初中数学青岛版九年级上册第2章 解直角三角形2.4 解直角三角形精品第2课时一课一练

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1．如图，在中，，，，则的长为（ ）

A．B．C．4D．5
【答案】D
【分析】作于，根据，，算出和，再根据，算出，最后根据计算即可．
【详解】如下图，作于，

在中，，，
，，
在中，，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键．
2．已知在中，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】过点作，垂足为，根据，得出,进而求得，由已知条件得出，进而得出，即可求解．
【详解】解：如图所示，
过点作，垂足为，
在中，，
∴,
∴
\
∴，
在中，
故选：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形，构造直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．
3．如图，在△中，，,.则边的长为 .
【答案】
【分析】过A作AD⊥BC于D点，根据，可求得CD，在Rt△ACD中由勾股定理可求得AD，再利用Rt△ADB中，可知AB=2AD，即可解题
【详解】过A作AD⊥BC于D点，
∵，AC=2
∴CD=
在Rt△ACD中由勾股定理得：AD=
又∵∠B=30°
∴AB=2AD=.
【点睛】本题考查了锐角三角函数，勾股定理求线段长度，30°所对的直角边是斜边的一半，灵活联合运用即可解题.
4．如图，在中，，，，则的长为 ．
【答案】
【分析】过点作于点，解，得出，进而解，即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握三角形的边角关系是解题的关键．
5．如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离为 海里．
【答案】20
【分析】过点A作AC⊥BD，根据方位角及三角函数即可求解．
【详解】如图，过点A作AC⊥BD，
依题意可得∠ABC=45°
∴△ABC是等腰直角三角形，AB=20(海里)
∴AC=BC=ABsin45°=10(海里)
在Rt△ACD中，∠ADC=90°-60°=30°
∴AD=2AC=20 (海里)
故答案为：20．
【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值．
6．如图，在中，，，求．
【答案】10
【分析】本题考查解非直角三角形，过点作，分别解，求出的长，利用，进行求解即可．解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形．
【详解】解：过点作，则：，
在中，，，
∴，，
在中，，，
∴，
∴．
7．如图，在△ABC中，，，，求的长．

【答案】
【分析】过作于，则，在中，由，，求得，，根据三角形的内角和得到，在中，根据，再根据即可得到结论．
【详解】解：如图，过作于，
∴，
∵在中，，，
∴，
，
又∵在△ABC中，，，
∴，
在中，，
∴，
∴的长为．

【点睛】本题考查解直角三角形，特殊角三角函数，三角形内角和．熟练掌握好边角之间的关系是解题的关键．
8．在中，，，，求的长．
【答案】
【分析】过点作，交的延长线于点，由平角的定义可求解，通过解直角三角形可求解，的长，即可求解的长，再利用勾股定理可求解的长．
【详解】解：过点作，交的延长线于点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
即，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴的长为．
【点睛】本题考查解非直角三角形．作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
9．如图，在中，已知，，，求的长．
【答案】
【分析】过点作，垂足为点，设，在中，得出，在中，得出，根据，列出方程求解得出，在中，根据即可求解．
【详解】解：如图，过点作，垂足为点，
设，在中， ，
在中，，
，
，
，
.
解得：，即，
在中，∵，
∴
【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握三角函数关系是解题的关键．
10．在△ABC中，，，，则 ．
【答案】或
【分析】画出图形，分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论即可．
【详解】解：情况一：当△ABC为锐角三角形时，如图1所示：
过A点作AH⊥BC于H，
∵∠B=45°，
∴△ABH为等腰直角三角形，
∴,
在Rt△ACH中，由勾股定理可知：，
∴．
情况二：当△ABC为钝角三角形时，如图2所示：
由情况一知：，，
∴．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理的应用，本题的关键是能将△ABC分成锐角三角形或钝角三角形分类讨论．
11．如图，在中，．
(1)求的值．
(2)求的面积（结果保留根号）
【答案】(1)
(2)的面积为
【分析】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形．
（1）过点作于点，构造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可；
（2）利用勾股定理及三角形面积求解即可．
【详解】（1）解：如图，过点作于点．
在中，，，
，
，
在中，
，
；
（2）解：由（1）知：在中，，，
，
．
12．如图，是的中线，

求：
(1)的长；
(2)的正弦值．
【答案】(1)6
(2)
【分析】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是：
（1）作于．在中，求出，在中，求出即可解决问题；
（2）在中，求出，即可解决问题．
【详解】（1）解：如图，作于．

在中，，，
，，
在中，，
，
．
（2），
，，，
在中，．
的正弦值为．
13．公交总站点与、两个站点的位置如图所示，已知km，，，求站点离公交总站的距离即的长结果保留根号．
【答案】
【分析】过点C作交的延长线于D，易得是等腰直角三角形，由勾股定理可求得的长，再由含角直角三角形的性质求得，再由勾股定理可求得，从而求得．
【详解】过点C作交的延长线于D，如图，
，，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
由勾股定理得，
，，
，
由勾股定理得，
．
【点睛】本题考查了解直角三角形，构造辅助线转化为特殊直角三角形来解决是问题的关键．