江苏省南京师范大学附属中学2023-2024学年高三上学期零模模拟数学试卷

这是一份江苏省南京师范大学附属中学2023-2024学年高三上学期零模模拟数学试卷，共15页。试卷主要包含了已知集合，则，已知函数的值域为，则的最小值为等内容，欢迎下载使用。
一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案涂在答题卡相应位置上）
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数的共轭复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.已知函数的值域为，则的最小值为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
4.函数的部分图象如图所示，则图象的一个对称中心是（ ）
A. B. C. D.
5.已知过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于不同的两点，与轴交于点，点是线段的三等分点，则该椭圆的标准方程是（ ）
A. B.
C. D.
6.如图，已知正四棱锥的底面边长和高的比值为，若点是棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（ ）
A. B. C. D.
7.已知函数，若直线与曲线，都相切，则实数（ ）
A. B. C. D.
8.已知双曲线的右焦点为，直线与交于两点（点在第一象限），线段的中点为为坐标原点，若，则的两条渐近线的斜率之积为（ ）
A. B.
C. D.
二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案涂在答题卡相应位置上）
9.教育统计学中，为了解某考生的成绩在全体考生成绩中的位置，通常将考生的原始分数转化为标准分数，定义标准分数，其中为原始分数，为原始分数的平均数，为原始分数的标准差.已知某校的一次数学考试，全体考生的平均成绩，标准差，转化为标准分数后，记平均成绩为，标准差为，则（ ）
A. B.
C. D.
10.已知动点到的距离为，记动点的运动轨迹为，则
A.直线把分成面积相等的两部分
B.直线与没有公共点
C.对任意的，直线被截得的弦长都相等
D.存在，使得与轴和轴均相切
11.已知等比数列满足，公比，且，则（ ）
A.
B.当时，最小
C.当时，最小
D.存在，使得
12.已知函数，则（ ）
A.曲线在点处的切线方程为
B.曲线的极小值为
C.当时，仅有一个整数解
D.当时，仅有一个整数解
三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分，请把答案填写在答题卡相应位置）
13.若，则__________.
14.某学校团委周末安排甲､乙､丙三名志愿者到市图书馆和科技馆服务，每个人只能去一个地方，每个地方都必须有人去，则图书馆恰好只有丙去的概率为__________.
15.若对任意的，都有，则实数的取值范围为__________.
16.有一张面积为的矩形纸片，其中为的中点，为的中点，将矩形绕旋转得到圆柱，如图所示，若点为的中点，直线与底面圆所成角的正切值为为圆柱的一条母线（与不重合），则当三棱锥的体积取最大值时，三棱锥外接球的表面积为__________.
三､解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､或演算步骤）
17.在中，角的对边分别为，已知
（1）求角；
（2）若点在边上，且，求面积的最大值.
18.已知数列的前项和.
（1）求的通项公式；
（2）若数列满足对任意的正整数恒成立，求证：.
19.随着生活节奏的加快､生活质量的提升，越来越多的居民倾向于生活用品的方便智能.如图是根据2016-2020年全国居民每百户家用汽车拥有量（单位：辆）与全国居民人均可支配收入（单位：万元）绘制的散点图.
（1）由图可知，可以用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程；（过程和结果保留两位小数）
（2）已知2020年全国居民人均可支配收入为32189元，若从2020年开始，以后每年全国居民人均可支配收入以的速度增长，预计哪一年全国居民每百户家用汽车拥有量可以达到50辆.
参考数据：
.
参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
20.如图1，在平行四边形中，，将沿折起，使得点到点的位置，如图2，设经过直线且与直线平行的平面为，平面平面，平面平面，
（1）证明：；
（2）若，求二面角的正弦值.
21.已知椭圆的离心率为，且点在上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设为椭圆的左､右焦点，过右焦点的直线交椭圆于两点，若内切圆的半径为，求直线的方程.
22.已知函数.
（1）证明：当时，；
（2）记函数，判断在区间上零点的个数.
2023-2024学年南师附中高三上零模模拟试卷
9月4日-7日作业
一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案涂在答题卡相应位置上）
1.【答案】C.
【解析】由，得，由，得，所以
2.【答案】D.
【解析】，所以，故在第四象限
3.【答案】A.
【解析】当时，的值域为
当时，的值域为，所以，故的最小值为1
4.【答案】D
【解析】由图可知，的一个对称中心是，最小正周期为故的对称中心是，当时，对称中心为，故选D
5.【答案】B
【解析】由题意可知，，点是线段的三等分点，则
代入得，解得，所以，
代入得，又，故解得，所以方程为
6.【答案】C.
