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数学选择性必修 第三册7.1 条件概率与全概率公式学案及答案
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这是一份数学选择性必修 第三册7.1 条件概率与全概率公式学案及答案，文件包含条件概率与事件的独立性-讲义教师版docx、条件概率与事件的独立性-讲义教师版pdf、条件概率与事件的独立性-讲义学生版docx、条件概率与事件的独立性-讲义学生版pdf等4份学案配套教学资源，其中学案共56页， 欢迎下载使用。
条件概率与事件的独立性
一、 课堂目标
1．掌握条件概率的定义和计算公式，以及条件概率与乘法公式之间的关系．
2．掌握独立事件的定义和性质．
3．掌握互斥事件和独立事件的综合应用．
4．掌握全概率公式的定义及应用，了解贝叶斯公式．
【备注】1.本讲的重点是掌握掌握条件概率、乘法公式以及独立事件的关系和综合应用，理解互斥事件和独立事件的区别：互斥事件的概率加法公式，相互独立事件的概率乘法公式；难点是全概率公式的理解和应用；重点题型是利用条件概率公式、乘法公式和事件的相互独立性求事件的概率，独立事件和互斥事件的综合应用.
2.本讲的关联知识是：离散型随机变量及其分布列.
二、 知识讲解
1. 条件概率
知识精讲
（1）定义
一般地，当事件 发生的概率大于 时（即），则事件 发生的条件下事件 发生的概率，称为
条件概率，记作.
【备注】【教师指导】
在很多实际问题中，需要考虑一个事件在“某事件已发生”这个附加条件下的概率．我们来看下面的问题：
抛掷红、蓝两颗骰子．设事件 “蓝色骰子的点数为 或 ”，事件 “两颗骰子的点数之
和大于 ”．
我们用 代表抛掷红骰子所得到的点数，用 代表抛掷蓝骰子所得到的点数，则这个试验的
基本事件空间为．作出下图：
容易看出，基本事件空间的元素与上图中的点一一对应．所以抛掷红、蓝两颗骰子这一试
验的基本事件总数为 ．事件 包含所包含的基本事件对应图中三角虚线所包围的十个
点，所以，事件 发生的概率．
当一只蓝色骰子的点数为 或 时，事件 发生的概率是多少呢？也就是说，要求事件 在
“事件 ”已发生这个附加条件下的概率是多少．
事件 已发生的所有可能的结果对应图中长条虚线所包围的 个点，其中重叠部分的 个点
的“点数之和大于 ”．所以事件 在“事件 已发生”条件下的概率是 ．
从这个例子中看到，事件 在“事件 已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的．
（2）计算公式
一般地，设为两个随机事件，且，则：
．
（3）性质
①非负性：条件概率具有的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即
．
②若事件A与B互斥，即 与 不可能同时发生，则．
③可加性：如果 和 是两个互斥事件，则．
【备注】【教师指导】
③可加性的推导过程：
由事件 和事件 互斥知，事件 与事件 也互斥，从而有：
,
由条件概率的定义得：
（4）条件概率的求法
①定义法，先求和，再求；
②基本事件法，借助古典型概率公式，先求事件 包含的基本事件数，再求事件 所包含的基本
事件数，得．
注意：
求复杂事件的条件概率时，可以把它分解为若干个互不相容的简单事件，求出这些简单事件的条件概
率，再利用概率的可加性，得到最终结果．
经典例题
1. 某地气象台预计， 月 日该地区下雨的概率为 ，刮风的概率为 ，既刮风又下雨的概率为 ，
设 表示下雨， 表示刮风，则（ ）．
A.B.C.D.
【备注】【教师指导】
本题主要利用定义法求条件概率，简单题.
【答案】B
【解析】，，，
．
故选 ．
【标注】【知识点】条件概率
巩固练习
2. 小明早上步行从家到学校要经过有红绿灯的两个路口，根据经验，在第一个路口遇到红灯的概率为
，在第二个路口遇到红灯的概率为 ，在两个路口连续遇到红灯的概率是 ．某天早上小明在
第一个路口遇到了红灯，则他在第二个路口也遇到红灯的概率是（ ）．
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】设事件 ：小明在第一个路口遇到了红灯，
事件 ：小明在第二个路口遇到了红灯．
由题意得：，，．
∴．
故选 ．
【标注】【知识点】条件概率
经典例题
3. 一个盒子内装有 个红球， 个白球，从盒子中取出两个球，已知一个球是红球，则另一个也是红球
的概率是（ ）．
A.B.C.D.
【备注】【教师指导】
本题利用定义法求条件概率，重点是先分别求出其中一个球的事件概率
和两个球都是
红球的事件概率
【答案】B
【解析】取出两个球，设其中一个球是红球为事件 ，
则，
设取出的另一个球是红球为事件 ，
则，
从盒子中取出两个球，已知一个球是红球，
则另一个也是红球的概率是：
．
故选 ．
【标注】【知识点】条件概率
巩固练习
4.
