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第2章 解直角三角形（章末重点题型归纳）-2024-2025学年9上数学同步课堂（青岛版）
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第2章 解直角三角形（章末重点题型归纳）题型一 锐角三角比概念辨析1．如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，叙述正确的是（ ）A．的值越大，梯子越陡B．的值越大，梯子越陡C．的值越小，梯子越陡D．陡缓程度与的函数值无关【答案】A【分析】根据三角函数定义与性质，值越大越大；值越小越大；值越大越大，从而判断出答案．本题考查三角函数定义与性质，熟记“值越大越大；值越小越大；值越大越大”是解决问题的关键．【详解】解：A、的值越大，梯子越陡，故A符合题意；B、的值越小，梯子越陡，故B不符合题意；C、的值越大，梯子越陡，故C不符合题意；D、陡缓程度与的三角函数值有关，故D不符合题意．故选：A．2．在中，，若的三边都缩小5倍，则的值（ ）A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不变 D．无法确定【答案】C【分析】本题考查了锐角三角函数的定义：在中，．锐角A的对边a与斜边c的比叫做的正弦，记作．直接利用锐角的正弦的定义求解．【详解】解：∵，∴的对边与斜边的比，∵的三边都缩小5倍，∴的对边与斜边的比不变，∴的值不变．故选：C．3．如图，在中，，为边上一点，过点作，垂足为，则下列结论中正确的是（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查解直角三角形，关键是掌握锐角三角函数定义．由锐角的三角函数定义，即可判断．【详解】解：，，、，故不符合题意；、结论正确，故符合题意；、，故不符合题意；、，故不符合题意．故选：B．4．如图，已知在中，，则（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查余弦的定义，根据余弦的定义即可解答．【详解】解：在中，．故选：C．5．如图，梯子（长度不变）与地面所成的锐角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列说法中，正确的是（ ）A．的值越大，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡C．的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关【答案】A【分析】本题主要考查了锐角三角形，根据三角函数定义与性质，值越大越大；值越小越大；值越大越大，从而判断出答案．【详解】解：A、的值越大，则越大，则梯子越陡，原说法正确，符合题意；B、的值越大越小，梯子越平缓，原说法错误，不符合题意；C、的值越小越小，梯子越平缓，原说法错误，不符合题意；D、陡缓程度与的函数值有关，原说法错误，不符合题意；故选：A．6．如图，在中，，，，，则( )A． B． C． D．【答案】C【分析】根据正切的定义即可求解．在直角三角形中，锐角的正切值等于这个锐角的对边比邻边．【详解】解：∵在中，，，，∴，故选：C．【点睛】本题考查了正切的定义，掌握正切的定义是解题的关键．题型二 求角的锐角三角比1．如图，中，，，，，那么等于( )A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，直接根据正弦函数的定义：在直角三角形中，一锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值求解即可．【详解】解：∵中，，，，∴．故选C．2．在中，，，，则的值等于（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查的是勾股定理的应用，锐角的余弦的计算，先求解，再利用余弦的定义可得答案．【详解】解：∵，，，∴，∴．故选：A．3．如图，在中，，，，则的正切值为（ ）A．5 B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了三角函数的比值关系，熟悉掌握正弦的比值关系是解题的关键．根据正切的比值关系列式比较即可．【详解】解：在中，，，，∴．故选：C．4．如图所示，的顶点是正方形网格的格点，则的值是（ ） A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查求角的正切值，根据网格特点和正切定义求解即可．【详解】解：如图，设网格中小正方形的边长为1，则，， ∴，故选：D．5．如图，在中，，，，则的值为 ．【答案】【分析】本题考查求角的正弦值．根据正弦值等于对边比斜边，进行求解即可．【详解】解：∵在中，，，，∴；故答案为：．6．如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点若的顶点均是格点，则的值是 ．【答案】【分析】延长到，连接，由网格可得，即得，可求出答案．【详解】解：延长到，连接，如图：，，，，，，故答案为： ．【点睛】本题考查网格中的锐角三角函数，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形．7．如图，在4×4正方形网格中，点A，B，C为网格交点，，垂足为D，则的值为 ．【答案】【分析】本题考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，解题的关键熟记三角函数的定义并灵活运用．先求出，然后利用利用解题即可．【详解】解：如图，∵，∴，又∵，∴，∴，故答案为：．三、解答题8．求出图中的正弦值、余弦值和正切值．【答案】，，．【分析】本题考查锐角三角函数的定义，利用勾股定理解出，再由正弦、余弦、正切公式代入求值即可．【详解】解：∵，，，∴，∴，，．9．如图，在中，，是的中点，，．(1)求的长；(2)求与的值．【答案】(1)的长为(2)，【分析】本题考查了直角三角形中，斜边的上的中线等于斜边的一半，勾股定理，求角的余弦和正切等知识点．熟记相关几何结论是解题关键．（1）由“斜边的上的中线等于斜边的一半”可得，根据勾股定理即可求解；（2）由“斜边的上的中线等于斜边的一半”可得，可推出，结合三角函数的定义即可求解．【详解】（1）解：，是的中点，，.，，（2）解：由（1）得，，， .题型三 已知锐角三角比求边长1．在中，，，，则的值为（ ）A．8 B．9 C．10 D．7.5【答案】C【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，解决本题的关键是掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．根据正弦函数的定义即可直接求解．【详解】解：∵，设，，∴，∴，解得，∴．故选：C．2．已知在中，，，，则等于（ ）A．6 B．16 C．12 D．4【答案】B【分析】本题考查根据角度的正切值求线段长度，熟记正切的定义：正切，即可求解．【详解】解：如图：∵，，∴故选：B3．如图，一根竖直的木杆在离地面1的A处折断，木杆顶端落在地面的B处上，与地面的夹角为，若，则木杆折断之前高度为 ．【答案】【分析】本题主要考查了解直角三角形，掌握正弦的定义成为解题的关键．由题意可得，进而解答，然后求出即可．【详解】解：由题意可知：∵，∴，即，解得：，∴木杆折断之前高度为．故答案为．4．如图，在中，，于点D，，，那么 ．【答案】【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题时要能紧扣问题，借助直角三角形去求解是关键．先得，由，从而求出，最后由进行计算可以得解．【详解】解：∵，，∴，又，∴，∴，故答案为：．5．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限内，其坐标为（6，），连接，与轴正半轴的夹角的正切值是，则的值是 ．【答案】8【分析】由点向轴引垂线，结合锐角三角函数值和点的横坐标，求得点的纵坐标，即的值；【详解】解：作轴于，，，，即．故答案为：．【点睛】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是掌握点的坐标以及锐角三角函数的概念．6．已知：如图，中，于点，若，，求．【答案】【分析】根据条件即可求出CD，然后根据∠B的正切值即可求出AD，从而求出．【详解】解：∵∴CD=4∵∴∴AD=BD=6∴tanC=【点睛】此题考查的是解直角三角形，掌握正切值的定义是解决此题的关键．题型四 已知角度比较锐角三角比大小1．已知是锐角三角形，若，则（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】大边对大角，可得∠C＞∠B，当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；依此即可求解．【详解】解：△ABC是锐角三角形，若AB＞AC，则∠C＞∠B，则sinB＜sinC．故选：B．【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，当角度在0°～90°间变化时，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．2．sin65°与cos26°之间的关系为（ ）A．sin65°＜cos26° B．sin65°＞cos26°C．sin65°=cos26° D．sin65°+cos26°=1【答案】B【分析】首先要将它们转换为同一种锐角三角函数，再根据函数的增减性进行分析．【详解】∵cos26°=sin64°，正弦值随着角的增大而增大，∴sin65°＞cos26°．故选：B．【点睛】掌握正余弦的转换方法，了解锐角三角函数的增减性是解答本题的关键．3．s，， 的大小关系是( )A． B．C． D．【答案】D【分析】首先根据锐角三角函数的概念，知：和都小于，大于，故最大；只需比较和，又，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行比较．【详解】根据锐角三角函数的概念，知，，．又，正弦值随着角的增大而增大，．故选D．4．若，则的正切值的范围是（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据特殊角的三角函数值及余弦函数随角增大而减小解答即可．【详解】解：∵，且一个角的正切值随角的增大而增大，∴，∴．故选：D【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，熟记特殊角的三角函数值和了解锐角三角函数的增减性是解题的关键．二、填空题5． （填“或”）．【答案】【分析】本题考查三角函数值大小的比较，掌握正切值随角度的增加而增加是解题关键．利用正切的增减性解答．【详解】解：在锐角三角函数中，正切值随角度的增加而增加，，；故答案为：．6．比较大小： ．【答案】【分析】本题考查三角函数定义，正弦定义，正切定义，根据分子相同，分母越大，分数越小，进行比较即可．【详解】解：根据题意作图如下，在中，，，，，，故答案为：．7．（1）试比较，，，，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小．（2）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：，，，．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）利用三角函数的增减性的规律即可得答案；（2）注意正余弦的转换方法，转换为同一种锐角三角函数后，再根据锐角三角函数值的变化规律进行比较．