高中数学选择性必修一AB卷《单元分层过关检测》第1章空间向量与立体几何单元测试A含解析答案

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第一章 空间向量与立体几何单元测试A学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（    ）．A． B．C． D．2．如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为（    ）A． B． C． D．3．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（    ）A． B．C． D．4．已知，，，若P，A，B，C四点共面，则（    ）A．3 B． C．7 D．5．设、，向量，，且，，则（      ）A． B． C． D．6．如图，在正四棱柱中，是底面的中心，分别是的中点，则下列结论正确的是（    ）A．//B．C．//平面D．平面7．已知四棱锥的底面为正方形，平面，，点是的中点，则点到直线的距离是（    ）A． B． C． D．8．在直三棱柱中，分别是的中点，，则与所成角的余弦值是（    ）A． B． C． D．二、多选题9．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为与的交点，若，则下列正确的是（    ）A． B．C．的长为 D．10．如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（       ）A．直线平面B．三棱锥的体积为定值C．异面直线与所成角的取值范围是D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为11．如图，正方体的棱长为2，则下列说法正确的是（    ）A．直线和所成的角为B．四面体的体积是C．点到平面的距离为D．平面与平面所成二面角的正弦值为三、填空题12．设，是两个不共线的空间向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为 .13．已知向量，满足，，且.则在上的投影向量的坐标为 .14．如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，为棱的中点，，，与平面交于点，则 .四、解答题15．如图，正三棱柱中，底面边长为.(1)设侧棱长为，求证：；(2)设与的夹角为，求侧棱的长．16．如图，三棱柱中，M，N分别是上的点，且．设，，．(1)试用，，表示向量；(2)若，求MN的长．17．已知空间三点，设．(1)若，，求；(2)求与的夹角的余弦值；(3)若与互相垂直，求k．18．如图，在直三棱柱中，分别为的中点．    (1)求异面直线与所成角的余弦值；(2)求点到平面的距离；(3)求平面与平面夹角的余弦值．19．空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x轴､y轴､z轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组（x，y，z）相对应，称向量的斜60°坐标为[x，y，z]，记作.(1)若，，求的斜60°坐标；(2)在平行六面体中，AB=AD=2，AA1=3，，如图，以为基底建立“空间斜60°坐标系”.①若，求向量的斜坐标；②若，且，求.参考答案：1．A【分析】利用空间向量线性运算法则进行运算即可.【详解】因为在平行六面体中，，所以.故选：A.2．C【分析】将作为基底，利用空间向量基本定理用基底表示，然后对其平方化简后，再开方可求得结果【详解】由题意得，，因为,所以，所以，故选：C3．A【分析】根据向量线性运算，以为基底表示出，从而确定的取值.【详解】，，，，，，.故选：A.4．C【分析】利用空间向量四点共面性质求解即可.【详解】由P，A，B，C四点共面，可得，，共面，设，则，解得．故选：C.5．D【分析】利用空间向量垂直与共线的坐标表示求出、的值，求出向量的坐标，利用空间向量的模长公式可求得结果.【详解】因为，则，解得，则，因为，则，解得，即，所以，，因此，.故选：D.6．B【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明，逐项分析、判断作答.【详解】在正四棱柱中，以点D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，令，是底面的中心，分别是的中点，则，，，对于A，显然与不共线，即与不平行，A不正确；对于B，因，则，即，B正确；对于C，设平面的法向量为，则，令，得，，因此与不垂直，即不平行于平面，C不正确；对于D，由选项C知，与不共线，即不垂直于平面，D不正确.故选：B7．D【分析】利用坐标法，根据点到直线的距离的向量求法即得.【详解】如图建立空间直角坐标系，则，所以，所以，所以点到直线的距离是.故选：D.8．