在区间单调递增，所以，且，则，，当时，取得最小值，则，，则，，不妨取，则，则，故选：D.8．A【分析】计算出单位圆内接正边形和外切正边形的周长，利用它们的算术平均数作为的近似值可得出结果.【详解】单位圆内接正边形的每条边所对应的圆心角为，每条边长为 ，所以，单位圆的内接正边形的周长为，单位圆的外切正边形的每条边长为，其周长为，，则.故选：A.【点睛】本题考查圆周率的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正边形和外切正边形的周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.9．AC【分析】根据同角的三角函数的基本关系式和两角和与差的余弦公式和积化和差公式即可求解.【详解】因为 ( 为锐角), 故 , 故 正确; 因为 , 所以 , 故 B 错误; 由 , 故 , 故 C 正确; 且 , 所以 , 故 D 错误.故选: AC.10．AD【分析】求出，A. 的最小正周期为，所以该选项正确；B. 函数图象的对称轴是，所以该选项错误；C.函数不是奇函数，所以该选项错误； D. 求出在区间上单调递增，所以该选项正确.【详解】解：将函数的图象向左平移个单位得到函数.A. 的最小正周期为，所以该选项正确；B. 令，函数图象的对称轴不可能是，所以该选项错误；C. 由于，所以函数不是奇函数，所以该选项错误；D. 令，当时，，所以在区间上单调递增，所以该选项正确.故选：AD11．BD【分析】若为筒车的轴心的位置，为水面，为筒车经过秒后的位置，由题设知筒车的角速度，令易得，而、，即可求的解析式判断A、B的正误，、代入函数解析式求，即可判断C、D的正误.【详解】由题意知，如上图，若为筒车的轴心的位置，为水面，为筒车经过秒后的位置，筒车的角速度，令且，∴，故，而，∴，故A错误，B正确；当时，，且，，∴，故盛水筒没有进入水中，C错误；当时，，且，即，∴，故盛水筒到达最高点，D正确.故选：BD【点睛】关键点点睛：画出筒车与水面的简单平面示意图，利用及盛水筒P到水面的距离与相关线段的等量关系，写出函数解析式.12．##【分析】设直角三角形的最短直角边为，则最长直角边为，由，结合，求得，再利用三角函数的定义即可求解.【详解】设直角三角形的最短直角边为，则最长直角边为，由题意有，又，整理得，解得，又，故答案为：.13．.【分析】由题意首先求得的值，然后利用两角和差正余弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.【详解】由，得，解得，或.，当时，上式当时，上式=综上，【点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.14．① ③ ④【分析】由可得直接计算即可判断① ；根据函数的奇偶性和对称性即可求得周期，从而可判断② ；先判断在的单调性，再根据奇函数关于原点对称的区间单调性相同即可判断③ ；根据对称性以及函数图象交点的个数即可判断④.【详解】对于①：由可得，故①正确；对于② ：由可得关于直线对称，因为是定义域为R的奇函数，所以所以，所以函数的周期为，故② 不正确；对于③ ：当时，单调递增，且，在单调递减，且，所以在单调递增，因为是奇函数，所以函数在区间上单调递增；故③ 正确；对于④ ：由可得关于直线对称，作出示意图函数所有零点之和即为函数与两个函数图象交点的横坐标之和，当时，两图象交点关于对称，此时两根之和等于 ，当时两图象交点关于对称，此时两根之和等于，当时两图象交点关于对称，此时两根之和等于时两图象无交点 ，所以函数所有零点之和为.故④ 正确；故答案为：① ③ ④【点睛】求函数零点的方法：画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数；将函数拆成两个函数，和的形式，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象交点个数；零点之和即为两个函数图象交点的横坐标之和.15．（1）；（2）；（3）【分析】（1）利用三角函数的诱导公式进行化简，即可得到答案；（2）由诱导公式，化简得，进而利用三角函数的基本关系式，求得的值，即可求解；（3）利用诱导公式，化简，即可求解，得到答案.【详解】（1）由题意，利用三角函数的诱导公式，化简得.（2）由诱导公式，得，且，所以，又因为是第三象限角，所以，所以.（3）因为，则.【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式的化简、求值问题，其中解答中熟记三角函数的诱导公式，合理准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.16．(1)(2)【分析】（1）先由已知条件判断的范围，再利用同角三角函数的关系求出，则由利用两角差的余弦公式可求得，（2）由同角三角函数的关系求出，从而可求得的值，再利用正切的二倍角公式可求得的值.【详解】（1）因为，，所以，，所以，，所以.（2）因为，，所以，所以，所以.17．(Ⅰ) .