【详解】解：（1）∵锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小．∴；．（2），．∵，∴．【点睛】本题考查互余两角三角函数的关系，掌握锐角三角函数的增减性的规律是解题关键．题型五 根据锐角三角比判断角度的取值范围1．如果锐角的正切值是，则下列结论正确的是（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用30度角和45度角的正切值与角的正切值比较，即可得到答案．【详解】解：∵，，，，，，而，∴，∴，∴，故选：A．【点睛】此题考查各角的正切值，实数的平方运算，实数的大小比较，熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键．2．已知是锐角，且，那么锐角的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，熟知锐角三角函数的余弦函数值随角增大而减小是解答此题的关键．先求出，及的近似值，然后得出结论即可．【详解】解：，，，又∵解：，，，又∵，余弦函数随角增大而减小，∴．故选：B．3．若锐角满足，则锐角的取值范围是（ ）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查特殊角的三角函数值，以及余弦的性质，根据余弦值随着锐角度数的增大而减小，进行判断即可．【详解】解：∵，，∴；故选C．4．已知，则锐角的取值范围是 ．【答案】【分析】根据锐角三角函数的增减性即可求解．熟练掌握特殊角的三角函数值和锐角三角函数的增减性是解题的关键．【详解】解：由，∴，∵当时，随着的增大而减小，∴，故答案为：5．若，则 ．【答案】【分析】根据锐角三角函数的增减性判断出与的大小、与 的大小，然后化简计算即可．【详解】解：∵，∴．∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的增减性，锐角三角函数的混合运算，根据锐角三角函数的增减性判断出与的大小、与 的大小是解题的关键．题型六 锐角三角比之间的关系1．已知为锐角，且，那么的正切值为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根据求出，然后根据求解即可．【详解】∵，为锐角，∴，∴．故选：A．【点睛】此题考查了求角的正切值，解题的关键是熟练掌握三角函数公式．2．在中，，，则下列式子成立的是（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据各个三角函数的定义即可解答．【详解】解：A、∵，∴，故A不成立，不符合题意；B、，∴，故B成立，符合题意；C、，∴，故C不成立，不符合题意；D、，∴，故D不成立，不符合题意；故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，解题的关键的数量掌握各个三角函数的求法．3．在中，，已知，那么的值是（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用互余两角的三角函数关系求解，即可得到答案．【详解】解：在中，，，，，故选：A．【点睛】本题考查了互余两角的三角函数关系，解题关键是掌握一个角的正弦值等于它的余角的余弦值．4．在中，，，则（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】在中，，，设，则，根据余弦的定义即可得到答案．【详解】解：在中，，，设，则，∴．故选：A． 【点睛】此题考查了锐角三角函数的定义等知识，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．5．下列等式中正确的是（ ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据互余两角的三角函数的关系就可以求解．【详解】解：A．，故此选项不符合题意；B．，故此选项不符合题意；C．，故此选项符合题意；D．，故此选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查互余两角的三角函数之间的关系，如：，（为锐角）．理解和掌握互余两角的三角函数的关系式是解题的关键．6．在中，，若，则 ．【答案】/0.75【分析】根据一个角的余弦等于它余角的正弦，可得答案．【详解】解：如图，，．∵，∴．故答案为：．【点睛】本题考查三角函数的定义．由定义推出互余两角的三角函数的关系：若，则是解题关键．7．在Rt中，，，则 ．【答案】【分析】根据互余两角的三角函数的关系就可以求解．【详解】解：在中，，，．故答案为：．【点睛】本题考查互为余角的两角的三角函数的关系，解题的关键是掌握一个角的余弦等于它余角的正弦．8．若是锐角，且，则 ．【答案】【分析】根据和互余角的三角函数关系计算即可；【详解】解：∵，又为锐角，，∴，∴；故答案为：．【点睛】本题主要考查了互余两角的三角函数关系，准确计算是解题的关键．9．已知，中，，，求、、、．【答案】【分析】根据题意，作出图形，在中，，，得到，根据，联立方程组，由，，求解即可得到；；再根据即可得到答案．【详解】解：如图所示：中，，，，①又，，②联立①②，解得；；又，；．【点睛】本题考查解直角三角形，涉及三角函数定义与性质，熟练掌握，是解决问题的关键．题型七 特殊角锐角三角比及运算1．的值等于（ ）A． B．0 C．1 D．【答案】B【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的计算，有理数的减法，熟练掌握知识点是解题的关键．代入，即可计算．【详解】解：，故选：A．2．（ ）A．1 B．0 C． D．【答案】C【分析】本题考查的是特殊角的三角函数，熟记30度角的正弦是解本题的关键．【详解】解：，故选C3．计算的值等于（ ）A．0 B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了特殊角锐角函数值的计算，把特殊角锐角函数值代入计算，即可求解．【详解】解：．故选：A4．的值等于（ ）A． B． C． D．1【答案】D【分析】本题考查特殊角的三角函数值，直接根据特殊角的三角函数值得出答案．【详解】解：，故选：D．5．的值等于（ ）A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，一些特殊角的三角函数值是需要我们熟练记忆的内容．，，代入计算即可．【详解】解：．故选：C．6．的值等于（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的计算，熟知特殊角的三角函数值是解题关键，先计算特殊角的三角函数值，再进行二次根式计算即可求解．【详解】解：．故选：A7．计算： ．【答案】【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，零指数幂，先计算特殊角三角函数值和零指数幂，再计算减法即可．【详解】解：，故答案为：．8．计算： ．【答案】/0.625【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．本题中利用负整数指数幂的运算法则和代入特殊角的三角函数值计算即可．【详解】解：，故答案为：．9．计等： ．【答案】【分析】本题考查特殊角的三角函数，是基础知识比较简单，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．首先利用乘方、特殊角的三角函数值对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【详解】解：故答案为：．10．计算： ．【答案】【分析】本题考查特殊角的三角函数值的运算，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值，掌握运算法则．根据特殊角的三角形函数值的运算法则计算即可．【详解】解：．11．计算：．【答案】【分析】本题考查实数的混合运算，根据绝对值，负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值即可得出答案【详解】原式12．计算： 【答案】【分析】原式利用二次根式性质，特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值．此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂、特殊三角函数值，解题的关键是熟练掌握运算法则．【详解】解：．13．（1）（2）【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据特殊角的三角函数值计算即可；（2）根据特殊角的三角函数值计算即可．【详解】解：（1）（2）【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值及实数的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解决本题的关键．题型八 由特殊角的三角比求角的度数及判断三角形形状1．在直角三角形中，，则的度数为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键，根据特殊角的三角函数值，即可求解；【详解】，，故选：A．2．已知，则（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查特殊角三角函数值，根据特殊角三角函数即可求出角度，即可得到答案．【详解】解：，，故选：C．3．在中,,,则等于（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查利用锐角三角函数值求解角的度数．根据题意可知利用余弦公式可求得答案,熟背特殊角三角函数值是解出本题的关键．【详解】解:∵,中,∴,∴．故选:C．4．已知锐角满足， 则锐用的度数为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查锐角三角函数中特殊三角函数值，利用整体思想，一个锐角的正切值等于，那么这个角等于，直接计算即可求解．【详解】解：∵，∴，∴，故选：．5．在中，若，，，都是锐角，则是 三角形．【答案】等边【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出，，进而得出答案．【详解】解：在中，，，且，都是锐角，，，是等边三角形．故答案为：等边．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记住特殊角的三角函数是解题关键．6．在中，若，，都是锐角，则是 三角形．【答案】等腰直角【分析】此题考查了已知三角函数值求角，涉及了绝对值和平方的非负性，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值．根据绝对值和平方的非负性可得，，求得，即可求解．【详解】解：由可得，即，解得：，则，∴为等腰直角三角形，故答案为：等腰直角．7．若，，为的内角，试确定三角形的形状．【答案】为直角三角形【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据非负数的性质得出，进而求得，根据三角形的内角和定理即可求解．【详解】解：由，得，则，度．为直角三角形．8．（1）计算：；（2）在中，若和满足，求的度数．【答案】（1）1；（2）【分析】本题考查特殊角的三角函数值，零指数幂，三角形内角和定理等知识，（1）根据零指数幂，有理数的乘方，特殊角的三角函数进行计算即可求解；（2）根据非负数之和为0，可得，，进而得出，进而根据三角形内角和定理，即可求解．