某盒中装有 只乒乓球，其中 只新球， 只旧球，不放回地依次摸出 个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为（ ）．
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】第一次摸出新球记为事件 ，则
，
第二次取到新球记为事件 ，则，
∴．
故选 ．
【标注】【知识点】条件概率
经典例题
5. 袋中装有形状和大小完全相同的 个黑球， 个白球，从中不放回地依次随机摸取两个球，则在第一
次摸到黑球的条件下，第二次摸到白球的概率是（ ）．
A.B.C.D.
【备注】【教师指导】
借助古典型概率公式，利用基本事件法求条件概率.
【答案】C
【解析】设在这两次摸球过程中，第一次摸到黑球为 事件，第二次摸到白球为 事件，
则，，
所以，
故选： ．
【标注】【知识点】条件概率
巩固练习
6. 抛掷一颗质地均匀的骰子的基本事件构成集合，令事件，
，则的值为（ ）．
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】∵
，
，
∴，
∴，，
故．
故选 ．
【标注】【知识点】条件概率
2. 乘法公式
知识精讲
由条件概率的计算公式
可知，
这就是说，根据事件 发生的概率，以及事件 发生的条件下事件 发生的概率，可以求出 与 同时发生的概率.一般地，这个结论称为乘法公式.
经典例题
7. 甲袋中有 个白球， 个红球；乙袋中有 个白球， 个红球，从两个袋子中任取一袋，然后从所取到
的袋子中任取一球 ,则取到白球的概率是．
【备注】【教师指导】
本题主要利用乘法公式求事件发生的概率，注意互斥事件概率的可加性:
【答案】
【解析】设事件 为“取出甲袋”,事件 为“取出白球”,分两种情况进行讨论．
若取出的是甲袋，则，
依题意可得，，
所以；
若取出的是乙袋，则，
依题意可得，，所以．
综上所述，取到白球的概率．
【标注】【知识点】条件概率
巩固练习
8. 市场上供应的灯泡中，甲厂产品占 ，乙厂占 ，甲厂产品的合格率是 ，乙厂产品的合格率
是 ，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是（ ）．
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】记 “甲厂产品”，
“合格产品”，则
，，
．故选 ．
【标注】【知识点】条件概率
9. 已知 箱中有红球 个，白球 个， 箱中有白球 个，（ 、 箱中所有的球除颜色外完全相同）．现随意从 箱中取出 个球放入 箱，将 箱中的球充分搅匀后，再从 箱中随意取出 个球放入 箱，则红球从 箱移到 箱，再从 箱返回 箱中的概率等于（ ）．
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】记“红球从
”为事件 ．“红球从
”为事件 ，
已知，
，
．
故选 ．
【标注】【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
3. 事件的独立性
知识精讲
（1）定义
当时， 与 独立的充要条件是
这时，我们称事件 、 相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．
【备注】【教师指导】
注意：
事件的独立性在必修中已经学过，这里再复习一遍，因为事件的独立性不仅和条件概率有一定的联系，而且利用事件的独立性求事件发生的概率属于常考题，在本章中考查的非常多.
当且时，
由条件概率的计算公式有
,
即.这就是说，此时事件 发生的概率与已知事件 发生时事件 发生的概
率相等.也就是事件 的发生，不会影响事件 发生的概率.
类似地，可以看出，如果，那么一定有.
因此，当时， 与 独立的充要条件是
这也就同时说明，当时，事件 的发生会影响事件 发生的概率，此时 与
是不独立的.事实上，“ 与 独立”也经常被说成“ 与 互不影响”等.
（2）独立事件的性质
对于两个独立事件 和 ，有如下两个性质：① 与 ， 与 ， 与 也相互独立；
②．
经典例题
10. 袋中有大小形状都相同的 个黑球和 个白球．如果不放回地依次取 次球，每次取出 个，那么在第
次取到的是黑球的条件下，第 次取到白球的概率为（ ）．
A.B.C.D.
【备注】【教师指导】
本题主要考查条件概率与事件独立性的综合，利用两次取球是相互独立的可求“第一次取出黑球，第二次取出白球”的概率.
【答案】B
【解析】设事件 表示“第一次取出黑球”，事件 表示“第二次取出白球”，
，，
∴在第 次取到的是黑球的条件下，第 次取到白球的概率为：
．
故选 ．
【标注】【知识点】条件概率
巩固练习
11. 已知 件次品和 件正品混在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放
回，则在第一次取出次品的条件下，第二次取出的也是次品的概率是（ ）．
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】记“第一次取出次品”为事件 ，“第二次取出次品”为事件 ，
则，，所以．
故选 ．
【标注】【知识点】条件概率；古典概型
经典例题
12. 甲、乙、丙三人独立地去破译一个密码，他们能译出的概率分别为 ， ， ，则此密码能被译出
的概率为．
【备注】【教师指导】
利用相互独立事件的概率乘法公式求解.
