高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程精品单元测试同步测试题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程精品单元测试同步测试题，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知过点和点的直线为l1，. 若，则的值为（ ）
A．B．
C．0D．8
2．设点､，若直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）
A．或B．或
C．D．
3．当点到直线的距离取得最大值时，（ ）
A．B．C．D．
4．点关于直线的对称点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
5．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是
A．B．C．D．
6．过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1B．C．D．
7．若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知是圆的一条弦，且，是的中点，当弦在圆上运动时，直线上存在两点，使得恒成立，则线段长度的最小值是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．对于直线.以下说法正确的有（ ）
A．的充要条件是
B．当时，
C．直线一定经过点
D．点到直线的距离的最大值为5
10．已知实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是（ ）
A．的最大值是
B．的最大值是
C．的最小值是
D．过点作曲线的切线，则切线方程为
11．已知的顶点在圆上，顶点在圆上.若，则（ ）
A．的面积的最大值为
B．直线被圆截得的弦长的最小值为
C．有且仅有一个点，使得为等边三角形
D．有且仅有一个点，使得直线，都是圆的切线
三、填空题
12．若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则 ．
13．写出与圆和都相切的一条直线的方程 ．
14．已知圆，点，M、N为圆O上两个不同的点，且若，则的最小值为 .
四、解答题
15．已知坐标平面内三点.
(1)求直线的斜率和倾斜角；
(2)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标；
(3)若是线段上一动点，求的取值范围.
16．已知直线与直线．
(1)若，求m的值；
(2)若点在直线上，直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程．
17．已知点，________，从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件补充在横线处，并作答．
(1)求直线的方程；
(2)求直线：关于直线的对称直线的方程．
条件①：点关于直线的对称点的坐标为；
条件②：点的坐标为，直线过点且与直线垂直；
条件③点的坐标为，直线过点且与直线平行．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．已知圆C经过坐标原点O，圆心在x轴正半轴上，且与直线相切．
（1）求圆C的标准方程；
（2）直线与圆C交于A，B两点．
①求k的取值范围；
②证明：直线OA与直线OB的斜率之和为定值．
19．古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼奥斯圆．已知点P到的距离是点P到的距离的2倍．
(1)求点P的轨迹方程；
(2)若点P与点Q关于点B对称，点，求的最大值；
(3)若过B的直线与第二问中Q的轨迹交于E，F两点，试问在x轴上是否存在点，使恒为定值？若存在，求出点M的坐标和定值；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．A
【分析】由平行、垂直直线的斜率关系得出的值.
【详解】因为，所以，解得，又，所以，
解得.所以.
故选：A.
2．A
【分析】根据斜率的公式，利用数形结合思想进行求解即可.
【详解】如图所示：

依题意，，
要想直线l过点且与线段AB相交，
则或，
故选：A
3．C
【分析】化简直线为，得到直线经过定点，结合直线与该直线垂直时，点到该直线的距离取得最大值，列出方程，即可求解.
【详解】将直线转化为，
联立方程组，解得，所以直线经过定点，
当直线与该直线垂直时，点到该直线的距离取得最大值，
此时，解得.
故选：C.
4．A
【分析】根据点关于线对称的特点，利用中点坐标公式及两直线垂直的斜率的关系即可求解.
【详解】设点关于直线的对称点的坐标为，
则，解得.
所以点的坐标为
故选：A.
5．A
【详解】分析：先求出A，B两点坐标得到再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即可
详解：直线分别与轴，轴交于，两点
,则
点P在圆上
圆心为（2，0），则圆心到直线距离
故点P到直线的距离的范围为
则
故答案选A.
点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．
6．B
【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得，利用韦达定理结合夹角公式运算求解.
【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，
因为，则，
可得，
则，
，
即为钝角，
所以；
法二：圆的圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，连接，
可得，则，
因为
且，则，
即，解得，
即为钝角，则，
且为锐角，所以；
方法三：圆的圆心，半径，
若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意；
若切线斜率存在，设切线方程为，即，
则，整理得，且
设两切线斜率分别为，则，
可得，
所以，即，可得，
则，
且，则，解得.
故选：B.

7．A
【分析】将问题转化为圆与相交，从而可得，进而可求出实数a的取值范围.
【详解】到点的距离为2的点在圆上，
所以问题等价于圆上总存在两个点也在圆上，
即两圆相交，故，
解得或，
所以实数a的取值范围为，
故选：A．
8．B
【分析】根据已知条件先确定出点的轨迹方程，然后将问题转化为“以为直径的圆要包括圆”，由此利用圆心到直线的距离结合点的轨迹所表示圆的半径可求解出的最小值.
