第十四章《整式的乘法与因式分解》单元过关测试（解析版）
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第十四章《整式的乘法与因式分解》单元过关测试（解析版）一、选择题：本题共10题，每题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．1．下列运算正确的是（ ）A．x2＋x2＝x4 B．3a3·2a2＝6a6 C．(－a2)3＝－a6 D．(a－b)2＝a2－b2【答案】C【分析】根据合并同类项、单项式的乘法、幂的乘方与积的乘方、完全平方公式运算法则逐一计算作出判断即可得．【详解】解：A、，则此项错误，不符题意；B、，则此项错误，不符题意；C、，则此项正确，符合题意；D、，则此项错误，不符题意；故选：C．2．下列变形，是因式分解的是（ ）A． B．C． D．【答案】C【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．【详解】A、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；B、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；C、是符合因式分解的定义，故本选项正确；D、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；故选C．3．已知，则的值为（ ）A．30 B．45 C．14 D．75【答案】B【分析】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方的逆用．根据，代值计算即可．【详解】解：∵，∴；故选B．4．若分解因式的结果是，则=（ ）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】根据因式分解的结果，利用多项式乘以多项式法则化简，再利用多项式相等的条件求出m与n的值，即可求出m+n的值．【详解】解：∵x2+mx+n=（x+2）（x﹣1）=x2+x﹣2，∴m=1，n=﹣2，则m+n=1﹣2=﹣1，故选：C．5．已知xy＝﹣3，x+y＝2，则代数式x2y + xy2的值是（ ）A．﹣6 B．6 C．﹣5 D．﹣1【答案】A【分析】将原式提取公因式xy,进而将已知代入求出即可.【详解】解: xy＝﹣3，x+y＝2, x2y+xy2= xy (x+y)=-32=-6.故答案：A.6.已知x+y=﹣4，xy=2，则x2+y2的值（ ）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】C【分析】先根据完全平方公式进行变形，再整体代入求出即可．【详解】解：∵x+y=-4，xy=2，∴x2+y2=（x+y）2-2xy=（-4）2-2×2=12，故选C．7.若△ABC的三边a，b，c满足（a﹣b）（b2﹣2bc+c2）＝0，那么△ABC的形状是（ ）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形解：（a﹣b）（b2﹣2bc+c2）＝（a﹣b）（b﹣c）2＝0，∴a﹣b＝0或b﹣c＝0，∴a＝b或b＝c，∵a，b，c是△ABC的三边，∴△ABC是等腰三角形，故选：A．8 .如图，从边长为（a+1）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a﹣1）cm的正方形（a＞1），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是（ ）A．2cm2 B．2acm2 C．4acm2 D．（a2﹣1）cm2【答案】C【分析】根据题意得出矩形的面积是（a+1）2﹣（a﹣1）2，求出即可：【详解】解：矩形的面积是（a+1）2﹣（a﹣1）2=a2+2a+1﹣（a2﹣2a+1）=4a（cm2）．故选C．9．如图，大正方形与小正方形的面积之差是48，则阴影部分的面积是（ ） A．12 B．18 C．24 D．30【答案】C【分析】本题主要考查正方形的面积，三角形的面积与平方差公式的运用，理解图形中阴影部分面积的计算方法，掌握平方差公式的运用是解题的关键．根据题意，设大正方形的边长为，小正方形的边长为，可得，从图示可知阴影部分的面积，由此即可求解．【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为，∴，，∵大正方形与小正方形的面积之差是48，∴，根据图示可得，，∴，，∴阴影部分的面积，故选：C．10．如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的是（ ）①小长方形的较长边为；②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为；③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值；④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值． A．①③ B．②④ C．①③④ D．①④【答案】C【分析】由题意知，小长方形的较长边为，阴影A的较短边为，较长边为，阴影B的较短边为，较长边为12，根据各说法列代数式求解，进而可判断各说法的正误．