【答案】
【解析】三个人独立日破译密码，成功概率为 ， ， ，
则不能破译的情况概率为
，
∴能破译的概率．
故答案为： ．
【标注】【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件与对立事件
巩固练习
13. 某学生在上学的路上要经过三个路口，假设在各路口是否遇到红绿灯是相互独立的，遇到红灯的概
率都是 ，则这名学生在上学的路上到第三个路口时第一次遇到红灯的概率为．
【答案】
【解析】某学生在上学的路上要经过三个路口，假设在各路口是否遇到红绿灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是 ，这名学生在上学的路上到第三个路口时第一次遇到红灯是指前 次都遇到绿灯，第 次遇到红灯，
则这名学生在上学的路上到第三个路口时第一次遇到红灯的概率为
．
故答案为： ．
【标注】【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
4. 互斥事件与独立事件
知识精讲
互斥事件与独立事件的区别：
“互斥事件”和“相互独立事件”是两个不同的概念，前者表示两个事件不可能同时发生，后者指一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响．
【备注】【教师指导】
学生要深刻理解和记忆：
互斥事件的概率加法公式，独立事件的概率乘法公式.
知识点睛
已知两个事件，它们的概率分别为.将中至少有一个发生记为事件，都发生
记为事件 ，都不发生记为事件 ，恰有一个发生记为事件，至多有一个发生记为事件
，则它们的概率间的关系见下表.
概率互斥相互独立
0
1
经典例题
14. 一袋中装有 只白球， 只黄球，在有放回地摸球中，用 表示第一次摸得白球， 表示第二次摸
得白球，则事件 与 是（ ）．
A. 不相互独立事件B. 相互独立事件C. 互斥事件D. 对立事件
【备注】【教师指导】
相互独立事件的辨析，注意相互独立事件与互斥事件的区别.
【答案】B
【解析】由题意可得 表示第二次摸到的不是白球，即 表示第二次摸到的是黄球，由于采用有
放回地摸球，
故每次是否摸到黄球互不影响，故事件 与 是相互独立事件．
故选 ．
【标注】【知识点】相互独立事件；相互独立事件的辨析
巩固练习
15. 掷一颗骰子一次，设事件 ：“掷出奇数点”，事件 ：“掷出 点或 点”，则事件 ， 的关系（
）．
A. 互斥但不相互独立B. 相互独立但不互斥
C. 互斥且相互独立D. 既不相互独立也不互斥
【答案】B
【解析】掷一颗骰子一次，设事件“出现奇数点”，事件 “出现 点或 点”，
则事件 与 能同时发生，故 与 不是互斥事件，
又事件 发生与否与 无关，同时，事件 发生与否与 无关，
则事件 与事件 是相互独立事件．
故选： ．
【标注】【知识点】相互独立事件的辨析；互斥事件与对立事件的概念辨析
经典例题
16. 甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为 和 ，两人同时参加测试，其中有且只有一人能
通过概率是（ ）．
A.B.C.D.
【备注】【教师指导】
互斥事件概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式的综合应用，属于常考题型，本题
的难度不大.
【答案】C
【解析】设事件 表示“甲通过听力测试”，事件 表示“乙通过听力测试”．
根据题意知，事件 和 相互独立，且，．记“有且只有一人通过听
力测试”为事件 ，
则，且 和 互斥．
故
．
【标注】【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
17. 某学生语、数、英三科考试成绩，在一次考试中排名全班第一的概率：语文为 ，数学为 ，英
语为 ，并且该生各科取得第一名相互独立．问一次考试中：
（ 1 ）三科成绩均未获得第一名的概率是多少？
（ 2 ）恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？
【备注】【教师指导】
互斥事件概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式的综合应用，属于常考题型，本题
的难度比上一题难度大一些，学生要认真读题，明确题目的问题.
【答案】（ 1 ）三科成绩均未获得第一名的概率是．
（ 2 ）恰有一科成绩未获得第一名的概率是．
【解析】（ 1 ）分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为 ， ， ，
则 、 、 两两相互独立且，，．
“三科成绩均未获得第一名”可以用：表示，
．
答：三科成绩均未获得第一名的概率是
．
（ 2 ）分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为 ， ， ，
则 、 、 两两相互独立且，，．
“恰有一科成绩未获得第一名”可以用表示，
由于事件，和两两互斥，
根据概率加法公式和相互独立事件的意义，所求的概率为：
．
答：恰有一科成绩未获得第一名的概率是．
【标注】【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式
巩固练习
18. 从应届高中生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为 ，视力合格的概率为 ，假设各项
标准互不影响，从中任选一名学生，则该学生恰有一项合格的概率为（ ）．
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】体型合格视力不合格：
，
体型不合格视力合格：，
∴．
故选 ．
【标注】【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式
19. 社区开展“建军 周年主题活动——军事知识竞赛”，甲乙两人能荣获一等奖的概率分别为 和 ，
两人是否获得一等奖相互独立，则这两人中至少有一人获得一等奖的概率为（ ）．
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】分别设甲、乙获得一等奖为事件 ， ，则
，
，
，
．事件“两人中至少有一人获得一等奖”为“”，由于两人是否获
得一等奖相互独立，所以所求的概率为
．
故选 ．
【标注】【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
5. 全概率公式
知识精讲
（1）公式
公式的推导：
一般地，如果样本空间为 ，而为事件，则 与 是互斥的，
且,
所以,
当
且
时，由乘法公式得：
,
所以，．
（2）全概率公式的一般结论
前面提到的全概率公式，本质上是将样本空间分成互斥的两部分（即 与 ）后得到的.如果将样本空间分成更多互斥的部分，从而得到更一般的结论，如下：
定理：若样本空间 中的事件满足：
①任意两个事均互斥，即；
②；
③.