(Ⅱ) .【详解】试题分析：（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数化简得到由题设知及可得.（Ⅱ）由（Ⅰ）得从而.根据得到，进一步求最小值.试题解析：（Ⅰ）因为，所以由题设知，所以，.故，，又，所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）得所以.因为，所以，当，即时，取得最小值.【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的范围.难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.18．(1)(2)(3)【分析】（1）通过三个连续零点的值可以求出函数的周期，根据最小正周期公式可以求出的值，将特殊点代入解析式中，可以求出，的值，进而确定函数解析式；（2）根据正弦型函数的图象变换特点可以求出的解析式，由 可求出，进而得到的值域；（3）根据可求出，由此求出，进而得到的值.【详解】（1）由图知，，则.由图可得，在处最大值，又因为图象经过，故，所以，故，又因为，所以，函数又经过，故，得.所以函数的表达式为．（2）由题意得，，因为，所以，则，所以，所以在区间上的值域为.（3）因为，所以，即，又因为，所以， 由，所以.所以，所以.19．(1)不是“函数”，理由见解析(2)，单调递增区间为，；(3)【分析】（1）根据题干条件代入检验，得到，故不是“函数”；（2）求出函数的周期，由得到，结合当时，，从而得到函数解析式，并求出单调递增区间；（3）画出在上图象，数形结合，由函数的对称性，分三种情况进行求解，得到.【详解】（1）不是“函数”，理由如下：，，，则，故不是“函数”；（2）函数满足，故的周期为，因为，所以，当时，，，当时，，，综上：，中，当时，，，此时单调递增区间为，，中，当时，，，则，当，即时，函数单调递增，经检验，其他范围不是单调递增区间，所以在上的单调递增区间为，；（3）由（2）知：函数在上图象为：当或1时，有4个解，由对称性可知：其和为，当时，有6个解，由对称性可知：其和为，当时，有8个解，其和为，所以.【点睛】函数新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.
1．已知函数（且）的图像经过定点，且点在角的终边上，则（ ）A． B．0 C．7 D．2．已知，则（ ）A． B． C． D．23．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（ ）A． B． C． D．4．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）A． B．C． D．5．已知，，是函数的两个零点，且的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称，则的最大值为（ ）A． B． C． D．6．若，则（ ）A． B． C． D．7．已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（ ）A． B． C． D．8．2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ Day）．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是（ ）．A． B．C． D．9．已知，，其中，为锐角，则以下命题正确的是（ ）A． B．C． D．10．将函数的图象向左平移个单位得到函数，则下列说法正确的是（ ）A．的周期为 B．的一条对称轴为C．是奇函数 D．在区间上单调递增11．筒车是我国古代发明的一种灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(图1)，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图2).现有一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟旋转1圈，筒车的轴心距离水面的高度为2米，设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为(单位：米)(在水面下则为负数)，若以盛水筒P刚浮出水面为初始时刻，经过t秒后，下列命题正确的是（ ）(参考数据：)A．，其中，且B．，其中，且C．当时，盛水筒再次进入水中D．当时，盛水筒到达最高点12．我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形如图所示，记直角三角形较小的锐角为α，大正方形的面积为，小正方形的面积为，若，则的值为 13．已知，则的值是 .14．函数是定义域为R的奇函数，满足，且当时，，给出下列四个结论：① ；② 是函数的周期；③ 函数在区间上单调递增；④ 函数所有零点之和为.其中，正确结论的序号是 .15．已知是第三象限角， .