第十四章《整式的乘法与因式分解》章节练习题（解析版）

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第十四章《整式的乘法与因式分解》章节练习题（解析版）一、选择题：本题共10题，每题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．1．下列运算正确的是（   ）A．x2＋x2＝x4 B．3a3·2a2＝6a6 C．(－a2)3＝－a6 D．(a－b)2＝a2－b2【答案】C【分析】根据合并同类项、单项式的乘法、幂的乘方与积的乘方、完全平方公式运算法则逐一计算作出判断即可得．【详解】解：A、，则此项错误，不符题意；B、，则此项错误，不符题意；C、，则此项正确，符合题意；D、，则此项错误，不符题意；故选：C．2．已知，则的值为（   ）A．30 B．45 C．14 D．75【答案】B【分析】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方的逆用．根据，代值计算即可．【详解】解：∵，∴；故选B．3．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（   ）A．2x（x+3）＝2x2+6x B．x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）C．x2+2xy+y2+1＝（x+y）2+1 D．24xy2＝3x•8y2【答案】B【分析】因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，据此逐一判定即可得答案．【详解】解：A、2x （x+3）=2x2+6x，是整式乘法，不是因式分解，故本选项不合题意；B、x2-y2=（x+y） （x-y），是因式分解，故本选项符合题意；C、x2+2xy+y2+1=（x+y）2+1，等式的右边不是积的形式，不是因式分解，故本选项不合题意；D、24xy2=3x•8y2，等式左边不是多项式，不是因式分解，故本选项不合题意；故选：B．4．如图的面积关系，可以得到的恒等式是（   ）A．m（a+b+c）＝ma+mb+mc B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2【答案】B【分析】分别求出两个图形的面积, 再根据两图形的面积相等即可得到恒等式.【详解】解:如图：图甲面积=(a+b)(a-b)图乙面积=a (a-b+b)-bb=,两图形的面积相等,关于a、b的恒等式为: (a+b) (a-b)=.故选B.5．将多项式x﹣x3因式分解正确的是（   ）A．x（x2﹣1） B．x（1﹣x2） C．x（x+1）（x﹣1） D．x（1+x）（1﹣x）【答案】D【分析】直接提取公因式x，然后再利用平方差公式分解因式即可得出答案．【详解】x﹣x3=x（1﹣x2）=x（1﹣x）（1+x）．故选D．6．若a－b=8，a2＋b2=82，则ab的值为（   ）A．9 B．－9 C．27 D．－27【答案】A【分析】由a-b=8可求出（a-b）2=a2+b2-2ab=64，将a2+b2=82代入该式中即可求出ab的值．【详解】∵a-b=8，∴（a-b）2=a2+b2-2ab=64，又∵a2+b2=82，∴ab=9，．故选A．7．若mn=3，a+b=4，a﹣b=5，则mna2﹣nmb2的值是（   ）A．60 B．50 C．40 D．30【答案】A【分析】先因式分解，再用已知量整体代入目标整式即可．【详解】mna2﹣nmb2＝mn(a-b)(a+b)=3故选A.8．已知、、为三角形的三条边，则的值（   ）A．可能为零 B．一定是负数C．一定为正数 D．可能是正数，可能为负数【答案】B【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．【详解】解：首先运用因式分解，得：．再根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．即a- b + c＞0，a - b - c＜0，两数相乘，异号得负，故代数式的值小于0．故选：B．9．如图，两个正方形的边长分别为a, b,如果a+b=ab=9,则阴影部分的面积为（   ）A．36 B．27 C．18 D．9【答案】B【分析】阴影部分面积等于两个正方形面积之和减去两个直角三角形面积，求出即可．