则对 中的任意事件 ，都有
，且
.
上述公式也称为全概率公式.
经典例题
20. 某射击小组共有 名射手，其中一级射手 人， 二级射手 人， 三级射手 人， 四级射手 人． 一、二、三、四级射手能通过选拔进入比赛的概率分别是 、 、 、 ． 求任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率．
【备注】【教师指导】
本题利用全概率公式求解，考查全概率公式的应用.
【答案】．
【解析】设事件 表示“射手能通过选拔进入比赛”,
设事件 表示“射手是第 级射手”．
显然,、 、 、 构成一个完备事件组,且
，，，
，，，．
由全概率公式得到
．
【标注】【知识点】条件概率
巩固练习
21. 某仓库有同样规格的产品 箱，其中 箱、 箱、 箱依次是由甲、乙、丙三个厂生产的，且三个厂
的次品率分别为 、 、 ．现从这 箱中任取一箱，再从取得的一箱中任意取出一件产品，
求：
（ 1 ）取得一件产品是次品的概率．
（ 2 ）若已知取得的一件产品为次品，这件次品是乙厂生产的概率．
【答案】（ 1 ）（ 2 ）
．
．
【解析】（ 1 ）设事件 为“取得一件产品为次品”，则由全概率公式，
．
（ 2 ）设事件 表示取得的一件产品是乙产生产的，则
，
，于是
．
【标注】【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；条件概率
6. 贝叶斯公式
知识精讲
（1）贝叶斯公式
一般地，当且时，有
.
这称为贝叶斯公式.
（2）贝叶斯公式的推广
同全概率公式一样，贝叶斯公式也可以进行推广.
定理：若样本空间 中的事件满足：
①任意两个事件均互斥，即；
②；
③.
则对 中的任意概率非零事件 ，有
.
上述公式也称为贝叶斯公式.
经典例题
22. 甲、乙两厂生产同一种商品．甲厂生产的此商品占市场上的
，乙厂生产的占
；甲厂商品的
合格率为 ，乙厂商品的合格率为 ．若某人购买了此商品发现为次品，则此次品为甲厂生产
的概率为．
【备注】【教师指导】
本题利用贝叶斯公式求解，考查贝叶斯公式的应用.
【答案】
【解析】不妨设 ：商品为次品． ：商品为甲厂生产． ：商品为乙厂生产．
于是，，，．
由贝叶斯公式
．
于是此次品为甲厂生产的概率为 ．
【标注】【知识点】条件概率
巩固练习
23. 某地区居民的肝癌发病率为，现用甲胎蛋白法进行普查 医学研究表明，化验结果是存在错
误的 已知患有肝癌的人其化验结果 呈阳性（有病），而没患肝癌的人其化验结果呈阴性
（无病）.现某人的检查结果呈阳性，问他真的患肝癌的概率有多少？
【答案】．
【解析】 ：他真的患肝癌， ：他没患肝癌， ：他被检查出患肝癌，
．
【标注】【知识点】条件概率
【素养】数学运算
三、 思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
【备注】
四、 出门测
24. 下面结论正确的是（ ）．
A.
B.
若
若
，则事件 与 是互为对立事件
，则事件 与 是相互独立事件
C.
D.
若事件 与 是互斥事件，则 与 也是互斥事件
若事件 与 是相互独立事件，则 与 也是相互独立事件
【备注】【教师指导】
注意：本题是多选题.
【答案】BD
【解析】A 选项：例如 ， ， ， 四个球，选中每个球的概率一样，
为选中 、 两个球的概
率： ，为选中 ， 两个球的概率： ，，但 ， 不是对立事
件．故 错误；B 选项：若
，则事件 与 是相互独立事件，故 正确；
C 选项：假设一个随机事件由 、 、 、 这 个彼此互斥的基本事件构成，则事件 中含有事件 、 、 ，事件 中含有事件 、 、 ，则 与 不互斥，故 错误；
D 选项：若 与 相互独立，则 与 ， 与 ， 与 都是相互独立事件，故 正确．故选 B D .
【标注】【知识点】相互独立事件的辨析；互斥事件与对立事件的概念辨析
25. 根据某地区气象台统计，该地区下雨的概率是 ，刮风的概率为 ，既刮风又下雨的概率为 ，
则在刮风天里，下雨的概率为，在下雨天里，刮风的概率为．
【答案】 ;
【解析】设事件 “下雨”，
“刮风”，
“既刮风又下雨”，
则，，，
∴在刮风天里，下雨的概率为：
，
在下雨天里，刮风的概率为：
．
【标注】【知识点】条件概率
26. 已知 件产品中有 件次品，现逐一不放回的检验，直到 件次品都能被确认为止，则检验次数为 的
概率为．
【答案】
【解析】检验次数为 ，可知第四次为次品，另一次出现次品可能为前三次中任意一次，则有所求
概率．
【标注】【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
27. 甲、乙、丙的投篮命中率分别为 ， ， ．三人各投篮一次，假设三人投篮相互独立，则至少有
一人命中的概率是．
【答案】
【解析】甲、乙、丙的投篮命中率分别为： ， ， ．
若三人各投篮一次，且投篮相互独立，则都没有投中的概率为：
，
则至少有一个人命中的概率为：．
故答案为： ．
【标注】【知识点】互斥事件与对立事件；对立事件的概率和为1；相互独立事件的概率乘法公式
20
条件概率与事件的独立性
一、 课堂目标
1．掌握条件概率的定义和计算公式，以及条件概率与乘法公式之间的关系．
2．掌握独立事件的定义和性质．
3．掌握互斥事件和独立事件的综合应用．
4．掌握全概率公式的定义及应用，了解贝叶斯公式．
【备注】1.本讲的重点是掌握掌握条件概率、乘法公式以及独立事件的关系和综合应用，理解互斥事件和独立事件的区别：互斥事件的概率加法公式，相互独立事件的概率乘法公式；难点是全概率公式的理解和应用；重点题型是利用条件概率公式、乘法公式和事件的相互独立性求事件的概率，独立事件和互斥事件的综合应用.