A【分析】建立空间直角坐标系，求直线与的方向向量，利用向量夹角公式求夹角；【详解】以点为原点，以为轴的正方向建立空间直角坐标系，设，则，，，，，，，所以，，所以，故选：A.9．BD【分析】AB选项，利用空间向量基本定理进行推导即可；C选项，在B选项的基础上，平方后计算出，从而求出；D选项，利用向量夹角的余弦公式进行计算.【详解】根据题意，依次分析选项：对于A选项，，A错误，对于B选项，，B正确：对于C选项，，则，则，C错误：对于，则，D正确.故选：BD.10．ABD【分析】在选项A中，利用线面垂直的判定定理，结合正方体的性质进行判断即可；在选项B中，根据线面平行的判定定理、平行线的性质，结合三棱锥的体积公式进行求解判断即可；在选项C中，根据异面直线所成角的定义进行求解判断即可；在选项D中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解即可.【详解】在选项A中，∵，，，且平面，∴平面，平面，∴，同理，，∵，且平面，∴直线平面，故A正确；在选项B中，∵，平面，平面，∴平面，∵点在线段上运动，∴到平面的距离为定值，又的面积是定值，∴三棱锥的体积为定值，故B正确；在选项C中，∵，∴异面直线与所成角为直线与直线的夹角.易知为等边三角形，当为的中点时，；当与点或重合时，直线与直线的夹角为.故异面直线与所成角的取值范围是，故C错误；在选项D中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，设正方体的棱长为1，则，，，，所以，.由A选项正确：可知是平面的一个法向量，∴直线与平面所成角的正弦值为：，∴当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故D正确.故选：ABD11．BCD【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算A、C、D，利用割补法求出四面体的体积，即可判断B.【详解】建立如图所示空间直角坐标系，则，，，对于A，，故，故，即直线和所成的角为，故A错误；对于B，易得四面体为正四面体，则，故B正确；对于C，，设平面的法向量为，则有，令，则，故点到平面的距离，故C正确；对于D，设平面的法向量为，则有，令，则，所以，所以平面与平面所成二面角的正弦值为，故D正确．故选：BCD12．/【分析】由列方程，化简求得的值.【详解】∵，，，∴，又∵A，C，D三点共线，∴，∵，不共线，∴，∴，∴.故答案为：13．【分析】对两边平方后得到，代入投影向量的公式进行求解即可.【详解】两边平方化简得：，①因为，所以，又，代入①得：，解得：，所以在上的投影向量坐标为.故答案为：14．【分析】设，其中，用、、表示向量、、，利用共面向量的基本定理可知存在、使得，由空间向量基本定理可得出关于、、的方程组，即可解得实数的方程组，即可解得实数的值.【详解】设，其中，，，，因为、、、四点共线，则向量、、共面，由共面向量定理可知，存在、使得，即，所以，，解得.故答案为：.15．(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据空间向量的线性运算表示与，结合向量数量积的运算律计算，即可得证；（2）根据向量数量积的运算律表示数量积及模长，根据夹角可得模长.【详解】（1）由已知得，，平面，，，又是正三角形，,；；（2）由（1）得，又，，，解得，即侧棱长为.16．(1)(2)【分析】（1）利用空间向量的线性运算即可求解.（2）根据空间向量的数量积以及向量模的求法即可求解.【详解】（1）解：， ∴；（2）解：，，，，， 即MN的长为.17．(1)或(2)(3)或【分析】（1）根据向量共线设出向量的坐标，由模长公式列出方程，求解即可；（2）利用向量的坐标公式和向量的夹角公式即可得出；（3）根据向量垂直时数量积为0，结合向量的平方即为模的平方，计算即可得到k．【详解】（1）因为，所以，又因为，所以，又因为，所以，因此或；（2）因为所以与的夹角的余弦值为；（3）因为与互相垂直，所以或.18．(1)；(2)；(3).【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算即可；（2）利用空间向量计算点面距离即可；（3）利用空间向量计算面面夹角即可.【详解】（1）由题意可知两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系，则，即，所以，即异面直线与所成角的余弦值为；  （2）由上易知，设面的一个法向量为，则有，取，即，所以点到平面的距离为；（3）由上可知，设面的一个法向量为，则有，取，即，设平面与平面夹角为，则，即平面与平面夹角的余弦值.19．(1)(2)①；②2【分析】（1）根据所给定义可得，，再根据空间向量线性运算法则计算可得；（2）设分别为与同方向的单位向量，则，①根据空间向量线性运算法则得到，即可得解；②依题意、且根据空间向量数量积的运算律得到方程，即可求出，再根据及向量数量积的运算律计算可得；【详解】（1）解：由，，知，，所以，所以；（2）解：设分别为与同方向的单位向量，则，①②由题，因为，所以，由知则