【详解】解：（1）；（2）∵，∴，，∴，∴．题型九 用计算器求锐角三角比或已知三角比求角的度数1．如图是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器按此顺序输入：，显示屏显示的结果为．将这个数据精确到后，下列说法正确的是（ ）A．的正切函数值约为B．正切函数值为的角约是 C．的正切函数值约为D．正切函数值为的角约是【答案】B【分析】本题主要考查了计算器−三角函数，要求学生对计算器上的各个功能键熟练掌握．借助计算器这样的工具做题既锻炼了学生动手能力，又提高了学生学习的兴趣．根据已知三角函数值求角的计算器使用方法按键即可．【详解】解：已知锐角三角函数值求锐角的方法是：已知，一般先按键“2ndF”，再按键“tan”，输入“”，再按键“＝”即可得到结果．故选：B．2．运用我们课本上采用的计算器进行计算时，下列说法不正确的是（ ）A．计算的按键顺序依次为B．要打开计算器并启动其统计计算功能应按的键是C．启动计算器的统计计算功能后，要清除原有统计数据应按键D．用计算器计算时，依次按如下各键，最后显示结果是0.5【答案】D【分析】根据计算器的使用方法依次判断各个选项即可．【详解】解：A选项，计算的按键顺序正确，本选项不符合题意；B选项，要打开计算器并启动其统计计算功能应按的键正确，本选项不符合题意，C选项，启动计算器的统计计算功能后，要清除原有统计数据应按键，说法正确，本选项不符合题意，D选项，用计算器计算时，依次按如下各键，最后显示结果是，不是，原说法错误，本选项符合题意，故选：D．【点睛】本题主要考查计算器的基础知识，熟练掌握计算器的使用是解题的关键．3．右图是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器计算，按键顺序正确的是（ ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据计算器求锐角三角函数值的步骤进行判断即可．【详解】解：利用该型号计算器计算，按键顺序正确的是：故选：A．【点睛】本题考查了用计算器求锐角三角函数值，解题的关键在于熟练掌握计算器的应用．4．已知，运用科学计算器在开机状态下求锐角时，按下的第一个键是（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据锐角三角比的数值求角度时，首先先按键．【详解】解：根据锐角三角比的数值求角度时，首先先按键，故选：A．【点睛】本题主要考查计算器按键的作用，解题关键是熟练掌握计算器功能键的作用．5．用教材中的计算器按下列顺序依次按键：，屏幕上显示 ．【答案】【分析】本题考查了计算器的基础知识，解题的关键是分析出按键中所求的问题．根据按键的显示，求的是余弦是的角的度数，按余弦的值写出度数即可．【详解】解：∵余弦是的角的度数是，故答案为：．6．运用科学计算器（如图是其面板的部分截图）进行计算，按键顺序如下：则计算器显示的结果是 .【答案】【分析】本题考查了用计算器求锐角三角函数值得运算，将图示翻译成算式即可求解．【详解】解：由题意得，计算器按键写成算式为：∴原式故答案为：7．用计算器求下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）0.8290；（2）0.9367；（3）1.0000；（4）4.7544【分析】根据计算器求三角函数值的方法求解即可．【详解】解：（1）=0.8290；（2）=0.9367；（3）1.0000；（4）=4.7544．【点睛】此题考查了计算器求三角函数值，解题的关键是熟练掌握计算器求三角函数值的方法．8．根据条件求锐角：（1），求；（2），求；（3），求．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）先启用计算器上功能，再按0.675，最后按等于即可得；（2）先启用计算器上功能，再按0.0789，最后按等于即可得；（3）先启用计算器上功能，再按35.6，最后按等于即可得．【详解】解：（1）∵，∴（2）∵，∴（3）∵，∴【点睛】本题主要考查计算器−三角函数，解题的关键是掌握科学计算器上计算三角函数值功能的使用．题型十 解直角三角形1．如图，一辆货车，为了方便装运货物，使用了三角形钢架，已知，，，则的长为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键【详解】在中, ，∴的长为，故选A2．如图，在中，，，，则的长是（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是熟练掌握锐角三角形的定义．根据余弦的定义解答即可．【详解】解：在中，，，，，故选：C3．已知在中，，，则的值为（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据正弦三角函数的定义，设，则，，再根据正切三角函数的定义，即可求解．【详解】∵在中，，，∴，设，则，，∴，故选：D．【点睛】本题主要考查三角函数的定义，根据三角函数的定义，用未知数表示出直角三角形的各边长，是解题的关键．4．如图，有一斜坡，此斜坡的坡面长，斜坡的坡角是，若，则坡顶离地面的高度为 ．【答案】【分析】本题考查了正弦三角函数，熟练掌握正弦三角函数为角的对边比邻边是解题的关键．由正弦三角函数定义即可得出答案．【详解】解：，，，，故答案为：．5．如图，中，，，若，，则的长度为 ．【答案】【分析】本题考查余弦的定义，掌握表示和的长是解题的关键，根解直角三角形的方法求解即可．【详解】解：∵，∴，，∴，故答案为：．6．根据下列条件解直角三角形．(1)在中，，，；(2)在中，，，．【答案】(1)(2)【分析】本题考查的是解直角三角形，掌握解直角三角形的含义是解本题的关键；（1）先求解，再求解，，从而可得答案；（2）先求解，再求解，即可；【详解】（1）解：∵在中，，，，∴，，∴．（2）∵在中，，，，∴，∵，∴，∴．7．在中，已知，，，求这个直角三角形的其他边和角（，，，）．【答案】，，【分析】本题考查了解直角三角形的相关性质，已知斜边和一锐角度数时，求直角边时，用锐角的正弦或余弦，据此即可作答．【详解】解：；在中，，则，解得：；在中，，则，解得：．题型十一 解非直角三角形1．如图，在中，，，，则的长为 ．【答案】【分析】过点作于点，解，得出，进而解，即可求解．【详解】解：如图，过点作于点，∵，∴，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握三角形的边角关系是解题的关键．2．某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门A测得历下亭C在北偏东37°方向，继续向北走105m后到达游船码头B，测得历下亭C在游船码头B的北偏东53°方向．请计算一下南门A与历下亭C之间的距离约为 ．(参考数据：tan37°≈，tan53°≈)【答案】300m【分析】如图，作CE⊥BA于E．设EC=x m，BE=y m．由题意可构建方程组求出x，y即可解决问题．【详解】解：如图，作CE⊥BA于E．设EC=xm，BE=ym．在Rt△ECB中，tan53°=，即，在Rt△AEC中，tan37°=，即，解得x=180，y=135，∴AC==300(m)，故答案为：300m．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-方向角等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用方程思想解决问题．3．如图，在中，，，．(1)求的长；(2)求的面积（结果保留根号）．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．（1）过点A作，垂足为D，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长；（2）利用锐角三角函数的定义和勾股定理分别求出和的长，从而求出的长，然后利用三角形的面积公式即可求出答案．【详解】（1）解：过点作于．在中，，，，∵在中，，；（2）∵在中，，，在中，根据勾股定理，，的面积．4．已知中，．(1)如图1，若，则________（结果保留根号）(2)如图2，若，求AC的长．（结果保留根号）【答案】(1)(2)【分析】（1）解，即可求解；（2）过点作于点，解，即可求解．【详解】（1）解：∵，．∴，∴，故答案为：．（2）解：如图所示，过点作于点，∵中，，∴，，∵，∴，∴．【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握直角三形中的边角关系是解题的关键．题型十二 解直角三角形的实际应用——仰俯角1．如图，小明在点C处测得树的顶端A仰角为， 同时测得，则为（ ） m． A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据锐角三角函数的定义，进行求解即可．【详解】解：由图和题意，得：，，∴，∴；故选B．2．如图，从热气球A看一栋大楼顶部B的仰角是（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据仰角是向上看的视线与水平线的夹角进行判断即可．【详解】解：从热气球A看一栋大楼顶部B的仰角是，故选：A．【点睛】本题考查仰角的定义，理解仰角的定义是解答的关键．3．如图，建筑物上有一旗杆，从与相距的D处观测旗杆顶部A的仰角为，观测旗杆底部B的仰角为，则旗杆的高度是（ ）A． B．40 C． D．【答案】D【分析】本题考查解直角三角形的应用，分别解直角三角形求出的长，再用进行求解即可．【详解】解：由题意，在中，，在中，，∴；故选D．4．如图小明在点C处测得树顶端A的仰角为α，且米，则树高度为（ ）米A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题．根据题意可得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【详解】解：由题意得：，，在中，米，（米），故选：A．5．如图，两幢建筑物和，，，．和之间有一景观池，某同学在D点测得池中喷泉处E点的俯角为，在C点测得E点的俯角为，点A、E、B在同一直线上．求得两幢建筑物之间的距离约为（ ）（结果精确到，参考数据：，，A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题．在中，，解得，在中，，可得，由可得出答案．【详解】解：由题意可得，，在中，，解得，在中，，，．故选：A．6．如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆，测得杆顶端点P的仰角是，测得杆底端点Q的仰角是，．则点A到山坡底部点C的距离为 m．（结果保留根号）【答案】【分析】本题考查解直角三角形的应用，设，在中，求得 ，在中，求得，由列方程求解即可．【详解】解：设，在中，，∴，在中，，∴，∵，，∴，解得，故答案为：．7．如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点测得该楼顶部点的仰角为，测得底部点的俯角为，点与楼的水平距离，则这栋楼的高度为 m（结果保留根号）．【答案】/【分析】本题考查解直角三角形—仰角俯角问题．注意准确构造直角三角形是解答此题的关键．根据题意得，然后利用三角函数求解即可．【详解】解：依题意，．在中，，在中，，∴．故答案为：．8．某地的地标性建筑如图所示．为测量此地标性建筑的高度，某数学兴趣小组在该地标性建筑附近一座居民楼顶处测得地标性建筑顶处的仰角为，地标性建筑底部处的俯角为．已知居民楼的高约为171米，请你计算地标性建筑的高度．