2.本讲的关联知识是：离散型随机变量及其分布列.
二、 知识讲解
1. 条件概率
知识精讲
（1）定义
一般地，当事件 发生的概率大于 时（即），则事件 发生的条件下事件 发生的概率，称为
条件概率，记作.
【备注】【教师指导】
在很多实际问题中，需要考虑一个事件在“某事件已发生”这个附加条件下的概率．我们来看下面的问题：
抛掷红、蓝两颗骰子．设事件 “蓝色骰子的点数为 或 ”，事件 “两颗骰子的点数之
和大于 ”．
我们用 代表抛掷红骰子所得到的点数，用 代表抛掷蓝骰子所得到的点数，则这个试验的
基本事件空间为．作出下图：
容易看出，基本事件空间的元素与上图中的点一一对应．所以抛掷红、蓝两颗骰子这一试
验的基本事件总数为 ．事件 包含所包含的基本事件对应图中三角虚线所包围的十个
点，所以，事件 发生的概率．
当一只蓝色骰子的点数为 或 时，事件 发生的概率是多少呢？也就是说，要求事件 在
“事件 ”已发生这个附加条件下的概率是多少．
事件 已发生的所有可能的结果对应图中长条虚线所包围的 个点，其中重叠部分的 个点
的“点数之和大于 ”．所以事件 在“事件 已发生”条件下的概率是 ．
从这个例子中看到，事件 在“事件 已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的．
（2）计算公式
一般地，设为两个随机事件，且，则：
．
（3）性质
①非负性：条件概率具有的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即
．
②若事件A与B互斥，即 与 不可能同时发生，则．
③可加性：如果 和 是两个互斥事件，则．
【备注】【教师指导】
③可加性的推导过程：
由事件 和事件 互斥知，事件 与事件 也互斥，从而有：
,
由条件概率的定义得：
（4）条件概率的求法
①定义法，先求和，再求；
②基本事件法，借助古典型概率公式，先求事件 包含的基本事件数，再求事件 所包含的基本
事件数，得．
注意：
求复杂事件的条件概率时，可以把它分解为若干个互不相容的简单事件，求出这些简单事件的条件概
率，再利用概率的可加性，得到最终结果．
经典例题
1. 某地气象台预计， 月 日该地区下雨的概率为 ，刮风的概率为 ，既刮风又下雨的概率为 ，
设 表示下雨， 表示刮风，则（ ）．
A.B.C.D.
【备注】【教师指导】
本题主要利用定义法求条件概率，简单题.
【答案】B
【解析】，，，
．
故选 ．
【标注】【知识点】条件概率
巩固练习
2. 小明早上步行从家到学校要经过有红绿灯的两个路口，根据经验，在第一个路口遇到红灯的概率为
，在第二个路口遇到红灯的概率为 ，在两个路口连续遇到红灯的概率是 ．某天早上小明在
第一个路口遇到了红灯，则他在第二个路口也遇到红灯的概率是（ ）．
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】设事件 ：小明在第一个路口遇到了红灯，
事件 ：小明在第二个路口遇到了红灯．
由题意得：，，．
∴．
故选 ．
【标注】【知识点】条件概率
经典例题
3. 一个盒子内装有 个红球， 个白球，从盒子中取出两个球，已知一个球是红球，则另一个也是红球
的概率是（ ）．
A.B.C.D.
【备注】【教师指导】
本题利用定义法求条件概率，重点是先分别求出其中一个球的事件概率
和两个球都是
红球的事件概率
【答案】B
【解析】取出两个球，设其中一个球是红球为事件 ，
则，
设取出的另一个球是红球为事件 ，
则，
从盒子中取出两个球，已知一个球是红球，
则另一个也是红球的概率是：
．
故选 ．
【标注】【知识点】条件概率
巩固练习
4.
某盒中装有 只乒乓球，其中 只新球， 只旧球，不放回地依次摸出 个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为（ ）．
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】第一次摸出新球记为事件 ，则
，
第二次取到新球记为事件 ，则，
∴．
故选 ．
【标注】【知识点】条件概率
经典例题
5. 袋中装有形状和大小完全相同的 个黑球， 个白球，从中不放回地依次随机摸取两个球，则在第一
次摸到黑球的条件下，第二次摸到白球的概率是（ ）．
A.B.C.D.