【详解】解：由题意知，小长方形的较长边为，①正确，故符合要求；阴影A的较短边为，阴影B的较短边为，∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为；②错误，故不符合要求；阴影A的较长边为，阴影B的较长边为12，∴阴影A和阴影B的周长和为，∴若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值，③正确，故符合要求；当时，阴影A和阴影B的面积和为，④正确，符合要求；∴正确的有①③④，故选：C．二、填空题：（本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．）11．若是某一个整式的平方，则的值是 ．【答案】【分析】根据完全平方公式的结构特点进行解答即可．【详解】解：∵，∴的值是，故答案为：．12 .分解因式的结果是 ．【答案】【分析】首先提取公因式x，再利用平方差进行分解即可．【详解】解：；故答案为：．13．已知ab=a+b+1，则（a﹣1）（b﹣1）= ．【答案】2【分析】将（a﹣1）（b﹣1）利用多项式乘多项式法则展开，然后将ab=a+b+1代入合并即可得．【详解】（a﹣1）（b﹣1）= ab﹣a﹣b+1，当ab=a+b+1时，原式=ab﹣a﹣b+1=a+b+1﹣a﹣b+1=2，故答案为2．14．已知实数、满足，则值为 ．【答案】5【分析】根据算术平方根的非负性，平方的非负性得出，根据完全平方公式变形即可求解．【详解】解：∵，∴，解得：，∴，故答案为：5．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为 ．【答案】13【分析】设A的边长为a，B的边长为b，根据阴影面积得到关于a、b的方程组，求出方程组的解即可得到答案．【详解】设A的边长为a，B的边长为b，由图甲得，即，由图乙得，得2ab=12，∴．故答案为：13．观察下列各式，探索发现规律：22－1＝1×3；32－1＝2×4；42－1＝3×5；52－1＝4×6；….按此规律，第n个等式为 【答案】【分析】根据已知可以得出，左边的规律是：第n个式子为（n+1）2-1，右边是即n（n+2）．【详解】解：∵22-1=1×3，32-1=2×4，42-1=3×5，52-1=4×6，…，∴规律为．故答案为：．三、解答题：（本大题共8个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．计算:(1)5a2b÷×2ab2;(2)[(x+2y)2-(x+y)(x-y)-5y2]÷2x;【答案】(1) -30a2b2;(2)=2y;(3)-9×105;(4)4a2-b2+6b-9.【分析】（1）利用单项式乘除运算法则化简求出即可；（2）原式中括号中利用完全平方公式及平方差公式化简，去括号合并后利用多项式乘以单项式法则计算即可得到结果；解：（1）5a2b÷（-ab）•2ab2=-15a•2ab2=-30a2b2；(2)[(x+2y)2-(x+y)(x-y)-5y2]÷2x;=（x2+4xy+4y2-x2+y2-5y2）÷2x=4xy÷2x=2y；18．分解因式：(1)2a3－4a2b＋2ab2；(2)x4－y4.【答案】(1) 2a(a－b)2；(2) (x2＋y2)(x＋y)(x－y)【分析】（1）先提取公因式2a，再利用完全平方公式进行二次因式分解；（2）两次利用平方差公式分解因式即可；【详解】(1)解：原式＝2a(a2－2ab＋b2)＝2a(a－b)2；(2)解：原式＝(x2＋y2)(x2－y2)＝(x2＋y2)(x＋y)(x－y)．19．先化简，再求值：，其中，．【答案】，11【分析】先算括号内的乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．【详解】解：，当，时，原式．20．如图，某市有一块长为（3a+b）米、宽为（2a+b）米的长方形地，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座边长为（a+b）米的正方形雕像．（1）试用含a、b的式子表示绿化部分的面积（结果要化简）．（2）若a=3，b=2，请求出绿化部分的面积．【答案】（1）5a2+3ab；（2）63.【分析】（1）由长方形面积减去正方形面积表示出绿化面积即可；（2）将a与b的值代入计算即可求出值．【详解】解：（1）根据题意得：（3a+b）（2a+b）-（a+b）2=6a2+5ab+b2-a2-2ab-b2=5a2+3ab；（2）当a=3，b=2时，原式=.阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：．(1)上述因式分解的方法是______________，共应用了_________次；(2)将下列多项式分解因式：；(3)若分解，则需应用上述方法________次，结果是_________．【答案】(1)提取公因式法；2(2)(3)2023；【分析】（1）根据题意可知题干的因式分解方法是提公因式法，一共应用了2次；（2）仿照题意进行提取公因式进行分解因式即可得到答案；（3）根据题意可得规律，提n次公因式，据此求解即可．【详解】（1）解：由题意得，题干的因式分解方法是提公因式法，一共应用了2次，故答案为：提公因式法；2；（2）解：原式；（3）解：，提1次公因式，提2次公因式，提3次公因式……∴依次类推，，提n次公因式，∴，提2023次公因式，故答案为：2023；．22．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．