（结果精确到1米．参考数据：，，）【答案】建筑的高度约为599米【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，过点作，分别解和，求出的长，再用的长即可得出结果．【详解】解：过点作，由题意，可知：，四边形为矩形，∴， 在中，；在中，，∴；答：建筑的高度约为599米．9．综合实践活动中，数学兴趣小组利用无人机测量大楼的高度．如图，无人机在离地面40米的处，测得操控者的俯角为，测得楼楼顶处的俯角为，又经过人工测量得到操控者和大楼之间的水平距离是80米，则楼的高度是多少米？（点都在同一平面内，参考数据：）【答案】楼的高度为米．【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质等知识．过作于，过作于，则四边形是矩形，则，，由题意知，，根据求的值，根据求的值即可．【详解】解：如图，过作于，过作于，则四边形是矩形，∴，，由题意知，，∴，∴，∴楼的高度为米．10．无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图所示，某人利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中点处，测得点距地面上点米，同时测得点距楼顶点米，点A处的俯角为，楼顶点处的俯角为．求大楼的高度（结果保留根号）．【答案】米【分析】本题主要考查矩形的判定及性质和锐角三角函数，过点作于点，过点作于点，证明四边形是矩形，得到，利用锐角三角函数得到，的数值，即可求得答案．【详解】如图所示：过点作于点，过点作于点．∵，∴四边形是矩形．∴．∵米，米，，，∴米，米 ．∴米．题型十三 解直角三角形的实际应用——方位角1．侦察机在P观测目标R俯角为30°，向东航行2分钟到达点Q，此时观测目标R俯角为45°，符合条件的示意图是（ ）．A． B．C． D．【答案】A【分析】根据俯角的定义（在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角）来进行判断．【详解】根据题意，得示意图，与选项A相符．故选：A．【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用之俯角类问题，正确理解俯角的定义是解题的关键．2．如图，东西方向上有A，C两点，点B在点A的北偏东方向上，在点C的北偏西方向上，则下列说法正确的是（ ） A． B．C． D．【答案】B【分析】题目主要考查特殊角的三角函数的计算，结合图象，得出相应的角度，然后依次判断即可【详解】解：A、根据图象得，∴，选项错误，不符合题意；B、根据图象得，∴，选项正确，符合题意；C、，选项错误，不符合题意；D、，选项错误，不符合题意；故选：B3．如图，一艘游船在海上由西往东匀速航行，上午在A处观测得灯塔P位于北偏东的方向上，游船继续航行，上午到达B处，此时测得灯塔P位于北偏东的方向上，那么游船由B 处航行到达离灯塔P 距离最近的位置的时间为（ ）A．上午 B．上午 C．上午 D．上午【答案】B【分析】本题考查解直角三角形的应用—方位角，解本题的关键是通过作辅助线构造含特殊角的直角三角形．的延长线于点N，由题易可知知图中有两个直角三角形且，；由图中各角之间的关系可得，利用等角对等边还可进一步推出；设出该船的速度并表示出和的长，再在中表示出的长，利用路程、速度与时间的关系即可求解．【详解】作的延长线于点N，根据题意可得，， ∵是的一个外角， ∴，∴，设该船的速度为，则． ∵在中，， ∴， ∴该船继续匀速航行到达离灯塔距离最近的位置所需时间是，∴游船由B 处航行到达离灯塔P 距离最近的位置的时间为上午，故选：B4．如图，甲、乙两人在道路的两边相向而行，当甲、乙两人分别行至点A、C时，测得乙在甲的北偏东方向上．乙留在原地休息，甲继续向前走了40米到B处，此时测得乙在其北偏东方向上．求道路的宽 ．【答案】【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，过C作的垂线，设垂足为D，由题意得，，得米；在中，可用正弦函数求出的长即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点C作于点D，则的长即为道路的宽. 由题意得.，∵是的一个外角，∴．∴， ∴．在中，，∴．∴道路的宽约为米.故答案为：；5．如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔25海里的A处，它沿正北方向航行到达位于灯塔正东方向上的B处，那么此时轮船与灯塔P的距离为 海里．【答案】【分析】本题考查了解直角三角形的应用；由题意，利用余弦函数即可求解．【详解】解：∵轮船位于灯塔P的南偏东方向，∴，在中，（海里）；即此时轮船与灯塔P的距离为海里．故答案为：．6．海中有一个小岛A，该岛四周18海里内有暗礁，今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西的C处，之后，货轮继续往东航行．你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？请说明理由．（，，，，，）【答案】货轮继续向东航行途中没有触礁的危险【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，过点作，设海里，分别解，求出的长，根据海里，列出方程进行求解即可．【详解】解：货轮继续向东航行途中没有触礁的危险，理由如下：过点作，由题意，得：海里，设海里，在中，海里，在中，海里，∴，∴，∵，∴货轮继续向东航行途中没有触礁的危险．7．如图，为了测量河的南岸东西方向两点间的距离，某兴趣小组在河的北岸点C的正北方向观测点A处，测得B在A的南偏西方向上，测量小组沿方向行走96米至观测点D，测得点C在观测点D的南偏东方向上，求河的南岸两点间的距离．（参考数据：，） 【答案】【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，先根据题意得到，再根据三角函数求两次线段的长即可.【详解】解：∵点C在观测点D的南偏东方向上，B在A的南偏西方向上，∴，，，∴，∴，∴，∴.8．如图，在海岸线上有B、C两个观测点，B、C之间距离为，海上有一小岛A，在小岛A处分别测得观测点B在小岛A的南偏西方向，观测点C在小岛A的南偏西方向，求小岛A与海岸线的距离．（结果精确到．参考数据：，，，）【答案】小岛到海岸线的距离约为57.1米．【分析】本题考查的是解直角三角形的应用--方向角问题，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义、一元一次方程的解法是解题的关键．先过点A作，垂足为D，设米，根据，然后代值计算即可求出小岛到海岸线的距离．【详解】解：过点A作，垂足为D，设米，∵，∴，即，解得：，答：小岛到海岸线的距离约为米．题型十四 解直角三角形的实际应用——坡比1．如图河堤横断面迎水坡的坡比， 堤高，则坡面的长度是（ ）m A．8 B．18 C． D．【答案】D【分析】本题考查了解直角三角形问题，勾股定理，根据迎水坡的坡比为得出，再根据得出的值，再根据勾股定理求解即可．【详解】由题意得，∴，∴（米）．故选：D．2．如图，是水库大坝横断面的部分，坝高，迎水斜坡，斜坡的坡角为α，则该大坝的坡度为（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确掌握边角关系是解题关键．直接利用勾股定理得出，再利用锐角三角函数关系得出答案．【详解】解：过A作于C，则，∴，∴该大坝的坡度为，故选：D．3．如图是公园里一处小土坡，这个土坡的坡比，经测得坡顶A与坡脚C的水平距离为，则小土坡的长为 m．【答案】【分析】本题考查解直角三角形，根据坡比，求出的长，勾股定理求出的长即可．【详解】解：∵，，∴，∴，∴；故答案为：．4．如图，一辆小车沿着坡度为的斜坡向上行驶了，则该小车上升的高度为 ． 【答案】30【分析】考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，此题的关键是熟悉且会灵活应用公式：（坡度）=垂直高度÷水平宽度．设出垂直高度，表示出水平距离，利用勾股定理求解即可．【详解】解：设此时该小车离水平面的垂直高度为xm，则水平前进了m．根据勾股定理可得：．解得．则小车上升的高度是30m．故答案为：30m．5．某地为拓宽河道和提高拦水坝，进行了现有拦水坝改造．如图所示，改造前的斜坡米，坡度为：；将斜坡的高度提高米即米后，斜坡改造成斜坡，其坡度为．则改造后斜坡的长为 ．【答案】米【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题；根据直角三角形的性质求出，进而求出，根据坡度的概念求出，根据勾股定理计算，得到答案．【详解】解：在中，米，坡度为：，则，设米，米，，又，，米，米，斜坡的坡度为：，米，由勾股定理得：米，答：斜坡的长为米．故答案为：米．6．某村准备对水库一段长100m的堤坝进行改造．改造前，背水坡坡面的坡比，改造后坡面的坡比变为，坝顶加宽1m（），已知原背水坡的长为8m．(1)求改造后背水坡的长；(2)求所需土石方的体积．（结果精确到，）【答案】(1)；(2)．【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，坡比，勾股定理，对于（1），作，，根据勾股定理及坡比求出，再结合坡比，及勾股定理可得答案；对于（2），先求出在，再根据体积公式可得答案．【详解】（1）如图，分别过点A，E作于点于点．在中，坡比为，，根据勾股定理，得，解得.在中，坡比为，∴，根据勾股定理，得．答：的长为；（2）根据题意可知四边形是矩形，∴．在中， ，，，土石方体积．答：所需土石方约为．7．图（1）为某大型商场的自动扶梯、图（2）中的为从一楼到二楼的扶梯的侧面示意图．小明站在扶梯起点处时，测得天花板上日光灯的仰角为37°，此时他的眼睛与地面的距离，之后他沿一楼扶梯到达顶端后又沿（）向正前方走了，发现日光灯刚好在他的正上方．已知自动扶梯的坡度为，的长度是．（结果精确到十分位．参考数据：，，，）(1)求图中到一楼地面的高度；(2)求日光灯到一楼地面的高度．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题、解直角三角形的应用—坡度坡角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．（1）过点作于，设，根据坡度比和勾股定理建立方程，解方程即可求出，从而求得答案；（2）过点作于交于，过点作于交于，先根据（1）的结论求出，再根据的正弦值即可求出，从而求出即可．【详解】（1）解：过点作于，如图（2）所示： 设，的坡度为，，，在中，由勾股定理得，解得：，，．答：到一楼地面的高度为；（2）解：过点作于交于，过点作于交于， 则，四边形、四边形是矩形，，，，，由（1）可知，，，在中，，，，答：日光灯到一楼地面的高度约为．8．如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由改为，已知原传送带长为4米．（计算结果精确到0.1米，参考数据：，，，，，）(1)求新传送带的长度．(2)如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物是否需要挪走，并说明理由．【答案】(1)新传送带AC的长度为6.1米(2)货物需要搬走，理由见解析【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用－坡度坡角问题．（1）过A作，在和中，利用解直角三角形求解即可；（2）在和中，求得和的长，根据，代入数据计算即可求解．【详解】（1）解：过A作，在中，，米，在中，，米，答：新传送带AC的长度为6.1米；（2）解：在中，，米，在中，，米，，，货物需要搬走．