【详解】解：∵a+b=ab=9，∴S=a2+b2-a2-b（a+b）=（a2+b2-ab）=[（a+b）2-3ab]= ×（81-27）=27．故选B．10．（n为非负整数）当，1，2，3，……时的展开情况如下所示：观察上面的式子的等号右边各项的系数，我们得到了如图所示的杨辉三角，这是南宋数学家杨辉在其著作《九章算术》中列出的图，它揭示了展开后各项系数的情况，根据上述材料，你认为展开式中所有项系数的和是（   ）A．128 B．256 C．512 D．1024【答案】D【分析】根据题意求出，，，，展开式中所有项系数的和，可得到规律，即可求解．【详解】解：展开式中所有项系数的和是；展开式中所有项系数的和是；展开式中所有项系数的和是；展开式中所有项系数的和是；展开式中所有项系数的和是；……展开后各项系数的和是，∴展开式中所有项系数的和是．故选：D二、填空题：（本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．）11．计算 ．【答案】【分析】根据积的乘方的逆用可进行求解．【详解】解：；故答案为．【点睛】本题主要考查积的乘方的逆用，熟练掌握积的乘方是解题的关键．12．分解因式：x 3﹣4xy 2 = ．【答案】x（x+2y）（x﹣2y）【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可．【详解】解：原式=x（x2-4y2）=x（x+2y）（x-2y），故答案为x（x+2y）（x-2y）13．把多项式x2+ax+b分解因式，得(x+1)(x﹣3)则a，b的值分别是 a b = ．【答案】 6【分析】运用多项式乘以多项式的法则求出（x+1）（x-3）的值，对比系数可以得到a，b的值.【详解】∵（x+1）（x-3）=x•x-x•3+1•x-1×3=x2-3x+x-3=x2-2x-3∴x2+ax+b=x2-2x-3∴a=-2，b=-3．故答案为6．14．若，，则代数式的值为 ．【答案】-12【详解】分析：对所求代数式进行因式分解，把，，代入即可求解.详解：，， ，故答案为 观察下列各式，探索发现规律：22－1＝1×3；32－1＝2×4；42－1＝3×5；52－1＝4×6；….按此规律，第n个等式为 【答案】【分析】根据已知可以得出，左边的规律是：第n个式子为（n+1）2-1，右边是即n（n+2）．【详解】解：∵22-1=1×3，32-1=2×4，42-1=3×5，52-1=4×6，…，∴规律为．故答案为：．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为 ． 【答案】13【分析】设A的边长为a，B的边长为b，根据阴影面积得到关于a、b的方程组，求出方程组的解即可得到答案．【详解】设A的边长为a，B的边长为b，由图甲得，即，由图乙得，得2ab=12，∴．故答案为：13．三、解答题：（本大题共8个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．将下列各式分解因式:(1)9x3 - 27x2;(2)(a2+1)2-4a2.【答案】（1）9x2(x-3)；（2）(a+1)2(a-1)2.【分析】（1）原式提取9x2即可；（2）原式利用平方差公式及完全平方公式化简即可得到结果；【详解】(1)原式=9x2(x-3).(2)原式=(a2+1)2-(2a)2=(a2+1+2a)(a2+1-2a)=(a+1)2(a-1)2.18．先化简，再求值：(1)(2＋a)(2－a)＋a(a－5b)＋3a5b3÷(－a2b)2，其中ab＝－；(2)[(x＋2y)(x－2y)－(x＋4y)2]÷4y，其中x＝－5，y＝2.【答案】（1）4－2ab，5；（2）－2x－5y，0.【分析】（1）利用平方差公式、单项式乘以单项式以及结合单项式除以单项式的法则去掉括号，再合并同类项，将已知数据代入即可解答；（2）先利用平方差公式和完全平方公式把中括号内的式子化简，再利用多项式除以单项式的运算法则计算化为最简，最后代入求值即可.【详解】（1）原式＝，=，=4－2ab，当ab＝－时，原式＝5.（2）原式＝ ，=，=－2x－5y，当x＝－5，y＝2时，原式＝0.19．如图，某市有一块长为（3a+b）米、宽为（2a+b）米的长方形地，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座边长为（a+b）米的正方形雕像．