【详解】由题可知：，圆心，半径，
又，是的中点，所以，
所以点的轨迹方程，圆心为点，半径为，
若直线上存在两点，使得恒成立，
则以为直径的圆要包括圆，
点到直线的距离为，
所以长度的最小值为，
故选：B．
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于点轨迹方程的求解以及转化思想的运用，根据弦中点以及线段长度可求点轨迹方程，其次“恒成立”转化为“以为直径的圆包括的轨迹”，结合圆心到直线的距离加上半径可分析的最小值.
9．BD
【分析】求出的充要条件即可判断A;验证时，两直线斜率之积是否为-1，判断B;求出直线经过的定点即可判断C;判断何种情况下点到直线的距离最大，并求出最大值，可判断D.
【详解】当时， 解得 或，
当时，两直线为 ，符合题意；
当时，两直线为 ，符合题意，故A错误；
当时，两直线为， ，
所以，故B正确；
直线即直线，故直线过定点，C错误；
因为直线过定点，当直线与点和的连线垂直时，到直线的距离最大，最大值为 ，
故D正确，
故选：BD.
10．BD
【分析】由表示圆上的点到定点的距离的平方，可判定A错误；由表示圆上的点与点的斜率，设，结合点到直线的距离公式，列出不等式，可判定B正确；由表示圆上任意一点到直线的距离的倍，进而可判定C错误；根据点在圆上，结合圆的切线的性质，可判定D正确.
【详解】由圆可化为，可得圆心，半径为，
对于A中，由表示圆上的点到定点的距离的平方，
所以它的最大值为，所以A错误；
对于B中，表示圆上的点与点的斜率，设，即，
由圆心到直线的距离，解得，
所以的最大值为，所以B正确；
对于C中，由表示圆上任意一点到直线的距离的倍，
圆心到直线的距离，所以其最小值为，所以C错误；
对于D中，因为点满足圆的方程，即点在圆上，
则点与圆心连线的斜率为，
根据圆的性质，可得过点作圆的切线的斜率为，
所以切线方程为，即，所以D正确.
故选：BD.
11．ACD
【分析】设点到直线的距离为，由求得的最大值判断A，利用直线和圆的位置关系判断B，利用为等边三角形，则需，判断C，利用射影定理可得进而判断D.
【详解】设线段的中点为，因为圆的半径为2，，
所以，且，

对于A选项，设点到直线的距离为，则，
所以当且仅当四点共线时，点到直线距离的最大值为15，所以的面积的最大值为，故A正确；
对于B选项，点到直线的距离小于等于，当时，等号成立，又的最大值为7，
所以点到直线的距离的最大值为7，这时直线被圆截得的弦长的最小值为，故B错误；
对于C选项，若为等边三角形，则需，，因为，
所以点的轨迹是以为圆心的单位圆，所以，又的最小值为4，所以，
当且仅当四点共线时成立，因此有且仅有一个点，使得为等边三角形，故C正确；
对于D选项，若直线，都是圆的切线，则，由射影定理，可得，
同上，当且仅当三点共线时，，因此有且仅有一个点，使得直线，都是圆的切线，故D正确；
故选：ACD
12．
【分析】设直线的方程为，则点，利用直线与圆相切求出的值，求出，利用勾股定理可求得.
【详解】设直线的方程为，则点，
由于直线与圆相切，且圆心为，半径为，
则，解得或，所以，
因为，故.
故答案为：.
13．或或
【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.
【详解】[方法一]：
显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为，
于是，
故①，于是或，
再结合①解得或或，
所以直线方程有三条，分别为，，
填一条即可
[方法二]：
设圆的圆心，半径为，
圆的圆心，半径，
则，因此两圆外切，
由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意；
又由方程和相减可得方程，
即为过两圆公共切点的切线方程，
又易知两圆圆心所在直线OC的方程为，
直线OC与直线的交点为，
设过该点的直线为，则，解得，
从而该切线的方程为填一条即可
[方法三]：
圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，
当切线为l时，因为，所以，设方程为
O到l的距离，解得，所以l的方程为，
当切线为m时，设直线方程为，其中，，
由题意，解得，
当切线为n时，易知切线方程为，
故答案为：或或.
14．/
【分析】根据几何关系确定点的轨迹方程，从而根据点到圆上动点距离最值的求解方法求解即可.
