江苏省南京市金陵中学2023-2024学 年高三下学期期初学情调研测试数学试卷

这是一份江苏省南京市金陵中学2023-2024学 年高三下学期期初学情调研测试数学试卷，共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设向量，，则“”是“”的（ ）
A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
2.若函数由下表给出，则函数的解析式可能是（ ）
A. B.
C. D.
3.已知集合，则中元素的个数为（ ）
A.1B.2C.3D.4
4.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1901年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到520这520个数中，能被3除余1且被4除余1的数从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为（ ）
4.43B.44C.45D.46
5.已知双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点出发的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过另一个焦点，如图所示，一镜面的轴截面是双曲线的一部分，是它的一条对称轴，是它的左焦点，光线从焦点发出，经过镜面上点，反射光线为，若，，则该双曲线的离心率为（ ）
A.2B.C.D.
0
1
2
3
5
2.3
1.1
0.7
1.1
2.3
5.9
49.1
6.某单位春节共有四天假期，但每天都需要留一名员工值班，现从甲、乙、丙、丁、戊、己六人选出四人值班，每名员工最多值班一天，已知甲在第一天不值班，乙在第四天不值班，则值班安排共有（ ）
A.192种B.252种C.268种D.360种
7.已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
8.已知空间中13个不同的点构成的集合，满足时，均为正四面体，则集合中最多可以有（ ）个点在同一平面内.
A.9B.10C.11D.12
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9.下图为某商家1月至10月某商品的月销售量，则下列说法正确的是（ ）
A.这10个月的月销售量的极差为15
B.这10个月的月销售量的第65位百分位数为33
C.这10个月的月销售量的中位数为30
D.前5个月的月销售量的方差大于后5个月的月销售量的方差
10.设函数，若有且仅有三个零点，则下列说法中正确的是（ ）
A.有且仅有两个零点B.有一个或两个零点
C.在区间上单调递减D.的取值范围是
11.球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球的半径为，，，
为球面上三点，劣弧的弧长记为，设表示以为圆心，且过，的圆，同理，圆，的劣弧，的弧长分别记为，，曲面（阴影部分）叫做曲面三角形，若，则称其为曲面等边三角形，线段，，与曲面围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面
.设，，，则下列结论正确的有（ ）
A.若平面是面积为的等边三角形，则
B.若，则
C.若，则球面的体积
D.若平面为直角三角形，且，则
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.设，是一个随机试验中的两个事件，若，，，则________.
13.数学月考出了这样一道题：设，为椭圆上的两个动点，若直线上存在点，使得为直角，求实数的取值范围.小峰同学没有思路，于是求助数学老师，老师拍拍他的肩膀告诉他：从前，有个叫蒙日的数学家，发现椭圆的两条互相垂直的切线的交点所构成的轨迹是一个定圆.小峰顿悟，于是写出了答案：________.
14.已知函数，若，且，恒有，则正实数的取值范围为________.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.
15.（本小题满分13分）
如图，一个质点在随即外力的作用下，从原点出发，随机移动次，每次等可能地向左或向右移动一个单位长度.次移动结束后，质点到达的位置的数字记为.
（1）若，求质点又回到原点的概率；
（2）若，求的分布列和的值.
16.（本小题满分15分）
如图，在中，，为外一点，，记，.
（1）求的值；
（2）若的面积为，的面积为，求的最大值.
17.（本小题满分15分）
如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，.
（1）证明：平面；
（2）已知，，，平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，求.
18.（本小题满分17分）
已知椭圆：的上顶点为，离心率为.抛物线：截轴所得的线段长为的长半轴长.
（1）求椭圆的方程；
（2）过原点的直线与相较于，两点，直线，分别与交于，两点.
①证明：直线与直线的斜率之积为定值；
②记和的面积分别是，，求的最小值.
19.（本小题满分17分）
设函数的导函数为，若对任意恒成立，则称函数在区间上的“一
阶有界函数”.
（1）判断函数和是否为上的“一阶有界函数”，并说明理由；
（2）若函数为上的“一阶有界函数”，且在上单调递增，设，为函数图像上相异的两点，直线的斜率为，试判断“”是否正确，并说明理由；
（3）若函数为区间上的“一阶有界函数”，求的取值范围.
参考答案
1.【答案】B
【解析】，则，，“”是“”的充分不必要条件，故选B.
2.【答案】A
【解析】由表格得出，，，为偶函数；
，，，增长幅度变动较大，可知为指数型增长，故选A.