解：设，原式 （第一步） （第二步） （第三步） （第四步）回答下列问题：(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是什么？(2)该同学因式分解的结果是否彻底？若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．(3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．【答案】(1)用完全平方公式分解因式(2)该同学因式分解的结果不彻底，分解的最后结果为(3)【分析】（1）根据完全平方公式的特点即可得到答案；（2）观察可知第四步的结果括号内还可以用完全平方公式分解因式；（3）仿照题意进行求解即可．【详解】（1）解：由题意得该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是用完全平方公式分解因式；（2）解：设，原式 ，∴该同学因式分解的结果不彻底，分解的最后结果为（3）解：设，∴．23.阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，求xy的值；（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，求△ABC的最大边c的值；（3）已知a﹣b＝8，ab+c2﹣16c+80＝0，求a+b+c的值．解：（1）∵x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+6y+9）＝0，∴（x﹣y）2+（y+3）2＝0，∴x﹣y＝0，y+3＝0，∴x＝﹣3，y＝﹣3，∴xy＝（﹣3）×（﹣3）＝9，即xy的值是9．（2）∵a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，∴（a2﹣10a+25）+（b2﹣12b+36）＝0，∴（a﹣5）2+（b﹣6）2＝0，∴a﹣5＝0，b﹣6＝0，∴a＝5，b＝6，∵6﹣5＜c＜6+5，c≥6，∴6≤c＜11，∴△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10．（3）∵a﹣b＝8，ab+c2﹣16c+80＝0，∴a（a﹣8）+16+（c﹣8）2＝0，∴（a﹣4）2+（c﹣8）2＝0，∴a﹣4＝0，c﹣8＝0，∴a＝4，c＝8，b＝a﹣8＝4﹣8＝﹣4，∴a+b+c＝4﹣4+8＝8，即a+b+c的值是8如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形． (1)按要求填空：①你认为图②中的阴影部分的正方形的边长等于______；②请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积：方法1：______方法2：______③观察图②，请写出代数式(m+n)2，(m-n)2，mn这三个代数式之间的等量关系：______；(2)根据(1)题中的等量关系，解决如下问题：若|m+n-6|+|mn-4|=0，求(m-n)2的值．(3)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示，如图③，它表示了______．【答案】（1）①m﹣n；②（m﹣n）2；（m+n）2﹣4mn，③（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn；（2）（m﹣n）2=20；（3）（2m+n）（m+n）=2m2+3mn+n2【分析】（1）①观察可得阴影部分的正方形边长是m-n；②方法1：阴影部分的面积就等于边长为m-n的小正方形的面积；方法2：边长为m+n的大正方形的面积减去4个长为m，宽为n的长方形面积；③根据以上相同图形的面积相等可得；（2）根据|m+n-6|+|mn-4|=0可得m+n=6、mn=4，利用（1）中结论（m-n）2=（m+n）2-4mn计算可得；（3）根据：大长方形面积等于长乘以宽或两个边长分别为m、n的正方形加上3个长为m、宽为n的小长方形面积和列式可得．【详解】（1）①阴影部分的正方形边长是m﹣n．②方法1：阴影部分的面积就等于边长为m﹣n的小正方形的面积，即（m﹣n）2，方法2：边长为m+n的大正方形的面积减去4个长为m，宽为n的长方形面积，即（m+n）2﹣4mn；③（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn．（2））∵|m+n﹣6|+|mn﹣4|=0，∴m+n﹣6=0，mn﹣4=0，∴m+n=6，mn=4∵由（1）可得（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn∴（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn=62﹣4×4=20，∴（m﹣n）2=20；（3）根据大长方形面积等于长乘以宽有：（2m+n）（m+n），或两个边长分别为m、n的正方形加上3个长为m、宽为n的小长方形面积和有：2m2+3mn+n2，故可得：（2m+n）（m+n）=2m2+3mn+n2．故答案为（1）m﹣n；（2）①（m﹣n）2，②（m+n）2﹣4mn，③（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn；（3）（2m+n）（m+n）=2m2+3mn+n2．