【详解】解法1：如图，因为，所以，故四边形为矩形，
设的中点为S，连接，则，
所以，
又为直角三角形，所以，故①，
设，则由①可得，
整理得：，
从而点S的轨迹为以为圆心，为半径的圆，
显然点P在该圆内部，所以，
因为，所以 ；
解法2：如图，因为,所以，
故四边形为矩形，由矩形性质，，
所以，从而，
故Q点的轨迹是以O为圆心，为半径的圆，
显然点P在该圆内，所以.
故答案为： .
15．(1)斜率为1，倾斜角为；
(2)；
(3).
【分析】(1)根据过两点的斜率公式求出斜率，再求倾斜角；
(2) 设，根据求解即可；
(3) 因为表示直线的斜率,求出与点重合时，直线的斜率；与点重合时，直线的斜率即可得答案.
【详解】（1）解：因为直线的斜率为.
所以直线的倾斜角为；
（2）解：如图，当点在第一象限时，.
设，则，解得，
故点的坐标为；
（3）解：由题意得为直线的斜率.
当点与点重合时，直线的斜率最小，；
当点与点重合时，直线的斜率最大，.
故直线的斜率的取值范围为，
即的取值范围为.
16．(1)
(2)或
【分析】（1）由题意可知，所以可得，从而可求出m的值；
（2）将点的坐标代入直线的方程中，求出m的值，从而可得点的坐标，然后设出直线方程，利用两坐标轴上的截距之和为0，列方程可求出直线方程
【详解】（1）因为，所以，且，
由，得，解得或（舍去）
所以.
（2）因为点在直线上，
所以，得，所以点的坐标为，
所以设直线的方程为（），
令，则，令，则，
因为直线在两坐标轴上的截距之和为0，
所以，解得或，
所以直线的方程为或.
17．(1)
(2)
【分析】（1）计算直线的斜率，根据直线的平行或垂直关系得到斜率，代入点得到直线方程.
（2）计算直线的交点，在直线上取一点，求其关于对称的点，根据交点和对称点得到直线方程.
【详解】（1）选择条件：
因为点关于直线的对称点的坐标为，所以是线段的垂直平分线．
因为，所以直线的斜率为，又线段的中点坐标为，
所以直线的方程为，即．
选择条件：
因为，直线与直线垂直，所以直线的斜率为，
又直线过点，所以直线的方程为，即．
选择条件，
因为，直线与直线平行，所以直线的斜率为，
又直线过点，所以直线的方程为，即．
（2），解得，故，的交点坐标为，
因为在直线：上，设关于对称的点为，
则，解得，
直线关于直线对称的直线经过点，，代入两点式方程得，即，
所以：关于直线的对称直线的方程为．
18．（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）具体见解析.
【分析】（1）设出圆心，进而根据题意得到半径，然后根据圆与直线相切求出圆心，最后得到答案；
（2）（ⅰ）联立直线方程和圆的方程并化简，根据判别式大于零即可得到答案；
（ⅱ）设出两点坐标，进而通过根与系数的关系与坐标公式进行化简，即可得到答案.
【详解】（1）由题意，设圆心为，因为圆C过原点，所以半径r=a，
又圆C与直线相切，所以圆心C到直线的距离（负值舍去），所以圆 C的标准方程为：.
（2）（ⅰ）将直线l代入圆的方程可得：，因为有两个交点，
所以，即k的取值范围是.
（ⅱ）设，由根与系数的关系：，
所以.
即直线OA,OB斜率之和为定值.
19．(1)；
(2)138；
(3)存在点，使得为定值.
【分析】（1）设点，由题意可得，利用两点之间的距离公式化简整理可得；
（2）先由的轨迹方程求出点的轨迹方程，利用两点间距离公式整理，从而转化为线性规划问题处理；
（3）代入消元，韦达定理，整体思想代入，整理可得解.
【详解】（1）设点，由题意可得，即，
化简可得，
所以点P的轨迹方程为；
（2）设，由(1)得点满足的方程，
又点是点与点的中点，则，代入可得，即的轨迹为，设，
所以，
令，则，可视为直线即在y轴上的截距，
的最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距，
所以，所以，
因此的最大值为；
（3）存在点，使得为定值.
当直线的斜率存在时，设其斜率为，则直线的方程为，
由，消去，得，
设，，则，，
又，，
则
要使上式恒为定值，需满足，解得，此时，为定值；
当直线的斜率不存在时，，，
由可得，所以，
综上所述，存在点，使得为定值.
【点睛】方法点睛：本题为直线与圆的综合题，与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略
（1）与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．
（2）与圆上点有关代数式的最值的常见类型及解法：
①形如型的最值问题，可转化为过点和点的直线的斜率的最值问题；
②形如型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；
③形如型的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题．