【备注】【教师指导】
借助古典型概率公式，利用基本事件法求条件概率.
【答案】C
【解析】设在这两次摸球过程中，第一次摸到黑球为 事件，第二次摸到白球为 事件，
则，，
所以，
故选： ．
【标注】【知识点】条件概率
巩固练习
6. 抛掷一颗质地均匀的骰子的基本事件构成集合，令事件，
，则的值为（ ）．
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】∵
，
，
∴，
∴，，
故．
故选 ．
【标注】【知识点】条件概率
2. 乘法公式
知识精讲
由条件概率的计算公式
可知，
这就是说，根据事件 发生的概率，以及事件 发生的条件下事件 发生的概率，可以求出 与 同时发生的概率.一般地，这个结论称为乘法公式.
经典例题
7. 甲袋中有 个白球， 个红球；乙袋中有 个白球， 个红球，从两个袋子中任取一袋，然后从所取到
的袋子中任取一球 ,则取到白球的概率是．
【备注】【教师指导】
本题主要利用乘法公式求事件发生的概率，注意互斥事件概率的可加性:
【答案】
【解析】设事件 为“取出甲袋”,事件 为“取出白球”,分两种情况进行讨论．
若取出的是甲袋，则，
依题意可得，，
所以；
若取出的是乙袋，则，
依题意可得，，所以．
综上所述，取到白球的概率．
【标注】【知识点】条件概率
巩固练习
8. 市场上供应的灯泡中，甲厂产品占 ，乙厂占 ，甲厂产品的合格率是 ，乙厂产品的合格率
是 ，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是（ ）．
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】记 “甲厂产品”，
“合格产品”，则
，，
．故选 ．
【标注】【知识点】条件概率
9. 已知 箱中有红球 个，白球 个， 箱中有白球 个，（ 、 箱中所有的球除颜色外完全相同）．现随意从 箱中取出 个球放入 箱，将 箱中的球充分搅匀后，再从 箱中随意取出 个球放入 箱，则红球从 箱移到 箱，再从 箱返回 箱中的概率等于（ ）．
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】记“红球从
”为事件 ．“红球从
”为事件 ，
已知，
，
．
故选 ．
【标注】【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
3. 事件的独立性
知识精讲
（1）定义
当时， 与 独立的充要条件是
这时，我们称事件 、 相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．
【备注】【教师指导】
注意：
事件的独立性在必修中已经学过，这里再复习一遍，因为事件的独立性不仅和条件概率有一定的联系，而且利用事件的独立性求事件发生的概率属于常考题，在本章中考查的非常多.
当且时，
由条件概率的计算公式有
,
即.这就是说，此时事件 发生的概率与已知事件 发生时事件 发生的概
率相等.也就是事件 的发生，不会影响事件 发生的概率.
类似地，可以看出，如果，那么一定有.
因此，当时， 与 独立的充要条件是
这也就同时说明，当时，事件 的发生会影响事件 发生的概率，此时 与
是不独立的.事实上，“ 与 独立”也经常被说成“ 与 互不影响”等.
（2）独立事件的性质
对于两个独立事件 和 ，有如下两个性质：① 与 ， 与 ， 与 也相互独立；
②．
经典例题
10. 袋中有大小形状都相同的 个黑球和 个白球．如果不放回地依次取 次球，每次取出 个，那么在第
次取到的是黑球的条件下，第 次取到白球的概率为（ ）．
A.B.C.D.
【备注】【教师指导】
本题主要考查条件概率与事件独立性的综合，利用两次取球是相互独立的可求“第一次取出黑球，第二次取出白球”的概率.
【答案】B
【解析】设事件 表示“第一次取出黑球”，事件 表示“第二次取出白球”，
，，
∴在第 次取到的是黑球的条件下，第 次取到白球的概率为：
．
故选 ．
【标注】【知识点】条件概率
巩固练习
11. 已知 件次品和 件正品混在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放
回，则在第一次取出次品的条件下，第二次取出的也是次品的概率是（ ）．
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】记“第一次取出次品”为事件 ，“第二次取出次品”为事件 ，
则，，所以．
故选 ．
【标注】【知识点】条件概率；古典概型
经典例题
12. 甲、乙、丙三人独立地去破译一个密码，他们能译出的概率分别为 ， ， ，则此密码能被译出
的概率为．
【备注】【教师指导】
利用相互独立事件的概率乘法公式求解.
【答案】
【解析】三个人独立日破译密码，成功概率为 ， ， ，
则不能破译的情况概率为
，
∴能破译的概率．
故答案为： ．
【标注】【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件与对立事件
巩固练习
13. 某学生在上学的路上要经过三个路口，假设在各路口是否遇到红绿灯是相互独立的，遇到红灯的概
率都是 ，则这名学生在上学的路上到第三个路口时第一次遇到红灯的概率为．
【答案】
【解析】某学生在上学的路上要经过三个路口，假设在各路口是否遇到红绿灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是 ，这名学生在上学的路上到第三个路口时第一次遇到红灯是指前 次都遇到绿灯，第 次遇到红灯，
则这名学生在上学的路上到第三个路口时第一次遇到红灯的概率为
．
故答案为： ．
【标注】【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
4. 互斥事件与独立事件
知识精讲
互斥事件与独立事件的区别：
“互斥事件”和“相互独立事件”是两个不同的概念，前者表示两个事件不可能同时发生，后者指一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响．
【备注】【教师指导】
学生要深刻理解和记忆：
互斥事件的概率加法公式，独立事件的概率乘法公式.