（1）化简；（2）若，求的值；（3）若，求的值.16．已知，，，，求：(1)的值；(2)的值.17．设函数，其中.已知.（Ⅰ）求；（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.18．已知函数的一段图象过点，如图所示．(1)求函数的表达式；(2)将函数的图象向右平移个单位，得函数的图象，求在区间上的值域；(3)若，求的值.19．若函数满足且（），则称函数为“函数”．(1)试判断是否为“函数”，并说明理由；(2)函数为“函数”，且当时，，求的解析式，并写出在上的单调增区间；(3)在（2）条件下，当，关于的方程（为常数）有解，记该方程所有解的和为，求． 参考答案：1．D【分析】由题知,进而根据三角函数定义结合齐次式求解即可.【详解】解:令得,故定点为, 所以由三角函数定义得，所以故选：D2．D【分析】利用诱导公式化简可得的值，再利用弦化切可求得所求代数式的值.【详解】解：由诱导公式可得，所以，.因此，.故选：D.3．B【分析】连接，分别求出，再根据题中公式即可得出答案.【详解】解：如图，连接，因为是的中点，所以，又，所以三点共线，即，又，所以，则，故，所以.故选：B.4．A【分析】先由周期大于等于单调区间的长度的2倍，求得的初步范围，然后结合余弦函数的单调性进一步确定的范围，得到答案.【详解】由题意有，可得，又由，必有，可得.故选：A5．A【分析】由已知得函数的周期，求出，再利用图像的平移变换规律写出函数平移后的解析式，再利用函数关于原点对称，列出等式即可得到结果.【详解】由题意知函数的最小正周期，则，得，. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，要使该图象关于原点对称，则，，所以，，又，所以当时，取得最大值，最大值为．故选：A【点睛】思路点睛：先根据正切函数图象的特征求出函数的最小正周期，进而求出，然后根据函数图象的平移变换得到平移后的函数图象的解析式，最后利用正切函数图象的对称中心建立方程求解即可，考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力，属于中档题.6．A【分析】由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】，，，，解得，，.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出.7．D【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入即可得到答案.【详解】因为在区间单调递增，所以，且，则，，当时，取得最小值，则，，则，，不妨取，则，则，故选：D.8．A【分析】计算出单位圆内接正边形和外切正边形的周长，利用它们的算术平均数作为的近似值可得出结果.【详解】单位圆内接正边形的每条边所对应的圆心角为，每条边长为 ，所以，单位圆的内接正边形的周长为，单位圆的外切正边形的每条边长为，其周长为，，则.故选：A.【点睛】本题考查圆周率的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正边形和外切正边形的周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.9．AC【分析】根据同角的三角函数的基本关系式和两角和与差的余弦公式和积化和差公式即可求解.【详解】因为 ( 为锐角), 故 , 故 正确; 因为 , 所以 , 故 B 错误; 由 , 故 , 故 C 正确; 且 , 所以 , 故 D 错误.故选: AC.10．AD【分析】求出，A. 的最小正周期为，所以该选项正确；B. 函数图象的对称轴是，所以该选项错误；C.函数不是奇函数，所以该选项错误； D. 求出在区间上单调递增，所以该选项正确.【详解】解：将函数的图象向左平移个单位得到函数.A. 的最小正周期为，所以该选项正确；B. 令，函数图象的对称轴不可能是，所以该选项错误；C. 由于，所以函数不是奇函数，所以该选项错误；D. 令，当时，，所以在区间上单调递增，所以该选项正确.故选：AD11．BD【分析】若为筒车的轴心的位置，为水面，为筒车经过秒后的位置，由题设知筒车的角速度，令易得，而、，即可求的解析式判断A、B的正误，、代入函数解析式求，即可判断C、D的正误.【详解】由题意知，如上图，若为筒车的轴心的位置，为水面，为筒车经过秒后的位置，筒车的角速度，令且，∴，故，而，∴，故A错误，B正确；当时，，且，，∴，故盛水筒没有进入水中，C错误；当时，，且，即，∴，故盛水筒到达最高点，D正确.故选：BD【点睛】关键点点睛：画出筒车与水面的简单平面示意图，利用及盛水筒P到水面的距离与相关线段的等量关系，写出函数解析式.12．##【分析】设直角三角形的最短直角边为，则最长直角边为，由，结合，求得，再利用三角函数的定义即可求解.【详解】设直角三角形的最短直角边为，则最长直角边为，由题意有，又，整理得，解得，又，故答案为：.13．.