第2章 解直角三角形（章末重点题型归纳）题型一 锐角三角比概念辨析1．如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，叙述正确的是（ ）A．的值越大，梯子越陡B．的值越大，梯子越陡C．的值越小，梯子越陡D．陡缓程度与的函数值无关【答案】A【分析】根据三角函数定义与性质，值越大越大；值越小越大；值越大越大，从而判断出答案．本题考查三角函数定义与性质，熟记“值越大越大；值越小越大；值越大越大”是解决问题的关键．【详解】解：A、的值越大，梯子越陡，故A符合题意；B、的值越小，梯子越陡，故B不符合题意；C、的值越大，梯子越陡，故C不符合题意；D、陡缓程度与的三角函数值有关，故D不符合题意．故选：A．2．在中，，若的三边都缩小5倍，则的值（ ）A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不变 D．无法确定【答案】C【分析】本题考查了锐角三角函数的定义：在中，．锐角A的对边a与斜边c的比叫做的正弦，记作．直接利用锐角的正弦的定义求解．【详解】解：∵，∴的对边与斜边的比，∵的三边都缩小5倍，∴的对边与斜边的比不变，∴的值不变．故选：C．3．如图，在中，，为边上一点，过点作，垂足为，则下列结论中正确的是（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查解直角三角形，关键是掌握锐角三角函数定义．由锐角的三角函数定义，即可判断．【详解】解：，，、，故不符合题意；、结论正确，故符合题意；、，故不符合题意；、，故不符合题意．故选：B．4．如图，已知在中，，则（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查余弦的定义，根据余弦的定义即可解答．【详解】解：在中，．故选：C．5．如图，梯子（长度不变）与地面所成的锐角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列说法中，正确的是（ ）A．的值越大，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡C．的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关【答案】A【分析】本题主要考查了锐角三角形，根据三角函数定义与性质，值越大越大；值越小越大；值越大越大，从而判断出答案．【详解】解：A、的值越大，则越大，则梯子越陡，原说法正确，符合题意；B、的值越大越小，梯子越平缓，原说法错误，不符合题意；C、的值越小越小，梯子越平缓，原说法错误，不符合题意；D、陡缓程度与的函数值有关，原说法错误，不符合题意；故选：A．6．如图，在中，，，，，则( )A． B． C． D．【答案】C【分析】根据正切的定义即可求解．在直角三角形中，锐角的正切值等于这个锐角的对边比邻边．【详解】解：∵在中，，，，∴，故选：C．【点睛】本题考查了正切的定义，掌握正切的定义是解题的关键．题型二 求角的锐角三角比1．如图，中，，，，，那么等于( )A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，直接根据正弦函数的定义：在直角三角形中，一锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值求解即可．【详解】解：∵中，，，，∴．故选C．2．在中，，，，则的值等于（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查的是勾股定理的应用，锐角的余弦的计算，先求解，再利用余弦的定义可得答案．【详解】解：∵，，，∴，∴．故选：A．3．如图，在中，，，，则的正切值为（ ）A．5 B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了三角函数的比值关系，熟悉掌握正弦的比值关系是解题的关键．根据正切的比值关系列式比较即可．【详解】解：在中，，，，∴．故选：C．4．如图所示，的顶点是正方形网格的格点，则的值是（ ） A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查求角的正切值，根据网格特点和正切定义求解即可．【详解】解：如图，设网格中小正方形的边长为1，则，， ∴，故选：D．5．如图，在中，，，，则的值为 ．【答案】【分析】本题考查求角的正弦值．根据正弦值等于对边比斜边，进行求解即可．【详解】解：∵在中，，，，∴；故答案为：．6．如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点若的顶点均是格点，则的值是 ．【答案】【分析】延长到，连接，由网格可得，即得，可求出答案．【详解】解：延长到，连接，如图：，，，，，，故答案为： ．【点睛】本题考查网格中的锐角三角函数，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形．7．如图，在4×4正方形网格中，点A，B，C为网格交点，，垂足为D，则的值为 ．【答案】【分析】本题考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，解题的关键熟记三角函数的定义并灵活运用．先求出，然后利用利用解题即可．【详解】解：如图，∵，∴，又∵，∴，∴，故答案为：．三、解答题8．求出图中的正弦值、余弦值和正切值．【答案】，，．【分析】本题考查锐角三角函数的定义，利用勾股定理解出，再由正弦、余弦、正切公式代入求值即可．【详解】解：∵，，，∴，∴，，．9．如图，在中，，是的中点，，．(1)求的长；(2)求与的值．【答案】(1)的长为(2)，【分析】本题考查了直角三角形中，斜边的上的中线等于斜边的一半，勾股定理，求角的余弦和正切等知识点．熟记相关几何结论是解题关键．（1）由“斜边的上的中线等于斜边的一半”可得，根据勾股定理即可求解；（2）由“斜边的上的中线等于斜边的一半”可得，可推出，结合三角函数的定义即可求解．【详解】（1）解：，是的中点，，.，，（2）解：由（1）得，，， .题型三 已知锐角三角比求边长1．在中，，，，则的值为（ ）A．8 B．9 C．10 D．7.5【答案】C【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，解决本题的关键是掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．根据正弦函数的定义即可直接求解．【详解】解：∵，设，，∴，∴，解得，∴．故选：C．2．已知在中，，，，则等于（ ）A．6 B．16 C．12 D．4【答案】B【分析】本题考查根据角度的正切值求线段长度，熟记正切的定义：正切，即可求解．【详解】解：如图：∵，，∴故选：B3．如图，一根竖直的木杆在离地面1的A处折断，木杆顶端落在地面的B处上，与地面的夹角为，若，则木杆折断之前高度为 ．【答案】【分析】本题主要考查了解直角三角形，掌握正弦的定义成为解题的关键．由题意可得，进而解答，然后求出即可．【详解】解：由题意可知：∵，∴，即，解得：，∴木杆折断之前高度为．故答案为．4．如图，在中，，于点D，，，那么 ．【答案】【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题时要能紧扣问题，借助直角三角形去求解是关键．先得，由，从而求出，最后由进行计算可以得解．【详解】解：∵，，∴，又，∴，∴，故答案为：．5．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限内，其坐标为（6，），连接，与轴正半轴的夹角的正切值是，则的值是 ．【答案】8【分析】由点向轴引垂线，结合锐角三角函数值和点的横坐标，求得点的纵坐标，即的值；【详解】解：作轴于，，，，即．故答案为：．【点睛】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是掌握点的坐标以及锐角三角函数的概念．6．已知：如图，中，于点，若，，求．【答案】【分析】根据条件即可求出CD，然后根据∠B的正切值即可求出AD，从而求出．【详解】解：∵∴CD=4∵∴∴AD=BD=6∴tanC=【点睛】此题考查的是解直角三角形，掌握正切值的定义是解决此题的关键．题型四 已知角度比较锐角三角比大小1．已知是锐角三角形，若，则（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】大边对大角，可得∠C＞∠B，当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；依此即可求解．【详解】解：△ABC是锐角三角形，若AB＞AC，则∠C＞∠B，则sinB＜sinC．故选：B．【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，当角度在0°～90°间变化时，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．2．sin65°与cos26°之间的关系为（ ）A．sin65°＜cos26° B．sin65°＞cos26°C．sin65°=cos26° D．sin65°+cos26°=1【答案】B【分析】首先要将它们转换为同一种锐角三角函数，再根据函数的增减性进行分析．【详解】∵cos26°=sin64°，正弦值随着角的增大而增大，∴sin65°＞cos26°．故选：B．【点睛】掌握正余弦的转换方法，了解锐角三角函数的增减性是解答本题的关键．3．s，， 的大小关系是( )A． B．C． D．【答案】D【分析】首先根据锐角三角函数的概念，知：和都小于，大于，故最大；只需比较和，又，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行比较．【详解】根据锐角三角函数的概念，知，，．又，正弦值随着角的增大而增大，．故选D．4．若，则的正切值的范围是（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据特殊角的三角函数值及余弦函数随角增大而减小解答即可．【详解】解：∵，且一个角的正切值随角的增大而增大，∴，∴．故选：D【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，熟记特殊角的三角函数值和了解锐角三角函数的增减性是解题的关键．二、填空题5． （填“或”）．【答案】【分析】本题考查三角函数值大小的比较，掌握正切值随角度的增加而增加是解题关键．利用正切的增减性解答．【详解】解：在锐角三角函数中，正切值随角度的增加而增加，，；故答案为：．6．比较大小： ．【答案】【分析】本题考查三角函数定义，正弦定义，正切定义，根据分子相同，分母越大，分数越小，进行比较即可．【详解】解：根据题意作图如下，在中，，，，，，故答案为：．7．（1）试比较，，，，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小．（2）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：，，，．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）利用三角函数的增减性的规律即可得答案；（2）注意正余弦的转换方法，转换为同一种锐角三角函数后，再根据锐角三角函数值的变化规律进行比较．【详解】解：（1）∵锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小．∴；．（2），．