知识点睛
已知两个事件，它们的概率分别为.将中至少有一个发生记为事件，都发生
记为事件 ，都不发生记为事件 ，恰有一个发生记为事件，至多有一个发生记为事件
，则它们的概率间的关系见下表.
概率互斥相互独立
0
1
经典例题
14. 一袋中装有 只白球， 只黄球，在有放回地摸球中，用 表示第一次摸得白球， 表示第二次摸
得白球，则事件 与 是（ ）．
A. 不相互独立事件B. 相互独立事件C. 互斥事件D. 对立事件
【备注】【教师指导】
相互独立事件的辨析，注意相互独立事件与互斥事件的区别.
【答案】B
【解析】由题意可得 表示第二次摸到的不是白球，即 表示第二次摸到的是黄球，由于采用有
放回地摸球，
故每次是否摸到黄球互不影响，故事件 与 是相互独立事件．
故选 ．
【标注】【知识点】相互独立事件；相互独立事件的辨析
巩固练习
15. 掷一颗骰子一次，设事件 ：“掷出奇数点”，事件 ：“掷出 点或 点”，则事件 ， 的关系（
）．
A. 互斥但不相互独立B. 相互独立但不互斥
C. 互斥且相互独立D. 既不相互独立也不互斥
【答案】B
【解析】掷一颗骰子一次，设事件“出现奇数点”，事件 “出现 点或 点”，
则事件 与 能同时发生，故 与 不是互斥事件，
又事件 发生与否与 无关，同时，事件 发生与否与 无关，
则事件 与事件 是相互独立事件．
故选： ．
【标注】【知识点】相互独立事件的辨析；互斥事件与对立事件的概念辨析
经典例题
16. 甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为 和 ，两人同时参加测试，其中有且只有一人能
通过概率是（ ）．
A.B.C.D.
【备注】【教师指导】
互斥事件概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式的综合应用，属于常考题型，本题
的难度不大.
【答案】C
【解析】设事件 表示“甲通过听力测试”，事件 表示“乙通过听力测试”．
根据题意知，事件 和 相互独立，且，．记“有且只有一人通过听
力测试”为事件 ，
则，且 和 互斥．
故
．
【标注】【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
17. 某学生语、数、英三科考试成绩，在一次考试中排名全班第一的概率：语文为 ，数学为 ，英
语为 ，并且该生各科取得第一名相互独立．问一次考试中：
（ 1 ）三科成绩均未获得第一名的概率是多少？
（ 2 ）恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？
【备注】【教师指导】
互斥事件概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式的综合应用，属于常考题型，本题
的难度比上一题难度大一些，学生要认真读题，明确题目的问题.
【答案】（ 1 ）三科成绩均未获得第一名的概率是．
（ 2 ）恰有一科成绩未获得第一名的概率是．
【解析】（ 1 ）分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为 ， ， ，
则 、 、 两两相互独立且，，．
“三科成绩均未获得第一名”可以用：表示，
．
答：三科成绩均未获得第一名的概率是
．
（ 2 ）分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为 ， ， ，
则 、 、 两两相互独立且，，．
“恰有一科成绩未获得第一名”可以用表示，
由于事件，和两两互斥，
根据概率加法公式和相互独立事件的意义，所求的概率为：
．
答：恰有一科成绩未获得第一名的概率是．
【标注】【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式
巩固练习
18. 从应届高中生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为 ，视力合格的概率为 ，假设各项
标准互不影响，从中任选一名学生，则该学生恰有一项合格的概率为（ ）．
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】体型合格视力不合格：
，
体型不合格视力合格：，
∴．
故选 ．
【标注】【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式
19. 社区开展“建军 周年主题活动——军事知识竞赛”，甲乙两人能荣获一等奖的概率分别为 和 ，
两人是否获得一等奖相互独立，则这两人中至少有一人获得一等奖的概率为（ ）．
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】分别设甲、乙获得一等奖为事件 ， ，则
，
，
，
．事件“两人中至少有一人获得一等奖”为“”，由于两人是否获
得一等奖相互独立，所以所求的概率为
．
故选 ．
【标注】【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
5. 全概率公式
知识精讲
（1）公式
公式的推导：
一般地，如果样本空间为 ，而为事件，则 与 是互斥的，
且,
所以,
当
且
时，由乘法公式得：
,
所以，．
（2）全概率公式的一般结论
前面提到的全概率公式，本质上是将样本空间分成互斥的两部分（即 与 ）后得到的.如果将样本空间分成更多互斥的部分，从而得到更一般的结论，如下：
定理：若样本空间 中的事件满足：
①任意两个事均互斥，即；
②；
③.
则对 中的任意事件 ，都有
，且
.
上述公式也称为全概率公式.