（1）试用含a、b的式子表示绿化部分的面积（结果要化简）．（2）若a=3，b=2，请求出绿化部分的面积． 【答案】（1）5a2+3ab；（2）63.【分析】（1）由长方形面积减去正方形面积表示出绿化面积即可；（2）将a与b的值代入计算即可求出值．【详解】解：（1）根据题意得：（3a+b）（2a+b）-（a+b）2=6a2+5ab+b2-a2-2ab-b2=5a2+3ab；（2）当a=3，b=2时，原式=.20．先化简，再求值：，其中，．【答案】，11【分析】先算括号内的乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．【详解】解：，当，时，原式．21 .甲、乙两人共同计算一道整式乘法：，由于甲抄错了第一个多项式中的符号，得到的结果为；由于乙抄漏了第二个多项式中的系数，得到的结果为．请你计算出，的值各是多少，并写出这道整式乘法的正确结果．【答案】，【分析】根据题意将错就错，分别列出两个等式，整理后根据多项式相等的条件列出关于a、b的二元一次方程，再求出a与b的值，进而确定出正确的算式及结果即可．【详解】解：甲得到的结果为．由对应系数相等，得，．乙得到的结果为．由对应系数相等，得，．∴解得．利用图形面积可以解释代数恒等式的正确性，也可以解释不等式的正确性．由图，利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可得等式：． (1)由图可得等式：______．(2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值；(3)已知正数、、和、、满足，试利用图形面积来说明．【答案】(1)(2)45(3)见解析【分析】（1）根据图，利用直接与间接法分别表示出正方形的面积，即可确定所求等式；（2）根据（1）所求等式，求出所求式子的值即可；（3）利用面积分割法，可构造一个正方形，使其边长等于注意，并且正方形内有个面积分别为，，的矩形，通过观察画出的图形即可得到结论．【详解】（1）解：，故答案为：；（2）由（1）得，，，，，，；（3）如图，根据图形可知，正方形内部的个矩形面积之和小于正方形的面积，故．23．观察探究性学习小组的甲、乙两名同学进行的因式分解：甲：（分成两组）（直接提公因式）乙：（分成两组）（直接运用公式）请你在他们解法的启发下，完成下面的因式分解：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）分成两组，前两项一组，后两项一组，然后进行分解即可；（2）分成两组，第一项，第三项，第四项分到一组，第二项单独一组，然后进行分解即可．【详解】（1）解：，，；（2）解：，，，．24．仔细阅读下面例题，然后按要求解答问题：例题：已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及 的值．解法一：设另一个因式为 ，得 ，则 ，,解得 , 另一个因式为 ， 的值为 ．解法二：∵二次三项式 x2-4x+m 有一个因式是 (x+3)，∴当x+3=0，即x=-3时，x2-4x+m=0.把x=-3代入x2-4x+m=0,得m=-21，而x2-4x-21=（x+3）(x-7).问题：分别仿照以上两种方法解答下面问题：(1)已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及 的值．解法一：                解法二：(2)直接回答：已知关于x的多项式 2x3 (3k)x22x1有一个因式是 1，则k的值为_________．【答案】(1)另一个因式为 ， 的值为 ；(2)2【分析】(1)读懂例题，参照例题的解法，用两种解法进行计算即可.(2) 关于x的多项式 2x3 (3k)x22x1有一个因式是 1, 当=0，即时， 2x3 (3k)x22x1=0.把代入2x3 (3k)x22x1=0.即可求出k的值【详解】(1)解法一：设另一个因式为 ，得 ，则 ，,解得 , 另一个因式为 ， 的值为 ．解法二：∵二次三项式 有一个因式是 ，∴当=0，即时，=0.把代入=0.得=，而.(2) 关于x的多项式 2x3 (3k)x22x1有一个因式是 1, 当=0，即时， 2x3 (3k)x22x1=0.把代入2x3 (3k)x22x1=0. 解得： 故答案为2.