∵，∴．【点睛】本题考查互余两角三角函数的关系，掌握锐角三角函数的增减性的规律是解题关键．题型五 根据锐角三角比判断角度的取值范围1．如果锐角的正切值是，则下列结论正确的是（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用30度角和45度角的正切值与角的正切值比较，即可得到答案．【详解】解：∵，，，，，，而，∴，∴，∴，故选：A．【点睛】此题考查各角的正切值，实数的平方运算，实数的大小比较，熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键．2．已知是锐角，且，那么锐角的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，熟知锐角三角函数的余弦函数值随角增大而减小是解答此题的关键．先求出，及的近似值，然后得出结论即可．【详解】解：，，，又∵解：，，，又∵，余弦函数随角增大而减小，∴．故选：B．3．若锐角满足，则锐角的取值范围是（ ）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查特殊角的三角函数值，以及余弦的性质，根据余弦值随着锐角度数的增大而减小，进行判断即可．【详解】解：∵，，∴；故选C．4．已知，则锐角的取值范围是 ．【答案】【分析】根据锐角三角函数的增减性即可求解．熟练掌握特殊角的三角函数值和锐角三角函数的增减性是解题的关键．【详解】解：由，∴，∵当时，随着的增大而减小，∴，故答案为：5．若，则 ．【答案】【分析】根据锐角三角函数的增减性判断出与的大小、与 的大小，然后化简计算即可．【详解】解：∵，∴．∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的增减性，锐角三角函数的混合运算，根据锐角三角函数的增减性判断出与的大小、与 的大小是解题的关键．题型六 锐角三角比之间的关系1．已知为锐角，且，那么的正切值为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根据求出，然后根据求解即可．【详解】∵，为锐角，∴，∴．故选：A．【点睛】此题考查了求角的正切值，解题的关键是熟练掌握三角函数公式．2．在中，，，则下列式子成立的是（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据各个三角函数的定义即可解答．【详解】解：A、∵，∴，故A不成立，不符合题意；B、，∴，故B成立，符合题意；C、，∴，故C不成立，不符合题意；D、，∴，故D不成立，不符合题意；故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，解题的关键的数量掌握各个三角函数的求法．3．在中，，已知，那么的值是（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用互余两角的三角函数关系求解，即可得到答案．【详解】解：在中，，，，，故选：A．【点睛】本题考查了互余两角的三角函数关系，解题关键是掌握一个角的正弦值等于它的余角的余弦值．4．在中，，，则（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】在中，，，设，则，根据余弦的定义即可得到答案．【详解】解：在中，，，设，则，∴．故选：A． 【点睛】此题考查了锐角三角函数的定义等知识，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．5．下列等式中正确的是（ ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据互余两角的三角函数的关系就可以求解．【详解】解：A．，故此选项不符合题意；B．，故此选项不符合题意；C．，故此选项符合题意；D．，故此选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查互余两角的三角函数之间的关系，如：，（为锐角）．理解和掌握互余两角的三角函数的关系式是解题的关键．6．在中，，若，则 ．【答案】/0.75【分析】根据一个角的余弦等于它余角的正弦，可得答案．【详解】解：如图，，．∵，∴．故答案为：．【点睛】本题考查三角函数的定义．由定义推出互余两角的三角函数的关系：若，则是解题关键．7．在Rt中，，，则 ．【答案】【分析】根据互余两角的三角函数的关系就可以求解．【详解】解：在中，，，．故答案为：．【点睛】本题考查互为余角的两角的三角函数的关系，解题的关键是掌握一个角的余弦等于它余角的正弦．8．若是锐角，且，则 ．【答案】【分析】根据和互余角的三角函数关系计算即可；【详解】解：∵，又为锐角，，∴，∴；故答案为：．【点睛】本题主要考查了互余两角的三角函数关系，准确计算是解题的关键．9．已知，中，，，求、、、．【答案】【分析】根据题意，作出图形，在中，，，得到，根据，联立方程组，由，，求解即可得到；；再根据即可得到答案．【详解】解：如图所示：中，，，，①又，，②联立①②，解得；；又，；．【点睛】本题考查解直角三角形，涉及三角函数定义与性质，熟练掌握，是解决问题的关键．题型七 特殊角锐角三角比及运算1．的值等于（ ）A． B．0 C．1 D．【答案】B【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的计算，有理数的减法，熟练掌握知识点是解题的关键．代入，即可计算．【详解】解：，故选：A．2．（ ）A．1 B．0 C． D．【答案】C【分析】本题考查的是特殊角的三角函数，熟记30度角的正弦是解本题的关键．【详解】解：，故选C3．计算的值等于（ ）A．0 B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了特殊角锐角函数值的计算，把特殊角锐角函数值代入计算，即可求解．【详解】解：．故选：A4．的值等于（ ）A． B． C． D．1【答案】D【分析】本题考查特殊角的三角函数值，直接根据特殊角的三角函数值得出答案．【详解】解：，故选：D．5．的值等于（ ）A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，一些特殊角的三角函数值是需要我们熟练记忆的内容．，，代入计算即可．【详解】解：．故选：C．6．的值等于（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的计算，熟知特殊角的三角函数值是解题关键，先计算特殊角的三角函数值，再进行二次根式计算即可求解．【详解】解：．故选：A7．计算： ．【答案】【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，零指数幂，先计算特殊角三角函数值和零指数幂，再计算减法即可．【详解】解：，故答案为：．8．计算： ．【答案】/0.625【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．本题中利用负整数指数幂的运算法则和代入特殊角的三角函数值计算即可．【详解】解：，故答案为：．9．计等： ．【答案】【分析】本题考查特殊角的三角函数，是基础知识比较简单，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．首先利用乘方、特殊角的三角函数值对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【详解】解：故答案为：．10．计算： ．【答案】【分析】本题考查特殊角的三角函数值的运算，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值，掌握运算法则．根据特殊角的三角形函数值的运算法则计算即可．【详解】解：．11．计算：．【答案】【分析】本题考查实数的混合运算，根据绝对值，负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值即可得出答案【详解】原式12．计算： 【答案】【分析】原式利用二次根式性质，特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值．此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂、特殊三角函数值，解题的关键是熟练掌握运算法则．【详解】解：．13．（1）（2）【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据特殊角的三角函数值计算即可；（2）根据特殊角的三角函数值计算即可．【详解】解：（1）（2）【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值及实数的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解决本题的关键．题型八 由特殊角的三角比求角的度数及判断三角形形状1．在直角三角形中，，则的度数为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键，根据特殊角的三角函数值，即可求解；【详解】，，故选：A．2．已知，则（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查特殊角三角函数值，根据特殊角三角函数即可求出角度，即可得到答案．【详解】解：，，故选：C．3．在中,,,则等于（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查利用锐角三角函数值求解角的度数．根据题意可知利用余弦公式可求得答案,熟背特殊角三角函数值是解出本题的关键．【详解】解:∵,中,∴,∴．故选:C．4．已知锐角满足， 则锐用的度数为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查锐角三角函数中特殊三角函数值，利用整体思想，一个锐角的正切值等于，那么这个角等于，直接计算即可求解．【详解】解：∵，∴，∴，故选：．5．在中，若，，，都是锐角，则是 三角形．【答案】等边【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出，，进而得出答案．【详解】解：在中，，，且，都是锐角，，，是等边三角形．故答案为：等边．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记住特殊角的三角函数是解题关键．6．在中，若，，都是锐角，则是 三角形．【答案】等腰直角【分析】此题考查了已知三角函数值求角，涉及了绝对值和平方的非负性，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值．根据绝对值和平方的非负性可得，，求得，即可求解．【详解】解：由可得，即，解得：，则，∴为等腰直角三角形，故答案为：等腰直角．7．若，，为的内角，试确定三角形的形状．【答案】为直角三角形【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据非负数的性质得出，进而求得，根据三角形的内角和定理即可求解．【详解】解：由，得，则，度．为直角三角形．8．（1）计算：；（2）在中，若和满足，求的度数．【答案】（1）1；（2）【分析】本题考查特殊角的三角函数值，零指数幂，三角形内角和定理等知识，（1）根据零指数幂，有理数的乘方，特殊角的三角函数进行计算即可求解；（2）根据非负数之和为0，可得，，进而得出，进而根据三角形内角和定理，即可求解．【详解】解：（1）；（2）∵，∴，，∴，∴．题型九 用计算器求锐角三角比或已知三角比求角的度数1．