人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用授课课件ppt

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1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系题型一平面法向量的概念1．（20-21高二·全国·课后作业）下列说法不正确的是（    ）A．若直线l垂直于平面α，则直线l的任意一个方向向量都是平面α的一个法向量B．若n是平面α的一个法向量，则n与平面α内任意一条直线的方向向量均垂直C．0是任意一个平面的一个法向量D．一个平面的法向量是不唯一的2．（多选）（21-22高二上·湖南益阳·阶段练习）已知v1，v2分别为直线的l1，l2方向向量（l1，l2不重合），n1，n2分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），则下列说法中，正确的是（    ）．A．v1∥v2⇔l1⊥l2 B．v1⊥v2⇔l1⊥l2C．n1∥n2⇔α⊥β D．n1⊥n2⇔α⊥β3．（多选）（21-22高二上·湖南·阶段练习）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，下列结论正确的有（    ）A．AA1是平面A1B1C1D1的一个法向量 B．AC是平面BDD1B1的一个法向量C．AC⊥BC1 D．AC1⊥BD4．（21-22高二·全国·课后作业）以下真命题共有 个.①一个平面的单位法向量是唯一的；②一条直线的方向向量和一个平面的法向量垂直，则这条直线和这个平面平行；③若两个平面的法向量不平行，则这两个平面相交.5．（21-22高二·全国·单元测试）若a、b都是平面α的法向量，则a和b的关系是 ．题型二 求平面的法向量1．（22-23高二下·江苏·阶段练习）已知平面α上的两个向量a→=2,3,1，b→=5,6,4，则平面α的一个法向量为（    ）A．1,−1,1 B．2,−1,1C．−2,1,1 D．−1,1,12．（多选）（23-24高二上·四川成都·期中）在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD−A1B1C1D1是棱长为1的正方体，则（    ）  A．平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0) B．平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)C．点C1在x轴上的投影点坐标为1,0,0 D．点C1关于平面Oxy对称点坐标为1,1,−13．（多选）（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知空间中三点A0,1,0，B2,2,0，C−1,3,1，则（    ）A．AB与AC是共线向量B．与向量AB方向相同的单位向量是255,−55,0C．AB与BC夹角的余弦值是−5511D．平面ABC的一个法向量是1,−2,54．（2024高二上·全国·专题练习）如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1为正方体，  ①直线DD1的一个方向向量为0,0,1；②直线BC1的一个方向向量为0,1,1；③平面ABB1A1的一个法向量为0,1,0；④平面B1CD的一个法向量为1,1,1；则上述结论正确的是 （填序号）5．（2024高二上·全国·专题练习）如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，△PAB是边长为1的正三角形，ABCD是菱形，∠ABC=60∘，E是PC的中点，F是AB的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面DEF的一个法向量.   题型三 利用法向量研究线面平行关系1．（2024·山西·三模）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1，中，E，F，G分别是棱AB，BC，CD的中点．(1)证明：C1E∥平面A1AG；(2)证明：A1F⊥C1E2．（23-24高二下·甘肃白银·期中）在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC,DD1的中点，直线B1D与平面A1EF交于点P．(1)求A1E⋅B1D；(2)求PDB1P；(3)若点Q在棱BC上，且PQ//平面B1CD1，求BQ的长．3．（23-24高二上·全国·单元测试）如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=3,AB=5,BC=4,AA1=4，点D是AB的中点．求证：  (1)AC⊥BC1；(2)AC1 ∥平面CDB1.4．（2024·陕西安康·模拟预测）如图，已知多面体是由正四棱锥P-ABCD与正方体ABCD−A1B1C1D1组合而成的，且PC=32AB.  (1)求证：PC//平面ADC1B1；(2)若AB=3，求四棱锥P−ADC1B1的体积.5．（2024高三·全国·专题练习）如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，点E是棱AA1的中点，点O是面对角线BC1与B1C的交点，试用向量基底法证明：OE//平面ABCD．题型四 利用法向量研究面面平行关系1．（23-24高二上·四川成都·期中）如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2.(1)求证：平面A1C1B//平面ACD1.(2)线段B1C上是否存在点P，使得A1P//平面ACD1？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由.2．（20-21高二·江苏·课后作业）如图，从▱ABCD所在平面外一点O作向量OA'=kOA,OB'=kOB,OC'=kOC,OD'=kOD.求证：(1)A',B',C',D'四点共面；(2)平面A'B'C'D'//平面ABCD.3．（2022高二·全国·专题练习）如图，设P为长方形ABCD所在平面外一点，M在PD上，N在AC上，若DMMP=CNNA，用向量法证明：直线MN∥平面PAB.  4．（20-21高二·全国·课后作业）如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，F是棱AB的中点．求证：平面AA1D1D//平面FCC1.5．（22-23高二下·江苏·课后作业）如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点，求证：平面EFG∥平面PBC．题型五 利用法向量研究线面垂直关系1．（24-25高二上·全国·假期作业）如图所示，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，AD=1，E是PB的中点，作EF⊥PC交PC于点F，且PF=49PC．