【解析】先根据正四棱锥的结构特征找到异面直线与所成的角，然后通过解三角形即可得解.
如图，连接交于点，连接，
则为的中点，且平面，
因为是棱的中点，所以，
所以异面直线与所成的角为或其补角，
因为平面，所以，
又，
所以面，
又面，所以，
设，则由题意得，
，
所以在中，，
即异面直线与所成角的正切值为，
故选：C.
7.【答案】B
【解析】由题意可知，所以，解得，所以
，解得，故选B
8.【答案】B
【解析】如图，设双曲线的左焦点为，连接，
根据双曲线与直线的对称性，知.
因为，线段的中点为，
所以，
且，
所以.
根据双曲线的定义，知，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以双曲线的两条渐近线的斜率之积为，
故选：B.
二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案涂在答题卡相应位置上）
9.【答案】BD
【解析】由题意知，解得，故选BD
10.【答案】ABC
【解析】由题意知，动点的运动轨迹的方程为
所以圆心在直线上，故A正确
到直线的距离，所以没有公共点，故正确到直线的距离，所以弦长为，故C正确
无解，故不存在，所以，D错误
11.【答案】AC
【解析】，公比，且，所以，
故A正确；，所以，故，同理
故当时，最小，则B错误，C正确；当时，，
所以，故D错误
12.【答案】AC
【解析】，对于A，所以切线方程为，故A正确；
对于B，，解得，当时，递减当时，递增，故时取极小值为，故B错误；
对于CD，结合B可知：在上单调递增，在上单调递减.当时，取得极小值为，如图所示
由题意可知，，直线恒过，
所以，
要使仅有一个整数解，只要是的图象在的图象的下方的横坐标为整数且只有一个，
当，即时，仅有一个整数解，故C正确，
当时，当时，，当时，，
当时，无整数解，D不正确.
故选：AC.
三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分，请把答案填写在答题卡相应位置）
13.【答案】
【解析】由题意知：，解得，
14.【答案】
【解析】由题意知：
15.【答案】
【解析】对任意的，都有等价于对任意的，都有，
作出函数的大致图象，如图中实线所示，由题意可知，函数的图象在函数的图象的上方，
①若，显然不符合题意；
②若，当直线经过点时，，所以要使的图象在的图象的上方，需；
③若，当直线经过点时，，所以要使的图象在的图象的上方，需.
综上，实数的取值范围为.
故答案为：
16.【答案】
【解析】设圆柱的高为，底面半径为，则有，因为直线与底面圆所成角的正切值为，所以，解得，
连接，则有，所以平面而平面，所以平面平面，
过点作于点，则平面，
设，则有，
所以，
当且仅当时取等号，设球心到平面的距离为，球的半径为，
则有，解得，所以，故
三､解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､或演算步骤）
17.【答案】（1）（2）
【解析】（1）因为，则有，由正弦定理得：
，所以，
又因为，故，因为，所以.
（2）因为，所以
故
因为，所以，当且仅当时取得等号，
所以
18.【答案】（1）（2）见解析
【解析】（1）当时，，当时，，满足.
所以的通项公式.
（2），当时，，所以
当时，，满足，所以
当且仅当时取等，所以
19.【答案】（1）（2）2026年
【解析】（1）所以关于的线性回归方程
（2），解得，所以
，故2026年全国居民每百户家用汽车拥有量可以达到50辆.
20.【答案】（1）见解析（2）
【解析】（1）因为平面平面，平面平面，所以，同理，所以
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则
设，所以有，解得，则，
设平面的法向量为，则有
解得，所以
同理平面法向量为
所以，所以正弦值为
21.【答案】（1）（2）
【解析】（1）椭圆的离心率为，所以椭圆方程为，将点代入，解得，所以，
所以椭圆方程为
（2）设点，直线的方程为
联立，则有
由椭圆定义得的周长为，则
有，所以
即，整理得，解得
所以直线的方程为
22.【答案】（1）见解析（2）5
【解析】（1），当时，，所以单调递增
所以
（2），
因为，所以是的一个零点，
①当时，设，则，
所以在上单调递减，所以，所以，
即在上无零点；
②当时，"，
所以在上单调递减，又，
所以，使得，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减；
因为，所以在上存在唯一零点，
当时，，当时，；
所以在上单调递增，在上单调递减，
因为，所以在有唯一零点；
（3）当时，，所以，所以在上单调递减，
所以，所以在无零点；
综上所述，在上有两个零点；
因为，所以为奇函数，故在上共有5个零点.2.82
32.56
0.46
5.27