如图是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器按此顺序输入：，显示屏显示的结果为．将这个数据精确到后，下列说法正确的是（ ）A．的正切函数值约为B．正切函数值为的角约是 C．的正切函数值约为D．正切函数值为的角约是【答案】B【分析】本题主要考查了计算器−三角函数，要求学生对计算器上的各个功能键熟练掌握．借助计算器这样的工具做题既锻炼了学生动手能力，又提高了学生学习的兴趣．根据已知三角函数值求角的计算器使用方法按键即可．【详解】解：已知锐角三角函数值求锐角的方法是：已知，一般先按键“2ndF”，再按键“tan”，输入“”，再按键“＝”即可得到结果．故选：B．2．运用我们课本上采用的计算器进行计算时，下列说法不正确的是（ ）A．计算的按键顺序依次为B．要打开计算器并启动其统计计算功能应按的键是C．启动计算器的统计计算功能后，要清除原有统计数据应按键D．用计算器计算时，依次按如下各键，最后显示结果是0.5【答案】D【分析】根据计算器的使用方法依次判断各个选项即可．【详解】解：A选项，计算的按键顺序正确，本选项不符合题意；B选项，要打开计算器并启动其统计计算功能应按的键正确，本选项不符合题意，C选项，启动计算器的统计计算功能后，要清除原有统计数据应按键，说法正确，本选项不符合题意，D选项，用计算器计算时，依次按如下各键，最后显示结果是，不是，原说法错误，本选项符合题意，故选：D．【点睛】本题主要考查计算器的基础知识，熟练掌握计算器的使用是解题的关键．3．右图是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器计算，按键顺序正确的是（ ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据计算器求锐角三角函数值的步骤进行判断即可．【详解】解：利用该型号计算器计算，按键顺序正确的是：故选：A．【点睛】本题考查了用计算器求锐角三角函数值，解题的关键在于熟练掌握计算器的应用．4．已知，运用科学计算器在开机状态下求锐角时，按下的第一个键是（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据锐角三角比的数值求角度时，首先先按键．【详解】解：根据锐角三角比的数值求角度时，首先先按键，故选：A．【点睛】本题主要考查计算器按键的作用，解题关键是熟练掌握计算器功能键的作用．5．用教材中的计算器按下列顺序依次按键：，屏幕上显示 ．【答案】【分析】本题考查了计算器的基础知识，解题的关键是分析出按键中所求的问题．根据按键的显示，求的是余弦是的角的度数，按余弦的值写出度数即可．【详解】解：∵余弦是的角的度数是，故答案为：．6．运用科学计算器（如图是其面板的部分截图）进行计算，按键顺序如下：则计算器显示的结果是 .【答案】【分析】本题考查了用计算器求锐角三角函数值得运算，将图示翻译成算式即可求解．【详解】解：由题意得，计算器按键写成算式为：∴原式故答案为：7．用计算器求下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）0.8290；（2）0.9367；（3）1.0000；（4）4.7544【分析】根据计算器求三角函数值的方法求解即可．【详解】解：（1）=0.8290；（2）=0.9367；（3）1.0000；（4）=4.7544．【点睛】此题考查了计算器求三角函数值，解题的关键是熟练掌握计算器求三角函数值的方法．8．根据条件求锐角：（1），求；（2），求；（3），求．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）先启用计算器上功能，再按0.675，最后按等于即可得；（2）先启用计算器上功能，再按0.0789，最后按等于即可得；（3）先启用计算器上功能，再按35.6，最后按等于即可得．【详解】解：（1）∵，∴（2）∵，∴（3）∵，∴【点睛】本题主要考查计算器−三角函数，解题的关键是掌握科学计算器上计算三角函数值功能的使用．题型十 解直角三角形1．如图，一辆货车，为了方便装运货物，使用了三角形钢架，已知，，，则的长为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键【详解】在中, ，∴的长为，故选A2．如图，在中，，，，则的长是（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是熟练掌握锐角三角形的定义．根据余弦的定义解答即可．【详解】解：在中，，，，，故选：C3．已知在中，，，则的值为（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据正弦三角函数的定义，设，则，，再根据正切三角函数的定义，即可求解．【详解】∵在中，，，∴，设，则，，∴，故选：D．【点睛】本题主要考查三角函数的定义，根据三角函数的定义，用未知数表示出直角三角形的各边长，是解题的关键．4．如图，有一斜坡，此斜坡的坡面长，斜坡的坡角是，若，则坡顶离地面的高度为 ．【答案】【分析】本题考查了正弦三角函数，熟练掌握正弦三角函数为角的对边比邻边是解题的关键．由正弦三角函数定义即可得出答案．【详解】解：，，，，故答案为：．5．如图，中，，，若，，则的长度为 ．【答案】【分析】本题考查余弦的定义，掌握表示和的长是解题的关键，根解直角三角形的方法求解即可．【详解】解：∵，∴，，∴，故答案为：．6．根据下列条件解直角三角形．(1)在中，，，；(2)在中，，，．【答案】(1)(2)【分析】本题考查的是解直角三角形，掌握解直角三角形的含义是解本题的关键；（1）先求解，再求解，，从而可得答案；（2）先求解，再求解，即可；【详解】（1）解：∵在中，，，，∴，，∴．（2）∵在中，，，，∴，∵，∴，∴．7．在中，已知，，，求这个直角三角形的其他边和角（，，，）．【答案】，，【分析】本题考查了解直角三角形的相关性质，已知斜边和一锐角度数时，求直角边时，用锐角的正弦或余弦，据此即可作答．【详解】解：；在中，，则，解得：；在中，，则，解得：．题型十一 解非直角三角形1．如图，在中，，，，则的长为 ．【答案】【分析】过点作于点，解，得出，进而解，即可求解．【详解】解：如图，过点作于点，∵，∴，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握三角形的边角关系是解题的关键．2．某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门A测得历下亭C在北偏东37°方向，继续向北走105m后到达游船码头B，测得历下亭C在游船码头B的北偏东53°方向．请计算一下南门A与历下亭C之间的距离约为 ．(参考数据：tan37°≈，tan53°≈)【答案】300m【分析】如图，作CE⊥BA于E．设EC=x m，BE=y m．由题意可构建方程组求出x，y即可解决问题．【详解】解：如图，作CE⊥BA于E．设EC=xm，BE=ym．在Rt△ECB中，tan53°=，即，在Rt△AEC中，tan37°=，即，解得x=180，y=135，∴AC==300(m)，故答案为：300m．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-方向角等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用方程思想解决问题．3．如图，在中，，，．(1)求的长；(2)求的面积（结果保留根号）．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．（1）过点A作，垂足为D，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长；（2）利用锐角三角函数的定义和勾股定理分别求出和的长，从而求出的长，然后利用三角形的面积公式即可求出答案．【详解】（1）解：过点作于．在中，，，，∵在中，，；（2）∵在中，，，在中，根据勾股定理，，的面积．4．已知中，．(1)如图1，若，则________（结果保留根号）(2)如图2，若，求AC的长．（结果保留根号）【答案】(1)(2)【分析】（1）解，即可求解；（2）过点作于点，解，即可求解．【详解】（1）解：∵，．∴，∴，故答案为：．（2）解：如图所示，过点作于点，∵中，，∴，，∵，∴，∴．【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握直角三形中的边角关系是解题的关键．题型十二 解直角三角形的实际应用——仰俯角1．如图，小明在点C处测得树的顶端A仰角为， 同时测得，则为（ ） m． A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据锐角三角函数的定义，进行求解即可．【详解】解：由图和题意，得：，，∴，∴；故选B．2．如图，从热气球A看一栋大楼顶部B的仰角是（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据仰角是向上看的视线与水平线的夹角进行判断即可．【详解】解：从热气球A看一栋大楼顶部B的仰角是，故选：A．【点睛】本题考查仰角的定义，理解仰角的定义是解答的关键．3．如图，建筑物上有一旗杆，从与相距的D处观测旗杆顶部A的仰角为，观测旗杆底部B的仰角为，则旗杆的高度是（ ）A． B．40 C． D．【答案】D【分析】本题考查解直角三角形的应用，分别解直角三角形求出的长，再用进行求解即可．【详解】解：由题意，在中，，在中，，∴；故选D．4．如图小明在点C处测得树顶端A的仰角为α，且米，则树高度为（ ）米A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题．根据题意可得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【详解】解：由题意得：，，在中，米，（米），故选：A．5．如图，两幢建筑物和，，，．和之间有一景观池，某同学在D点测得池中喷泉处E点的俯角为，在C点测得E点的俯角为，点A、E、B在同一直线上．求得两幢建筑物之间的距离约为（ ）（结果精确到，参考数据：，，A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题．在中，，解得，在中，，可得，由可得出答案．【详解】解：由题意可得，，在中，，解得，在中，，，．故选：A．6．如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆，测得杆顶端点P的仰角是，测得杆底端点Q的仰角是，．则点A到山坡底部点C的距离为 m．（结果保留根号）【答案】【分析】本题考查解直角三角形的应用，设，在中，求得 ，在中，求得，由列方程求解即可．【详解】解：设，在中，，∴，在中，，∴，∵，，∴，解得，故答案为：．7．如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点测得该楼顶部点的仰角为，测得底部点的俯角为，点与楼的水平距离，则这栋楼的高度为 m（结果保留根号）．【答案】/【分析】本题考查解直角三角形—仰角俯角问题．注意准确构造直角三角形是解答此题的关键．根据题意得，然后利用三角函数求解即可．【详解】解：依题意，．在中，，在中，，∴．故答案为：．8．某地的地标性建筑如图所示．为测量此地标性建筑的高度，某数学兴趣小组在该地标性建筑附近一座居民楼顶处测得地标性建筑顶处的仰角为，地标性建筑底部处的俯角为．已知居民楼的高约为171米，请你计算地标性建筑的高度．（结果精确到1米．参考数据：，，）【答案】建筑的高度约为599米【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，过点作，分别解和，求出的长，再用的长即可得出结果．