求证：PC⊥平面AEF；  2．（24-25高二上·全国·假期作业）如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2,AD=3,AA1=4，点E,F分别为棱AB,DD1的中点，求证：C1F⊥平面BCF；3．（23-24高二上·安徽阜阳·阶段练习）如图，已知PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，PA＝AD＝AB＝2，M，N分别为AB，PC的中点.求证：MN⊥平面PCD．4．（23-24高二上·浙江·期中）已知正三棱台ABC−A1B1C1中，AA1=1，BC=2B1C1=2，D、E分别为AA1、B1C1的中点.  (1)求该正三棱台的表面积；(2)求证：DE⊥平面BCC1B15．（2023高三·全国·专题练习）如图，直三棱柱ABC−A1B1C1的侧面BCC1B1为正方形，2AB=BC=2，E，F分别为AC，CC1的中点，BF⊥A1B1．证明：BF⊥平面A1B1E；题型六 利用法向量研究面面垂直关系1．（22-23高二下·江苏连云港·阶段练习）已知平面α,β的法向量分别为a=1,−1,2,n=5,−1,−3，则这两个平面的位置关系为（    ）A．平行 B．相交但不垂直 C．相交垂直 D．不能确定2．（23-24高二上·四川成都·期中）已知：在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥平面ABCD，点M为PD中点，PA=AD=1.求证：平面MAC⊥平面PCD.（注：必须用向量法做，否则不得分）3．（2023高三·全国·专题练习）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，如图E、F分别是BB1，CD的中点．求证：平面AD1F⊥平面ADE；4．（23-24高二上·全国·课后作业）如图所示，在四棱锥S−ABCD中，底面是直角梯形，∠ABC=90∘,SA⊥底面ABCD，且SA=AB=BC=1,AD=12，建立适当的空间直角坐标系，分别求平面SCD与平面SBA的一个法向量，判断平面SBA与平面SCD是否有可能垂直？  5．（20-21高二上·天津·期中）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知AB=2，PA=2．  (1)求证：AE⊥PD；(2)求证：平面PBD⊥平面PAC．题型七 探索性问题1．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，动点M在线段CC1上，动点P在平面A1B1C1D1上，且AP⊥平面MBD1，线段BP长度的取值范围是（    ）A．1,2 B．62,3 C．62,2 D．1,32．（23-24高二上·福建泉州·期末）如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1=λAB，点E,F,G分别是BC,CD,CC1的中点，点M是线段A1D上的动点，则下列说法错误的是（    ）  A．当λ>1时，存在M，使得CM⊥平面EFGB．存在M，使得AM//平面EFGC．存在M，使得平面MBC1//平面EFGD．存在λ，使得平面MB1C⊥平面EFG3．（2023高三·全国·专题练习）斜三棱柱ABC−A1B1C1的各棱长都为4,∠A1AB=60∘，点A1在下底面ABC的投影为AB的中点O.在棱BB1（含端点）上是否存在一点D使A1D⊥AC1？若存在，求出BD的长；若不存在，请说明理由；4．（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2,E,F,G分别是AA1,BC,C1D1的中点  (1)证明：B1D⊥平面EFG.(2)在直线DB上是否存在点P，使得B1P ∥平面EFG？若存在，请指出P的位置；若不存在.请说明理由.5．（23-24高二上·福建福州·阶段练习）如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠BAD=60°，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥DC，如图2.  (1)求证：A1E⊥平面BCDE；(2)判断在线段EB上是否存在一点P，使平面A1DP⊥平面A1BC？若存在，求出EPPB的值；若不存在，说明理由.1．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）如图，AB是圆柱底面圆的直径，AF是圆柱的母线，点C为底面圆上一点，D为线段BC的中点，DE//AF，且AC=AF=CD=2DE，点G在直线AB上，则下列说法正确的是（    ）  A．当G为AB的中点时，平面FAC//平面EDGB．当G为AB的中点时，直线GE与平面BEC所成角为π4C．不存在点G，使得EG⊥平面CEFD．当BG=13BA时，使得EG⊥平面CEF2．（23-24高二下·江苏盐城·期中）如图，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，AD=DE=4，G为线段AE上的动点，则（    ）  A．若G为线段AE的中点，则GB//平面CEFB．多面体ABCDEF的体积为643C．AE⊥CFD．BG2+CG2的最小值为443．（22-23高二上·广东深圳·期末）【多选】如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别为棱B1C1、B1B的中点，则下列结论正确的为（    ）  A．AD1=2EF B．B1D1⋅AC=0C．DF=3 D．DF为平面ACD1的一个法向量4．（22-23高二上·山西晋中·阶段练习）如图，若长方体ABCD−A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，高为4,E是DD1的中点，则正确的是（    ）A．B1E⊥A1B B．平面B1CE//平面A1BDC．三棱锥C1−B1CE的体积为83 D．三棱锥C1−B1CD的外接球的表面积为24π5．（23-24高二上·重庆梁平·开学考试）平面上两个等腰直角△PAC和△ABC，AC既是△PAC的斜边又是△ABC的直角边，沿AC边折叠使得平面PAC⊥平面ABC，M为斜边AB的中点．  (1)求证：AC⊥PM；(2)在线段PB上是否存在点N，使得平面CNM⊥平面PAB？若存在，求出PNPB的值；若不存在，说明理由．6．（22-23高二上·新疆昌吉·期末）如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB//DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．证明：(1)BE//平面PAD；(2)平面PCD⊥平面PAD．7．（2024高二上·江苏·专题练习）如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD//QA，QA=AB=12PD.(1)证明：平面PQB⊥平面DCQ；(2)证明：PC//平面BAQ.