【分析】由题意首先求得的值，然后利用两角和差正余弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.【详解】由，得，解得，或.，当时，上式当时，上式=综上，【点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.14．① ③ ④【分析】由可得直接计算即可判断① ；根据函数的奇偶性和对称性即可求得周期，从而可判断② ；先判断在的单调性，再根据奇函数关于原点对称的区间单调性相同即可判断③ ；根据对称性以及函数图象交点的个数即可判断④.【详解】对于①：由可得，故①正确；对于② ：由可得关于直线对称，因为是定义域为R的奇函数，所以所以，所以函数的周期为，故② 不正确；对于③ ：当时，单调递增，且，在单调递减，且，所以在单调递增，因为是奇函数，所以函数在区间上单调递增；故③ 正确；对于④ ：由可得关于直线对称，作出示意图函数所有零点之和即为函数与两个函数图象交点的横坐标之和，当时，两图象交点关于对称，此时两根之和等于 ，当时两图象交点关于对称，此时两根之和等于，当时两图象交点关于对称，此时两根之和等于时两图象无交点 ，所以函数所有零点之和为.故④ 正确；故答案为：① ③ ④【点睛】求函数零点的方法：画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数；将函数拆成两个函数，和的形式，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象交点个数；零点之和即为两个函数图象交点的横坐标之和.15．（1）；（2）；（3）【分析】（1）利用三角函数的诱导公式进行化简，即可得到答案；（2）由诱导公式，化简得，进而利用三角函数的基本关系式，求得的值，即可求解；（3）利用诱导公式，化简，即可求解，得到答案.【详解】（1）由题意，利用三角函数的诱导公式，化简得.（2）由诱导公式，得，且，所以，又因为是第三象限角，所以，所以.（3）因为，则.【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式的化简、求值问题，其中解答中熟记三角函数的诱导公式，合理准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.16．(1)(2)【分析】（1）先由已知条件判断的范围，再利用同角三角函数的关系求出，则由利用两角差的余弦公式可求得，（2）由同角三角函数的关系求出，从而可求得的值，再利用正切的二倍角公式可求得的值.【详解】（1）因为，，所以，，所以，，所以.（2）因为，，所以，所以，所以.17．(Ⅰ) .(Ⅱ) .【详解】试题分析：（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数化简得到由题设知及可得.（Ⅱ）由（Ⅰ）得从而.根据得到，进一步求最小值.试题解析：（Ⅰ）因为，所以由题设知，所以，.故，，又，所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）得所以.因为，所以，当，即时，取得最小值.【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的范围.难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.18．(1)(2)(3)【分析】（1）通过三个连续零点的值可以求出函数的周期，根据最小正周期公式可以求出的值，将特殊点代入解析式中，可以求出，的值，进而确定函数解析式；（2）根据正弦型函数的图象变换特点可以求出的解析式，由 可求出，进而得到的值域；（3）根据可求出，由此求出，进而得到的值.【详解】（1）由图知，，则.由图可得，在处最大值，又因为图象经过，故，所以，故，又因为，所以，函数又经过，故，得.所以函数的表达式为．（2）由题意得，，因为，所以，则，所以，所以在区间上的值域为.（3）因为，所以，即，又因为，所以， 由，所以.所以，所以.19．(1)不是“函数”，理由见解析(2)，单调递增区间为，；(3)【分析】（1）根据题干条件代入检验，得到，故不是“函数”；（2）求出函数的周期，由得到，结合当时，，从而得到函数解析式，并求出单调递增区间；（3）画出在上图象，数形结合，由函数的对称性，分三种情况进行求解，得到.【详解】（1）不是“函数”，理由如下：，，，则，故不是“函数”；（2）函数满足，故的周期为，因为，所以，当时，，，当时，，，综上：，中，当时，，，此时单调递增区间为，，中，当时，，，则，当，即时，函数单调递增，经检验，其他范围不是单调递增区间，所以在上的单调递增区间为，；（3）由（2）知：函数在上图象为：当或1时，有4个解，由对称性可知：其和为，当时，有6个解，由对称性可知：其和为，当时，有8个解，其和为，所以.【点睛】函数新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.
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