【详解】解：过点作，由题意，可知：，四边形为矩形，∴， 在中，；在中，，∴；答：建筑的高度约为599米．9．综合实践活动中，数学兴趣小组利用无人机测量大楼的高度．如图，无人机在离地面40米的处，测得操控者的俯角为，测得楼楼顶处的俯角为，又经过人工测量得到操控者和大楼之间的水平距离是80米，则楼的高度是多少米？（点都在同一平面内，参考数据：）【答案】楼的高度为米．【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质等知识．过作于，过作于，则四边形是矩形，则，，由题意知，，根据求的值，根据求的值即可．【详解】解：如图，过作于，过作于，则四边形是矩形，∴，，由题意知，，∴，∴，∴楼的高度为米．10．无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图所示，某人利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中点处，测得点距地面上点米，同时测得点距楼顶点米，点A处的俯角为，楼顶点处的俯角为．求大楼的高度（结果保留根号）．【答案】米【分析】本题主要考查矩形的判定及性质和锐角三角函数，过点作于点，过点作于点，证明四边形是矩形，得到，利用锐角三角函数得到，的数值，即可求得答案．【详解】如图所示：过点作于点，过点作于点．∵，∴四边形是矩形．∴．∵米，米，，，∴米，米 ．∴米．题型十三 解直角三角形的实际应用——方位角1．侦察机在P观测目标R俯角为30°，向东航行2分钟到达点Q，此时观测目标R俯角为45°，符合条件的示意图是（ ）．A． B．C． D．【答案】A【分析】根据俯角的定义（在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角）来进行判断．【详解】根据题意，得示意图，与选项A相符．故选：A．【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用之俯角类问题，正确理解俯角的定义是解题的关键．2．如图，东西方向上有A，C两点，点B在点A的北偏东方向上，在点C的北偏西方向上，则下列说法正确的是（ ） A． B．C． D．【答案】B【分析】题目主要考查特殊角的三角函数的计算，结合图象，得出相应的角度，然后依次判断即可【详解】解：A、根据图象得，∴，选项错误，不符合题意；B、根据图象得，∴，选项正确，符合题意；C、，选项错误，不符合题意；D、，选项错误，不符合题意；故选：B3．如图，一艘游船在海上由西往东匀速航行，上午在A处观测得灯塔P位于北偏东的方向上，游船继续航行，上午到达B处，此时测得灯塔P位于北偏东的方向上，那么游船由B 处航行到达离灯塔P 距离最近的位置的时间为（ ）A．上午 B．上午 C．上午 D．上午【答案】B【分析】本题考查解直角三角形的应用—方位角，解本题的关键是通过作辅助线构造含特殊角的直角三角形．的延长线于点N，由题易可知知图中有两个直角三角形且，；由图中各角之间的关系可得，利用等角对等边还可进一步推出；设出该船的速度并表示出和的长，再在中表示出的长，利用路程、速度与时间的关系即可求解．【详解】作的延长线于点N，根据题意可得，， ∵是的一个外角， ∴，∴，设该船的速度为，则． ∵在中，， ∴， ∴该船继续匀速航行到达离灯塔距离最近的位置所需时间是，∴游船由B 处航行到达离灯塔P 距离最近的位置的时间为上午，故选：B4．如图，甲、乙两人在道路的两边相向而行，当甲、乙两人分别行至点A、C时，测得乙在甲的北偏东方向上．乙留在原地休息，甲继续向前走了40米到B处，此时测得乙在其北偏东方向上．求道路的宽 ．【答案】【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，过C作的垂线，设垂足为D，由题意得，，得米；在中，可用正弦函数求出的长即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点C作于点D，则的长即为道路的宽. 由题意得.，∵是的一个外角，∴．∴， ∴．在中，，∴．∴道路的宽约为米.故答案为：；5．如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔25海里的A处，它沿正北方向航行到达位于灯塔正东方向上的B处，那么此时轮船与灯塔P的距离为 海里．【答案】【分析】本题考查了解直角三角形的应用；由题意，利用余弦函数即可求解．【详解】解：∵轮船位于灯塔P的南偏东方向，∴，在中，（海里）；即此时轮船与灯塔P的距离为海里．故答案为：．6．海中有一个小岛A，该岛四周18海里内有暗礁，今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西的C处，之后，货轮继续往东航行．你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？请说明理由．（，，，，，）【答案】货轮继续向东航行途中没有触礁的危险【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，过点作，设海里，分别解，求出的长，根据海里，列出方程进行求解即可．【详解】解：货轮继续向东航行途中没有触礁的危险，理由如下：过点作，由题意，得：海里，设海里，在中，海里，在中，海里，∴，∴，∵，∴货轮继续向东航行途中没有触礁的危险．7．如图，为了测量河的南岸东西方向两点间的距离，某兴趣小组在河的北岸点C的正北方向观测点A处，测得B在A的南偏西方向上，测量小组沿方向行走96米至观测点D，测得点C在观测点D的南偏东方向上，求河的南岸两点间的距离．（参考数据：，） 【答案】【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，先根据题意得到，再根据三角函数求两次线段的长即可.【详解】解：∵点C在观测点D的南偏东方向上，B在A的南偏西方向上，∴，，，∴，∴，∴，∴.8．如图，在海岸线上有B、C两个观测点，B、C之间距离为，海上有一小岛A，在小岛A处分别测得观测点B在小岛A的南偏西方向，观测点C在小岛A的南偏西方向，求小岛A与海岸线的距离．（结果精确到．参考数据：，，，）【答案】小岛到海岸线的距离约为57.1米．【分析】本题考查的是解直角三角形的应用--方向角问题，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义、一元一次方程的解法是解题的关键．先过点A作，垂足为D，设米，根据，然后代值计算即可求出小岛到海岸线的距离．【详解】解：过点A作，垂足为D，设米，∵，∴，即，解得：，答：小岛到海岸线的距离约为米．题型十四 解直角三角形的实际应用——坡比1．如图河堤横断面迎水坡的坡比， 堤高，则坡面的长度是（ ）m A．8 B．18 C． D．【答案】D【分析】本题考查了解直角三角形问题，勾股定理，根据迎水坡的坡比为得出，再根据得出的值，再根据勾股定理求解即可．【详解】由题意得，∴，∴（米）．故选：D．2．如图，是水库大坝横断面的部分，坝高，迎水斜坡，斜坡的坡角为α，则该大坝的坡度为（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确掌握边角关系是解题关键．直接利用勾股定理得出，再利用锐角三角函数关系得出答案．【详解】解：过A作于C，则，∴，∴该大坝的坡度为，故选：D．3．如图是公园里一处小土坡，这个土坡的坡比，经测得坡顶A与坡脚C的水平距离为，则小土坡的长为 m．【答案】【分析】本题考查解直角三角形，根据坡比，求出的长，勾股定理求出的长即可．【详解】解：∵，，∴，∴，∴；故答案为：．4．如图，一辆小车沿着坡度为的斜坡向上行驶了，则该小车上升的高度为 ． 【答案】30【分析】考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，此题的关键是熟悉且会灵活应用公式：（坡度）=垂直高度÷水平宽度．设出垂直高度，表示出水平距离，利用勾股定理求解即可．【详解】解：设此时该小车离水平面的垂直高度为xm，则水平前进了m．根据勾股定理可得：．解得．则小车上升的高度是30m．故答案为：30m．5．某地为拓宽河道和提高拦水坝，进行了现有拦水坝改造．如图所示，改造前的斜坡米，坡度为：；将斜坡的高度提高米即米后，斜坡改造成斜坡，其坡度为．则改造后斜坡的长为 ．【答案】米【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题；根据直角三角形的性质求出，进而求出，根据坡度的概念求出，根据勾股定理计算，得到答案．【详解】解：在中，米，坡度为：，则，设米，米，，又，，米，米，斜坡的坡度为：，米，由勾股定理得：米，答：斜坡的长为米．故答案为：米．6．某村准备对水库一段长100m的堤坝进行改造．改造前，背水坡坡面的坡比，改造后坡面的坡比变为，坝顶加宽1m（），已知原背水坡的长为8m．(1)求改造后背水坡的长；(2)求所需土石方的体积．（结果精确到，）【答案】(1)；(2)．【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，坡比，勾股定理，对于（1），作，，根据勾股定理及坡比求出，再结合坡比，及勾股定理可得答案；对于（2），先求出在，再根据体积公式可得答案．【详解】（1）如图，分别过点A，E作于点于点．在中，坡比为，，根据勾股定理，得，解得.在中，坡比为，∴，根据勾股定理，得．答：的长为；（2）根据题意可知四边形是矩形，∴．在中， ，，，土石方体积．答：所需土石方约为．7．图（1）为某大型商场的自动扶梯、图（2）中的为从一楼到二楼的扶梯的侧面示意图．小明站在扶梯起点处时，测得天花板上日光灯的仰角为37°，此时他的眼睛与地面的距离，之后他沿一楼扶梯到达顶端后又沿（）向正前方走了，发现日光灯刚好在他的正上方．已知自动扶梯的坡度为，的长度是．（结果精确到十分位．参考数据：，，，）(1)求图中到一楼地面的高度；(2)求日光灯到一楼地面的高度．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题、解直角三角形的应用—坡度坡角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．（1）过点作于，设，根据坡度比和勾股定理建立方程，解方程即可求出，从而求得答案；（2）过点作于交于，过点作于交于，先根据（1）的结论求出，再根据的正弦值即可求出，从而求出即可．【详解】（1）解：过点作于，如图（2）所示： 设，的坡度为，，，在中，由勾股定理得，解得：，，．答：到一楼地面的高度为；（2）解：过点作于交于，过点作于交于， 则，四边形、四边形是矩形，，，，，由（1）可知，，，在中，，，，答：日光灯到一楼地面的高度约为．8．如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由改为，已知原传送带长为4米．（计算结果精确到0.1米，参考数据：，，，，，）(1)求新传送带的长度．(2)如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物是否需要挪走，并说明理由．【答案】(1)新传送带AC的长度为6.1米(2)货物需要搬走，理由见解析【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用－坡度坡角问题．（1）过A作，在和中，利用解直角三角形求解即可；（2）在和中，求得和的长，根据，代入数据计算即可求解．【详解】（1）解：过A作，在中，，米，在中，，米，答：新传送带AC的长度为6.1米；（2）解：在中，，米，在中，，米，，，货物需要搬走．
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