3.【答案】C
【解析】，，
为奇数时，，，，，，，，…，故选C.
4.【答案】B
【解析】由题意知，，，，故选B.
5.【答案】C
【解析】由双曲线光学性质得，反向延长线交于点，且点为右焦点，则，，，，故为等腰直角三角形，
，，，，故选C.
6.【答案】B
【解析】若甲乙不值班，值班安排有种；
若甲乙只有一人不值班，值班安排有种；
若甲乙都值班，值班安排有种；
共有252种，故选B.
7.【答案】C
【解析】若，，恒成立；
若，，，
即，，解得；
综上，故选C.
8.【答案】C
【解析】已知，，，为正四面体，设最多可以有个点在平面内，其中在平面内，必然不在平面内，可在平面内，若在平面内，则必然不在平面内，可在平面内，故最多有11个点在平面内，故选C.
9.【答案】AB
【解析】由图知，月销售量最大值为40，最小值15，极差为15，故A正确；
月销售量由小到大排：25，26，27，28，28，30，33，36，37，40，第65位百分位数为第7位33，故B正确；中位数为，故C错误；
前5个月的月销售量比后5个月的月销售量波动更小，因此前5个月的月销售量的方差小于后5个月的月销售量的方差，故D错误；
故选AB.
10.【答案】ABD
【解析】，，若有且仅有三个零点，则，
则图像向上平移一个单位，有且仅有两个零点，故A正确；
图像向下平移一个单位，有一个或两个零点，故B正确；
，，故D正确；
，，因为，则，
，故C错误；故选ABD.
11.【答案】BC
【解析】对于A，若平面是面积为的等边三角形，则，则，则，故错误；
对于B，若，则，，故正确；
对于C，若，则，，点到平面的距离为，三棱锥的体积为，则球面的体积，故正确；
对于D，若平面为直角三角形，且，则，由余弦定理得：
取，，，，，故错误；
故选BC.
12.【答案】
【解析】，，，，；
故答案为.
13.【答案】
【解析】由题知，因为椭圆的两条互相垂直的切线的交点所构成的轨迹是一个定圆，所以，直线围成的矩形外接圆即为该定圆：.若直线上存在点使为直角，即，为椭圆切线时，该直线与该圆有交点，，解得，故答案为.
14.【答案】
【解析】若，且，恒有，
令，则，，
令，即在上单调递减，
，，
令，恒成立，在上单调递增，
故，，
令，，，，，，，
即，故.
15.【答案】（1）；（2）见解析
【解析】（1）由题知，2次移动后质点又回到原点，即其中有1次向左移动，有1次向右移动，故质点又回到原点的概率为；
（2）由题知，可取，，，0，2，4，6，由对称性知，
，
，
，
即的分布列为
.
6.【答案】（1）；（2）
【解析】（1）在中，，
在中，，
0
2
4
6
因此；
（2），，
，当时，取到最大值.
17.【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）如图，连接交于点，连接；
∵面是直角梯形
∴，
∵
∴
∵
∴
平面
平面
∴平面；
（2）已知，，，
在中，，∴
∵
平面平面
平面平面
∴平面
如图，过点作面的垂线，垂线在平面内，以点为坐标原点，，，直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，设
，，
∵，，∴
，
设平面法向量为，
，取，；
设平面法向量为，
，取，，
则平面与平面的夹角的余弦值为
解得，，因为，故.
18.【答案】（1）；（2）①见解析；②
【解析】（1）抛物线：截轴所得的线段长为的长半轴长，令，，，椭圆离心率为，，，故椭圆的方程；
（2）①由题知，直线的斜率必然存在，设方程，，，与联立方程：
，，
，，
故直线与直线的斜率之积为定值；
②由①得，显然直线，斜率存在且不为0，设：，联立：
，，
联立：，，，
同理：，，；
则，
故当且仅当时等号成立，即最小值为.
19.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】（1），在上恒成立，故是上的“一阶有界函数”；
，，，，故不是上的“一阶有界函数”；
（2）若函数为上的“一阶有界函数”，则，在上单调递增，
，，令，，在上单调递减，
设，，其中
，故；
在上单调递增，，，
故；
（3）函数，
若为区间上的“一阶有界函数”，则，
其中，，，，，，则.
令，，其中，，在区间上单调递增，故在区间上单调递增，
，，
所以存在，使，，，，，
在区间单调递增，在区间单调递减，
即，
对称轴为，在区间上单调递减，恒成立，，故.