经典例题
20. 某射击小组共有 名射手，其中一级射手 人， 二级射手 人， 三级射手 人， 四级射手 人． 一、二、三、四级射手能通过选拔进入比赛的概率分别是 、 、 、 ． 求任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率．
【备注】【教师指导】
本题利用全概率公式求解，考查全概率公式的应用.
【答案】．
【解析】设事件 表示“射手能通过选拔进入比赛”,
设事件 表示“射手是第 级射手”．
显然,、 、 、 构成一个完备事件组,且
，，，
，，，．
由全概率公式得到
．
【标注】【知识点】条件概率
巩固练习
21. 某仓库有同样规格的产品 箱，其中 箱、 箱、 箱依次是由甲、乙、丙三个厂生产的，且三个厂
的次品率分别为 、 、 ．现从这 箱中任取一箱，再从取得的一箱中任意取出一件产品，
求：
（ 1 ）取得一件产品是次品的概率．
（ 2 ）若已知取得的一件产品为次品，这件次品是乙厂生产的概率．
【答案】（ 1 ）（ 2 ）
．
．
【解析】（ 1 ）设事件 为“取得一件产品为次品”，则由全概率公式，
．
（ 2 ）设事件 表示取得的一件产品是乙产生产的，则
，
，于是
．
【标注】【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；条件概率
6. 贝叶斯公式
知识精讲
（1）贝叶斯公式
一般地，当且时，有
.
这称为贝叶斯公式.
（2）贝叶斯公式的推广
同全概率公式一样，贝叶斯公式也可以进行推广.
定理：若样本空间 中的事件满足：
①任意两个事件均互斥，即；
②；
③.
则对 中的任意概率非零事件 ，有
.
上述公式也称为贝叶斯公式.
经典例题
22. 甲、乙两厂生产同一种商品．甲厂生产的此商品占市场上的
，乙厂生产的占
；甲厂商品的
合格率为 ，乙厂商品的合格率为 ．若某人购买了此商品发现为次品，则此次品为甲厂生产
的概率为．
【备注】【教师指导】
本题利用贝叶斯公式求解，考查贝叶斯公式的应用.
【答案】
【解析】不妨设 ：商品为次品． ：商品为甲厂生产． ：商品为乙厂生产．
于是，，，．
由贝叶斯公式
．
于是此次品为甲厂生产的概率为 ．
【标注】【知识点】条件概率
巩固练习
23. 某地区居民的肝癌发病率为，现用甲胎蛋白法进行普查 医学研究表明，化验结果是存在错
误的 已知患有肝癌的人其化验结果 呈阳性（有病），而没患肝癌的人其化验结果呈阴性
（无病）.现某人的检查结果呈阳性，问他真的患肝癌的概率有多少？
【答案】．
【解析】 ：他真的患肝癌， ：他没患肝癌， ：他被检查出患肝癌，
．
【标注】【知识点】条件概率
【素养】数学运算
三、 思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
【备注】
四、 出门测
24. 下面结论正确的是（ ）．
A.
B.
若
若
，则事件 与 是互为对立事件
，则事件 与 是相互独立事件
C.
D.
若事件 与 是互斥事件，则 与 也是互斥事件
若事件 与 是相互独立事件，则 与 也是相互独立事件
【备注】【教师指导】
注意：本题是多选题.
【答案】BD
【解析】A 选项：例如 ， ， ， 四个球，选中每个球的概率一样，
为选中 、 两个球的概
率： ，为选中 ， 两个球的概率： ，，但 ， 不是对立事
件．故 错误；B 选项：若
，则事件 与 是相互独立事件，故 正确；
C 选项：假设一个随机事件由 、 、 、 这 个彼此互斥的基本事件构成，则事件 中含有事件 、 、 ，事件 中含有事件 、 、 ，则 与 不互斥，故 错误；
D 选项：若 与 相互独立，则 与 ， 与 ， 与 都是相互独立事件，故 正确．故选 B D .
【标注】【知识点】相互独立事件的辨析；互斥事件与对立事件的概念辨析
25. 根据某地区气象台统计，该地区下雨的概率是 ，刮风的概率为 ，既刮风又下雨的概率为 ，
则在刮风天里，下雨的概率为，在下雨天里，刮风的概率为．
【答案】 ;
【解析】设事件 “下雨”，
“刮风”，
“既刮风又下雨”，
则，，，
∴在刮风天里，下雨的概率为：
，
在下雨天里，刮风的概率为：
．
【标注】【知识点】条件概率
26. 已知 件产品中有 件次品，现逐一不放回的检验，直到 件次品都能被确认为止，则检验次数为 的
概率为．
【答案】
【解析】检验次数为 ，可知第四次为次品，另一次出现次品可能为前三次中任意一次，则有所求
概率．
【标注】【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
27. 甲、乙、丙的投篮命中率分别为 ， ， ．三人各投篮一次，假设三人投篮相互独立，则至少有
一人命中的概率是．
【答案】
【解析】甲、乙、丙的投篮命中率分别为： ， ， ．
若三人各投篮一次，且投篮相互独立，则都没有投中的概率为：
，
则至少有一个人命中的概率为：．
故答案为： ．
【标注】【知识点】互斥事件与对立事件；对立事件的概率和为1；相互独立事件的概率乘法公式
20
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